Дискретная Математика: различия между версиями
(→Лекции) |
|||
Строка 73: | Строка 73: | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |7.10.2022 |
|Числа Фибоначчи: задача про кроликов, определение (F<sub>0</sub> = 0, F<sub>1</sub> = 1, F<sub>n+1</sub> = F<sub>n</sub> + F<sub>n-1</sub>), F<sub>n</sub> равно сумме "диагонали" треугольника Паскаля (F<sub>n</sub> = C<sub>n-1</sub><sup>0</sup> + C<sub>n-2</sub><sup>1</sup> + C<sub>n-3</sub><sup>2</sup> + ... + C<sub>n-[n/2]</sub><sup>[n/2]-1</sup> целая часть должна быть верхней), явная формула (F<sub>n</sub> = 1/٧5((1+٧5)/2)^n - 1/٧5((1-٧5)/2)^n) и ее доказательство по индукции. | |Числа Фибоначчи: задача про кроликов, определение (F<sub>0</sub> = 0, F<sub>1</sub> = 1, F<sub>n+1</sub> = F<sub>n</sub> + F<sub>n-1</sub>), F<sub>n</sub> равно сумме "диагонали" треугольника Паскаля (F<sub>n</sub> = C<sub>n-1</sub><sup>0</sup> + C<sub>n-2</sub><sup>1</sup> + C<sub>n-3</sub><sup>2</sup> + ... + C<sub>n-[n/2]</sub><sup>[n/2]-1</sup> целая часть должна быть верхней), явная формула (F<sub>n</sub> = 1/٧5((1+٧5)/2)^n - 1/٧5((1-٧5)/2)^n) и ее доказательство по индукции. | ||
Строка 80: | Строка 80: | ||
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.16-51 | |[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.16-51 | ||
+ | [https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию] | ||
+ | |||
+ | |- | ||
+ | |14.10.2022 | ||
+ | |Числа Фибоначчи (повторение). | ||
+ | Линейные рекуррентные соотношения в разных задачах. | ||
+ | Рекурсия (программирование, литература) и ее связь с рекуррентными соотношениями. | ||
+ | Основная теорема о рекуррентных соотношениях (Master theorem): оценка сложности рекурсивных алгоритмов. | ||
+ | |||
+ | Индукция: повторение, связь с рекуррентными соотношениями, пример вложенной индукции (количество разломов прямоугольной шоколадки). | ||
+ | |||
+ | |[https://ru.wikipedia.org/wiki/Основная_теорема_о_рекуррентных_соотношениях Основная теорема о рекуррентных соотношениях] стр.16-51 | ||
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию] | [https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию] | ||
|} | |} |
Версия 15:32, 14 октября 2022
Дорогие студенты!
На этой странице будут появляться различные материалы и объявления, связанные с курсом «Дискретная математика», читаемого для студентов 1-го курса ОП Вычислительные социальные науки в 2022/2023 учебном году.
- Лекции и семинары: Сысоева Любовь Николаевна lsysoeva@hse.ru, telegram @lsysoeva
- Ассистент: Ластовецкий Дмитрий dalastovetsky@hse.ru, telegram @dalastovetskiy
Ведомость активности | Ведомость ДЗ |
Формула итоговой оценки: 0,3 * Активность + 0,3 * Домашние задания + 0,4 * Экзамен
Содержание
Консультации
Консультации будут проходить онлайн по понедельникам в 17:00, задавайте ваши вопросы Дмитрию, присоединяйтесь к консультациям!
Join Zoom Meeting https://us05web.zoom.us/j/4685079351?pwd=cVJkeVkzUUR1bXNjMzJ1WDRrN0EyUT09
Meeting ID: 468 507 9351 Passcode: yqTLi1
Лекции
дата лекции | тема лекции | дополнительные материалы |
---|---|---|
16.09.2022 | Понятие множества, конечные множества, задание множества перечислением элементов, задание множества условием, пустое множество, пересечение множеств, объединение множеств, декартово произведение множеств, парадокс брадобрея. Комбинаторика: правило суммы, правило произведения, факториал, число размещений с повторениями и без повторений, число сочетаний. |
Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами) стр.1-26 Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ стр.44-63 |
23.09.2022 | Дискретная вероятность = (кол-во положительных исходов)/(общее число исходов). Сочетания с повторениями (метод шариков и перегородок), типы предметов. Треугольник Паскаля (количество путей от вершины вниз), рекуррентная формула (нижний элемент = сумме двух верхних). Бином Ньютона, связь с треугольником Паскаля (коэффициенты в разложении (a+b)n это числа в n строке треугольника). Числа сочетаний в треугольнике Паскаля, формула Ckn = Ckn-1 + Ck-1n-1 и ее комбинаторный смысл. Сумма элементов n строки в треугольнике Паскаля равна 2n (через удвоение суммы предыдущей строки, через разложение (1+1)n и через все подмножества множества из n элементов). Полиномиальные коэффициенты (определение и формула). |
Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами) стр.26-40 Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ стр.63-70
|
30.09.2022 | Числа сочетаний в треугольнике Паскаля: возрастание элементов к середине строки и убывание после середины (Ckn < Ck+1n при k < (n-1)/2 и Ckn > Ck+1n при k > (n-1)/2), симметрия (Ckn = Cn-kn), оценка среднего элемента в строке через сумму и количество элементов в этой строке (Cn2n > 22n/(2n+1)). Сумма знакопеременных элементов n строки в треугольнике Паскаля равна нулю (через удвоение элементов предыдущей строки с противоположными знаками, через разложение (1-1)n). Формулы для 112, 113, 114 и связь со строками треугольника Паскаля (доказательство через разложение 11k = (10+1)k по биному Ньютона). Формула включений-исключений: через диаграммы Эйлера-Вена для 2 и 3 множеств, формулировка в общем случае. Принцип Дирихле (pigeonhole principle): если кроликов больше, чем клеток, то при рассадке кроликов по клеткам по крайней мере в одну клетку попадут по крайней мере два кролика. |
Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами) стр.41-44 |
7.10.2022 | Числа Фибоначчи: задача про кроликов, определение (F0 = 0, F1 = 1, Fn+1 = Fn + Fn-1), Fn равно сумме "диагонали" треугольника Паскаля (Fn = Cn-10 + Cn-21 + Cn-32 + ... + Cn-[n/2][n/2]-1 целая часть должна быть верхней), явная формула (Fn = 1/٧5((1+٧5)/2)^n - 1/٧5((1-٧5)/2)^n) и ее доказательство по индукции.
Индукция: принцип математической индукции, база и переход их согласованность, индуктивное предположение, доказательство равенств, неравенств, разбор текстовой задачи (машина на краю пустыни). Примеры неверных доказательств по индукции (резиновый автобус, куча манки, одномастные лошади). |
Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ стр.16-51 |
14.10.2022 | Числа Фибоначчи (повторение).
Линейные рекуррентные соотношения в разных задачах. Рекурсия (программирование, литература) и ее связь с рекуррентными соотношениями. Основная теорема о рекуррентных соотношениях (Master theorem): оценка сложности рекурсивных алгоритмов. Индукция: повторение, связь с рекуррентными соотношениями, пример вложенной индукции (количество разломов прямоугольной шоколадки). |
Основная теорема о рекуррентных соотношениях стр.16-51 |
Семинары
Домашние задания
Правила сдачи ДЗ: решения задач из домашнего задания оформляются письменно, первый лист работы подписывается, только ответы не проверяются, должно присутствовать полное рассуждение, затем текст сканируется, файл называется в соответствии с ФИО студента (например, SysoevaLN.pdf) и отправляется на проверку (ссылку на загрузку см. в таблице ниже).
дедлайн | Домашнее задание | Ссылка на загрузку файла | Решения и критерии |
---|---|---|---|
23.09.2022 | Домашнее задание №1 | Файл сюда | Решения ДЗ-1 |
30.09.2022 | Домашнее задание №2 | Файл сюда | Решения ДЗ-2 |
7.10.2022 | Домашнее задание №3 | Файл сюда | |
21.10.2022 | Домашнее задание №4 | Скоро появится |