Математический анализ — 1

Дорогие студенты совместного бакалавриата ВШЭ-РЭШ!

На этой странице будут появляться различные материалы и объявления, связанные с курсом «Математический анализ — 1» для студентов 1-го курса совместного бакалавриата ВШЭ-РЭШ. Следите за обновлениями!

Общая информация

• Курс читает: Щуров Илья Валерьевич

• Семинары ведут: Матушко Мария Георгиевна, Машанова Инна Антоновна, Эрлих Иван

• Учебные ассистенты: Головко Иван Сергеевич, Нефф Артемий Сергеевич, Щеткина Анна Дмитриевна.

Материалы курса

• Лекция 1. (5.09) Числа: натуральные, рациональные и вещественные.

• Семинар 1 (6.09)

• Лекция 2. (7.09) Основы математической логики. Высказывания, предикаты и кванторы.

• Лекция 3. (12.09) Последовательности, их свойства. Монотонность, ограниченность. Определение предела.

• Семинар 2. (12.09-14.09)

• Лекция 4. (14.09) Неравенство Бернулли. Свойства пределов. Примеры последовательностей, не имеющих пределов. Если предел существует, последовательность ограничена. Бесконечные пределы.

• Лекция 5. (19.09) Предельные переходы в неравенствах. Теорема о двух милиционерах. Предел суммы.

• Семинар 3. (20.09)

• Лекция 6. (21.09) Предел показательной функции. Предел произведения. Предел 1/an.

• Семинар 4. (27.09)

• Лекция 7. (26.09) Точная верхняя и точная нижняя грань. Биномиальные коэффициенты.

• Семинар 5. (4.09)

• Лекция 8. (3.10) Подпоследовательности. Предельные точки. Теорема Больцано — Вейерштрасса (у любой ограниченной последовательности есть сходящаяся подпоследовательность).

• Лекция 9. (5.10) Функции. Определение предела функции в точке (по Коши).

• Лекция 10. (10.10) Определение предела функции по Гейне. Эквивалентность двух определений предела функции в точке. Односторонние пределы. Предел при x стремящемся к бесконечности (плюс бесконечности, минус бесконечности). Бесконечные пределы.

• Семинар 6. (11.10)

• Лекция 11. (11.10) Вертикальные, горизонтальные, наклонные асимптоты. Непрерывность.

• Лекция 12. (11.10) Непрерывность композиции двух функций. Теорема о корне непрерывной функции.

• Семинар 7. (18.10)

• Лекция 13. (19.10) Производная. Геометрический смысл производной, касательная. Необходимое условие экстремума.

• Лекция 14. (31.10) Теорема Ролля. Теорема Лагранжа. Если производная всюду положительна, функция строго возрастает.

• Семинар 8. (1.11)

• Лекция 15. (7.11) Вычисление производных. Производная суммы, произведения, композиции функций.

• Семинар 9. (8.11)

• Лекция 16. (9.11) Обратная функция. Логарифм. Производная обратной функции.

• Семинар 10. (15.11)

• Лекция 17. (14.11) Старшие производные. Выпуклость. Точки перегиба. Достаточное условие экстремума. Правило Лопиталя. Теорема Коши.

• Лекция 18. (16.11) Окончание теоремы о выпуклости (график выпуклой вниз функции проходит выше любой касательной). Окончание доказательства правила Лопиталя (неопределенность 0/0, предел в конечной точке). o-малые.

• Лекция 19. (21.11) Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

• Семинар 11. (22.11)

• Лекция 20. (23.11) Применение формулы Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

• Лекция 21. (28.11) Первообразная. Определённый интеграл (Римана).

• Семинар 12. (29.11)

• Лекция 21. (30.11) Свойства определённых интегралов. Формула Ньютона — Лейбница.

• Лекция 22. (5.12) Вычисление определённых интегралов. Замена переменных в определенных и неопределенных интегралах.

• Семинар 13. (6.12)

• Лекция 23. (7.12) Примеры вычисления интегралов с помощью замены переменных. Интегрирование по частям.

• Лекция 24. (12.12) Несобственные интегралы. Теорема сравнения для доказательства сходимости несобственных интегралов.

• Семинар 14. (13.12)

• Лекция 25. (14.12) Ряды. Расходимость гармонического ряда. Знакопеременные ряды. Мажорантный признак сходимости. Интегральный признак сходимости. Абсолютная сходимость.

• Семинар 15. (20.12)

Домашние задания

• ДЗ№1 Формулы с кванторами, определение предела последовательности.

• ДЗ№2 Преобразование графиков, определение предела функции по Коши и по Гейне, бесконечные пределы и пределы на бесконечности.

• ДЗ№3 Производные, исследование функций, ряд Тейлора.

• ДЗ№4 (необязательное, за всё ДЗ можно получить 0.3 итоговых балла): интегралы и ряды.

Коллоквиум

• Программа коллоквиума.

Дополнительные листки

Эти листки не содержат обязательного материала, но расширяют кругозор и могут принести пользу для дальнейшего изучения математики в целом. Их сдача состоит из двух этапов:

• Решить и записать решение письменно, сдать на my.nes до дедлайна (можно сдать скан). Дедлайн является жёстким, после дедлайна работа не принимается.

• Сдать устно кому-нибудь из ассистентов или преподавателей, согласных принимать, не позднее, чем через неделю после дедлайна письменной сдачи. В ходе устной сдачи вам могут быть заданы дополнительные вопросы, чтобы убедиться, что вы владеете материалом и хорошо понимаете решение.

Про каждый дополнительный листок написано, сколько итоговых баллов за него можно набрать. За все листки в сумме можно набрать не более, чем +1 итоговый балл. Можно не решать никаких дополнительных листков и всё равно набрать 10 баллов за курс.

Обычные дополнительные листки

Использовались доп. листки разных лет разных авторов, в числе которых — Ирина Хованская, Наталья Гончарук, Юрий Кудряшов, Лера Старичкова, Павел Соломатин, Сергей Головань и др.

• Комбинаторика, 0.2 итоговых балла.

• Вещественные числа, 0.3 итоговых балла.

Дополнительные листочки Эдуарда Дурьева

Эти дополнительные листочки составил Эдуард Дурьев, тогда студент матфака Вышки, а ныне аспирант Гарварда, в 2012-2013 учебном году. С одной стороны, они лежат несколько в стороне от основного курса. С другой - они очень интересные и необычные.

• Листок А. Кратчайшие, 0.2 итоговых балла.