Математический анализ — 1

Материалы по математике, 2015-16 учебный год, НИУ ВШЭ
Перейти к: навигация, поиск

Дорогие студенты совместного бакалавриата ВШЭ-РЭШ!

На этой странице будут появляться различные материалы и объявления, связанные с курсом «Математический анализ — 1» для студентов 1-го курса совместного бакалавриата ВШЭ-РЭШ. Следите за обновлениями!


Общая информация

  • Курс читает: Гончарук Наталия Борисовна natalka(собака)mccme(точка)ru
  • Семинары ведут: Бычков Борис Сергеевич boris(точка)bychkov(собака)gmail(точка)com, Гончарук Наталия Борисовна natalka(собака)mccme(точка)ru, Дагаев Дмитрий Александрович ddagaev(собака)gmail(точка)com>, Сахарова Нина Евгеньевна saharnina(собака)gmail(точка)com.
  • Учебные ассистенты: Мария Гельруд mgelrud(собака)nes(точка)ru, Илья Лукибанов ilukibanov(собака)nes(точка)ru, Михаил Сметанин smetaninmr(собака)yandex(точка)ru, Григорий Андрейчев gregory9669(собака)gmail(точка)com. Григорий Андрейчев занимается дополнительными листками.
  • Программа курса тут.

Литература

  • J. Stewart, Calculus - Early Transcendentals 6e 2008
  • В.А.Зорич, Математический анализ, ч. 1, М.: МЦНМО, 2001

Электронные ресурсы и программное обеспечение

Если вам нужно проиллюстрировать своё решение графиком или чертежом, вы можете использовать такие ресурсы

http://www.geogebra.org — для чертежей, иллюстраций, графиков

http://www.wolframalpha.com — для построения графиков

pyplot (библиотека Python), tikz (пакет LaTeX) или любой другой доступный вам софт.

Учебник Стюарта, которым мы пользуемся, предполагает много он-лайн материалов, интерактивные иллюстрации, помощь в выполнении домашней работы. Пользуйтесь! http://www.stewartcalculus.com/tec/

План курса и материалы

Лекции Семинары Домашние задания
2.09.15: О вещественных числах 3-4.09.15: Функции и графики
4.09.15: Функции. Зачем нужны пределы и что это такое.
8.09.15: Математическая логика. Записи в кванторах. 10-11.09.15: Логика и последовательности ДЗ 1 (функции и графики; последовательности), срок сдачи 22.09
11.09.15: Определение предела последовательности (конечного и бесконечного). Арифметические свойства пределов последовательностей.
15.09.15: Арифметические свойства пределов последовательностей. Принцип двух милиционеров. 17-18.09.15: Пределы последовательностей
18.09.15: Сравнение скоростей роста разных последовательностей. О числе e.
22.09.15: Некоторые факты из жизни последовательностей. О частичных пределах. Еще раз об пределах +-\infty и \infty. 24-25.09.15: Пределы последовательностей и функций. ДЗ 2 (пределы последовательностей), срок сдачи 09.10
25.09.15: Пределы функций; арифметические свойства, принцип 2 милиционеров.
29.09.15: Горизонтальные и вертикальные асимптоты, предел на бесконечности и бесконечный предел. 1-2.10.15: Пределы функций.
2.10.15: Непрерывность функций, типы разрывов. Непрерывность суммы, разности, произведения непрерывных функций.
6.10.15: Первый замечательный предел (доказательство) и второй замечательный предел (формулировка). Экзотические примеры непрерывных функций. 8-9.10.15: Пределы функций; непрерывность. ДЗ 3 (пределы функций), срок сдачи 28.10
9.10.15: Теоремы о промежуточном значении, ограниченности и достижении максимума для непрерывных функций на отрезке.
13.10.15: Производные. Геометрический смысл. Производная суммы. 15-16.10.15: Непрерывность; производная
16.10.15: Производная произведения, частного. Производные некоторых функций. Производная монотонной функции и производная в точке экстремума.
20.10,15: Производная композиции. Производные некоторых функций. Недифференцируемые функции. 22-23.10.15: производная
23.10.15: Обратная функция и её производная. Примеры.
3.11.15: Теоремы Ролля и Лагранжа. О ряде Тейлора.
10.11.15: Наклонные асимптоты. Выпуклость и её связь со второй производной. Функциональные и степенные ряды. 12-13.11.15: производная-2 ДЗ 4 (производные), срок сдачи 28.11
13.11.15: ряды Тейлора некоторых функций. Оценка Лагранжа остаточного члена.
17.11.15: Правило Лопиталя. Степенные ряды. 19-20.11.15: производная. Ряд Тейлора
20.11.15: Радиус сходимости степенного ряда. Операции со степенными рядами. ДЗ 5 (ряды Тейлора), срок сдачи 13.12
24.11.15: Определенный интеграл: определение и существование. Теорема Ньютона-Лейбница. 26-27.11.15: Ряд Тейлора
27.11.15: Формула замены переменной и формула интегрирования по частям (в определенном и неопределенном интеграле).
1.12.15: Примеры вычисления интегралов. Интегралы от рациональных функций. 3-4.12.15: Интеграл
4.12.15: Объемы тел вращения. Несобственные интегралы и их связь с рядами.
8.12.15: Оценка Лагранжа остаточного члена в ряде Тейлора. Еще раз о рядах Тейлора. 10-11.12.15: Интегралы и объемы тел вращения ДЗ 6 (интегралы), срок сдачи 25.12

Тесты

Тест 1: нарисуйте эскиз графика функции f(x) = x^2 +Mx-D, где M --- месяц Вашего рождения, а D -- число.

Тест 2: докажите, что предел последовательности 1, -1, 1, -1, ... не равен 2, используя определение предела.

Тест 3: докажите, используя (любое) определение предела функции, что lim_{x -> 5} x = 5.

Докажите, что lim_{x -> 5} x <= 6.

Тест 4: для данной функции определите точки разрыва, типы разрывов в этих точках, найдите все вертикальные и горизонтальные асимптоты.

f(x) =

  • (x+M) / (x+M/2) при x<0;
  • 2^{x+1} при 0<x<2;
  • (-1)^D arctg x при x>2.

Как и раньше, M --- месяц Вашего рождения, а D -- число.

Тест 5: для функции f(x) = \sqrt[3]{x} (кубический корень из x)

  • а) Нарисуйте эскиз графика.
  • б) Найдите производную в точке (8,2). Нарисуйте касательную к графику в этой точке.
  • в) Вычислите f(8,01) (кубический корень из 8.01) с точностью до сотых.

Тест 6: выпишите ряд Тейлора для функции f(x) = x^3 с центром в точке 1.

Дополнительные листочки

Цепные дроби (срок сдачи 9 ноября 2015 г.)

Комбинаторика (срок сдачи 9 ноября 2015 г.)

Ограниченные множества. Действительные числа (Срок сдачи: 15 ноября 2015 г.)

Монотонные и фундаментальные последовательности. Второй замечательный предел (срок сдачи: 30 ноября 2015 г.)

Дополнительные листочки Эдуарда Дурьева

Эти дополнительные листочки составил Эдуард Дурьев, тогда студент матфака Вышки, а ныне аспирант Гарварда, в 2012-2013 учебном году. С одной стороны, они лежат несколько в стороне от основного курса. С другой - они очень интересные и необычные. Дед-лайны будут объявлены позже, но они не скоро (в конце семестра).

  • Листок В. Теорема Брауэра Этот листочек безусловно выходит за рамки нашего курса, требует дополнительных знаний. Тем не менее, мы включаем его в список дополнительных листочков для тех, кто хочет большего.