http://math-info.hse.ru/wiki2022-23/api.php?action=feedcontributions&user=%D0%9B%D1%8E%D0%B1%D0%BE%D0%B2%D1%8C+%D0%A1%D1%8B%D1%81%D0%BE%D0%B5%D0%B2%D0%B0&feedformat=atomMathINFO - Вклад участника [ru]2024-03-29T06:37:33ZВклад участникаMediaWiki 1.34.0http://math-info.hse.ru/wiki2022-23/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0&diff=633Дискретная Математика2023-02-20T10:10:20Z<p>Любовь Сысоева: /* Домашние задания */</p>
<hr />
<div>'''Дорогие студенты!'''<br />
<br />
На этой странице будут появляться различные материалы и объявления, связанные с курсом '''«Дискретная математика»''', читаемого для студентов 1-го курса ОП Вычислительные социальные науки в '''2022/2023''' учебном году. <br />
<br />
* Лекции и семинары: Сысоева Любовь Николаевна lsysoeva@hse.ru, telegram @lsysoeva<br />
* Ассистент: Ластовецкий Дмитрий dalastovetsky@hse.ru, telegram @dalastovetskiy<br />
<br />
{|<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_izNbdyLHY8c3Y4SfFzpzhsF-QTBNpRFmEqnCR3IQFU/edit?usp=sharing Ведомость активности] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SmaC4Uyy1F4Dn37zME5SMQCdAtXQHpSelk3JZttFxBU/edit?usp=sharing Ведомость ДЗ]<br />
|}<br />
<br />
Формула итоговой оценки:<br />
0,3 * Активность + 0,3 * Домашние задания + 0,4 * Экзамен<br />
<br />
== Контрольная ==<br />
<br />
'''Итоговая контрольная состоится 16го декабря!'''<br><br />
Большая просьба не опаздывать!!<br><br />
Если все пойдет по плану, последние 30-50 минут занятий мы потратим на разбор задач из контрольной, чтобы у вас сразу было понимание, как вы написали и какие темы стоит повторить к экзамену.<br />
Оценка за экзамен будет выставляться как максимум из оценок за КР и за Экзамен.<br />
<br />
== Лекции ==<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дата лекции<br />
!тема лекции<br />
!дополнительные материалы<br />
|-<br />
|16.09.2022<br />
|Понятие множества, конечные множества, задание множества перечислением элементов, задание множества условием, пустое множество, пересечение множеств, объединение множеств, декартово произведение множеств, парадокс брадобрея.<br><br />
Комбинаторика: правило суммы, правило произведения, факториал, число размещений с повторениями и без повторений, число сочетаний.<br />
|[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.1-26<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.44-63<br />
<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|Дискретная вероятность = (кол-во положительных исходов)/(общее число исходов).<br><br />
<br />
Сочетания с повторениями (метод шариков и перегородок), типы предметов.<br><br />
<br />
Треугольник Паскаля (количество путей от вершины вниз), рекуррентная формула (нижний элемент = сумме двух верхних).<br><br />
<br />
Бином Ньютона, связь с треугольником Паскаля (коэффициенты в разложении (a+b)<sup>n</sup> это числа в n строке треугольника).<br><br />
<br />
Числа сочетаний в треугольнике Паскаля, формула C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>k</sup><sub>n-1</sub> + C<sup>k-1</sup><sub>n-1</sub> и ее комбинаторный смысл.<br><br />
<br />
Сумма элементов n строки в треугольнике Паскаля равна 2<sup>n</sup> (через удвоение суммы предыдущей строки, через разложение (1+1)<sup>n</sup> и через все подмножества множества из n элементов).<br><br />
<br />
Полиномиальные коэффициенты (определение и формула).<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.26-40<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.63-70<br />
<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|Числа сочетаний в треугольнике Паскаля: возрастание элементов к середине строки и убывание после середины (C<sup>k</sup><sub>n</sub> < C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k < (n-1)/2 и C<sup>k</sup><sub>n</sub> > C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k > (n-1)/2), симметрия (C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>n-k</sup><sub>n</sub>), оценка среднего элемента в строке через сумму и количество элементов в этой строке (C<sup>n</sup><sub>2n</sub> > 2<sup>2n</sup>/(2n+1)).<br><br />
<br />
Сумма знакопеременных элементов n строки в треугольнике Паскаля равна нулю (через удвоение элементов предыдущей строки с противоположными знаками, через разложение (1-1)<sup>n</sup>).<br><br />
<br />
Формулы для 11<sup>2</sup>, 11<sup>3</sup>, 11<sup>4</sup> и связь со строками треугольника Паскаля (доказательство через разложение 11<sup>k</sup> = (10+1)<sup>k</sup> по биному Ньютона).<br><br />
<br />
Формула включений-исключений: через диаграммы Эйлера-Вена для 2 и 3 множеств, формулировка в общем случае.<br><br />
<br />
Принцип Дирихле (pigeonhole principle): если кроликов больше, чем клеток, то при рассадке кроликов по клеткам по крайней мере в одну клетку попадут по крайней мере два кролика.<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.41-44<br><br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.66<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи: задача про кроликов, определение (F<sub>0</sub> = 0, F<sub>1</sub> = 1, F<sub>n+1</sub> = F<sub>n</sub> + F<sub>n-1</sub>), F<sub>n</sub> равно сумме "диагонали" треугольника Паскаля (F<sub>n</sub> = C<sub>n-1</sub><sup>0</sup> + C<sub>n-2</sub><sup>1</sup> + C<sub>n-3</sub><sup>2</sup> + ... + C<sub>n-[n/2]</sub><sup>[n/2]-1</sup> целая часть должна быть верхней), явная формула (F<sub>n</sub> = 1/٧5((1+٧5)/2)^n - 1/٧5((1-٧5)/2)^n) и ее доказательство по индукции.<br />
<br />
Индукция: принцип математической индукции, база и переход их согласованность, индуктивное предположение, доказательство равенств, неравенств, разбор текстовой задачи (машина на краю пустыни).<br />
Примеры неверных доказательств по индукции (резиновый автобус, куча манки, одномастные лошади).<br />
<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.16-51<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|14.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи (повторение).<br />
Линейные рекуррентные соотношения в разных задачах.<br />
Рекурсия (программирование, литература) и ее связь с рекуррентными соотношениями.<br />
Основная теорема о рекуррентных соотношениях (Master theorem): оценка сложности рекурсивных алгоритмов.<br />
<br />
Рекуррентные записи n! и геометрических прогрессий.<br />
<br />
Индукция: повторение, связь с рекуррентными соотношениями, пример вложенной индукции (количество разломов прямоугольной шоколадки).<br />
<br />
|[https://ru.wikipedia.org/wiki/Основная_теорема_о_рекуррентных_соотношениях Основная теорема о рекуррентных соотношениях]<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|Числа Каталана (по заявкам): рекуррентная формула, количество правильных скобочных последовательностей, количество способов разбить n-угольник диагоналями на треугольники.<br />
<br />
Системы счисления: позиционные, примеры, n-ичные дроби, переводы между системами счислений целых чисел и дробных частей, погрешность в случае прерывания бесконечных дробей.<br />
<br />
Римская система счисления: способы записи чисел, сложность алгоритмов сложения и умножения чисел.<br />
<br />
Признаки делимости в n-ичной системе счисления: схожесть признаков делимости на n-1 и n+1 с признаками делимости на 9 и 11 для десятичной системы, схожесть признаков делимости на делители n с признаками делимости на 5 и 10 для десятичной системы.<br />
<br />
Троичная система: взвешивание путем уравновешивания весов с двумя чашами.<br />
|<br />
[https://disk.yandex.ru/i/UjJYIydJppYhQg Статья про числа Каталана]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/MOK8NEeNVq5SYA Книжка по системам счисления]<br />
<br />
|-<br />
|01.11.2022<br />
|Простые числа: определение, основная теорема арифметики (любое число однозначно разлагается в произведение простых), бесконечное количество простых чисел (два доказательства 1. p<sub>1</sub>p<sub>2</sub>...p<sub>n</sub>+1 ; 2. (k+1)<sup>n</sup> << 2<sup>k</sup> при фиксированном n и растущем k), Постулат Бертрана (теорема Чебышева): для любого натурального n ⩾ 2 найдётся простое число p в интервале n < p < 2n.<br />
<br />
Остатки от деления и вычеты: сложение, вычитание, умножение, поиск обратного вычета.<br />
Запись вычетов через отрицательные числа для удобства вычислений.<br />
Примеры, когда обратного вычета не существует (элемент и модуль не взаимно просты).<br />
<br />
Алгоритм Евклида (с использованием остатка от деления по модулю): сам алгоритм и оценка числа итераций через числа Фибоначчи.<br />
<br />
|[http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/e4d919f5-8435-4fe3-a779-275181a69951/M_1.1.4/M_1.1.4.html Вычеты (короткая базовая статья)]<br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.143-156<br />
<br />
|-<br />
|11.11.2022<br />
|Идея кодирования с открытым ключом.<br />
Диофантовы уравнения: примеры, великая теорема Ферма, линейные Диофантовы уравнения с двумя неизвестными, критерий разрешимости.<br />
Расширенный алгоритм Евклида: решение линейных Диофантовых уравнений с двумя неизвестными.<br />
Сведение поиска обратного по умножению элемента по модулю к решению линейного Диофантова уравнения с двумя неизвестными.<br />
Единственность обратного по умножению элемента по модулю (если существует, то единственный).<br />
<br />
Малая теорема Ферма: формулировка, четыре доказательства (мультиномиальное разложение, индукция и бином Ньютона, раскраска бус, перемножение чисел специального вида), поиск обратного по умножению элемента через малую теорему Ферма в случае простого модуля.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.154-163<br />
<br />
<br />
|-<br />
|15.11.2022<br />
|Идея проверки числа на простоту:<br><br />
1) проверка делимости на простые до корня из числа;<br><br />
2) проверка взаимной простоты с числами от 2 до n-1;<br><br />
3) (тест Ферма) проверка справедливости малой теоремы Ферма для чисел от 2 до n-1 (и числа Кармайкла);<br><br />
4) (тест Рабина) проверка справедливости малой теоремы Ферма плюс корней из 1.<br />
<br />
Китайская теорема об остатках: система сравнений по взаимнопростым модулям имеет единственное решение по произведению модулей.<br />
Доказательство и решения систем сравнений с помощью расширенного алгоритма Евклида.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.161-165<br />
<br />
|-<br />
|18.11.2022<br />
|Китайская теорема об остатках: доказательство (индукция во числу сравнений), Следствие: независимость распределения остатков по взаимнопростым модулям.<br><br />
Функция Эйлера: определение и вычисление для простых чисел, степеней простых чисел, составных чисел.<br><br />
Теорема Эйлера: формулировка, малая теорема Ферма как частный случай, доказательство (аналогично 4 доказательству малой теоремы Ферма, через обратимые остатки и их перемножение).<br><br />
Алгоритм кодирования с открытым ключом RSA: определение, корректность кодирования и декодирования, устойчивость к атакам.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.162-167<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/fX6Q_FMRE-I_Zg Лекции по криптографии] (тут довольно хорошо объяснен алгоритм RSA и еще много что)<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|Графы: определение (V,E), множество вершин, множество ребер, изолированная вершина, степень вершины, способы задания графов (матрица смежности, матрица инцидентности, список смежности).<br><br />
Формула 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>).<br><br />
Маршрут, путь, простой путь, расстояние между вершинами (длина кратчайшего пути), диаметр графа (самое большое расстояние между вершинами).<br><br />
Цикл, простой цикл.<br><br />
Связный граф, компонента связности.<br><br />
Оценка: количество компонент связности ≥ |V|-|E|.<br><br />
Следствие: для поиска самого тяжелого камня среди n камней необходимо n-1 взвешивание.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.95-118<br><br />
<br />
|-<br />
|25.11.2022<br />
|Деревья: (четыре определения и их эквивалентность) связный граф с V-1 ребром; минимальный связный граф; связный ациклический граф; граф, между любыми двумя вершинами которого существует единственный путь.<br><br />
''Дополнительно:'' бинарное дерево поиска: поиск элемента, добавление элемента, удаление элемента, поиск следующего и предшествующего элементов.<br><br />
Существование у произвольного дерева по крайней мере двух листьев (два доказательства: через формулу 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>) и через максимально удаленные вершины).<br><br />
Остовное дерево связного графа, возможность удаления из связного графа вершины вместе с ребрами без потери связности.<br><br />
Правильная раскраска: определение, примеры, критерий 2-раскрашиваемости графа (отсутствие циклов нечетной длины).<br><br />
''Дополнительно:'' алгоритмы поиска в ширину (BFS) и глубину (DFS).<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.118-123<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/XDNEDxyuccjLGA Т.Кормен и др. «Алгоритмы Построение и Анализ» стр 316-322, 607-663]<br />
<br />
|-<br />
|02.12.2022<br />
|Жадные алгоритмы: алгоритмы, оптимизирующие некоторый параметр на '''каждом''' шаге, примеры (задача о рюкзаке в дискретном и непрерывном вариантах, задача о поиске минимального остовного дерева, задача о загруженности аудитории).<br><br />
Эйлеровы циклы и пути: цикл (путь) проходящий по каждому ребру графа ровно один раз, критерии наличия Эйлерова цикла (пути) в неориентированном и ориентированном графах.<br><br />
Гамильтоновы циклы и пути: цикл (путь) проходящий через каждую вершину графа ровно один раз, отсутствие критерия, NP-полнота задачи о поиске Гамильтонова цикла в графе, теорема Оре.<br><br />
Чуть-чуть логики: формализация метода доказательства с помощью правила контрапозиции и метода доказательства от противного.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.132-135<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/XDNEDxyuccjLGA Т.Кормен и др. «Алгоритмы Построение и Анализ» стр 442-482, 642, 1086, 1101-1103]<br />
<br />
|-<br />
|09.12.2022<br />
|Двудольные графы, паросочетания, теорема Холла (о свадьбах): формулировка, примеры.<br><br />
Сеть: ориентированный граф с истоком и стоком, с заданными пропускными способностями на ребрах.<br><br />
Поток: неотрицательная функция, заданная на ребрах сети, на каждом ребре не превосходящая пропускной способности ребра и суммарно равная нулю в каждой вершине сети, кроме стока и истока.<br><br />
Разрез: разбиение вершин сети на два множества S и T, содержащих соответственно исток и сток.<br><br />
Пропускная способность разреза: сумма пропускных способностей ребер, ведущих из множества вершин S в множество вершин T.<br><br />
Теорема Форда-Фалкерсона: величина максимального потока равна пропускной способности минимального разреза.<br><br />
Алгоритм нахождения максимального потока в сети: начинаем с нулевого потока, ищем увеличивающий путь (лучше минимальной длины), увеличиваем поток, ищем следующий увеличивающий путь, увеличиваем поток и т.д.<br />
|}<br />
<br />
== Семинары ==<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/N5V4VaIkLVTajg Комбинаторика-1]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/DDB7KcxEXg3-6A Комбинаторика-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/QXW6c4tUxwjV4g Комбинаторика-3]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/lfhWkTgRJPvbGw Числа Фибоначчи, Индукция]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/I1VBzSGylBSUtw Числа Фибоначчи-2, Индукция-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/6ZeDU1zdCnlBog Системы счисления]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/pC1rFQaRgrr5KA Делимость и Вычеты]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/iGuukuYtT4O1iQ Расширенный алгоритм Евклида, малая теорема Ферма]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/yGSOYGTeGLBJVg Малая теорема Ферма, Китайская теорема об остатках]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KjQpX2s2Vj8ITw Теорема Эйлера]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/OOaz4DVxqMuUkg Графы-1]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KiTGSNoG6VM_Hg Деревья, правильные раскраски]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KE1u7QBFzIgkcA Эйлеровы и Гамильтоновы циклы и пути]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/WhUOhUDduFOzjQ Потоки в сетях]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/d/HDGsExq8H2fkcA Повторение]<br />
<br />
== Домашние задания ==<br />
'''В ДЗ-8 появилась бонусная задача на бинарные деревья поиска. Ссылку на книгу по теме можно найти в допматериалах к последней лекции.'''<br><br />
Книга «Алгоритмы. Построение и Анализ.» Т.Кормена и др. на мой взгляд является отличным источником знаний для начинающего (и не только) программиста -- в ней рассмотрено большое количество основных понятий и определений, для каждого алгоритма приведен псевдокод (иногда не один) и оценка сложности. Этой книгой можно пользоваться как справочником: читать 2-3 страницы по интересующей теме и временно откладывать.<br />
<br />
'''Правила сдачи ДЗ''': решения задач из домашнего задания оформляются письменно, первый лист работы подписывается, только ответы не проверяются, должно присутствовать ''полное рассуждение'', затем текст сканируется, файл называется в соответствии с ФИО студента (например, SysoevaLN.pdf) и отправляется на проверку (ссылку на загрузку см. в таблице ниже).<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дедлайн<br />
!Домашнее задание<br />
!Ссылка на загрузку файла<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/WeEzyM70AzqNtw Домашнее задание №1]<br />
|[https://www.dropbox.com/request/cGNCtS3rrJoiE6NGCrz9 Файл сюда]<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/87IgAYKMLGbEyA Домашнее задание №2]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/Yy6-_Hda1UEQLg Домашнее задание №3]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/aofNsKB9AMhONA Домашнее задание №4]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|-<br />
|4.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/V62t0PGwzQmJoA Домашнее задание №5]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|-<br />
|12.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/ZtHuki9PQHV5Cg Домашнее задание №6]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/X6LCkozybxDH7w Домашнее задание №7]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|-<br />
|27.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/FjywLphzBhL0Xw Домашнее задание №8]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|-<br />
|4.12.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/WRZnhkUVF8mXJA Домашнее задание №9]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|-<br />
|18.12.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/gq1oxKo9Y78NEw Домашнее задание №10]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|}</div>Любовь Сысоеваhttp://math-info.hse.ru/wiki2022-23/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0&diff=632Дискретная Математика2023-02-20T10:10:05Z<p>Любовь Сысоева: /* Домашние задания */</p>
<hr />
<div>'''Дорогие студенты!'''<br />
<br />
На этой странице будут появляться различные материалы и объявления, связанные с курсом '''«Дискретная математика»''', читаемого для студентов 1-го курса ОП Вычислительные социальные науки в '''2022/2023''' учебном году. <br />
<br />
* Лекции и семинары: Сысоева Любовь Николаевна lsysoeva@hse.ru, telegram @lsysoeva<br />
* Ассистент: Ластовецкий Дмитрий dalastovetsky@hse.ru, telegram @dalastovetskiy<br />
<br />
{|<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_izNbdyLHY8c3Y4SfFzpzhsF-QTBNpRFmEqnCR3IQFU/edit?usp=sharing Ведомость активности] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SmaC4Uyy1F4Dn37zME5SMQCdAtXQHpSelk3JZttFxBU/edit?usp=sharing Ведомость ДЗ]<br />
|}<br />
<br />
Формула итоговой оценки:<br />
0,3 * Активность + 0,3 * Домашние задания + 0,4 * Экзамен<br />
<br />
== Контрольная ==<br />
<br />
'''Итоговая контрольная состоится 16го декабря!'''<br><br />
Большая просьба не опаздывать!!<br><br />
Если все пойдет по плану, последние 30-50 минут занятий мы потратим на разбор задач из контрольной, чтобы у вас сразу было понимание, как вы написали и какие темы стоит повторить к экзамену.<br />
Оценка за экзамен будет выставляться как максимум из оценок за КР и за Экзамен.<br />
<br />
== Лекции ==<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дата лекции<br />
!тема лекции<br />
!дополнительные материалы<br />
|-<br />
|16.09.2022<br />
|Понятие множества, конечные множества, задание множества перечислением элементов, задание множества условием, пустое множество, пересечение множеств, объединение множеств, декартово произведение множеств, парадокс брадобрея.<br><br />
Комбинаторика: правило суммы, правило произведения, факториал, число размещений с повторениями и без повторений, число сочетаний.<br />
|[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.1-26<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.44-63<br />
<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|Дискретная вероятность = (кол-во положительных исходов)/(общее число исходов).<br><br />
<br />
Сочетания с повторениями (метод шариков и перегородок), типы предметов.<br><br />
<br />
Треугольник Паскаля (количество путей от вершины вниз), рекуррентная формула (нижний элемент = сумме двух верхних).<br><br />
<br />
Бином Ньютона, связь с треугольником Паскаля (коэффициенты в разложении (a+b)<sup>n</sup> это числа в n строке треугольника).<br><br />
<br />
Числа сочетаний в треугольнике Паскаля, формула C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>k</sup><sub>n-1</sub> + C<sup>k-1</sup><sub>n-1</sub> и ее комбинаторный смысл.<br><br />
<br />
Сумма элементов n строки в треугольнике Паскаля равна 2<sup>n</sup> (через удвоение суммы предыдущей строки, через разложение (1+1)<sup>n</sup> и через все подмножества множества из n элементов).<br><br />
<br />
Полиномиальные коэффициенты (определение и формула).<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.26-40<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.63-70<br />
<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|Числа сочетаний в треугольнике Паскаля: возрастание элементов к середине строки и убывание после середины (C<sup>k</sup><sub>n</sub> < C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k < (n-1)/2 и C<sup>k</sup><sub>n</sub> > C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k > (n-1)/2), симметрия (C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>n-k</sup><sub>n</sub>), оценка среднего элемента в строке через сумму и количество элементов в этой строке (C<sup>n</sup><sub>2n</sub> > 2<sup>2n</sup>/(2n+1)).<br><br />
<br />
Сумма знакопеременных элементов n строки в треугольнике Паскаля равна нулю (через удвоение элементов предыдущей строки с противоположными знаками, через разложение (1-1)<sup>n</sup>).<br><br />
<br />
Формулы для 11<sup>2</sup>, 11<sup>3</sup>, 11<sup>4</sup> и связь со строками треугольника Паскаля (доказательство через разложение 11<sup>k</sup> = (10+1)<sup>k</sup> по биному Ньютона).<br><br />
<br />
Формула включений-исключений: через диаграммы Эйлера-Вена для 2 и 3 множеств, формулировка в общем случае.<br><br />
<br />
Принцип Дирихле (pigeonhole principle): если кроликов больше, чем клеток, то при рассадке кроликов по клеткам по крайней мере в одну клетку попадут по крайней мере два кролика.<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.41-44<br><br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.66<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи: задача про кроликов, определение (F<sub>0</sub> = 0, F<sub>1</sub> = 1, F<sub>n+1</sub> = F<sub>n</sub> + F<sub>n-1</sub>), F<sub>n</sub> равно сумме "диагонали" треугольника Паскаля (F<sub>n</sub> = C<sub>n-1</sub><sup>0</sup> + C<sub>n-2</sub><sup>1</sup> + C<sub>n-3</sub><sup>2</sup> + ... + C<sub>n-[n/2]</sub><sup>[n/2]-1</sup> целая часть должна быть верхней), явная формула (F<sub>n</sub> = 1/٧5((1+٧5)/2)^n - 1/٧5((1-٧5)/2)^n) и ее доказательство по индукции.<br />
<br />
Индукция: принцип математической индукции, база и переход их согласованность, индуктивное предположение, доказательство равенств, неравенств, разбор текстовой задачи (машина на краю пустыни).<br />
Примеры неверных доказательств по индукции (резиновый автобус, куча манки, одномастные лошади).<br />
<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.16-51<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|14.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи (повторение).<br />
Линейные рекуррентные соотношения в разных задачах.<br />
Рекурсия (программирование, литература) и ее связь с рекуррентными соотношениями.<br />
Основная теорема о рекуррентных соотношениях (Master theorem): оценка сложности рекурсивных алгоритмов.<br />
<br />
Рекуррентные записи n! и геометрических прогрессий.<br />
<br />
Индукция: повторение, связь с рекуррентными соотношениями, пример вложенной индукции (количество разломов прямоугольной шоколадки).<br />
<br />
|[https://ru.wikipedia.org/wiki/Основная_теорема_о_рекуррентных_соотношениях Основная теорема о рекуррентных соотношениях]<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|Числа Каталана (по заявкам): рекуррентная формула, количество правильных скобочных последовательностей, количество способов разбить n-угольник диагоналями на треугольники.<br />
<br />
Системы счисления: позиционные, примеры, n-ичные дроби, переводы между системами счислений целых чисел и дробных частей, погрешность в случае прерывания бесконечных дробей.<br />
<br />
Римская система счисления: способы записи чисел, сложность алгоритмов сложения и умножения чисел.<br />
<br />
Признаки делимости в n-ичной системе счисления: схожесть признаков делимости на n-1 и n+1 с признаками делимости на 9 и 11 для десятичной системы, схожесть признаков делимости на делители n с признаками делимости на 5 и 10 для десятичной системы.<br />
<br />
Троичная система: взвешивание путем уравновешивания весов с двумя чашами.<br />
|<br />
[https://disk.yandex.ru/i/UjJYIydJppYhQg Статья про числа Каталана]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/MOK8NEeNVq5SYA Книжка по системам счисления]<br />
<br />
|-<br />
|01.11.2022<br />
|Простые числа: определение, основная теорема арифметики (любое число однозначно разлагается в произведение простых), бесконечное количество простых чисел (два доказательства 1. p<sub>1</sub>p<sub>2</sub>...p<sub>n</sub>+1 ; 2. (k+1)<sup>n</sup> << 2<sup>k</sup> при фиксированном n и растущем k), Постулат Бертрана (теорема Чебышева): для любого натурального n ⩾ 2 найдётся простое число p в интервале n < p < 2n.<br />
<br />
Остатки от деления и вычеты: сложение, вычитание, умножение, поиск обратного вычета.<br />
Запись вычетов через отрицательные числа для удобства вычислений.<br />
Примеры, когда обратного вычета не существует (элемент и модуль не взаимно просты).<br />
<br />
Алгоритм Евклида (с использованием остатка от деления по модулю): сам алгоритм и оценка числа итераций через числа Фибоначчи.<br />
<br />
|[http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/e4d919f5-8435-4fe3-a779-275181a69951/M_1.1.4/M_1.1.4.html Вычеты (короткая базовая статья)]<br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.143-156<br />
<br />
|-<br />
|11.11.2022<br />
|Идея кодирования с открытым ключом.<br />
Диофантовы уравнения: примеры, великая теорема Ферма, линейные Диофантовы уравнения с двумя неизвестными, критерий разрешимости.<br />
Расширенный алгоритм Евклида: решение линейных Диофантовых уравнений с двумя неизвестными.<br />
Сведение поиска обратного по умножению элемента по модулю к решению линейного Диофантова уравнения с двумя неизвестными.<br />
Единственность обратного по умножению элемента по модулю (если существует, то единственный).<br />
<br />
Малая теорема Ферма: формулировка, четыре доказательства (мультиномиальное разложение, индукция и бином Ньютона, раскраска бус, перемножение чисел специального вида), поиск обратного по умножению элемента через малую теорему Ферма в случае простого модуля.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.154-163<br />
<br />
<br />
|-<br />
|15.11.2022<br />
|Идея проверки числа на простоту:<br><br />
1) проверка делимости на простые до корня из числа;<br><br />
2) проверка взаимной простоты с числами от 2 до n-1;<br><br />
3) (тест Ферма) проверка справедливости малой теоремы Ферма для чисел от 2 до n-1 (и числа Кармайкла);<br><br />
4) (тест Рабина) проверка справедливости малой теоремы Ферма плюс корней из 1.<br />
<br />
Китайская теорема об остатках: система сравнений по взаимнопростым модулям имеет единственное решение по произведению модулей.<br />
Доказательство и решения систем сравнений с помощью расширенного алгоритма Евклида.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.161-165<br />
<br />
|-<br />
|18.11.2022<br />
|Китайская теорема об остатках: доказательство (индукция во числу сравнений), Следствие: независимость распределения остатков по взаимнопростым модулям.<br><br />
Функция Эйлера: определение и вычисление для простых чисел, степеней простых чисел, составных чисел.<br><br />
Теорема Эйлера: формулировка, малая теорема Ферма как частный случай, доказательство (аналогично 4 доказательству малой теоремы Ферма, через обратимые остатки и их перемножение).<br><br />
Алгоритм кодирования с открытым ключом RSA: определение, корректность кодирования и декодирования, устойчивость к атакам.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.162-167<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/fX6Q_FMRE-I_Zg Лекции по криптографии] (тут довольно хорошо объяснен алгоритм RSA и еще много что)<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|Графы: определение (V,E), множество вершин, множество ребер, изолированная вершина, степень вершины, способы задания графов (матрица смежности, матрица инцидентности, список смежности).<br><br />
Формула 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>).<br><br />
Маршрут, путь, простой путь, расстояние между вершинами (длина кратчайшего пути), диаметр графа (самое большое расстояние между вершинами).<br><br />
Цикл, простой цикл.<br><br />
Связный граф, компонента связности.<br><br />
Оценка: количество компонент связности ≥ |V|-|E|.<br><br />
Следствие: для поиска самого тяжелого камня среди n камней необходимо n-1 взвешивание.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.95-118<br><br />
<br />
|-<br />
|25.11.2022<br />
|Деревья: (четыре определения и их эквивалентность) связный граф с V-1 ребром; минимальный связный граф; связный ациклический граф; граф, между любыми двумя вершинами которого существует единственный путь.<br><br />
''Дополнительно:'' бинарное дерево поиска: поиск элемента, добавление элемента, удаление элемента, поиск следующего и предшествующего элементов.<br><br />
Существование у произвольного дерева по крайней мере двух листьев (два доказательства: через формулу 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>) и через максимально удаленные вершины).<br><br />
Остовное дерево связного графа, возможность удаления из связного графа вершины вместе с ребрами без потери связности.<br><br />
Правильная раскраска: определение, примеры, критерий 2-раскрашиваемости графа (отсутствие циклов нечетной длины).<br><br />
''Дополнительно:'' алгоритмы поиска в ширину (BFS) и глубину (DFS).<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.118-123<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/XDNEDxyuccjLGA Т.Кормен и др. «Алгоритмы Построение и Анализ» стр 316-322, 607-663]<br />
<br />
|-<br />
|02.12.2022<br />
|Жадные алгоритмы: алгоритмы, оптимизирующие некоторый параметр на '''каждом''' шаге, примеры (задача о рюкзаке в дискретном и непрерывном вариантах, задача о поиске минимального остовного дерева, задача о загруженности аудитории).<br><br />
Эйлеровы циклы и пути: цикл (путь) проходящий по каждому ребру графа ровно один раз, критерии наличия Эйлерова цикла (пути) в неориентированном и ориентированном графах.<br><br />
Гамильтоновы циклы и пути: цикл (путь) проходящий через каждую вершину графа ровно один раз, отсутствие критерия, NP-полнота задачи о поиске Гамильтонова цикла в графе, теорема Оре.<br><br />
Чуть-чуть логики: формализация метода доказательства с помощью правила контрапозиции и метода доказательства от противного.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.132-135<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/XDNEDxyuccjLGA Т.Кормен и др. «Алгоритмы Построение и Анализ» стр 442-482, 642, 1086, 1101-1103]<br />
<br />
|-<br />
|09.12.2022<br />
|Двудольные графы, паросочетания, теорема Холла (о свадьбах): формулировка, примеры.<br><br />
Сеть: ориентированный граф с истоком и стоком, с заданными пропускными способностями на ребрах.<br><br />
Поток: неотрицательная функция, заданная на ребрах сети, на каждом ребре не превосходящая пропускной способности ребра и суммарно равная нулю в каждой вершине сети, кроме стока и истока.<br><br />
Разрез: разбиение вершин сети на два множества S и T, содержащих соответственно исток и сток.<br><br />
Пропускная способность разреза: сумма пропускных способностей ребер, ведущих из множества вершин S в множество вершин T.<br><br />
Теорема Форда-Фалкерсона: величина максимального потока равна пропускной способности минимального разреза.<br><br />
Алгоритм нахождения максимального потока в сети: начинаем с нулевого потока, ищем увеличивающий путь (лучше минимальной длины), увеличиваем поток, ищем следующий увеличивающий путь, увеличиваем поток и т.д.<br />
|}<br />
<br />
== Семинары ==<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/N5V4VaIkLVTajg Комбинаторика-1]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/DDB7KcxEXg3-6A Комбинаторика-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/QXW6c4tUxwjV4g Комбинаторика-3]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/lfhWkTgRJPvbGw Числа Фибоначчи, Индукция]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/I1VBzSGylBSUtw Числа Фибоначчи-2, Индукция-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/6ZeDU1zdCnlBog Системы счисления]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/pC1rFQaRgrr5KA Делимость и Вычеты]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/iGuukuYtT4O1iQ Расширенный алгоритм Евклида, малая теорема Ферма]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/yGSOYGTeGLBJVg Малая теорема Ферма, Китайская теорема об остатках]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KjQpX2s2Vj8ITw Теорема Эйлера]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/OOaz4DVxqMuUkg Графы-1]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KiTGSNoG6VM_Hg Деревья, правильные раскраски]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KE1u7QBFzIgkcA Эйлеровы и Гамильтоновы циклы и пути]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/WhUOhUDduFOzjQ Потоки в сетях]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/d/HDGsExq8H2fkcA Повторение]<br />
<br />
== Домашние задания ==<br />
'''В ДЗ-8 появилась бонусная задача на бинарные деревья поиска. Ссылку на книгу по теме можно найти в допматериалах к последней лекции.'''<br><br />
Книга «Алгоритмы. Построение и Анализ.» Т.Кормена и др. на мой взгляд является отличным источником знаний для начинающего (и не только) программиста -- в ней рассмотрено большое количество основных понятий и определений, для каждого алгоритма приведен псевдокод (иногда не один) и оценка сложности. Этой книгой можно пользоваться как справочником: читать 2-3 страницы по интересующей теме и временно откладывать.<br />
<br />
'''Правила сдачи ДЗ''': решения задач из домашнего задания оформляются письменно, первый лист работы подписывается, только ответы не проверяются, должно присутствовать ''полное рассуждение'', затем текст сканируется, файл называется в соответствии с ФИО студента (например, SysoevaLN.pdf) и отправляется на проверку (ссылку на загрузку см. в таблице ниже).<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дедлайн<br />
!Домашнее задание<br />
!Ссылка на загрузку файла<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/WeEzyM70AzqNtw Домашнее задание №1]<br />
|[https://www.dropbox.com/request/cGNCtS3rrJoiE6NGCrz9 Файл сюда]<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/87IgAYKMLGbEyA Домашнее задание №2]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/Yy6-_Hda1UEQLg Домашнее задание №3]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/aofNsKB9AMhONA Домашнее задание №4]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|-<br />
|4.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/V62t0PGwzQmJoA Домашнее задание №5]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|-<br />
|12.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/ZtHuki9PQHV5Cg Домашнее задание №6]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/X6LCkozybxDH7w Домашнее задание №7]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|-<br />
|27.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/FjywLphzBhL0Xw Домашнее задание №8]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|-<br />
|4.12.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/WRZnhkUVF8mXJA Домашнее задание №9]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|-<br />
|18.12.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/gq1oxKo9Y78NEw Домашнее задание №10]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|<br />
|}</div>Любовь Сысоеваhttp://math-info.hse.ru/wiki2022-23/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B8%D0%B3%D1%80&diff=488Теория игр2022-12-16T18:32:35Z<p>Любовь Сысоева: /* Домашние задания */</p>
<hr />
<div>'''Дорогие студенты!'''<br />
<br />
На этой странице будут появляться различные материалы и объявления, связанные с курсом '''«Теория игр»''', читаемого для студентов 3-го курса ОП Политология в '''2022/2023''' учебном году. <br />
<br />
* Лекции читает: Сысоева Любовь Николаевна lsysoeva@hse.ru, telegram @lsysoeva<br />
* Семинары (201 и 203): Паршина Анастасия Алексеевна a.a.parshina@ya.ru, telegram @aaparshina<br />
* Семинары (202 и 204): Краснокутская Александра Львовна al.krasnokutskaya@gmail.com<br />
* Ассистенты: Арзуманян Артур telegram @artshic и Крипайтис Кирилл telegram @ppppprik<br />
<br />
''Формула итоговой оценки'':<br />
О<sub>Итоговая</sub> =0,25*О<sub>Экзамен</sub> +0,25*О<sub>К/р</sub> + 0,25*О<sub>ДЗ</sub> + 0,25*О<sub>Активность</sub> , где О<sub>Активность</sub> = 0,5∗О<sub>Активность_Семинары</sub> + 0,5∗О<sub>Активность_Лекции</sub><br />
<br />
Оценки за Экзамен, КР, ДЗ, Активность являются целыми числами (округление по правилам арифметики), оценки Активность_Семинары и Активность_Лекции не округляются.<br />
<br />
== Экзамен ==<br />
Экзамен состоится 21го декабря в 11:00 по адресу Мясницкая д.20.<br />
<br />
В экзамен может войти любая тема, рассмотренная на курсе.<br />
Особое внимание стоит уделить Байесовым играм и играм с несовершенной информацией.<br />
<br />
Задавайте вопросы на семинарах, просите консультации и дополнительные задачи!<br />
<br />
На контрольной можно пользоваться калькулятором (но не телефоном!) и '''двумя''' листами формата А4 с любыми записями с двух сторон.<br />
<br />
Демо-версии экзамена не предусмотрено в силу уникальности каждой задачи по теории игр, при подготовке стоит ориентироваться на задачи из семинаров и домашних работ.<br />
На экзамене будет 5 задач на различные темы.<br />
<br />
Если нужна консультация с лектором и вас набралось хотя бы 10 человек, пишите в телеграм @lsysoeva -- будем искать время!<br />
<br />
== Ведомости ==<br />
<br />
{|<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1fwKHS6v9XstPVA-KBLnc0yduBW8M6kdhGIYgu8-V728/edit?usp=sharing Активность 201] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1X61fBoP8Xmcw0KhJpnJa7RvvVSiKX_oGzX9iVVnvprw/edit?usp=sharing ДЗ 201]<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1yP9MbG9nTMdMNTDYSBdwVw1CBILOnQ_iWtq9_VSFm5g/edit?usp=sharing Активность 202] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1-Or4AzLTDN8BAqLAmCTXe7ikGkIteE2n0rl9L3YFDnI/edit?usp=sharing ДЗ 202]<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1z5mollNQ_6fVsg22wV6M50i1pa8g3h7D94FnZ2QLKAQ/edit?usp=sharing Активность 203] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r3Jr51DI6ZKXIjc9_DGSP6ap9hp5Cz30ixO9Bssgah0/edit?usp=sharing ДЗ 203]<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/14O560WPkH4zb1zx2v7IcHYBnSsxW3OoLscqCmwjcyqM/edit?usp=sharing Активность 204] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1LThjvW2FlgqHKGD0pfT6GCiYfK6cGASyAx-DSWdHjsA/edit?usp=sharing ДЗ 204]<br />
|}<br />
<br />
== Лекции ==<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дата лекции<br />
!тема лекции<br />
!дополнительные материалы<br />
|-<br />
|03.09.2022<br />
|Стратегические и нестратегические взаимодействия, примеры. Формализация одновременных взаимодействий в виде игр в нормальной форме. Матричная запись игр с 2 игроками, примеры. Сравнение профилей стратегий по Парето, Парето-оптимальные профили стратегий. Строго/слабо доминирующие стратегии, равновесия в строго/слабо доминирующих стратегиях.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/1 1 неделя], [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/2 2 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-1 1 неделя], [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-2 2 неделя]<br />
<br />
Алексей Савватеев <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=17176675618925890445&reqid=1662237943241960-2957665704564396072-vla1-2251-vla-l7-balancer-8080-BAL-6432&suggest_reqid=557135369158636339279440407783687&text=савватеев+теория+игр+лекция+1 Лекция 1] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=16196426250303824634&reqid=1662239129399232-15992862096193270937-vla1-2251-vla-l7-balancer-8080-BAL-61&suggest_reqid=557135369158636339291301794755819&text=савватеев+теория+игр+лекция+2 Лекция 2] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=11396199022059523635&suggest_reqid=557135369158636339291396043965073&text=савватеев+теория+игр+лекция+3 Лекция 3] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=11474602284554133982&reqid=1662239210097183-15470061965215477178-vla1-2251-vla-l7-balancer-8080-BAL-2138&suggest_reqid=557135369158636339292106870659353&text=савватеев+теория+игр+лекция+4 Лекция 4]<br />
<br />
|-<br />
|10.09.2022<br />
|Игры в нормальной форме, пример формализации игры с тремя игроками в виде нескольких матриц, примеры игр с большим количеством игроков. Равновесия, получаемые последовательным исключением строго/слабо доминируемых стратегий. Минимаксные (все против меня) и максиминные (осторожные) стратегии. Равновесие Нэша.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/2 2 неделя], [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/3 3 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-3 3-7 неделя]<br />
<br />
Алексей Савватеев <br />
[https://yandex.ru/video/preview/5743819050015473973 Лекция 5] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/7613644260134860259 Лекция 6] <br />
<br />
<br />
|-<br />
|17.09.2022<br />
|Пример игры со многими игроками (угадать среднее арифметическое всех названных чисел): максиминные и минимаксные стратегии игроков, Парето-оптимальные профили, равновесия Нэша.<br />
Смешанные стратегии, ожидаемые платежи, равновесие Нэша в смешанных стратегиях, теорема Нэша, исключение строго/слабо доминируемых стратегий с помощью смешанных стратегий.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/8 8 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-9 9-10 неделя]<br />
<br />
Алексей Савватеев <br />
[https://yandex.ru/video/preview/15857287820861354547 Лекция 10]<br />
[https://yandex.ru/video/preview/12182277885949068581 Лекция 12]<br />
<br />
|-<br />
|24.09.2022<br />
|Поиск равновесий Нэша в смешанных стратегиях, графический метод сравнения платежей игрока, проверка равновесий на устойчивость.<br />
Аукционы: примеры, свойства, сходства, различия, субъективная оценка стоимости лота и связь этой оценки со ставкой на аукционе.<br />
<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/SM5jmzWoI3qPbg Обзорная статья А.В.Савватеева про аукционы]<br />
<br />
|-<br />
|1.10.2022<br />
|Модель предвыборной конкуренции Хоттелинга-Даунса: предположения модели; случай 2 кандидатов, медианный избиратель, слабо доминирующая стратегия каждого из кандидатов, равновесие Нэша; случай 3 и более кандидатов, максимизация вероятности победы (равновесия Нэша) VS максимизация числа набранных голосов (отсутствие равновесий); случай функции распределения с линейной плотностью.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/4 4 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-3 3 неделя]<br />
<br />
[https://www.youtube.com/watch?v=jILgxeNBK_8 Маленький мультик про модель] (он есть и в переводе, но перевод мне не нравится)<br />
<br />
|-<br />
|15.10.2022<br />
|Игры с неполной информацией. Байесовы игры (типы игроков, веры игроков относительно типов других игроков, ожидаемые платежи игроков). Равновесие Байеса-Нэша.<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/2jVnCUZu8c3qqw Презентация]<br />
<br />
|В.И. Данилов. Лекции по теории игр. Препринт РЭШ, 2002. Лекция 18.<br />
<br />
А.В. Захаров. Теория игр в общественных науках. Пп. 3.1.1.–3.1.2.<br />
<br />
|-<br />
|12.11.2022<br />
|Последовательные стратегические взаимодействия: примеры, формализация в виде игры в развернутой форме (дерево игры), определение количества стратегий каждого игрока, определение количества подыгр, нахождение матрицы игры по дереву игры, поиск NE, алгоритм обратной индукции, SPNE.<br />
Теорема Цермело-Куна про существование SPNE в любой конечной (!) последовательной игре.<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/5 5-6 недели]<br><br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-14 14-15 неделя]<br><br />
Dixit A., Nalebuff B. The Art of Strategy. Chapters 2,6,7;<br><br />
А.В. Захаров. Теория игр в общественных науках. Пп. 2.1.1.–2.1.3.<br><br />
Schelling T., The Strategy of Conflict;<br><br />
В.И. Данилов. Лекции по теории игр. Препринт РЭШ, 2002. Лекция 1.<br />
<br />
<br />
|-<br />
|19.11.2022<br />
|Последовательные взаимодействия повторение: стратегии, подыгры, нахождение матрицы игры, поиск NE, поиск SPNE.<br><br />
Игры с Коммитментом: примеры последовательных игр, в которых одному из игроков выгодно взять на себя связывающее обязательство.<br><br />
Игры с несовершенной информацией: пример, определение стратегий, подыгр, SPNE.<br><br />
Байесовы игры: повторение на примере военных действий.<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/6 6 неделя]<br><br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-19 19 неделя]<br />
[https://disk.yandex.ru/i/9G0aizetfHPsDA Решение игры со странами]<br />
<br />
|-<br />
|26.11.2022<br />
|Игры с несовершенной информацией: отличие от последовательных взаимодействий с полной информацией, возможное отсутствие SPNE.<br><br />
Игры с несовершенной информацией: примеры, определение стратегий, подыгр, формирование матриц игр и подыгр, поиск NE и SPNE.<br><br />
Повторяющиеся игры: описание, примеры, единственность SPNE в случае одного NE в исходной игре и конечного количества периодов, случай нескольких NE в исходной игре, различные стратегии в повторяющейся игре, стратегии «договора».<br><br />
Повторяющаяся дилемма заключенных: различные стратегии, игра «Эволюция доверия».<br />
|[https://notdotteam.github.io/trust/ «Эволюция доверия»]<br><br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-18 18 неделя]<br><br />
В.И. Данилов. Лекции по теории игр. Стр. 73-78 (части лекций 13 и 14).<br />
<br />
|-<br />
|03.12.2022<br />
|Мэтчинги: постановка задачи; примеры множеств с двумя типами игроков, которых нужно разбить на пары.<br><br />
Предпочтения: полные, строгие, транзитивные; примеры.<br><br />
Мэтчинги: индивидуальная рациональность, парная рациональность, стабильные мэтчинги.<br><br />
Алгоритм поиска стабильных мэтчингов: алгоритм отсроченного принятия решений.<br><br />
Свойства мэтчингов, полученных в результате выполнения алгоритма: стабильность; это лучший стабильный мэтчинг для каждого из агентов, которые делали предложения, и худший для другой группы агентов.<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/9 9 неделя]<br />
<br />
|}<br />
<br />
== Семинары ==<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/VJs13h-QQVdS4Q Стратегические взаимодействия, игра в нормальной форме, Парето-оптимальность, доминирующие стратегии]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/BLF_B64Yreeb5g Доминируемые стратегии, минимакс, максимин, равновесие Нэша]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/_8VqIZzRSgxlzg Help01]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/7OPbE-e9h4c9dQ Смешанные стратегии и равновесие Нэша в смешанных стратегиях]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/01xPQDvVhuvCBA Help02]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/SGNtqPl_ksiAww Help03]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/O8m8B9K_OxLX8g Модель Хотеллинга-Даунса]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/4qu6gAoZ745GcQ Байесовы игры]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/hn4SNNdq272o_w Help04]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/a0Sisz-HMHVBcw Повторение]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/Tm_SE29-ftPNrQ Лыжники (Help05)]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/Z34sjCItue8wHg Игры в развернутой форме]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/j6HnPuTFEhx9Ug Игры с несовершенной информацией]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/lhL6Etimyaoj_Q Косичка (Help06)]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/rg3hM_cdhIxRzg Повторение]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/q0KygzGi4GiSoA Мэтчинги]<br />
<br />
== Домашние задания ==<br />
<br />
'''Обратите внимание на турнир!'''<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дедлайн<br />
!файл с заданием<br />
!форма для ответов<br />
|-<br />
|12.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/xPpKHVGXmieNBQ Домашнее задание 1]<br />
|[https://forms.gle/RTdRLZcvNvzpbvyE6 Форма ДЗ-1]<br />
<br />
|-<br />
|19.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/kfMYJkB1iiF_gg Домашнее задание 2]<br />
|[https://forms.gle/oGyY8FSbfeEsYXsv9 Форма ДЗ-2]<br />
<br />
|-<br />
|29.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/nDAZ3wFDfKM4sQ Домашнее задание 3]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSeRf1IbDEzwrjCflHxsekd7ZI5utTqYz-OR53LgnEjY1oGDQw/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-3]<br />
<br />
|-<br />
|9.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/f1cjdiDeUcbq-w Домашнее задание 4]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdFHp3iv9EzMKNvRbNC3YwAWiWOiAkpA8Q7tIrL8qjPQRXf2Q/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-4]<br />
<br />
|-<br />
|16.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/5Sdsj6-1EC-JEQ Домашнее задание 5]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSfFhfclBc8Ts8trQXyOnugxdB-cMF1Zs1weT81Mr82dMjNJwA/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-5]<br />
<br />
|-<br />
|31.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/QpypS8qdocQI_w Турнир 2]<br />
|<br />
<br />
|-<br />
|16.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/AMS9JEJQ6M8Avw Домашнее задание 6]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdL5yClVlgNVRp6Eiu9izN1_sfjI2vZyzxaa8GlYy8kSl0R9A/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-6]<br />
<br />
|-<br />
|26.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/GK3pnapp0_H_wA Домашнее задание 7]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdM1lS-RAwM1Lg3XWLYvN5kUEXgQ2ozvWjOUlUyKOtVMrii6w/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-7]<br />
<br />
|-<br />
|8.12.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/rkYd9uJ_1zf05w Домашнее задание 8]<br />
| [https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSeZ6ucf7YlopgbcHKk9_nl9Yv0kPzLZZZX-bJ7obuSu3uuB8g/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-8]<br />
<br />
|-<br />
|18.12.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/PmoAZZ4qNKCp2w Турнир 3]<br />
|<br />
<br />
|-<br />
|18.12.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/jFqZJOtiEbfXOA Домашнее задание 9]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSccGLHqyIYJNZhkXKxeTV1r80bi9hwK3fACKjapazhOgdvZyg/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-9]<br />
|}</div>Любовь Сысоеваhttp://math-info.hse.ru/wiki2022-23/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0&diff=486Дискретная Математика2022-12-15T11:39:06Z<p>Любовь Сысоева: /* Домашние задания */</p>
<hr />
<div>'''Дорогие студенты!'''<br />
<br />
На этой странице будут появляться различные материалы и объявления, связанные с курсом '''«Дискретная математика»''', читаемого для студентов 1-го курса ОП Вычислительные социальные науки в '''2022/2023''' учебном году. <br />
<br />
* Лекции и семинары: Сысоева Любовь Николаевна lsysoeva@hse.ru, telegram @lsysoeva<br />
* Ассистент: Ластовецкий Дмитрий dalastovetsky@hse.ru, telegram @dalastovetskiy<br />
<br />
{|<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_izNbdyLHY8c3Y4SfFzpzhsF-QTBNpRFmEqnCR3IQFU/edit?usp=sharing Ведомость активности] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SmaC4Uyy1F4Dn37zME5SMQCdAtXQHpSelk3JZttFxBU/edit?usp=sharing Ведомость ДЗ]<br />
|}<br />
<br />
Формула итоговой оценки:<br />
0,3 * Активность + 0,3 * Домашние задания + 0,4 * Экзамен<br />
<br />
== Контрольная ==<br />
<br />
'''Итоговая контрольная состоится 16го декабря!'''<br><br />
Большая просьба не опаздывать!!<br><br />
Если все пойдет по плану, последние 30-50 минут занятий мы потратим на разбор задач из контрольной, чтобы у вас сразу было понимание, как вы написали и какие темы стоит повторить к экзамену.<br />
Оценка за экзамен будет выставляться как максимум из оценок за КР и за Экзамен.<br />
<br />
== Лекции ==<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дата лекции<br />
!тема лекции<br />
!дополнительные материалы<br />
|-<br />
|16.09.2022<br />
|Понятие множества, конечные множества, задание множества перечислением элементов, задание множества условием, пустое множество, пересечение множеств, объединение множеств, декартово произведение множеств, парадокс брадобрея.<br><br />
Комбинаторика: правило суммы, правило произведения, факториал, число размещений с повторениями и без повторений, число сочетаний.<br />
|[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.1-26<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.44-63<br />
<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|Дискретная вероятность = (кол-во положительных исходов)/(общее число исходов).<br><br />
<br />
Сочетания с повторениями (метод шариков и перегородок), типы предметов.<br><br />
<br />
Треугольник Паскаля (количество путей от вершины вниз), рекуррентная формула (нижний элемент = сумме двух верхних).<br><br />
<br />
Бином Ньютона, связь с треугольником Паскаля (коэффициенты в разложении (a+b)<sup>n</sup> это числа в n строке треугольника).<br><br />
<br />
Числа сочетаний в треугольнике Паскаля, формула C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>k</sup><sub>n-1</sub> + C<sup>k-1</sup><sub>n-1</sub> и ее комбинаторный смысл.<br><br />
<br />
Сумма элементов n строки в треугольнике Паскаля равна 2<sup>n</sup> (через удвоение суммы предыдущей строки, через разложение (1+1)<sup>n</sup> и через все подмножества множества из n элементов).<br><br />
<br />
Полиномиальные коэффициенты (определение и формула).<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.26-40<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.63-70<br />
<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|Числа сочетаний в треугольнике Паскаля: возрастание элементов к середине строки и убывание после середины (C<sup>k</sup><sub>n</sub> < C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k < (n-1)/2 и C<sup>k</sup><sub>n</sub> > C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k > (n-1)/2), симметрия (C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>n-k</sup><sub>n</sub>), оценка среднего элемента в строке через сумму и количество элементов в этой строке (C<sup>n</sup><sub>2n</sub> > 2<sup>2n</sup>/(2n+1)).<br><br />
<br />
Сумма знакопеременных элементов n строки в треугольнике Паскаля равна нулю (через удвоение элементов предыдущей строки с противоположными знаками, через разложение (1-1)<sup>n</sup>).<br><br />
<br />
Формулы для 11<sup>2</sup>, 11<sup>3</sup>, 11<sup>4</sup> и связь со строками треугольника Паскаля (доказательство через разложение 11<sup>k</sup> = (10+1)<sup>k</sup> по биному Ньютона).<br><br />
<br />
Формула включений-исключений: через диаграммы Эйлера-Вена для 2 и 3 множеств, формулировка в общем случае.<br><br />
<br />
Принцип Дирихле (pigeonhole principle): если кроликов больше, чем клеток, то при рассадке кроликов по клеткам по крайней мере в одну клетку попадут по крайней мере два кролика.<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.41-44<br><br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.66<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи: задача про кроликов, определение (F<sub>0</sub> = 0, F<sub>1</sub> = 1, F<sub>n+1</sub> = F<sub>n</sub> + F<sub>n-1</sub>), F<sub>n</sub> равно сумме "диагонали" треугольника Паскаля (F<sub>n</sub> = C<sub>n-1</sub><sup>0</sup> + C<sub>n-2</sub><sup>1</sup> + C<sub>n-3</sub><sup>2</sup> + ... + C<sub>n-[n/2]</sub><sup>[n/2]-1</sup> целая часть должна быть верхней), явная формула (F<sub>n</sub> = 1/٧5((1+٧5)/2)^n - 1/٧5((1-٧5)/2)^n) и ее доказательство по индукции.<br />
<br />
Индукция: принцип математической индукции, база и переход их согласованность, индуктивное предположение, доказательство равенств, неравенств, разбор текстовой задачи (машина на краю пустыни).<br />
Примеры неверных доказательств по индукции (резиновый автобус, куча манки, одномастные лошади).<br />
<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.16-51<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|14.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи (повторение).<br />
Линейные рекуррентные соотношения в разных задачах.<br />
Рекурсия (программирование, литература) и ее связь с рекуррентными соотношениями.<br />
Основная теорема о рекуррентных соотношениях (Master theorem): оценка сложности рекурсивных алгоритмов.<br />
<br />
Рекуррентные записи n! и геометрических прогрессий.<br />
<br />
Индукция: повторение, связь с рекуррентными соотношениями, пример вложенной индукции (количество разломов прямоугольной шоколадки).<br />
<br />
|[https://ru.wikipedia.org/wiki/Основная_теорема_о_рекуррентных_соотношениях Основная теорема о рекуррентных соотношениях]<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|Числа Каталана (по заявкам): рекуррентная формула, количество правильных скобочных последовательностей, количество способов разбить n-угольник диагоналями на треугольники.<br />
<br />
Системы счисления: позиционные, примеры, n-ичные дроби, переводы между системами счислений целых чисел и дробных частей, погрешность в случае прерывания бесконечных дробей.<br />
<br />
Римская система счисления: способы записи чисел, сложность алгоритмов сложения и умножения чисел.<br />
<br />
Признаки делимости в n-ичной системе счисления: схожесть признаков делимости на n-1 и n+1 с признаками делимости на 9 и 11 для десятичной системы, схожесть признаков делимости на делители n с признаками делимости на 5 и 10 для десятичной системы.<br />
<br />
Троичная система: взвешивание путем уравновешивания весов с двумя чашами.<br />
|<br />
[https://disk.yandex.ru/i/UjJYIydJppYhQg Статья про числа Каталана]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/MOK8NEeNVq5SYA Книжка по системам счисления]<br />
<br />
|-<br />
|01.11.2022<br />
|Простые числа: определение, основная теорема арифметики (любое число однозначно разлагается в произведение простых), бесконечное количество простых чисел (два доказательства 1. p<sub>1</sub>p<sub>2</sub>...p<sub>n</sub>+1 ; 2. (k+1)<sup>n</sup> << 2<sup>k</sup> при фиксированном n и растущем k), Постулат Бертрана (теорема Чебышева): для любого натурального n ⩾ 2 найдётся простое число p в интервале n < p < 2n.<br />
<br />
Остатки от деления и вычеты: сложение, вычитание, умножение, поиск обратного вычета.<br />
Запись вычетов через отрицательные числа для удобства вычислений.<br />
Примеры, когда обратного вычета не существует (элемент и модуль не взаимно просты).<br />
<br />
Алгоритм Евклида (с использованием остатка от деления по модулю): сам алгоритм и оценка числа итераций через числа Фибоначчи.<br />
<br />
|[http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/e4d919f5-8435-4fe3-a779-275181a69951/M_1.1.4/M_1.1.4.html Вычеты (короткая базовая статья)]<br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.143-156<br />
<br />
|-<br />
|11.11.2022<br />
|Идея кодирования с открытым ключом.<br />
Диофантовы уравнения: примеры, великая теорема Ферма, линейные Диофантовы уравнения с двумя неизвестными, критерий разрешимости.<br />
Расширенный алгоритм Евклида: решение линейных Диофантовых уравнений с двумя неизвестными.<br />
Сведение поиска обратного по умножению элемента по модулю к решению линейного Диофантова уравнения с двумя неизвестными.<br />
Единственность обратного по умножению элемента по модулю (если существует, то единственный).<br />
<br />
Малая теорема Ферма: формулировка, четыре доказательства (мультиномиальное разложение, индукция и бином Ньютона, раскраска бус, перемножение чисел специального вида), поиск обратного по умножению элемента через малую теорему Ферма в случае простого модуля.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.154-163<br />
<br />
<br />
|-<br />
|15.11.2022<br />
|Идея проверки числа на простоту:<br><br />
1) проверка делимости на простые до корня из числа;<br><br />
2) проверка взаимной простоты с числами от 2 до n-1;<br><br />
3) (тест Ферма) проверка справедливости малой теоремы Ферма для чисел от 2 до n-1 (и числа Кармайкла);<br><br />
4) (тест Рабина) проверка справедливости малой теоремы Ферма плюс корней из 1.<br />
<br />
Китайская теорема об остатках: система сравнений по взаимнопростым модулям имеет единственное решение по произведению модулей.<br />
Доказательство и решения систем сравнений с помощью расширенного алгоритма Евклида.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.161-165<br />
<br />
|-<br />
|18.11.2022<br />
|Китайская теорема об остатках: доказательство (индукция во числу сравнений), Следствие: независимость распределения остатков по взаимнопростым модулям.<br><br />
Функция Эйлера: определение и вычисление для простых чисел, степеней простых чисел, составных чисел.<br><br />
Теорема Эйлера: формулировка, малая теорема Ферма как частный случай, доказательство (аналогично 4 доказательству малой теоремы Ферма, через обратимые остатки и их перемножение).<br><br />
Алгоритм кодирования с открытым ключом RSA: определение, корректность кодирования и декодирования, устойчивость к атакам.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.162-167<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/fX6Q_FMRE-I_Zg Лекции по криптографии] (тут довольно хорошо объяснен алгоритм RSA и еще много что)<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|Графы: определение (V,E), множество вершин, множество ребер, изолированная вершина, степень вершины, способы задания графов (матрица смежности, матрица инцидентности, список смежности).<br><br />
Формула 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>).<br><br />
Маршрут, путь, простой путь, расстояние между вершинами (длина кратчайшего пути), диаметр графа (самое большое расстояние между вершинами).<br><br />
Цикл, простой цикл.<br><br />
Связный граф, компонента связности.<br><br />
Оценка: количество компонент связности ≥ |V|-|E|.<br><br />
Следствие: для поиска самого тяжелого камня среди n камней необходимо n-1 взвешивание.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.95-118<br><br />
<br />
|-<br />
|25.11.2022<br />
|Деревья: (четыре определения и их эквивалентность) связный граф с V-1 ребром; минимальный связный граф; связный ациклический граф; граф, между любыми двумя вершинами которого существует единственный путь.<br><br />
''Дополнительно:'' бинарное дерево поиска: поиск элемента, добавление элемента, удаление элемента, поиск следующего и предшествующего элементов.<br><br />
Существование у произвольного дерева по крайней мере двух листьев (два доказательства: через формулу 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>) и через максимально удаленные вершины).<br><br />
Остовное дерево связного графа, возможность удаления из связного графа вершины вместе с ребрами без потери связности.<br><br />
Правильная раскраска: определение, примеры, критерий 2-раскрашиваемости графа (отсутствие циклов нечетной длины).<br><br />
''Дополнительно:'' алгоритмы поиска в ширину (BFS) и глубину (DFS).<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.118-123<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/XDNEDxyuccjLGA Т.Кормен и др. «Алгоритмы Построение и Анализ» стр 316-322, 607-663]<br />
<br />
|-<br />
|02.12.2022<br />
|Жадные алгоритмы: алгоритмы, оптимизирующие некоторый параметр на '''каждом''' шаге, примеры (задача о рюкзаке в дискретном и непрерывном вариантах, задача о поиске минимального остовного дерева, задача о загруженности аудитории).<br><br />
Эйлеровы циклы и пути: цикл (путь) проходящий по каждому ребру графа ровно один раз, критерии наличия Эйлерова цикла (пути) в неориентированном и ориентированном графах.<br><br />
Гамильтоновы циклы и пути: цикл (путь) проходящий через каждую вершину графа ровно один раз, отсутствие критерия, NP-полнота задачи о поиске Гамильтонова цикла в графе, теорема Оре.<br><br />
Чуть-чуть логики: формализация метода доказательства с помощью правила контрапозиции и метода доказательства от противного.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.132-135<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/XDNEDxyuccjLGA Т.Кормен и др. «Алгоритмы Построение и Анализ» стр 442-482, 642, 1086, 1101-1103]<br />
<br />
|-<br />
|09.12.2022<br />
|Двудольные графы, паросочетания, теорема Холла (о свадьбах): формулировка, примеры.<br><br />
Сеть: ориентированный граф с истоком и стоком, с заданными пропускными способностями на ребрах.<br><br />
Поток: неотрицательная функция, заданная на ребрах сети, на каждом ребре не превосходящая пропускной способности ребра и суммарно равная нулю в каждой вершине сети, кроме стока и истока.<br><br />
Разрез: разбиение вершин сети на два множества S и T, содержащих соответственно исток и сток.<br><br />
Пропускная способность разреза: сумма пропускных способностей ребер, ведущих из множества вершин S в множество вершин T.<br><br />
Теорема Форда-Фалкерсона: величина максимального потока равна пропускной способности минимального разреза.<br><br />
Алгоритм нахождения максимального потока в сети: начинаем с нулевого потока, ищем увеличивающий путь (лучше минимальной длины), увеличиваем поток, ищем следующий увеличивающий путь, увеличиваем поток и т.д.<br />
|}<br />
<br />
== Семинары ==<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/N5V4VaIkLVTajg Комбинаторика-1]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/DDB7KcxEXg3-6A Комбинаторика-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/QXW6c4tUxwjV4g Комбинаторика-3]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/lfhWkTgRJPvbGw Числа Фибоначчи, Индукция]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/I1VBzSGylBSUtw Числа Фибоначчи-2, Индукция-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/6ZeDU1zdCnlBog Системы счисления]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/pC1rFQaRgrr5KA Делимость и Вычеты]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/iGuukuYtT4O1iQ Расширенный алгоритм Евклида, малая теорема Ферма]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/yGSOYGTeGLBJVg Малая теорема Ферма, Китайская теорема об остатках]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KjQpX2s2Vj8ITw Теорема Эйлера]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/OOaz4DVxqMuUkg Графы-1]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KiTGSNoG6VM_Hg Деревья, правильные раскраски]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KE1u7QBFzIgkcA Эйлеровы и Гамильтоновы циклы и пути]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/WhUOhUDduFOzjQ Потоки в сетях]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/d/HDGsExq8H2fkcA Повторение]<br />
<br />
== Домашние задания ==<br />
'''В ДЗ-8 появилась бонусная задача на бинарные деревья поиска. Ссылку на книгу по теме можно найти в допматериалах к последней лекции.'''<br><br />
Книга «Алгоритмы. Построение и Анализ.» Т.Кормена и др. на мой взгляд является отличным источником знаний для начинающего (и не только) программиста -- в ней рассмотрено большое количество основных понятий и определений, для каждого алгоритма приведен псевдокод (иногда не один) и оценка сложности. Этой книгой можно пользоваться как справочником: читать 2-3 страницы по интересующей теме и временно откладывать.<br />
<br />
'''Правила сдачи ДЗ''': решения задач из домашнего задания оформляются письменно, первый лист работы подписывается, только ответы не проверяются, должно присутствовать ''полное рассуждение'', затем текст сканируется, файл называется в соответствии с ФИО студента (например, SysoevaLN.pdf) и отправляется на проверку (ссылку на загрузку см. в таблице ниже).<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дедлайн<br />
!Домашнее задание<br />
!Ссылка на загрузку файла<br />
!Решения и критерии<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/WeEzyM70AzqNtw Домашнее задание №1]<br />
|[https://www.dropbox.com/request/cGNCtS3rrJoiE6NGCrz9 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/lmtlr4mP41Iy-Q Решения ДЗ-1]<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/87IgAYKMLGbEyA Домашнее задание №2]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/_yELwtWaJS4RMA Решения ДЗ-2]<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/Yy6-_Hda1UEQLg Домашнее задание №3]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/-VioO1CArRXPEA Решения ДЗ-3]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/aofNsKB9AMhONA Домашнее задание №4]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/JVpDIULhuGcJfA Решения ДЗ-4]<br />
<br />
|-<br />
|4.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/V62t0PGwzQmJoA Домашнее задание №5]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/S-0Dkekb9_o1aQ Решения ДЗ-5]<br />
<br />
|-<br />
|12.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/ZtHuki9PQHV5Cg Домашнее задание №6]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/nmYHFgM2kiZtdg Решения ДЗ-6]<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/X6LCkozybxDH7w Домашнее задание №7]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/9WINMpnYoD5uRw Решения ДЗ-7]<br />
<br />
|-<br />
|27.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/FjywLphzBhL0Xw Домашнее задание №8]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
| [https://disk.yandex.ru/i/cQh7lkI29Bqgxw Решения ДЗ-8]<br />
<br />
|-<br />
|4.12.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/WRZnhkUVF8mXJA Домашнее задание №9]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
| [https://disk.yandex.ru/i/1TO4dRwu3iyOzg Решения ДЗ-9]<br />
<br />
|-<br />
|18.12.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/gq1oxKo9Y78NEw Домашнее задание №10]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|<br />
|}</div>Любовь Сысоеваhttp://math-info.hse.ru/wiki2022-23/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0&diff=483Дискретная Математика2022-12-14T02:31:00Z<p>Любовь Сысоева: /* Семинары */</p>
<hr />
<div>'''Дорогие студенты!'''<br />
<br />
На этой странице будут появляться различные материалы и объявления, связанные с курсом '''«Дискретная математика»''', читаемого для студентов 1-го курса ОП Вычислительные социальные науки в '''2022/2023''' учебном году. <br />
<br />
* Лекции и семинары: Сысоева Любовь Николаевна lsysoeva@hse.ru, telegram @lsysoeva<br />
* Ассистент: Ластовецкий Дмитрий dalastovetsky@hse.ru, telegram @dalastovetskiy<br />
<br />
{|<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_izNbdyLHY8c3Y4SfFzpzhsF-QTBNpRFmEqnCR3IQFU/edit?usp=sharing Ведомость активности] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SmaC4Uyy1F4Dn37zME5SMQCdAtXQHpSelk3JZttFxBU/edit?usp=sharing Ведомость ДЗ]<br />
|}<br />
<br />
Формула итоговой оценки:<br />
0,3 * Активность + 0,3 * Домашние задания + 0,4 * Экзамен<br />
<br />
== Контрольная ==<br />
<br />
'''Итоговая контрольная состоится 16го декабря!'''<br><br />
Большая просьба не опаздывать!!<br><br />
Если все пойдет по плану, последние 30-50 минут занятий мы потратим на разбор задач из контрольной, чтобы у вас сразу было понимание, как вы написали и какие темы стоит повторить к экзамену.<br />
Оценка за экзамен будет выставляться как максимум из оценок за КР и за Экзамен.<br />
<br />
== Лекции ==<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дата лекции<br />
!тема лекции<br />
!дополнительные материалы<br />
|-<br />
|16.09.2022<br />
|Понятие множества, конечные множества, задание множества перечислением элементов, задание множества условием, пустое множество, пересечение множеств, объединение множеств, декартово произведение множеств, парадокс брадобрея.<br><br />
Комбинаторика: правило суммы, правило произведения, факториал, число размещений с повторениями и без повторений, число сочетаний.<br />
|[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.1-26<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.44-63<br />
<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|Дискретная вероятность = (кол-во положительных исходов)/(общее число исходов).<br><br />
<br />
Сочетания с повторениями (метод шариков и перегородок), типы предметов.<br><br />
<br />
Треугольник Паскаля (количество путей от вершины вниз), рекуррентная формула (нижний элемент = сумме двух верхних).<br><br />
<br />
Бином Ньютона, связь с треугольником Паскаля (коэффициенты в разложении (a+b)<sup>n</sup> это числа в n строке треугольника).<br><br />
<br />
Числа сочетаний в треугольнике Паскаля, формула C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>k</sup><sub>n-1</sub> + C<sup>k-1</sup><sub>n-1</sub> и ее комбинаторный смысл.<br><br />
<br />
Сумма элементов n строки в треугольнике Паскаля равна 2<sup>n</sup> (через удвоение суммы предыдущей строки, через разложение (1+1)<sup>n</sup> и через все подмножества множества из n элементов).<br><br />
<br />
Полиномиальные коэффициенты (определение и формула).<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.26-40<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.63-70<br />
<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|Числа сочетаний в треугольнике Паскаля: возрастание элементов к середине строки и убывание после середины (C<sup>k</sup><sub>n</sub> < C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k < (n-1)/2 и C<sup>k</sup><sub>n</sub> > C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k > (n-1)/2), симметрия (C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>n-k</sup><sub>n</sub>), оценка среднего элемента в строке через сумму и количество элементов в этой строке (C<sup>n</sup><sub>2n</sub> > 2<sup>2n</sup>/(2n+1)).<br><br />
<br />
Сумма знакопеременных элементов n строки в треугольнике Паскаля равна нулю (через удвоение элементов предыдущей строки с противоположными знаками, через разложение (1-1)<sup>n</sup>).<br><br />
<br />
Формулы для 11<sup>2</sup>, 11<sup>3</sup>, 11<sup>4</sup> и связь со строками треугольника Паскаля (доказательство через разложение 11<sup>k</sup> = (10+1)<sup>k</sup> по биному Ньютона).<br><br />
<br />
Формула включений-исключений: через диаграммы Эйлера-Вена для 2 и 3 множеств, формулировка в общем случае.<br><br />
<br />
Принцип Дирихле (pigeonhole principle): если кроликов больше, чем клеток, то при рассадке кроликов по клеткам по крайней мере в одну клетку попадут по крайней мере два кролика.<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.41-44<br><br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.66<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи: задача про кроликов, определение (F<sub>0</sub> = 0, F<sub>1</sub> = 1, F<sub>n+1</sub> = F<sub>n</sub> + F<sub>n-1</sub>), F<sub>n</sub> равно сумме "диагонали" треугольника Паскаля (F<sub>n</sub> = C<sub>n-1</sub><sup>0</sup> + C<sub>n-2</sub><sup>1</sup> + C<sub>n-3</sub><sup>2</sup> + ... + C<sub>n-[n/2]</sub><sup>[n/2]-1</sup> целая часть должна быть верхней), явная формула (F<sub>n</sub> = 1/٧5((1+٧5)/2)^n - 1/٧5((1-٧5)/2)^n) и ее доказательство по индукции.<br />
<br />
Индукция: принцип математической индукции, база и переход их согласованность, индуктивное предположение, доказательство равенств, неравенств, разбор текстовой задачи (машина на краю пустыни).<br />
Примеры неверных доказательств по индукции (резиновый автобус, куча манки, одномастные лошади).<br />
<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.16-51<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|14.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи (повторение).<br />
Линейные рекуррентные соотношения в разных задачах.<br />
Рекурсия (программирование, литература) и ее связь с рекуррентными соотношениями.<br />
Основная теорема о рекуррентных соотношениях (Master theorem): оценка сложности рекурсивных алгоритмов.<br />
<br />
Рекуррентные записи n! и геометрических прогрессий.<br />
<br />
Индукция: повторение, связь с рекуррентными соотношениями, пример вложенной индукции (количество разломов прямоугольной шоколадки).<br />
<br />
|[https://ru.wikipedia.org/wiki/Основная_теорема_о_рекуррентных_соотношениях Основная теорема о рекуррентных соотношениях]<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|Числа Каталана (по заявкам): рекуррентная формула, количество правильных скобочных последовательностей, количество способов разбить n-угольник диагоналями на треугольники.<br />
<br />
Системы счисления: позиционные, примеры, n-ичные дроби, переводы между системами счислений целых чисел и дробных частей, погрешность в случае прерывания бесконечных дробей.<br />
<br />
Римская система счисления: способы записи чисел, сложность алгоритмов сложения и умножения чисел.<br />
<br />
Признаки делимости в n-ичной системе счисления: схожесть признаков делимости на n-1 и n+1 с признаками делимости на 9 и 11 для десятичной системы, схожесть признаков делимости на делители n с признаками делимости на 5 и 10 для десятичной системы.<br />
<br />
Троичная система: взвешивание путем уравновешивания весов с двумя чашами.<br />
|<br />
[https://disk.yandex.ru/i/UjJYIydJppYhQg Статья про числа Каталана]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/MOK8NEeNVq5SYA Книжка по системам счисления]<br />
<br />
|-<br />
|01.11.2022<br />
|Простые числа: определение, основная теорема арифметики (любое число однозначно разлагается в произведение простых), бесконечное количество простых чисел (два доказательства 1. p<sub>1</sub>p<sub>2</sub>...p<sub>n</sub>+1 ; 2. (k+1)<sup>n</sup> << 2<sup>k</sup> при фиксированном n и растущем k), Постулат Бертрана (теорема Чебышева): для любого натурального n ⩾ 2 найдётся простое число p в интервале n < p < 2n.<br />
<br />
Остатки от деления и вычеты: сложение, вычитание, умножение, поиск обратного вычета.<br />
Запись вычетов через отрицательные числа для удобства вычислений.<br />
Примеры, когда обратного вычета не существует (элемент и модуль не взаимно просты).<br />
<br />
Алгоритм Евклида (с использованием остатка от деления по модулю): сам алгоритм и оценка числа итераций через числа Фибоначчи.<br />
<br />
|[http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/e4d919f5-8435-4fe3-a779-275181a69951/M_1.1.4/M_1.1.4.html Вычеты (короткая базовая статья)]<br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.143-156<br />
<br />
|-<br />
|11.11.2022<br />
|Идея кодирования с открытым ключом.<br />
Диофантовы уравнения: примеры, великая теорема Ферма, линейные Диофантовы уравнения с двумя неизвестными, критерий разрешимости.<br />
Расширенный алгоритм Евклида: решение линейных Диофантовых уравнений с двумя неизвестными.<br />
Сведение поиска обратного по умножению элемента по модулю к решению линейного Диофантова уравнения с двумя неизвестными.<br />
Единственность обратного по умножению элемента по модулю (если существует, то единственный).<br />
<br />
Малая теорема Ферма: формулировка, четыре доказательства (мультиномиальное разложение, индукция и бином Ньютона, раскраска бус, перемножение чисел специального вида), поиск обратного по умножению элемента через малую теорему Ферма в случае простого модуля.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.154-163<br />
<br />
<br />
|-<br />
|15.11.2022<br />
|Идея проверки числа на простоту:<br><br />
1) проверка делимости на простые до корня из числа;<br><br />
2) проверка взаимной простоты с числами от 2 до n-1;<br><br />
3) (тест Ферма) проверка справедливости малой теоремы Ферма для чисел от 2 до n-1 (и числа Кармайкла);<br><br />
4) (тест Рабина) проверка справедливости малой теоремы Ферма плюс корней из 1.<br />
<br />
Китайская теорема об остатках: система сравнений по взаимнопростым модулям имеет единственное решение по произведению модулей.<br />
Доказательство и решения систем сравнений с помощью расширенного алгоритма Евклида.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.161-165<br />
<br />
|-<br />
|18.11.2022<br />
|Китайская теорема об остатках: доказательство (индукция во числу сравнений), Следствие: независимость распределения остатков по взаимнопростым модулям.<br><br />
Функция Эйлера: определение и вычисление для простых чисел, степеней простых чисел, составных чисел.<br><br />
Теорема Эйлера: формулировка, малая теорема Ферма как частный случай, доказательство (аналогично 4 доказательству малой теоремы Ферма, через обратимые остатки и их перемножение).<br><br />
Алгоритм кодирования с открытым ключом RSA: определение, корректность кодирования и декодирования, устойчивость к атакам.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.162-167<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/fX6Q_FMRE-I_Zg Лекции по криптографии] (тут довольно хорошо объяснен алгоритм RSA и еще много что)<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|Графы: определение (V,E), множество вершин, множество ребер, изолированная вершина, степень вершины, способы задания графов (матрица смежности, матрица инцидентности, список смежности).<br><br />
Формула 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>).<br><br />
Маршрут, путь, простой путь, расстояние между вершинами (длина кратчайшего пути), диаметр графа (самое большое расстояние между вершинами).<br><br />
Цикл, простой цикл.<br><br />
Связный граф, компонента связности.<br><br />
Оценка: количество компонент связности ≥ |V|-|E|.<br><br />
Следствие: для поиска самого тяжелого камня среди n камней необходимо n-1 взвешивание.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.95-118<br><br />
<br />
|-<br />
|25.11.2022<br />
|Деревья: (четыре определения и их эквивалентность) связный граф с V-1 ребром; минимальный связный граф; связный ациклический граф; граф, между любыми двумя вершинами которого существует единственный путь.<br><br />
''Дополнительно:'' бинарное дерево поиска: поиск элемента, добавление элемента, удаление элемента, поиск следующего и предшествующего элементов.<br><br />
Существование у произвольного дерева по крайней мере двух листьев (два доказательства: через формулу 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>) и через максимально удаленные вершины).<br><br />
Остовное дерево связного графа, возможность удаления из связного графа вершины вместе с ребрами без потери связности.<br><br />
Правильная раскраска: определение, примеры, критерий 2-раскрашиваемости графа (отсутствие циклов нечетной длины).<br><br />
''Дополнительно:'' алгоритмы поиска в ширину (BFS) и глубину (DFS).<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.118-123<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/XDNEDxyuccjLGA Т.Кормен и др. «Алгоритмы Построение и Анализ» стр 316-322, 607-663]<br />
<br />
|-<br />
|02.12.2022<br />
|Жадные алгоритмы: алгоритмы, оптимизирующие некоторый параметр на '''каждом''' шаге, примеры (задача о рюкзаке в дискретном и непрерывном вариантах, задача о поиске минимального остовного дерева, задача о загруженности аудитории).<br><br />
Эйлеровы циклы и пути: цикл (путь) проходящий по каждому ребру графа ровно один раз, критерии наличия Эйлерова цикла (пути) в неориентированном и ориентированном графах.<br><br />
Гамильтоновы циклы и пути: цикл (путь) проходящий через каждую вершину графа ровно один раз, отсутствие критерия, NP-полнота задачи о поиске Гамильтонова цикла в графе, теорема Оре.<br><br />
Чуть-чуть логики: формализация метода доказательства с помощью правила контрапозиции и метода доказательства от противного.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.132-135<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/XDNEDxyuccjLGA Т.Кормен и др. «Алгоритмы Построение и Анализ» стр 442-482, 642, 1086, 1101-1103]<br />
<br />
|-<br />
|09.12.2022<br />
|Двудольные графы, паросочетания, теорема Холла (о свадьбах): формулировка, примеры.<br><br />
Сеть: ориентированный граф с истоком и стоком, с заданными пропускными способностями на ребрах.<br><br />
Поток: неотрицательная функция, заданная на ребрах сети, на каждом ребре не превосходящая пропускной способности ребра и суммарно равная нулю в каждой вершине сети, кроме стока и истока.<br><br />
Разрез: разбиение вершин сети на два множества S и T, содержащих соответственно исток и сток.<br><br />
Пропускная способность разреза: сумма пропускных способностей ребер, ведущих из множества вершин S в множество вершин T.<br><br />
Теорема Форда-Фалкерсона: величина максимального потока равна пропускной способности минимального разреза.<br><br />
Алгоритм нахождения максимального потока в сети: начинаем с нулевого потока, ищем увеличивающий путь (лучше минимальной длины), увеличиваем поток, ищем следующий увеличивающий путь, увеличиваем поток и т.д.<br />
|}<br />
<br />
== Семинары ==<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/N5V4VaIkLVTajg Комбинаторика-1]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/DDB7KcxEXg3-6A Комбинаторика-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/QXW6c4tUxwjV4g Комбинаторика-3]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/lfhWkTgRJPvbGw Числа Фибоначчи, Индукция]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/I1VBzSGylBSUtw Числа Фибоначчи-2, Индукция-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/6ZeDU1zdCnlBog Системы счисления]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/pC1rFQaRgrr5KA Делимость и Вычеты]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/iGuukuYtT4O1iQ Расширенный алгоритм Евклида, малая теорема Ферма]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/yGSOYGTeGLBJVg Малая теорема Ферма, Китайская теорема об остатках]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KjQpX2s2Vj8ITw Теорема Эйлера]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/OOaz4DVxqMuUkg Графы-1]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KiTGSNoG6VM_Hg Деревья, правильные раскраски]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KE1u7QBFzIgkcA Эйлеровы и Гамильтоновы циклы и пути]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/WhUOhUDduFOzjQ Потоки в сетях]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/d/HDGsExq8H2fkcA Повторение]<br />
<br />
== Домашние задания ==<br />
'''В ДЗ-8 появилась бонусная задача на бинарные деревья поиска. Ссылку на книгу по теме можно найти в допматериалах к последней лекции.'''<br><br />
Книга «Алгоритмы. Построение и Анализ.» Т.Кормена и др. на мой взгляд является отличным источником знаний для начинающего (и не только) программиста -- в ней рассмотрено большое количество основных понятий и определений, для каждого алгоритма приведен псевдокод (иногда не один) и оценка сложности. Этой книгой можно пользоваться как справочником: читать 2-3 страницы по интересующей теме и временно откладывать.<br />
<br />
'''Правила сдачи ДЗ''': решения задач из домашнего задания оформляются письменно, первый лист работы подписывается, только ответы не проверяются, должно присутствовать ''полное рассуждение'', затем текст сканируется, файл называется в соответствии с ФИО студента (например, SysoevaLN.pdf) и отправляется на проверку (ссылку на загрузку см. в таблице ниже).<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дедлайн<br />
!Домашнее задание<br />
!Ссылка на загрузку файла<br />
!Решения и критерии<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/WeEzyM70AzqNtw Домашнее задание №1]<br />
|[https://www.dropbox.com/request/cGNCtS3rrJoiE6NGCrz9 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/lmtlr4mP41Iy-Q Решения ДЗ-1]<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/87IgAYKMLGbEyA Домашнее задание №2]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/_yELwtWaJS4RMA Решения ДЗ-2]<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/Yy6-_Hda1UEQLg Домашнее задание №3]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/-VioO1CArRXPEA Решения ДЗ-3]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/aofNsKB9AMhONA Домашнее задание №4]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/JVpDIULhuGcJfA Решения ДЗ-4]<br />
<br />
|-<br />
|4.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/V62t0PGwzQmJoA Домашнее задание №5]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/S-0Dkekb9_o1aQ Решения ДЗ-5]<br />
<br />
|-<br />
|12.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/ZtHuki9PQHV5Cg Домашнее задание №6]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/nmYHFgM2kiZtdg Решения ДЗ-6]<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/X6LCkozybxDH7w Домашнее задание №7]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/9WINMpnYoD5uRw Решения ДЗ-7]<br />
<br />
|-<br />
|27.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/FjywLphzBhL0Xw Домашнее задание №8]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
| [https://disk.yandex.ru/i/cQh7lkI29Bqgxw Решения ДЗ-8]<br />
<br />
|-<br />
|4.12.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/WRZnhkUVF8mXJA Домашнее задание №9]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
| [https://disk.yandex.ru/i/1TO4dRwu3iyOzg Решения ДЗ-9]<br />
<br />
|-<br />
|15.12.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/gq1oxKo9Y78NEw Домашнее задание №10]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|<br />
|}</div>Любовь Сысоеваhttp://math-info.hse.ru/wiki2022-23/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0&diff=480Дискретная Математика2022-12-13T19:34:21Z<p>Любовь Сысоева: /* Лекции */</p>
<hr />
<div>'''Дорогие студенты!'''<br />
<br />
На этой странице будут появляться различные материалы и объявления, связанные с курсом '''«Дискретная математика»''', читаемого для студентов 1-го курса ОП Вычислительные социальные науки в '''2022/2023''' учебном году. <br />
<br />
* Лекции и семинары: Сысоева Любовь Николаевна lsysoeva@hse.ru, telegram @lsysoeva<br />
* Ассистент: Ластовецкий Дмитрий dalastovetsky@hse.ru, telegram @dalastovetskiy<br />
<br />
{|<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_izNbdyLHY8c3Y4SfFzpzhsF-QTBNpRFmEqnCR3IQFU/edit?usp=sharing Ведомость активности] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SmaC4Uyy1F4Dn37zME5SMQCdAtXQHpSelk3JZttFxBU/edit?usp=sharing Ведомость ДЗ]<br />
|}<br />
<br />
Формула итоговой оценки:<br />
0,3 * Активность + 0,3 * Домашние задания + 0,4 * Экзамен<br />
<br />
== Контрольная ==<br />
<br />
'''Итоговая контрольная состоится 16го декабря!'''<br><br />
Большая просьба не опаздывать!!<br><br />
Если все пойдет по плану, последние 30-50 минут занятий мы потратим на разбор задач из контрольной, чтобы у вас сразу было понимание, как вы написали и какие темы стоит повторить к экзамену.<br />
Оценка за экзамен будет выставляться как максимум из оценок за КР и за Экзамен.<br />
<br />
== Лекции ==<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дата лекции<br />
!тема лекции<br />
!дополнительные материалы<br />
|-<br />
|16.09.2022<br />
|Понятие множества, конечные множества, задание множества перечислением элементов, задание множества условием, пустое множество, пересечение множеств, объединение множеств, декартово произведение множеств, парадокс брадобрея.<br><br />
Комбинаторика: правило суммы, правило произведения, факториал, число размещений с повторениями и без повторений, число сочетаний.<br />
|[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.1-26<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.44-63<br />
<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|Дискретная вероятность = (кол-во положительных исходов)/(общее число исходов).<br><br />
<br />
Сочетания с повторениями (метод шариков и перегородок), типы предметов.<br><br />
<br />
Треугольник Паскаля (количество путей от вершины вниз), рекуррентная формула (нижний элемент = сумме двух верхних).<br><br />
<br />
Бином Ньютона, связь с треугольником Паскаля (коэффициенты в разложении (a+b)<sup>n</sup> это числа в n строке треугольника).<br><br />
<br />
Числа сочетаний в треугольнике Паскаля, формула C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>k</sup><sub>n-1</sub> + C<sup>k-1</sup><sub>n-1</sub> и ее комбинаторный смысл.<br><br />
<br />
Сумма элементов n строки в треугольнике Паскаля равна 2<sup>n</sup> (через удвоение суммы предыдущей строки, через разложение (1+1)<sup>n</sup> и через все подмножества множества из n элементов).<br><br />
<br />
Полиномиальные коэффициенты (определение и формула).<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.26-40<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.63-70<br />
<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|Числа сочетаний в треугольнике Паскаля: возрастание элементов к середине строки и убывание после середины (C<sup>k</sup><sub>n</sub> < C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k < (n-1)/2 и C<sup>k</sup><sub>n</sub> > C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k > (n-1)/2), симметрия (C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>n-k</sup><sub>n</sub>), оценка среднего элемента в строке через сумму и количество элементов в этой строке (C<sup>n</sup><sub>2n</sub> > 2<sup>2n</sup>/(2n+1)).<br><br />
<br />
Сумма знакопеременных элементов n строки в треугольнике Паскаля равна нулю (через удвоение элементов предыдущей строки с противоположными знаками, через разложение (1-1)<sup>n</sup>).<br><br />
<br />
Формулы для 11<sup>2</sup>, 11<sup>3</sup>, 11<sup>4</sup> и связь со строками треугольника Паскаля (доказательство через разложение 11<sup>k</sup> = (10+1)<sup>k</sup> по биному Ньютона).<br><br />
<br />
Формула включений-исключений: через диаграммы Эйлера-Вена для 2 и 3 множеств, формулировка в общем случае.<br><br />
<br />
Принцип Дирихле (pigeonhole principle): если кроликов больше, чем клеток, то при рассадке кроликов по клеткам по крайней мере в одну клетку попадут по крайней мере два кролика.<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.41-44<br><br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.66<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи: задача про кроликов, определение (F<sub>0</sub> = 0, F<sub>1</sub> = 1, F<sub>n+1</sub> = F<sub>n</sub> + F<sub>n-1</sub>), F<sub>n</sub> равно сумме "диагонали" треугольника Паскаля (F<sub>n</sub> = C<sub>n-1</sub><sup>0</sup> + C<sub>n-2</sub><sup>1</sup> + C<sub>n-3</sub><sup>2</sup> + ... + C<sub>n-[n/2]</sub><sup>[n/2]-1</sup> целая часть должна быть верхней), явная формула (F<sub>n</sub> = 1/٧5((1+٧5)/2)^n - 1/٧5((1-٧5)/2)^n) и ее доказательство по индукции.<br />
<br />
Индукция: принцип математической индукции, база и переход их согласованность, индуктивное предположение, доказательство равенств, неравенств, разбор текстовой задачи (машина на краю пустыни).<br />
Примеры неверных доказательств по индукции (резиновый автобус, куча манки, одномастные лошади).<br />
<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.16-51<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|14.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи (повторение).<br />
Линейные рекуррентные соотношения в разных задачах.<br />
Рекурсия (программирование, литература) и ее связь с рекуррентными соотношениями.<br />
Основная теорема о рекуррентных соотношениях (Master theorem): оценка сложности рекурсивных алгоритмов.<br />
<br />
Рекуррентные записи n! и геометрических прогрессий.<br />
<br />
Индукция: повторение, связь с рекуррентными соотношениями, пример вложенной индукции (количество разломов прямоугольной шоколадки).<br />
<br />
|[https://ru.wikipedia.org/wiki/Основная_теорема_о_рекуррентных_соотношениях Основная теорема о рекуррентных соотношениях]<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|Числа Каталана (по заявкам): рекуррентная формула, количество правильных скобочных последовательностей, количество способов разбить n-угольник диагоналями на треугольники.<br />
<br />
Системы счисления: позиционные, примеры, n-ичные дроби, переводы между системами счислений целых чисел и дробных частей, погрешность в случае прерывания бесконечных дробей.<br />
<br />
Римская система счисления: способы записи чисел, сложность алгоритмов сложения и умножения чисел.<br />
<br />
Признаки делимости в n-ичной системе счисления: схожесть признаков делимости на n-1 и n+1 с признаками делимости на 9 и 11 для десятичной системы, схожесть признаков делимости на делители n с признаками делимости на 5 и 10 для десятичной системы.<br />
<br />
Троичная система: взвешивание путем уравновешивания весов с двумя чашами.<br />
|<br />
[https://disk.yandex.ru/i/UjJYIydJppYhQg Статья про числа Каталана]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/MOK8NEeNVq5SYA Книжка по системам счисления]<br />
<br />
|-<br />
|01.11.2022<br />
|Простые числа: определение, основная теорема арифметики (любое число однозначно разлагается в произведение простых), бесконечное количество простых чисел (два доказательства 1. p<sub>1</sub>p<sub>2</sub>...p<sub>n</sub>+1 ; 2. (k+1)<sup>n</sup> << 2<sup>k</sup> при фиксированном n и растущем k), Постулат Бертрана (теорема Чебышева): для любого натурального n ⩾ 2 найдётся простое число p в интервале n < p < 2n.<br />
<br />
Остатки от деления и вычеты: сложение, вычитание, умножение, поиск обратного вычета.<br />
Запись вычетов через отрицательные числа для удобства вычислений.<br />
Примеры, когда обратного вычета не существует (элемент и модуль не взаимно просты).<br />
<br />
Алгоритм Евклида (с использованием остатка от деления по модулю): сам алгоритм и оценка числа итераций через числа Фибоначчи.<br />
<br />
|[http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/e4d919f5-8435-4fe3-a779-275181a69951/M_1.1.4/M_1.1.4.html Вычеты (короткая базовая статья)]<br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.143-156<br />
<br />
|-<br />
|11.11.2022<br />
|Идея кодирования с открытым ключом.<br />
Диофантовы уравнения: примеры, великая теорема Ферма, линейные Диофантовы уравнения с двумя неизвестными, критерий разрешимости.<br />
Расширенный алгоритм Евклида: решение линейных Диофантовых уравнений с двумя неизвестными.<br />
Сведение поиска обратного по умножению элемента по модулю к решению линейного Диофантова уравнения с двумя неизвестными.<br />
Единственность обратного по умножению элемента по модулю (если существует, то единственный).<br />
<br />
Малая теорема Ферма: формулировка, четыре доказательства (мультиномиальное разложение, индукция и бином Ньютона, раскраска бус, перемножение чисел специального вида), поиск обратного по умножению элемента через малую теорему Ферма в случае простого модуля.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.154-163<br />
<br />
<br />
|-<br />
|15.11.2022<br />
|Идея проверки числа на простоту:<br><br />
1) проверка делимости на простые до корня из числа;<br><br />
2) проверка взаимной простоты с числами от 2 до n-1;<br><br />
3) (тест Ферма) проверка справедливости малой теоремы Ферма для чисел от 2 до n-1 (и числа Кармайкла);<br><br />
4) (тест Рабина) проверка справедливости малой теоремы Ферма плюс корней из 1.<br />
<br />
Китайская теорема об остатках: система сравнений по взаимнопростым модулям имеет единственное решение по произведению модулей.<br />
Доказательство и решения систем сравнений с помощью расширенного алгоритма Евклида.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.161-165<br />
<br />
|-<br />
|18.11.2022<br />
|Китайская теорема об остатках: доказательство (индукция во числу сравнений), Следствие: независимость распределения остатков по взаимнопростым модулям.<br><br />
Функция Эйлера: определение и вычисление для простых чисел, степеней простых чисел, составных чисел.<br><br />
Теорема Эйлера: формулировка, малая теорема Ферма как частный случай, доказательство (аналогично 4 доказательству малой теоремы Ферма, через обратимые остатки и их перемножение).<br><br />
Алгоритм кодирования с открытым ключом RSA: определение, корректность кодирования и декодирования, устойчивость к атакам.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.162-167<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/fX6Q_FMRE-I_Zg Лекции по криптографии] (тут довольно хорошо объяснен алгоритм RSA и еще много что)<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|Графы: определение (V,E), множество вершин, множество ребер, изолированная вершина, степень вершины, способы задания графов (матрица смежности, матрица инцидентности, список смежности).<br><br />
Формула 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>).<br><br />
Маршрут, путь, простой путь, расстояние между вершинами (длина кратчайшего пути), диаметр графа (самое большое расстояние между вершинами).<br><br />
Цикл, простой цикл.<br><br />
Связный граф, компонента связности.<br><br />
Оценка: количество компонент связности ≥ |V|-|E|.<br><br />
Следствие: для поиска самого тяжелого камня среди n камней необходимо n-1 взвешивание.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.95-118<br><br />
<br />
|-<br />
|25.11.2022<br />
|Деревья: (четыре определения и их эквивалентность) связный граф с V-1 ребром; минимальный связный граф; связный ациклический граф; граф, между любыми двумя вершинами которого существует единственный путь.<br><br />
''Дополнительно:'' бинарное дерево поиска: поиск элемента, добавление элемента, удаление элемента, поиск следующего и предшествующего элементов.<br><br />
Существование у произвольного дерева по крайней мере двух листьев (два доказательства: через формулу 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>) и через максимально удаленные вершины).<br><br />
Остовное дерево связного графа, возможность удаления из связного графа вершины вместе с ребрами без потери связности.<br><br />
Правильная раскраска: определение, примеры, критерий 2-раскрашиваемости графа (отсутствие циклов нечетной длины).<br><br />
''Дополнительно:'' алгоритмы поиска в ширину (BFS) и глубину (DFS).<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.118-123<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/XDNEDxyuccjLGA Т.Кормен и др. «Алгоритмы Построение и Анализ» стр 316-322, 607-663]<br />
<br />
|-<br />
|02.12.2022<br />
|Жадные алгоритмы: алгоритмы, оптимизирующие некоторый параметр на '''каждом''' шаге, примеры (задача о рюкзаке в дискретном и непрерывном вариантах, задача о поиске минимального остовного дерева, задача о загруженности аудитории).<br><br />
Эйлеровы циклы и пути: цикл (путь) проходящий по каждому ребру графа ровно один раз, критерии наличия Эйлерова цикла (пути) в неориентированном и ориентированном графах.<br><br />
Гамильтоновы циклы и пути: цикл (путь) проходящий через каждую вершину графа ровно один раз, отсутствие критерия, NP-полнота задачи о поиске Гамильтонова цикла в графе, теорема Оре.<br><br />
Чуть-чуть логики: формализация метода доказательства с помощью правила контрапозиции и метода доказательства от противного.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.132-135<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/XDNEDxyuccjLGA Т.Кормен и др. «Алгоритмы Построение и Анализ» стр 442-482, 642, 1086, 1101-1103]<br />
<br />
|-<br />
|09.12.2022<br />
|Двудольные графы, паросочетания, теорема Холла (о свадьбах): формулировка, примеры.<br><br />
Сеть: ориентированный граф с истоком и стоком, с заданными пропускными способностями на ребрах.<br><br />
Поток: неотрицательная функция, заданная на ребрах сети, на каждом ребре не превосходящая пропускной способности ребра и суммарно равная нулю в каждой вершине сети, кроме стока и истока.<br><br />
Разрез: разбиение вершин сети на два множества S и T, содержащих соответственно исток и сток.<br><br />
Пропускная способность разреза: сумма пропускных способностей ребер, ведущих из множества вершин S в множество вершин T.<br><br />
Теорема Форда-Фалкерсона: величина максимального потока равна пропускной способности минимального разреза.<br><br />
Алгоритм нахождения максимального потока в сети: начинаем с нулевого потока, ищем увеличивающий путь (лучше минимальной длины), увеличиваем поток, ищем следующий увеличивающий путь, увеличиваем поток и т.д.<br />
|}<br />
<br />
== Семинары ==<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/N5V4VaIkLVTajg Комбинаторика-1]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/DDB7KcxEXg3-6A Комбинаторика-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/QXW6c4tUxwjV4g Комбинаторика-3]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/lfhWkTgRJPvbGw Числа Фибоначчи, Индукция]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/I1VBzSGylBSUtw Числа Фибоначчи-2, Индукция-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/6ZeDU1zdCnlBog Системы счисления]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/pC1rFQaRgrr5KA Делимость и Вычеты]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/iGuukuYtT4O1iQ Расширенный алгоритм Евклида, малая теорема Ферма]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/yGSOYGTeGLBJVg Малая теорема Ферма, Китайская теорема об остатках]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KjQpX2s2Vj8ITw Теорема Эйлера]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/OOaz4DVxqMuUkg Графы-1]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KiTGSNoG6VM_Hg Деревья, правильные раскраски]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KE1u7QBFzIgkcA Эйлеровы и Гамильтоновы циклы и пути]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/WhUOhUDduFOzjQ Потоки в сетях]<br />
<br />
== Домашние задания ==<br />
'''В ДЗ-8 появилась бонусная задача на бинарные деревья поиска. Ссылку на книгу по теме можно найти в допматериалах к последней лекции.'''<br><br />
Книга «Алгоритмы. Построение и Анализ.» Т.Кормена и др. на мой взгляд является отличным источником знаний для начинающего (и не только) программиста -- в ней рассмотрено большое количество основных понятий и определений, для каждого алгоритма приведен псевдокод (иногда не один) и оценка сложности. Этой книгой можно пользоваться как справочником: читать 2-3 страницы по интересующей теме и временно откладывать.<br />
<br />
'''Правила сдачи ДЗ''': решения задач из домашнего задания оформляются письменно, первый лист работы подписывается, только ответы не проверяются, должно присутствовать ''полное рассуждение'', затем текст сканируется, файл называется в соответствии с ФИО студента (например, SysoevaLN.pdf) и отправляется на проверку (ссылку на загрузку см. в таблице ниже).<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дедлайн<br />
!Домашнее задание<br />
!Ссылка на загрузку файла<br />
!Решения и критерии<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/WeEzyM70AzqNtw Домашнее задание №1]<br />
|[https://www.dropbox.com/request/cGNCtS3rrJoiE6NGCrz9 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/lmtlr4mP41Iy-Q Решения ДЗ-1]<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/87IgAYKMLGbEyA Домашнее задание №2]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/_yELwtWaJS4RMA Решения ДЗ-2]<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/Yy6-_Hda1UEQLg Домашнее задание №3]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/-VioO1CArRXPEA Решения ДЗ-3]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/aofNsKB9AMhONA Домашнее задание №4]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/JVpDIULhuGcJfA Решения ДЗ-4]<br />
<br />
|-<br />
|4.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/V62t0PGwzQmJoA Домашнее задание №5]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/S-0Dkekb9_o1aQ Решения ДЗ-5]<br />
<br />
|-<br />
|12.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/ZtHuki9PQHV5Cg Домашнее задание №6]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/nmYHFgM2kiZtdg Решения ДЗ-6]<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/X6LCkozybxDH7w Домашнее задание №7]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/9WINMpnYoD5uRw Решения ДЗ-7]<br />
<br />
|-<br />
|27.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/FjywLphzBhL0Xw Домашнее задание №8]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
| [https://disk.yandex.ru/i/cQh7lkI29Bqgxw Решения ДЗ-8]<br />
<br />
|-<br />
|4.12.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/WRZnhkUVF8mXJA Домашнее задание №9]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
| [https://disk.yandex.ru/i/1TO4dRwu3iyOzg Решения ДЗ-9]<br />
<br />
|-<br />
|15.12.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/gq1oxKo9Y78NEw Домашнее задание №10]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|<br />
|}</div>Любовь Сысоеваhttp://math-info.hse.ru/wiki2022-23/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0&diff=479Дискретная Математика2022-12-13T19:33:22Z<p>Любовь Сысоева: /* Лекции */</p>
<hr />
<div>'''Дорогие студенты!'''<br />
<br />
На этой странице будут появляться различные материалы и объявления, связанные с курсом '''«Дискретная математика»''', читаемого для студентов 1-го курса ОП Вычислительные социальные науки в '''2022/2023''' учебном году. <br />
<br />
* Лекции и семинары: Сысоева Любовь Николаевна lsysoeva@hse.ru, telegram @lsysoeva<br />
* Ассистент: Ластовецкий Дмитрий dalastovetsky@hse.ru, telegram @dalastovetskiy<br />
<br />
{|<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_izNbdyLHY8c3Y4SfFzpzhsF-QTBNpRFmEqnCR3IQFU/edit?usp=sharing Ведомость активности] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SmaC4Uyy1F4Dn37zME5SMQCdAtXQHpSelk3JZttFxBU/edit?usp=sharing Ведомость ДЗ]<br />
|}<br />
<br />
Формула итоговой оценки:<br />
0,3 * Активность + 0,3 * Домашние задания + 0,4 * Экзамен<br />
<br />
== Контрольная ==<br />
<br />
'''Итоговая контрольная состоится 16го декабря!'''<br><br />
Большая просьба не опаздывать!!<br><br />
Если все пойдет по плану, последние 30-50 минут занятий мы потратим на разбор задач из контрольной, чтобы у вас сразу было понимание, как вы написали и какие темы стоит повторить к экзамену.<br />
Оценка за экзамен будет выставляться как максимум из оценок за КР и за Экзамен.<br />
<br />
== Лекции ==<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дата лекции<br />
!тема лекции<br />
!дополнительные материалы<br />
|-<br />
|16.09.2022<br />
|Понятие множества, конечные множества, задание множества перечислением элементов, задание множества условием, пустое множество, пересечение множеств, объединение множеств, декартово произведение множеств, парадокс брадобрея.<br><br />
Комбинаторика: правило суммы, правило произведения, факториал, число размещений с повторениями и без повторений, число сочетаний.<br />
|[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.1-26<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.44-63<br />
<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|Дискретная вероятность = (кол-во положительных исходов)/(общее число исходов).<br><br />
<br />
Сочетания с повторениями (метод шариков и перегородок), типы предметов.<br><br />
<br />
Треугольник Паскаля (количество путей от вершины вниз), рекуррентная формула (нижний элемент = сумме двух верхних).<br><br />
<br />
Бином Ньютона, связь с треугольником Паскаля (коэффициенты в разложении (a+b)<sup>n</sup> это числа в n строке треугольника).<br><br />
<br />
Числа сочетаний в треугольнике Паскаля, формула C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>k</sup><sub>n-1</sub> + C<sup>k-1</sup><sub>n-1</sub> и ее комбинаторный смысл.<br><br />
<br />
Сумма элементов n строки в треугольнике Паскаля равна 2<sup>n</sup> (через удвоение суммы предыдущей строки, через разложение (1+1)<sup>n</sup> и через все подмножества множества из n элементов).<br><br />
<br />
Полиномиальные коэффициенты (определение и формула).<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.26-40<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.63-70<br />
<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|Числа сочетаний в треугольнике Паскаля: возрастание элементов к середине строки и убывание после середины (C<sup>k</sup><sub>n</sub> < C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k < (n-1)/2 и C<sup>k</sup><sub>n</sub> > C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k > (n-1)/2), симметрия (C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>n-k</sup><sub>n</sub>), оценка среднего элемента в строке через сумму и количество элементов в этой строке (C<sup>n</sup><sub>2n</sub> > 2<sup>2n</sup>/(2n+1)).<br><br />
<br />
Сумма знакопеременных элементов n строки в треугольнике Паскаля равна нулю (через удвоение элементов предыдущей строки с противоположными знаками, через разложение (1-1)<sup>n</sup>).<br><br />
<br />
Формулы для 11<sup>2</sup>, 11<sup>3</sup>, 11<sup>4</sup> и связь со строками треугольника Паскаля (доказательство через разложение 11<sup>k</sup> = (10+1)<sup>k</sup> по биному Ньютона).<br><br />
<br />
Формула включений-исключений: через диаграммы Эйлера-Вена для 2 и 3 множеств, формулировка в общем случае.<br><br />
<br />
Принцип Дирихле (pigeonhole principle): если кроликов больше, чем клеток, то при рассадке кроликов по клеткам по крайней мере в одну клетку попадут по крайней мере два кролика.<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.41-44<br><br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.66<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи: задача про кроликов, определение (F<sub>0</sub> = 0, F<sub>1</sub> = 1, F<sub>n+1</sub> = F<sub>n</sub> + F<sub>n-1</sub>), F<sub>n</sub> равно сумме "диагонали" треугольника Паскаля (F<sub>n</sub> = C<sub>n-1</sub><sup>0</sup> + C<sub>n-2</sub><sup>1</sup> + C<sub>n-3</sub><sup>2</sup> + ... + C<sub>n-[n/2]</sub><sup>[n/2]-1</sup> целая часть должна быть верхней), явная формула (F<sub>n</sub> = 1/٧5((1+٧5)/2)^n - 1/٧5((1-٧5)/2)^n) и ее доказательство по индукции.<br />
<br />
Индукция: принцип математической индукции, база и переход их согласованность, индуктивное предположение, доказательство равенств, неравенств, разбор текстовой задачи (машина на краю пустыни).<br />
Примеры неверных доказательств по индукции (резиновый автобус, куча манки, одномастные лошади).<br />
<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.16-51<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|14.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи (повторение).<br />
Линейные рекуррентные соотношения в разных задачах.<br />
Рекурсия (программирование, литература) и ее связь с рекуррентными соотношениями.<br />
Основная теорема о рекуррентных соотношениях (Master theorem): оценка сложности рекурсивных алгоритмов.<br />
<br />
Рекуррентные записи n! и геометрических прогрессий.<br />
<br />
Индукция: повторение, связь с рекуррентными соотношениями, пример вложенной индукции (количество разломов прямоугольной шоколадки).<br />
<br />
|[https://ru.wikipedia.org/wiki/Основная_теорема_о_рекуррентных_соотношениях Основная теорема о рекуррентных соотношениях]<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|Числа Каталана (по заявкам): рекуррентная формула, количество правильных скобочных последовательностей, количество способов разбить n-угольник диагоналями на треугольники.<br />
<br />
Системы счисления: позиционные, примеры, n-ичные дроби, переводы между системами счислений целых чисел и дробных частей, погрешность в случае прерывания бесконечных дробей.<br />
<br />
Римская система счисления: способы записи чисел, сложность алгоритмов сложения и умножения чисел.<br />
<br />
Признаки делимости в n-ичной системе счисления: схожесть признаков делимости на n-1 и n+1 с признаками делимости на 9 и 11 для десятичной системы, схожесть признаков делимости на делители n с признаками делимости на 5 и 10 для десятичной системы.<br />
<br />
Троичная система: взвешивание путем уравновешивания весов с двумя чашами.<br />
|<br />
[https://disk.yandex.ru/i/UjJYIydJppYhQg Статья про числа Каталана]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/MOK8NEeNVq5SYA Книжка по системам счисления]<br />
<br />
|-<br />
|01.11.2022<br />
|Простые числа: определение, основная теорема арифметики (любое число однозначно разлагается в произведение простых), бесконечное количество простых чисел (два доказательства 1. p<sub>1</sub>p<sub>2</sub>...p<sub>n</sub>+1 ; 2. (k+1)<sup>n</sup> << 2<sup>k</sup> при фиксированном n и растущем k), Постулат Бертрана (теорема Чебышева): для любого натурального n ⩾ 2 найдётся простое число p в интервале n < p < 2n.<br />
<br />
Остатки от деления и вычеты: сложение, вычитание, умножение, поиск обратного вычета.<br />
Запись вычетов через отрицательные числа для удобства вычислений.<br />
Примеры, когда обратного вычета не существует (элемент и модуль не взаимно просты).<br />
<br />
Алгоритм Евклида (с использованием остатка от деления по модулю): сам алгоритм и оценка числа итераций через числа Фибоначчи.<br />
<br />
|[http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/e4d919f5-8435-4fe3-a779-275181a69951/M_1.1.4/M_1.1.4.html Вычеты (короткая базовая статья)]<br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.143-156<br />
<br />
|-<br />
|11.11.2022<br />
|Идея кодирования с открытым ключом.<br />
Диофантовы уравнения: примеры, великая теорема Ферма, линейные Диофантовы уравнения с двумя неизвестными, критерий разрешимости.<br />
Расширенный алгоритм Евклида: решение линейных Диофантовых уравнений с двумя неизвестными.<br />
Сведение поиска обратного по умножению элемента по модулю к решению линейного Диофантова уравнения с двумя неизвестными.<br />
Единственность обратного по умножению элемента по модулю (если существует, то единственный).<br />
<br />
Малая теорема Ферма: формулировка, четыре доказательства (мультиномиальное разложение, индукция и бином Ньютона, раскраска бус, перемножение чисел специального вида), поиск обратного по умножению элемента через малую теорему Ферма в случае простого модуля.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.154-163<br />
<br />
<br />
|-<br />
|15.11.2022<br />
|Идея проверки числа на простоту:<br><br />
1) проверка делимости на простые до корня из числа;<br><br />
2) проверка взаимной простоты с числами от 2 до n-1;<br><br />
3) (тест Ферма) проверка справедливости малой теоремы Ферма для чисел от 2 до n-1 (и числа Кармайкла);<br><br />
4) (тест Рабина) проверка справедливости малой теоремы Ферма плюс корней из 1.<br />
<br />
Китайская теорема об остатках: система сравнений по взаимнопростым модулям имеет единственное решение по произведению модулей.<br />
Доказательство и решения систем сравнений с помощью расширенного алгоритма Евклида.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.161-165<br />
<br />
|-<br />
|18.11.2022<br />
|Китайская теорема об остатках: доказательство (индукция во числу сравнений), Следствие: независимость распределения остатков по взаимнопростым модулям.<br><br />
Функция Эйлера: определение и вычисление для простых чисел, степеней простых чисел, составных чисел.<br><br />
Теорема Эйлера: формулировка, малая теорема Ферма как частный случай, доказательство (аналогично 4 доказательству малой теоремы Ферма, через обратимые остатки и их перемножение).<br><br />
Алгоритм кодирования с открытым ключом RSA: определение, корректность кодирования и декодирования, устойчивость к атакам.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.162-167<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/fX6Q_FMRE-I_Zg Лекции по криптографии] (тут довольно хорошо объяснен алгоритм RSA и еще много что)<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|Графы: определение (V,E), множество вершин, множество ребер, изолированная вершина, степень вершины, способы задания графов (матрица смежности, матрица инцидентности, список смежности).<br><br />
Формула 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>).<br><br />
Маршрут, путь, простой путь, расстояние между вершинами (длина кратчайшего пути), диаметр графа (самое большое расстояние между вершинами).<br><br />
Цикл, простой цикл.<br><br />
Связный граф, компонента связности.<br><br />
Оценка: количество компонент связности ≥ |V|-|E|.<br><br />
Следствие: для поиска самого тяжелого камня среди n камней необходимо n-1 взвешивание.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.95-118<br><br />
<br />
|-<br />
|25.11.2022<br />
|Деревья: (четыре определения и их эквивалентность) связный граф с V-1 ребром; минимальный связный граф; связный ациклический граф; граф, между любыми двумя вершинами которого существует единственный путь.<br><br />
''Дополнительно:'' бинарное дерево поиска: поиск элемента, добавление элемента, удаление элемента, поиск следующего и предшествующего элементов.<br><br />
Существование у произвольного дерева по крайней мере двух листьев (два доказательства: через формулу 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>) и через максимально удаленные вершины).<br><br />
Остовное дерево связного графа, возможность удаления из связного графа вершины вместе с ребрами без потери связности.<br><br />
Правильная раскраска: определение, примеры, критерий 2-раскрашиваемости графа (отсутствие циклов нечетной длины).<br><br />
''Дополнительно:'' алгоритмы поиска в ширину (BFS) и глубину (DFS).<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.118-123<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/XDNEDxyuccjLGA Т.Кормен и др. «Алгоритмы Построение и Анализ» стр 316-322, 607-663]<br />
<br />
|-<br />
|02.12.2022<br />
|Жадные алгоритмы: алгоритмы, оптимизирующие некоторый параметр на '''каждом''' шаге, примеры (задача о рюкзаке в дискретном и непрерывном вариантах, задача о поиске минимального остовного дерева, задача о загруженности аудитории).<br><br />
Эйлеровы циклы и пути: цикл (путь) проходящий по каждому ребру графа ровно один раз, критерии наличия Эйлерова цикла (пути) в неориентированном и ориентированном графах.<br><br />
Гамильтоновы циклы и пути: цикл (путь) проходящий через каждую вершину графа ровно один раз, отсутствие критерия, NP-полнота задачи о поиске Гамильтонова цикла в графе, теорема Оре.<br><br />
Чуть-чуть логики: формализация метода доказательства с помощью правила контрапозиции и метода доказательства от противного.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.132-135<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/XDNEDxyuccjLGA Т.Кормен и др. «Алгоритмы Построение и Анализ» стр 442-482, 642, 1086, 1101-1103]<br />
<br />
|-<br />
|09.12.2022<br />
|Двудольные графы, паросочетания, теорема Холла (о свадьбах): формулировка, примеры.<br><br />
Сеть: ориентированный граф с истоком и стоком, с заданными пропускными способностями на ребрах.<br><br />
Поток: неотрицательная функция, заданная на ребрах сети, не превосходящая пропускных способностей ребер и суммарно равная нулю в каждой вершине сети, кроме стока и истока.<br><br />
Разрез: разбиение вершин сети на два множества S и T, содержащих соответственно исток и сток.<br><br />
Пропускная способность разреза: сумма пропускных способностей ребер, ведущих из множества вершин S в множество вершин T.<br><br />
Теорема Форда-Фалкерсона: величина максимального потока равна пропускной способности минимального разреза.<br><br />
Алгоритм нахождения максимального потока в сети: начинаем с нулевого потока, ищем увеличивающий путь (лучше минимальной длины), увеличиваем поток, ищем следующий увеличивающий путь, увеличиваем поток и т.д.<br />
|}<br />
<br />
== Семинары ==<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/N5V4VaIkLVTajg Комбинаторика-1]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/DDB7KcxEXg3-6A Комбинаторика-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/QXW6c4tUxwjV4g Комбинаторика-3]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/lfhWkTgRJPvbGw Числа Фибоначчи, Индукция]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/I1VBzSGylBSUtw Числа Фибоначчи-2, Индукция-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/6ZeDU1zdCnlBog Системы счисления]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/pC1rFQaRgrr5KA Делимость и Вычеты]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/iGuukuYtT4O1iQ Расширенный алгоритм Евклида, малая теорема Ферма]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/yGSOYGTeGLBJVg Малая теорема Ферма, Китайская теорема об остатках]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KjQpX2s2Vj8ITw Теорема Эйлера]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/OOaz4DVxqMuUkg Графы-1]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KiTGSNoG6VM_Hg Деревья, правильные раскраски]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KE1u7QBFzIgkcA Эйлеровы и Гамильтоновы циклы и пути]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/WhUOhUDduFOzjQ Потоки в сетях]<br />
<br />
== Домашние задания ==<br />
'''В ДЗ-8 появилась бонусная задача на бинарные деревья поиска. Ссылку на книгу по теме можно найти в допматериалах к последней лекции.'''<br><br />
Книга «Алгоритмы. Построение и Анализ.» Т.Кормена и др. на мой взгляд является отличным источником знаний для начинающего (и не только) программиста -- в ней рассмотрено большое количество основных понятий и определений, для каждого алгоритма приведен псевдокод (иногда не один) и оценка сложности. Этой книгой можно пользоваться как справочником: читать 2-3 страницы по интересующей теме и временно откладывать.<br />
<br />
'''Правила сдачи ДЗ''': решения задач из домашнего задания оформляются письменно, первый лист работы подписывается, только ответы не проверяются, должно присутствовать ''полное рассуждение'', затем текст сканируется, файл называется в соответствии с ФИО студента (например, SysoevaLN.pdf) и отправляется на проверку (ссылку на загрузку см. в таблице ниже).<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дедлайн<br />
!Домашнее задание<br />
!Ссылка на загрузку файла<br />
!Решения и критерии<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/WeEzyM70AzqNtw Домашнее задание №1]<br />
|[https://www.dropbox.com/request/cGNCtS3rrJoiE6NGCrz9 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/lmtlr4mP41Iy-Q Решения ДЗ-1]<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/87IgAYKMLGbEyA Домашнее задание №2]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/_yELwtWaJS4RMA Решения ДЗ-2]<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/Yy6-_Hda1UEQLg Домашнее задание №3]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/-VioO1CArRXPEA Решения ДЗ-3]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/aofNsKB9AMhONA Домашнее задание №4]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/JVpDIULhuGcJfA Решения ДЗ-4]<br />
<br />
|-<br />
|4.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/V62t0PGwzQmJoA Домашнее задание №5]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/S-0Dkekb9_o1aQ Решения ДЗ-5]<br />
<br />
|-<br />
|12.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/ZtHuki9PQHV5Cg Домашнее задание №6]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/nmYHFgM2kiZtdg Решения ДЗ-6]<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/X6LCkozybxDH7w Домашнее задание №7]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/9WINMpnYoD5uRw Решения ДЗ-7]<br />
<br />
|-<br />
|27.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/FjywLphzBhL0Xw Домашнее задание №8]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
| [https://disk.yandex.ru/i/cQh7lkI29Bqgxw Решения ДЗ-8]<br />
<br />
|-<br />
|4.12.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/WRZnhkUVF8mXJA Домашнее задание №9]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
| [https://disk.yandex.ru/i/1TO4dRwu3iyOzg Решения ДЗ-9]<br />
<br />
|-<br />
|15.12.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/gq1oxKo9Y78NEw Домашнее задание №10]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|<br />
|}</div>Любовь Сысоеваhttp://math-info.hse.ru/wiki2022-23/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0&diff=477Дискретная Математика2022-12-13T08:43:00Z<p>Любовь Сысоева: </p>
<hr />
<div>'''Дорогие студенты!'''<br />
<br />
На этой странице будут появляться различные материалы и объявления, связанные с курсом '''«Дискретная математика»''', читаемого для студентов 1-го курса ОП Вычислительные социальные науки в '''2022/2023''' учебном году. <br />
<br />
* Лекции и семинары: Сысоева Любовь Николаевна lsysoeva@hse.ru, telegram @lsysoeva<br />
* Ассистент: Ластовецкий Дмитрий dalastovetsky@hse.ru, telegram @dalastovetskiy<br />
<br />
{|<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_izNbdyLHY8c3Y4SfFzpzhsF-QTBNpRFmEqnCR3IQFU/edit?usp=sharing Ведомость активности] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SmaC4Uyy1F4Dn37zME5SMQCdAtXQHpSelk3JZttFxBU/edit?usp=sharing Ведомость ДЗ]<br />
|}<br />
<br />
Формула итоговой оценки:<br />
0,3 * Активность + 0,3 * Домашние задания + 0,4 * Экзамен<br />
<br />
== Контрольная ==<br />
<br />
'''Итоговая контрольная состоится 16го декабря!'''<br><br />
Большая просьба не опаздывать!!<br><br />
Если все пойдет по плану, последние 30-50 минут занятий мы потратим на разбор задач из контрольной, чтобы у вас сразу было понимание, как вы написали и какие темы стоит повторить к экзамену.<br />
Оценка за экзамен будет выставляться как максимум из оценок за КР и за Экзамен.<br />
<br />
== Лекции ==<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дата лекции<br />
!тема лекции<br />
!дополнительные материалы<br />
|-<br />
|16.09.2022<br />
|Понятие множества, конечные множества, задание множества перечислением элементов, задание множества условием, пустое множество, пересечение множеств, объединение множеств, декартово произведение множеств, парадокс брадобрея.<br><br />
Комбинаторика: правило суммы, правило произведения, факториал, число размещений с повторениями и без повторений, число сочетаний.<br />
|[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.1-26<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.44-63<br />
<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|Дискретная вероятность = (кол-во положительных исходов)/(общее число исходов).<br><br />
<br />
Сочетания с повторениями (метод шариков и перегородок), типы предметов.<br><br />
<br />
Треугольник Паскаля (количество путей от вершины вниз), рекуррентная формула (нижний элемент = сумме двух верхних).<br><br />
<br />
Бином Ньютона, связь с треугольником Паскаля (коэффициенты в разложении (a+b)<sup>n</sup> это числа в n строке треугольника).<br><br />
<br />
Числа сочетаний в треугольнике Паскаля, формула C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>k</sup><sub>n-1</sub> + C<sup>k-1</sup><sub>n-1</sub> и ее комбинаторный смысл.<br><br />
<br />
Сумма элементов n строки в треугольнике Паскаля равна 2<sup>n</sup> (через удвоение суммы предыдущей строки, через разложение (1+1)<sup>n</sup> и через все подмножества множества из n элементов).<br><br />
<br />
Полиномиальные коэффициенты (определение и формула).<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.26-40<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.63-70<br />
<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|Числа сочетаний в треугольнике Паскаля: возрастание элементов к середине строки и убывание после середины (C<sup>k</sup><sub>n</sub> < C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k < (n-1)/2 и C<sup>k</sup><sub>n</sub> > C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k > (n-1)/2), симметрия (C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>n-k</sup><sub>n</sub>), оценка среднего элемента в строке через сумму и количество элементов в этой строке (C<sup>n</sup><sub>2n</sub> > 2<sup>2n</sup>/(2n+1)).<br><br />
<br />
Сумма знакопеременных элементов n строки в треугольнике Паскаля равна нулю (через удвоение элементов предыдущей строки с противоположными знаками, через разложение (1-1)<sup>n</sup>).<br><br />
<br />
Формулы для 11<sup>2</sup>, 11<sup>3</sup>, 11<sup>4</sup> и связь со строками треугольника Паскаля (доказательство через разложение 11<sup>k</sup> = (10+1)<sup>k</sup> по биному Ньютона).<br><br />
<br />
Формула включений-исключений: через диаграммы Эйлера-Вена для 2 и 3 множеств, формулировка в общем случае.<br><br />
<br />
Принцип Дирихле (pigeonhole principle): если кроликов больше, чем клеток, то при рассадке кроликов по клеткам по крайней мере в одну клетку попадут по крайней мере два кролика.<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.41-44<br><br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.66<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи: задача про кроликов, определение (F<sub>0</sub> = 0, F<sub>1</sub> = 1, F<sub>n+1</sub> = F<sub>n</sub> + F<sub>n-1</sub>), F<sub>n</sub> равно сумме "диагонали" треугольника Паскаля (F<sub>n</sub> = C<sub>n-1</sub><sup>0</sup> + C<sub>n-2</sub><sup>1</sup> + C<sub>n-3</sub><sup>2</sup> + ... + C<sub>n-[n/2]</sub><sup>[n/2]-1</sup> целая часть должна быть верхней), явная формула (F<sub>n</sub> = 1/٧5((1+٧5)/2)^n - 1/٧5((1-٧5)/2)^n) и ее доказательство по индукции.<br />
<br />
Индукция: принцип математической индукции, база и переход их согласованность, индуктивное предположение, доказательство равенств, неравенств, разбор текстовой задачи (машина на краю пустыни).<br />
Примеры неверных доказательств по индукции (резиновый автобус, куча манки, одномастные лошади).<br />
<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.16-51<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|14.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи (повторение).<br />
Линейные рекуррентные соотношения в разных задачах.<br />
Рекурсия (программирование, литература) и ее связь с рекуррентными соотношениями.<br />
Основная теорема о рекуррентных соотношениях (Master theorem): оценка сложности рекурсивных алгоритмов.<br />
<br />
Рекуррентные записи n! и геометрических прогрессий.<br />
<br />
Индукция: повторение, связь с рекуррентными соотношениями, пример вложенной индукции (количество разломов прямоугольной шоколадки).<br />
<br />
|[https://ru.wikipedia.org/wiki/Основная_теорема_о_рекуррентных_соотношениях Основная теорема о рекуррентных соотношениях]<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|Числа Каталана (по заявкам): рекуррентная формула, количество правильных скобочных последовательностей, количество способов разбить n-угольник диагоналями на треугольники.<br />
<br />
Системы счисления: позиционные, примеры, n-ичные дроби, переводы между системами счислений целых чисел и дробных частей, погрешность в случае прерывания бесконечных дробей.<br />
<br />
Римская система счисления: способы записи чисел, сложность алгоритмов сложения и умножения чисел.<br />
<br />
Признаки делимости в n-ичной системе счисления: схожесть признаков делимости на n-1 и n+1 с признаками делимости на 9 и 11 для десятичной системы, схожесть признаков делимости на делители n с признаками делимости на 5 и 10 для десятичной системы.<br />
<br />
Троичная система: взвешивание путем уравновешивания весов с двумя чашами.<br />
|<br />
[https://disk.yandex.ru/i/UjJYIydJppYhQg Статья про числа Каталана]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/MOK8NEeNVq5SYA Книжка по системам счисления]<br />
<br />
|-<br />
|01.11.2022<br />
|Простые числа: определение, основная теорема арифметики (любое число однозначно разлагается в произведение простых), бесконечное количество простых чисел (два доказательства 1. p<sub>1</sub>p<sub>2</sub>...p<sub>n</sub>+1 ; 2. (k+1)<sup>n</sup> << 2<sup>k</sup> при фиксированном n и растущем k), Постулат Бертрана (теорема Чебышева): для любого натурального n ⩾ 2 найдётся простое число p в интервале n < p < 2n.<br />
<br />
Остатки от деления и вычеты: сложение, вычитание, умножение, поиск обратного вычета.<br />
Запись вычетов через отрицательные числа для удобства вычислений.<br />
Примеры, когда обратного вычета не существует (элемент и модуль не взаимно просты).<br />
<br />
Алгоритм Евклида (с использованием остатка от деления по модулю): сам алгоритм и оценка числа итераций через числа Фибоначчи.<br />
<br />
|[http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/e4d919f5-8435-4fe3-a779-275181a69951/M_1.1.4/M_1.1.4.html Вычеты (короткая базовая статья)]<br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.143-156<br />
<br />
|-<br />
|11.11.2022<br />
|Идея кодирования с открытым ключом.<br />
Диофантовы уравнения: примеры, великая теорема Ферма, линейные Диофантовы уравнения с двумя неизвестными, критерий разрешимости.<br />
Расширенный алгоритм Евклида: решение линейных Диофантовых уравнений с двумя неизвестными.<br />
Сведение поиска обратного по умножению элемента по модулю к решению линейного Диофантова уравнения с двумя неизвестными.<br />
Единственность обратного по умножению элемента по модулю (если существует, то единственный).<br />
<br />
Малая теорема Ферма: формулировка, четыре доказательства (мультиномиальное разложение, индукция и бином Ньютона, раскраска бус, перемножение чисел специального вида), поиск обратного по умножению элемента через малую теорему Ферма в случае простого модуля.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.154-163<br />
<br />
<br />
|-<br />
|15.11.2022<br />
|Идея проверки числа на простоту:<br><br />
1) проверка делимости на простые до корня из числа;<br><br />
2) проверка взаимной простоты с числами от 2 до n-1;<br><br />
3) (тест Ферма) проверка справедливости малой теоремы Ферма для чисел от 2 до n-1 (и числа Кармайкла);<br><br />
4) (тест Рабина) проверка справедливости малой теоремы Ферма плюс корней из 1.<br />
<br />
Китайская теорема об остатках: система сравнений по взаимнопростым модулям имеет единственное решение по произведению модулей.<br />
Доказательство и решения систем сравнений с помощью расширенного алгоритма Евклида.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.161-165<br />
<br />
|-<br />
|18.11.2022<br />
|Китайская теорема об остатках: доказательство (индукция во числу сравнений), Следствие: независимость распределения остатков по взаимнопростым модулям.<br><br />
Функция Эйлера: определение и вычисление для простых чисел, степеней простых чисел, составных чисел.<br><br />
Теорема Эйлера: формулировка, малая теорема Ферма как частный случай, доказательство (аналогично 4 доказательству малой теоремы Ферма, через обратимые остатки и их перемножение).<br><br />
Алгоритм кодирования с открытым ключом RSA: определение, корректность кодирования и декодирования, устойчивость к атакам.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.162-167<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/fX6Q_FMRE-I_Zg Лекции по криптографии] (тут довольно хорошо объяснен алгоритм RSA и еще много что)<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|Графы: определение (V,E), множество вершин, множество ребер, изолированная вершина, степень вершины, способы задания графов (матрица смежности, матрица инцидентности, список смежности).<br><br />
Формула 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>).<br><br />
Маршрут, путь, простой путь, расстояние между вершинами (длина кратчайшего пути), диаметр графа (самое большое расстояние между вершинами).<br><br />
Цикл, простой цикл.<br><br />
Связный граф, компонента связности.<br><br />
Оценка: количество компонент связности ≥ |V|-|E|.<br><br />
Следствие: для поиска самого тяжелого камня среди n камней необходимо n-1 взвешивание.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.95-118<br><br />
<br />
|-<br />
|25.11.2022<br />
|Деревья: (четыре определения и их эквивалентность) связный граф с V-1 ребром; минимальный связный граф; связный ациклический граф; граф, между любыми двумя вершинами которого существует единственный путь.<br><br />
''Дополнительно:'' бинарное дерево поиска: поиск элемента, добавление элемента, удаление элемента, поиск следующего и предшествующего элементов.<br><br />
Существование у произвольного дерева по крайней мере двух листьев (два доказательства: через формулу 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>) и через максимально удаленные вершины).<br><br />
Остовное дерево связного графа, возможность удаления из связного графа вершины вместе с ребрами без потери связности.<br><br />
Правильная раскраска: определение, примеры, критерий 2-раскрашиваемости графа (отсутствие циклов нечетной длины).<br><br />
''Дополнительно:'' алгоритмы поиска в ширину (BFS) и глубину (DFS).<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.118-123<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/XDNEDxyuccjLGA Т.Кормен и др. «Алгоритмы Построение и Анализ» стр 316-322, 607-663]<br />
<br />
|-<br />
|02.12.2022<br />
|Жадные алгоритмы: алгоритмы, оптимизирующие некоторый параметр на '''каждом''' шаге, примеры (задача о рюкзаке в дискретном и непрерывном вариантах, задача о поиске минимального остовного дерева, задача о загруженности аудитории).<br><br />
Эйлеровы циклы и пути: цикл (путь) проходящий по каждому ребру графа ровно один раз, критерии наличия Эйлерова цикла (пути) в неориентированном и ориентированном графах.<br><br />
Гамильтоновы циклы и пути: цикл (путь) проходящий через каждую вершину графа ровно один раз, отсутствие критерия, NP-полнота задачи о поиске Гамильтонова цикла в графе, теорема Оре.<br><br />
Чуть-чуть логики: формализация метода доказательства с помощью правила контрапозиции и метода доказательства от противного.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.132-135<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/XDNEDxyuccjLGA Т.Кормен и др. «Алгоритмы Построение и Анализ» стр 442-482, 642, 1086, 1101-1103]<br />
|}<br />
<br />
== Семинары ==<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/N5V4VaIkLVTajg Комбинаторика-1]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/DDB7KcxEXg3-6A Комбинаторика-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/QXW6c4tUxwjV4g Комбинаторика-3]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/lfhWkTgRJPvbGw Числа Фибоначчи, Индукция]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/I1VBzSGylBSUtw Числа Фибоначчи-2, Индукция-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/6ZeDU1zdCnlBog Системы счисления]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/pC1rFQaRgrr5KA Делимость и Вычеты]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/iGuukuYtT4O1iQ Расширенный алгоритм Евклида, малая теорема Ферма]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/yGSOYGTeGLBJVg Малая теорема Ферма, Китайская теорема об остатках]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KjQpX2s2Vj8ITw Теорема Эйлера]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/OOaz4DVxqMuUkg Графы-1]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KiTGSNoG6VM_Hg Деревья, правильные раскраски]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KE1u7QBFzIgkcA Эйлеровы и Гамильтоновы циклы и пути]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/WhUOhUDduFOzjQ Потоки в сетях]<br />
<br />
== Домашние задания ==<br />
'''В ДЗ-8 появилась бонусная задача на бинарные деревья поиска. Ссылку на книгу по теме можно найти в допматериалах к последней лекции.'''<br><br />
Книга «Алгоритмы. Построение и Анализ.» Т.Кормена и др. на мой взгляд является отличным источником знаний для начинающего (и не только) программиста -- в ней рассмотрено большое количество основных понятий и определений, для каждого алгоритма приведен псевдокод (иногда не один) и оценка сложности. Этой книгой можно пользоваться как справочником: читать 2-3 страницы по интересующей теме и временно откладывать.<br />
<br />
'''Правила сдачи ДЗ''': решения задач из домашнего задания оформляются письменно, первый лист работы подписывается, только ответы не проверяются, должно присутствовать ''полное рассуждение'', затем текст сканируется, файл называется в соответствии с ФИО студента (например, SysoevaLN.pdf) и отправляется на проверку (ссылку на загрузку см. в таблице ниже).<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дедлайн<br />
!Домашнее задание<br />
!Ссылка на загрузку файла<br />
!Решения и критерии<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/WeEzyM70AzqNtw Домашнее задание №1]<br />
|[https://www.dropbox.com/request/cGNCtS3rrJoiE6NGCrz9 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/lmtlr4mP41Iy-Q Решения ДЗ-1]<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/87IgAYKMLGbEyA Домашнее задание №2]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/_yELwtWaJS4RMA Решения ДЗ-2]<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/Yy6-_Hda1UEQLg Домашнее задание №3]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/-VioO1CArRXPEA Решения ДЗ-3]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/aofNsKB9AMhONA Домашнее задание №4]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/JVpDIULhuGcJfA Решения ДЗ-4]<br />
<br />
|-<br />
|4.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/V62t0PGwzQmJoA Домашнее задание №5]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/S-0Dkekb9_o1aQ Решения ДЗ-5]<br />
<br />
|-<br />
|12.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/ZtHuki9PQHV5Cg Домашнее задание №6]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/nmYHFgM2kiZtdg Решения ДЗ-6]<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/X6LCkozybxDH7w Домашнее задание №7]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/9WINMpnYoD5uRw Решения ДЗ-7]<br />
<br />
|-<br />
|27.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/FjywLphzBhL0Xw Домашнее задание №8]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
| [https://disk.yandex.ru/i/cQh7lkI29Bqgxw Решения ДЗ-8]<br />
<br />
|-<br />
|4.12.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/WRZnhkUVF8mXJA Домашнее задание №9]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
| [https://disk.yandex.ru/i/1TO4dRwu3iyOzg Решения ДЗ-9]<br />
<br />
|-<br />
|15.12.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/gq1oxKo9Y78NEw Домашнее задание №10]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|<br />
|}</div>Любовь Сысоеваhttp://math-info.hse.ru/wiki2022-23/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0&diff=471Дискретная Математика2022-12-12T14:58:11Z<p>Любовь Сысоева: /* Домашние задания */</p>
<hr />
<div>'''Дорогие студенты!'''<br />
<br />
На этой странице будут появляться различные материалы и объявления, связанные с курсом '''«Дискретная математика»''', читаемого для студентов 1-го курса ОП Вычислительные социальные науки в '''2022/2023''' учебном году. <br />
<br />
* Лекции и семинары: Сысоева Любовь Николаевна lsysoeva@hse.ru, telegram @lsysoeva<br />
* Ассистент: Ластовецкий Дмитрий dalastovetsky@hse.ru, telegram @dalastovetskiy<br />
<br />
{|<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_izNbdyLHY8c3Y4SfFzpzhsF-QTBNpRFmEqnCR3IQFU/edit?usp=sharing Ведомость активности] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SmaC4Uyy1F4Dn37zME5SMQCdAtXQHpSelk3JZttFxBU/edit?usp=sharing Ведомость ДЗ]<br />
|}<br />
<br />
Формула итоговой оценки:<br />
0,3 * Активность + 0,3 * Домашние задания + 0,4 * Экзамен<br />
<br />
== Консультации ==<br />
<br />
Консультации будут проходить онлайн по понедельникам в 17:00, задавайте ваши вопросы Дмитрию, присоединяйтесь к консультациям!<br />
<br />
Join Zoom Meeting<br />
https://us05web.zoom.us/j/4685079351?pwd=cVJkeVkzUUR1bXNjMzJ1WDRrN0EyUT09<br />
<br />
Meeting ID: 468 507 9351<br />
Passcode: yqTLi1<br />
<br />
== Лекции ==<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дата лекции<br />
!тема лекции<br />
!дополнительные материалы<br />
|-<br />
|16.09.2022<br />
|Понятие множества, конечные множества, задание множества перечислением элементов, задание множества условием, пустое множество, пересечение множеств, объединение множеств, декартово произведение множеств, парадокс брадобрея.<br><br />
Комбинаторика: правило суммы, правило произведения, факториал, число размещений с повторениями и без повторений, число сочетаний.<br />
|[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.1-26<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.44-63<br />
<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|Дискретная вероятность = (кол-во положительных исходов)/(общее число исходов).<br><br />
<br />
Сочетания с повторениями (метод шариков и перегородок), типы предметов.<br><br />
<br />
Треугольник Паскаля (количество путей от вершины вниз), рекуррентная формула (нижний элемент = сумме двух верхних).<br><br />
<br />
Бином Ньютона, связь с треугольником Паскаля (коэффициенты в разложении (a+b)<sup>n</sup> это числа в n строке треугольника).<br><br />
<br />
Числа сочетаний в треугольнике Паскаля, формула C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>k</sup><sub>n-1</sub> + C<sup>k-1</sup><sub>n-1</sub> и ее комбинаторный смысл.<br><br />
<br />
Сумма элементов n строки в треугольнике Паскаля равна 2<sup>n</sup> (через удвоение суммы предыдущей строки, через разложение (1+1)<sup>n</sup> и через все подмножества множества из n элементов).<br><br />
<br />
Полиномиальные коэффициенты (определение и формула).<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.26-40<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.63-70<br />
<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|Числа сочетаний в треугольнике Паскаля: возрастание элементов к середине строки и убывание после середины (C<sup>k</sup><sub>n</sub> < C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k < (n-1)/2 и C<sup>k</sup><sub>n</sub> > C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k > (n-1)/2), симметрия (C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>n-k</sup><sub>n</sub>), оценка среднего элемента в строке через сумму и количество элементов в этой строке (C<sup>n</sup><sub>2n</sub> > 2<sup>2n</sup>/(2n+1)).<br><br />
<br />
Сумма знакопеременных элементов n строки в треугольнике Паскаля равна нулю (через удвоение элементов предыдущей строки с противоположными знаками, через разложение (1-1)<sup>n</sup>).<br><br />
<br />
Формулы для 11<sup>2</sup>, 11<sup>3</sup>, 11<sup>4</sup> и связь со строками треугольника Паскаля (доказательство через разложение 11<sup>k</sup> = (10+1)<sup>k</sup> по биному Ньютона).<br><br />
<br />
Формула включений-исключений: через диаграммы Эйлера-Вена для 2 и 3 множеств, формулировка в общем случае.<br><br />
<br />
Принцип Дирихле (pigeonhole principle): если кроликов больше, чем клеток, то при рассадке кроликов по клеткам по крайней мере в одну клетку попадут по крайней мере два кролика.<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.41-44<br><br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.66<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи: задача про кроликов, определение (F<sub>0</sub> = 0, F<sub>1</sub> = 1, F<sub>n+1</sub> = F<sub>n</sub> + F<sub>n-1</sub>), F<sub>n</sub> равно сумме "диагонали" треугольника Паскаля (F<sub>n</sub> = C<sub>n-1</sub><sup>0</sup> + C<sub>n-2</sub><sup>1</sup> + C<sub>n-3</sub><sup>2</sup> + ... + C<sub>n-[n/2]</sub><sup>[n/2]-1</sup> целая часть должна быть верхней), явная формула (F<sub>n</sub> = 1/٧5((1+٧5)/2)^n - 1/٧5((1-٧5)/2)^n) и ее доказательство по индукции.<br />
<br />
Индукция: принцип математической индукции, база и переход их согласованность, индуктивное предположение, доказательство равенств, неравенств, разбор текстовой задачи (машина на краю пустыни).<br />
Примеры неверных доказательств по индукции (резиновый автобус, куча манки, одномастные лошади).<br />
<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.16-51<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|14.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи (повторение).<br />
Линейные рекуррентные соотношения в разных задачах.<br />
Рекурсия (программирование, литература) и ее связь с рекуррентными соотношениями.<br />
Основная теорема о рекуррентных соотношениях (Master theorem): оценка сложности рекурсивных алгоритмов.<br />
<br />
Рекуррентные записи n! и геометрических прогрессий.<br />
<br />
Индукция: повторение, связь с рекуррентными соотношениями, пример вложенной индукции (количество разломов прямоугольной шоколадки).<br />
<br />
|[https://ru.wikipedia.org/wiki/Основная_теорема_о_рекуррентных_соотношениях Основная теорема о рекуррентных соотношениях]<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|Числа Каталана (по заявкам): рекуррентная формула, количество правильных скобочных последовательностей, количество способов разбить n-угольник диагоналями на треугольники.<br />
<br />
Системы счисления: позиционные, примеры, n-ичные дроби, переводы между системами счислений целых чисел и дробных частей, погрешность в случае прерывания бесконечных дробей.<br />
<br />
Римская система счисления: способы записи чисел, сложность алгоритмов сложения и умножения чисел.<br />
<br />
Признаки делимости в n-ичной системе счисления: схожесть признаков делимости на n-1 и n+1 с признаками делимости на 9 и 11 для десятичной системы, схожесть признаков делимости на делители n с признаками делимости на 5 и 10 для десятичной системы.<br />
<br />
Троичная система: взвешивание путем уравновешивания весов с двумя чашами.<br />
|<br />
[https://disk.yandex.ru/i/UjJYIydJppYhQg Статья про числа Каталана]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/MOK8NEeNVq5SYA Книжка по системам счисления]<br />
<br />
|-<br />
|01.11.2022<br />
|Простые числа: определение, основная теорема арифметики (любое число однозначно разлагается в произведение простых), бесконечное количество простых чисел (два доказательства 1. p<sub>1</sub>p<sub>2</sub>...p<sub>n</sub>+1 ; 2. (k+1)<sup>n</sup> << 2<sup>k</sup> при фиксированном n и растущем k), Постулат Бертрана (теорема Чебышева): для любого натурального n ⩾ 2 найдётся простое число p в интервале n < p < 2n.<br />
<br />
Остатки от деления и вычеты: сложение, вычитание, умножение, поиск обратного вычета.<br />
Запись вычетов через отрицательные числа для удобства вычислений.<br />
Примеры, когда обратного вычета не существует (элемент и модуль не взаимно просты).<br />
<br />
Алгоритм Евклида (с использованием остатка от деления по модулю): сам алгоритм и оценка числа итераций через числа Фибоначчи.<br />
<br />
|[http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/e4d919f5-8435-4fe3-a779-275181a69951/M_1.1.4/M_1.1.4.html Вычеты (короткая базовая статья)]<br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.143-156<br />
<br />
|-<br />
|11.11.2022<br />
|Идея кодирования с открытым ключом.<br />
Диофантовы уравнения: примеры, великая теорема Ферма, линейные Диофантовы уравнения с двумя неизвестными, критерий разрешимости.<br />
Расширенный алгоритм Евклида: решение линейных Диофантовых уравнений с двумя неизвестными.<br />
Сведение поиска обратного по умножению элемента по модулю к решению линейного Диофантова уравнения с двумя неизвестными.<br />
Единственность обратного по умножению элемента по модулю (если существует, то единственный).<br />
<br />
Малая теорема Ферма: формулировка, четыре доказательства (мультиномиальное разложение, индукция и бином Ньютона, раскраска бус, перемножение чисел специального вида), поиск обратного по умножению элемента через малую теорему Ферма в случае простого модуля.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.154-163<br />
<br />
<br />
|-<br />
|15.11.2022<br />
|Идея проверки числа на простоту:<br><br />
1) проверка делимости на простые до корня из числа;<br><br />
2) проверка взаимной простоты с числами от 2 до n-1;<br><br />
3) (тест Ферма) проверка справедливости малой теоремы Ферма для чисел от 2 до n-1 (и числа Кармайкла);<br><br />
4) (тест Рабина) проверка справедливости малой теоремы Ферма плюс корней из 1.<br />
<br />
Китайская теорема об остатках: система сравнений по взаимнопростым модулям имеет единственное решение по произведению модулей.<br />
Доказательство и решения систем сравнений с помощью расширенного алгоритма Евклида.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.161-165<br />
<br />
|-<br />
|18.11.2022<br />
|Китайская теорема об остатках: доказательство (индукция во числу сравнений), Следствие: независимость распределения остатков по взаимнопростым модулям.<br><br />
Функция Эйлера: определение и вычисление для простых чисел, степеней простых чисел, составных чисел.<br><br />
Теорема Эйлера: формулировка, малая теорема Ферма как частный случай, доказательство (аналогично 4 доказательству малой теоремы Ферма, через обратимые остатки и их перемножение).<br><br />
Алгоритм кодирования с открытым ключом RSA: определение, корректность кодирования и декодирования, устойчивость к атакам.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.162-167<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/fX6Q_FMRE-I_Zg Лекции по криптографии] (тут довольно хорошо объяснен алгоритм RSA и еще много что)<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|Графы: определение (V,E), множество вершин, множество ребер, изолированная вершина, степень вершины, способы задания графов (матрица смежности, матрица инцидентности, список смежности).<br><br />
Формула 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>).<br><br />
Маршрут, путь, простой путь, расстояние между вершинами (длина кратчайшего пути), диаметр графа (самое большое расстояние между вершинами).<br><br />
Цикл, простой цикл.<br><br />
Связный граф, компонента связности.<br><br />
Оценка: количество компонент связности ≥ |V|-|E|.<br><br />
Следствие: для поиска самого тяжелого камня среди n камней необходимо n-1 взвешивание.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.95-118<br><br />
<br />
|-<br />
|25.11.2022<br />
|Деревья: (четыре определения и их эквивалентность) связный граф с V-1 ребром; минимальный связный граф; связный ациклический граф; граф, между любыми двумя вершинами которого существует единственный путь.<br><br />
''Дополнительно:'' бинарное дерево поиска: поиск элемента, добавление элемента, удаление элемента, поиск следующего и предшествующего элементов.<br><br />
Существование у произвольного дерева по крайней мере двух листьев (два доказательства: через формулу 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>) и через максимально удаленные вершины).<br><br />
Остовное дерево связного графа, возможность удаления из связного графа вершины вместе с ребрами без потери связности.<br><br />
Правильная раскраска: определение, примеры, критерий 2-раскрашиваемости графа (отсутствие циклов нечетной длины).<br><br />
''Дополнительно:'' алгоритмы поиска в ширину (BFS) и глубину (DFS).<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.118-123<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/XDNEDxyuccjLGA Т.Кормен и др. «Алгоритмы Построение и Анализ» стр 316-322, 607-663]<br />
<br />
|-<br />
|02.12.2022<br />
|Жадные алгоритмы: алгоритмы, оптимизирующие некоторый параметр на '''каждом''' шаге, примеры (задача о рюкзаке в дискретном и непрерывном вариантах, задача о поиске минимального остовного дерева, задача о загруженности аудитории).<br><br />
Эйлеровы циклы и пути: цикл (путь) проходящий по каждому ребру графа ровно один раз, критерии наличия Эйлерова цикла (пути) в неориентированном и ориентированном графах.<br><br />
Гамильтоновы циклы и пути: цикл (путь) проходящий через каждую вершину графа ровно один раз, отсутствие критерия, NP-полнота задачи о поиске Гамильтонова цикла в графе, теорема Оре.<br><br />
Чуть-чуть логики: формализация метода доказательства с помощью правила контрапозиции и метода доказательства от противного.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.132-135<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/XDNEDxyuccjLGA Т.Кормен и др. «Алгоритмы Построение и Анализ» стр 442-482, 642, 1086, 1101-1103]<br />
|}<br />
<br />
== Семинары ==<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/N5V4VaIkLVTajg Комбинаторика-1]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/DDB7KcxEXg3-6A Комбинаторика-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/QXW6c4tUxwjV4g Комбинаторика-3]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/lfhWkTgRJPvbGw Числа Фибоначчи, Индукция]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/I1VBzSGylBSUtw Числа Фибоначчи-2, Индукция-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/6ZeDU1zdCnlBog Системы счисления]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/pC1rFQaRgrr5KA Делимость и Вычеты]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/iGuukuYtT4O1iQ Расширенный алгоритм Евклида, малая теорема Ферма]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/yGSOYGTeGLBJVg Малая теорема Ферма, Китайская теорема об остатках]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KjQpX2s2Vj8ITw Теорема Эйлера]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/OOaz4DVxqMuUkg Графы-1]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KiTGSNoG6VM_Hg Деревья, правильные раскраски]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KE1u7QBFzIgkcA Эйлеровы и Гамильтоновы циклы и пути]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/WhUOhUDduFOzjQ Потоки в сетях]<br />
<br />
== Домашние задания ==<br />
'''В ДЗ-8 появилась бонусная задача на бинарные деревья поиска. Ссылку на книгу по теме можно найти в допматериалах к последней лекции.'''<br><br />
Книга «Алгоритмы. Построение и Анализ.» Т.Кормена и др. на мой взгляд является отличным источником знаний для начинающего (и не только) программиста -- в ней рассмотрено большое количество основных понятий и определений, для каждого алгоритма приведен псевдокод (иногда не один) и оценка сложности. Этой книгой можно пользоваться как справочником: читать 2-3 страницы по интересующей теме и временно откладывать.<br />
<br />
'''Правила сдачи ДЗ''': решения задач из домашнего задания оформляются письменно, первый лист работы подписывается, только ответы не проверяются, должно присутствовать ''полное рассуждение'', затем текст сканируется, файл называется в соответствии с ФИО студента (например, SysoevaLN.pdf) и отправляется на проверку (ссылку на загрузку см. в таблице ниже).<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дедлайн<br />
!Домашнее задание<br />
!Ссылка на загрузку файла<br />
!Решения и критерии<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/WeEzyM70AzqNtw Домашнее задание №1]<br />
|[https://www.dropbox.com/request/cGNCtS3rrJoiE6NGCrz9 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/lmtlr4mP41Iy-Q Решения ДЗ-1]<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/87IgAYKMLGbEyA Домашнее задание №2]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/_yELwtWaJS4RMA Решения ДЗ-2]<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/Yy6-_Hda1UEQLg Домашнее задание №3]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/-VioO1CArRXPEA Решения ДЗ-3]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/aofNsKB9AMhONA Домашнее задание №4]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/JVpDIULhuGcJfA Решения ДЗ-4]<br />
<br />
|-<br />
|4.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/V62t0PGwzQmJoA Домашнее задание №5]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/S-0Dkekb9_o1aQ Решения ДЗ-5]<br />
<br />
|-<br />
|12.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/ZtHuki9PQHV5Cg Домашнее задание №6]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/nmYHFgM2kiZtdg Решения ДЗ-6]<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/X6LCkozybxDH7w Домашнее задание №7]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/9WINMpnYoD5uRw Решения ДЗ-7]<br />
<br />
|-<br />
|27.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/FjywLphzBhL0Xw Домашнее задание №8]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
| [https://disk.yandex.ru/i/cQh7lkI29Bqgxw Решения ДЗ-8]<br />
<br />
|-<br />
|4.12.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/WRZnhkUVF8mXJA Домашнее задание №9]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
| [https://disk.yandex.ru/i/1TO4dRwu3iyOzg Решения ДЗ-9]<br />
<br />
|-<br />
|15.12.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/gq1oxKo9Y78NEw Домашнее задание №10]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|<br />
|}</div>Любовь Сысоеваhttp://math-info.hse.ru/wiki2022-23/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0&diff=470Дискретная Математика2022-12-10T18:09:08Z<p>Любовь Сысоева: /* Домашние задания */</p>
<hr />
<div>'''Дорогие студенты!'''<br />
<br />
На этой странице будут появляться различные материалы и объявления, связанные с курсом '''«Дискретная математика»''', читаемого для студентов 1-го курса ОП Вычислительные социальные науки в '''2022/2023''' учебном году. <br />
<br />
* Лекции и семинары: Сысоева Любовь Николаевна lsysoeva@hse.ru, telegram @lsysoeva<br />
* Ассистент: Ластовецкий Дмитрий dalastovetsky@hse.ru, telegram @dalastovetskiy<br />
<br />
{|<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_izNbdyLHY8c3Y4SfFzpzhsF-QTBNpRFmEqnCR3IQFU/edit?usp=sharing Ведомость активности] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SmaC4Uyy1F4Dn37zME5SMQCdAtXQHpSelk3JZttFxBU/edit?usp=sharing Ведомость ДЗ]<br />
|}<br />
<br />
Формула итоговой оценки:<br />
0,3 * Активность + 0,3 * Домашние задания + 0,4 * Экзамен<br />
<br />
== Консультации ==<br />
<br />
Консультации будут проходить онлайн по понедельникам в 17:00, задавайте ваши вопросы Дмитрию, присоединяйтесь к консультациям!<br />
<br />
Join Zoom Meeting<br />
https://us05web.zoom.us/j/4685079351?pwd=cVJkeVkzUUR1bXNjMzJ1WDRrN0EyUT09<br />
<br />
Meeting ID: 468 507 9351<br />
Passcode: yqTLi1<br />
<br />
== Лекции ==<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дата лекции<br />
!тема лекции<br />
!дополнительные материалы<br />
|-<br />
|16.09.2022<br />
|Понятие множества, конечные множества, задание множества перечислением элементов, задание множества условием, пустое множество, пересечение множеств, объединение множеств, декартово произведение множеств, парадокс брадобрея.<br><br />
Комбинаторика: правило суммы, правило произведения, факториал, число размещений с повторениями и без повторений, число сочетаний.<br />
|[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.1-26<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.44-63<br />
<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|Дискретная вероятность = (кол-во положительных исходов)/(общее число исходов).<br><br />
<br />
Сочетания с повторениями (метод шариков и перегородок), типы предметов.<br><br />
<br />
Треугольник Паскаля (количество путей от вершины вниз), рекуррентная формула (нижний элемент = сумме двух верхних).<br><br />
<br />
Бином Ньютона, связь с треугольником Паскаля (коэффициенты в разложении (a+b)<sup>n</sup> это числа в n строке треугольника).<br><br />
<br />
Числа сочетаний в треугольнике Паскаля, формула C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>k</sup><sub>n-1</sub> + C<sup>k-1</sup><sub>n-1</sub> и ее комбинаторный смысл.<br><br />
<br />
Сумма элементов n строки в треугольнике Паскаля равна 2<sup>n</sup> (через удвоение суммы предыдущей строки, через разложение (1+1)<sup>n</sup> и через все подмножества множества из n элементов).<br><br />
<br />
Полиномиальные коэффициенты (определение и формула).<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.26-40<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.63-70<br />
<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|Числа сочетаний в треугольнике Паскаля: возрастание элементов к середине строки и убывание после середины (C<sup>k</sup><sub>n</sub> < C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k < (n-1)/2 и C<sup>k</sup><sub>n</sub> > C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k > (n-1)/2), симметрия (C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>n-k</sup><sub>n</sub>), оценка среднего элемента в строке через сумму и количество элементов в этой строке (C<sup>n</sup><sub>2n</sub> > 2<sup>2n</sup>/(2n+1)).<br><br />
<br />
Сумма знакопеременных элементов n строки в треугольнике Паскаля равна нулю (через удвоение элементов предыдущей строки с противоположными знаками, через разложение (1-1)<sup>n</sup>).<br><br />
<br />
Формулы для 11<sup>2</sup>, 11<sup>3</sup>, 11<sup>4</sup> и связь со строками треугольника Паскаля (доказательство через разложение 11<sup>k</sup> = (10+1)<sup>k</sup> по биному Ньютона).<br><br />
<br />
Формула включений-исключений: через диаграммы Эйлера-Вена для 2 и 3 множеств, формулировка в общем случае.<br><br />
<br />
Принцип Дирихле (pigeonhole principle): если кроликов больше, чем клеток, то при рассадке кроликов по клеткам по крайней мере в одну клетку попадут по крайней мере два кролика.<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.41-44<br><br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.66<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи: задача про кроликов, определение (F<sub>0</sub> = 0, F<sub>1</sub> = 1, F<sub>n+1</sub> = F<sub>n</sub> + F<sub>n-1</sub>), F<sub>n</sub> равно сумме "диагонали" треугольника Паскаля (F<sub>n</sub> = C<sub>n-1</sub><sup>0</sup> + C<sub>n-2</sub><sup>1</sup> + C<sub>n-3</sub><sup>2</sup> + ... + C<sub>n-[n/2]</sub><sup>[n/2]-1</sup> целая часть должна быть верхней), явная формула (F<sub>n</sub> = 1/٧5((1+٧5)/2)^n - 1/٧5((1-٧5)/2)^n) и ее доказательство по индукции.<br />
<br />
Индукция: принцип математической индукции, база и переход их согласованность, индуктивное предположение, доказательство равенств, неравенств, разбор текстовой задачи (машина на краю пустыни).<br />
Примеры неверных доказательств по индукции (резиновый автобус, куча манки, одномастные лошади).<br />
<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.16-51<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|14.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи (повторение).<br />
Линейные рекуррентные соотношения в разных задачах.<br />
Рекурсия (программирование, литература) и ее связь с рекуррентными соотношениями.<br />
Основная теорема о рекуррентных соотношениях (Master theorem): оценка сложности рекурсивных алгоритмов.<br />
<br />
Рекуррентные записи n! и геометрических прогрессий.<br />
<br />
Индукция: повторение, связь с рекуррентными соотношениями, пример вложенной индукции (количество разломов прямоугольной шоколадки).<br />
<br />
|[https://ru.wikipedia.org/wiki/Основная_теорема_о_рекуррентных_соотношениях Основная теорема о рекуррентных соотношениях]<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|Числа Каталана (по заявкам): рекуррентная формула, количество правильных скобочных последовательностей, количество способов разбить n-угольник диагоналями на треугольники.<br />
<br />
Системы счисления: позиционные, примеры, n-ичные дроби, переводы между системами счислений целых чисел и дробных частей, погрешность в случае прерывания бесконечных дробей.<br />
<br />
Римская система счисления: способы записи чисел, сложность алгоритмов сложения и умножения чисел.<br />
<br />
Признаки делимости в n-ичной системе счисления: схожесть признаков делимости на n-1 и n+1 с признаками делимости на 9 и 11 для десятичной системы, схожесть признаков делимости на делители n с признаками делимости на 5 и 10 для десятичной системы.<br />
<br />
Троичная система: взвешивание путем уравновешивания весов с двумя чашами.<br />
|<br />
[https://disk.yandex.ru/i/UjJYIydJppYhQg Статья про числа Каталана]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/MOK8NEeNVq5SYA Книжка по системам счисления]<br />
<br />
|-<br />
|01.11.2022<br />
|Простые числа: определение, основная теорема арифметики (любое число однозначно разлагается в произведение простых), бесконечное количество простых чисел (два доказательства 1. p<sub>1</sub>p<sub>2</sub>...p<sub>n</sub>+1 ; 2. (k+1)<sup>n</sup> << 2<sup>k</sup> при фиксированном n и растущем k), Постулат Бертрана (теорема Чебышева): для любого натурального n ⩾ 2 найдётся простое число p в интервале n < p < 2n.<br />
<br />
Остатки от деления и вычеты: сложение, вычитание, умножение, поиск обратного вычета.<br />
Запись вычетов через отрицательные числа для удобства вычислений.<br />
Примеры, когда обратного вычета не существует (элемент и модуль не взаимно просты).<br />
<br />
Алгоритм Евклида (с использованием остатка от деления по модулю): сам алгоритм и оценка числа итераций через числа Фибоначчи.<br />
<br />
|[http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/e4d919f5-8435-4fe3-a779-275181a69951/M_1.1.4/M_1.1.4.html Вычеты (короткая базовая статья)]<br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.143-156<br />
<br />
|-<br />
|11.11.2022<br />
|Идея кодирования с открытым ключом.<br />
Диофантовы уравнения: примеры, великая теорема Ферма, линейные Диофантовы уравнения с двумя неизвестными, критерий разрешимости.<br />
Расширенный алгоритм Евклида: решение линейных Диофантовых уравнений с двумя неизвестными.<br />
Сведение поиска обратного по умножению элемента по модулю к решению линейного Диофантова уравнения с двумя неизвестными.<br />
Единственность обратного по умножению элемента по модулю (если существует, то единственный).<br />
<br />
Малая теорема Ферма: формулировка, четыре доказательства (мультиномиальное разложение, индукция и бином Ньютона, раскраска бус, перемножение чисел специального вида), поиск обратного по умножению элемента через малую теорему Ферма в случае простого модуля.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.154-163<br />
<br />
<br />
|-<br />
|15.11.2022<br />
|Идея проверки числа на простоту:<br><br />
1) проверка делимости на простые до корня из числа;<br><br />
2) проверка взаимной простоты с числами от 2 до n-1;<br><br />
3) (тест Ферма) проверка справедливости малой теоремы Ферма для чисел от 2 до n-1 (и числа Кармайкла);<br><br />
4) (тест Рабина) проверка справедливости малой теоремы Ферма плюс корней из 1.<br />
<br />
Китайская теорема об остатках: система сравнений по взаимнопростым модулям имеет единственное решение по произведению модулей.<br />
Доказательство и решения систем сравнений с помощью расширенного алгоритма Евклида.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.161-165<br />
<br />
|-<br />
|18.11.2022<br />
|Китайская теорема об остатках: доказательство (индукция во числу сравнений), Следствие: независимость распределения остатков по взаимнопростым модулям.<br><br />
Функция Эйлера: определение и вычисление для простых чисел, степеней простых чисел, составных чисел.<br><br />
Теорема Эйлера: формулировка, малая теорема Ферма как частный случай, доказательство (аналогично 4 доказательству малой теоремы Ферма, через обратимые остатки и их перемножение).<br><br />
Алгоритм кодирования с открытым ключом RSA: определение, корректность кодирования и декодирования, устойчивость к атакам.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.162-167<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/fX6Q_FMRE-I_Zg Лекции по криптографии] (тут довольно хорошо объяснен алгоритм RSA и еще много что)<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|Графы: определение (V,E), множество вершин, множество ребер, изолированная вершина, степень вершины, способы задания графов (матрица смежности, матрица инцидентности, список смежности).<br><br />
Формула 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>).<br><br />
Маршрут, путь, простой путь, расстояние между вершинами (длина кратчайшего пути), диаметр графа (самое большое расстояние между вершинами).<br><br />
Цикл, простой цикл.<br><br />
Связный граф, компонента связности.<br><br />
Оценка: количество компонент связности ≥ |V|-|E|.<br><br />
Следствие: для поиска самого тяжелого камня среди n камней необходимо n-1 взвешивание.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.95-118<br><br />
<br />
|-<br />
|25.11.2022<br />
|Деревья: (четыре определения и их эквивалентность) связный граф с V-1 ребром; минимальный связный граф; связный ациклический граф; граф, между любыми двумя вершинами которого существует единственный путь.<br><br />
''Дополнительно:'' бинарное дерево поиска: поиск элемента, добавление элемента, удаление элемента, поиск следующего и предшествующего элементов.<br><br />
Существование у произвольного дерева по крайней мере двух листьев (два доказательства: через формулу 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>) и через максимально удаленные вершины).<br><br />
Остовное дерево связного графа, возможность удаления из связного графа вершины вместе с ребрами без потери связности.<br><br />
Правильная раскраска: определение, примеры, критерий 2-раскрашиваемости графа (отсутствие циклов нечетной длины).<br><br />
''Дополнительно:'' алгоритмы поиска в ширину (BFS) и глубину (DFS).<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.118-123<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/XDNEDxyuccjLGA Т.Кормен и др. «Алгоритмы Построение и Анализ» стр 316-322, 607-663]<br />
<br />
|-<br />
|02.12.2022<br />
|Жадные алгоритмы: алгоритмы, оптимизирующие некоторый параметр на '''каждом''' шаге, примеры (задача о рюкзаке в дискретном и непрерывном вариантах, задача о поиске минимального остовного дерева, задача о загруженности аудитории).<br><br />
Эйлеровы циклы и пути: цикл (путь) проходящий по каждому ребру графа ровно один раз, критерии наличия Эйлерова цикла (пути) в неориентированном и ориентированном графах.<br><br />
Гамильтоновы циклы и пути: цикл (путь) проходящий через каждую вершину графа ровно один раз, отсутствие критерия, NP-полнота задачи о поиске Гамильтонова цикла в графе, теорема Оре.<br><br />
Чуть-чуть логики: формализация метода доказательства с помощью правила контрапозиции и метода доказательства от противного.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.132-135<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/XDNEDxyuccjLGA Т.Кормен и др. «Алгоритмы Построение и Анализ» стр 442-482, 642, 1086, 1101-1103]<br />
|}<br />
<br />
== Семинары ==<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/N5V4VaIkLVTajg Комбинаторика-1]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/DDB7KcxEXg3-6A Комбинаторика-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/QXW6c4tUxwjV4g Комбинаторика-3]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/lfhWkTgRJPvbGw Числа Фибоначчи, Индукция]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/I1VBzSGylBSUtw Числа Фибоначчи-2, Индукция-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/6ZeDU1zdCnlBog Системы счисления]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/pC1rFQaRgrr5KA Делимость и Вычеты]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/iGuukuYtT4O1iQ Расширенный алгоритм Евклида, малая теорема Ферма]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/yGSOYGTeGLBJVg Малая теорема Ферма, Китайская теорема об остатках]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KjQpX2s2Vj8ITw Теорема Эйлера]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/OOaz4DVxqMuUkg Графы-1]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KiTGSNoG6VM_Hg Деревья, правильные раскраски]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KE1u7QBFzIgkcA Эйлеровы и Гамильтоновы циклы и пути]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/WhUOhUDduFOzjQ Потоки в сетях]<br />
<br />
== Домашние задания ==<br />
'''В ДЗ-8 появилась бонусная задача на бинарные деревья поиска. Ссылку на книгу по теме можно найти в допматериалах к последней лекции.'''<br><br />
Книга «Алгоритмы. Построение и Анализ.» Т.Кормена и др. на мой взгляд является отличным источником знаний для начинающего (и не только) программиста -- в ней рассмотрено большое количество основных понятий и определений, для каждого алгоритма приведен псевдокод (иногда не один) и оценка сложности. Этой книгой можно пользоваться как справочником: читать 2-3 страницы по интересующей теме и временно откладывать.<br />
<br />
'''Правила сдачи ДЗ''': решения задач из домашнего задания оформляются письменно, первый лист работы подписывается, только ответы не проверяются, должно присутствовать ''полное рассуждение'', затем текст сканируется, файл называется в соответствии с ФИО студента (например, SysoevaLN.pdf) и отправляется на проверку (ссылку на загрузку см. в таблице ниже).<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дедлайн<br />
!Домашнее задание<br />
!Ссылка на загрузку файла<br />
!Решения и критерии<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/WeEzyM70AzqNtw Домашнее задание №1]<br />
|[https://www.dropbox.com/request/cGNCtS3rrJoiE6NGCrz9 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/lmtlr4mP41Iy-Q Решения ДЗ-1]<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/87IgAYKMLGbEyA Домашнее задание №2]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/_yELwtWaJS4RMA Решения ДЗ-2]<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/Yy6-_Hda1UEQLg Домашнее задание №3]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/-VioO1CArRXPEA Решения ДЗ-3]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/aofNsKB9AMhONA Домашнее задание №4]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/JVpDIULhuGcJfA Решения ДЗ-4]<br />
<br />
|-<br />
|4.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/V62t0PGwzQmJoA Домашнее задание №5]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/S-0Dkekb9_o1aQ Решения ДЗ-5]<br />
<br />
|-<br />
|12.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/ZtHuki9PQHV5Cg Домашнее задание №6]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/nmYHFgM2kiZtdg Решения ДЗ-6]<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/X6LCkozybxDH7w Домашнее задание №7]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/9WINMpnYoD5uRw Решения ДЗ-7]<br />
<br />
|-<br />
|27.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/FjywLphzBhL0Xw Домашнее задание №8]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
| [https://disk.yandex.ru/i/cQh7lkI29Bqgxw Решения ДЗ-8]<br />
<br />
|-<br />
|4.12.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/WRZnhkUVF8mXJA Домашнее задание №9]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|<br />
<br />
|-<br />
|15.12.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/gq1oxKo9Y78NEw Домашнее задание №10]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|<br />
|}</div>Любовь Сысоеваhttp://math-info.hse.ru/wiki2022-23/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B8%D0%B3%D1%80&diff=469Теория игр2022-12-08T20:17:11Z<p>Любовь Сысоева: /* Домашние задания */</p>
<hr />
<div>'''Дорогие студенты!'''<br />
<br />
На этой странице будут появляться различные материалы и объявления, связанные с курсом '''«Теория игр»''', читаемого для студентов 3-го курса ОП Политология в '''2022/2023''' учебном году. <br />
<br />
* Лекции читает: Сысоева Любовь Николаевна lsysoeva@hse.ru, telegram @lsysoeva<br />
* Семинары (201 и 203): Паршина Анастасия Алексеевна a.a.parshina@ya.ru, telegram @aaparshina<br />
* Семинары (202 и 204): Краснокутская Александра Львовна al.krasnokutskaya@gmail.com<br />
* Ассистенты: Арзуманян Артур telegram @artshic и Крипайтис Кирилл telegram @ppppprik<br />
<br />
''Формула итоговой оценки'':<br />
О<sub>Итоговая</sub> =0,25*О<sub>Экзамен</sub> +0,25*О<sub>К/р</sub> + 0,25*О<sub>ДЗ</sub> + 0,25*О<sub>Активность</sub> , где О<sub>Активность</sub> = 0,5∗О<sub>Активность_Семинары</sub> + 0,5∗О<sub>Активность_Лекции</sub><br />
<br />
Оценки за Экзамен, КР, ДЗ, Активность являются целыми числами (округление по правилам арифметики), оценки Активность_Семинары и Активность_Лекции не округляются.<br />
<br />
== Экзамен ==<br />
Экзамен состоится 21го декабря в 11:00 по адресу Мясницкая д.20.<br />
<br />
В экзамен может войти любая тема, рассмотренная на курсе.<br />
Особое внимание стоит уделить Байесовым играм и играм с несовершенной информацией.<br />
<br />
Задавайте вопросы на семинарах, просите консультации и дополнительные задачи!<br />
<br />
На контрольной можно пользоваться калькулятором (но не телефоном!) и '''двумя''' листами формата А4 с любыми записями с двух сторон.<br />
<br />
Демо-версии экзамена не предусмотрено в силу уникальности каждой задачи по теории игр, при подготовке стоит ориентироваться на задачи из семинаров и домашних работ.<br />
На экзамене будет 5 задач на различные темы.<br />
<br />
Если нужна консультация с лектором и вас набралось хотя бы 10 человек, пишите в телеграм @lsysoeva -- будем искать время!<br />
<br />
== Ведомости ==<br />
<br />
{|<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1fwKHS6v9XstPVA-KBLnc0yduBW8M6kdhGIYgu8-V728/edit?usp=sharing Активность 201] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1X61fBoP8Xmcw0KhJpnJa7RvvVSiKX_oGzX9iVVnvprw/edit?usp=sharing ДЗ 201]<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1yP9MbG9nTMdMNTDYSBdwVw1CBILOnQ_iWtq9_VSFm5g/edit?usp=sharing Активность 202] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1-Or4AzLTDN8BAqLAmCTXe7ikGkIteE2n0rl9L3YFDnI/edit?usp=sharing ДЗ 202]<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1z5mollNQ_6fVsg22wV6M50i1pa8g3h7D94FnZ2QLKAQ/edit?usp=sharing Активность 203] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r3Jr51DI6ZKXIjc9_DGSP6ap9hp5Cz30ixO9Bssgah0/edit?usp=sharing ДЗ 203]<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/14O560WPkH4zb1zx2v7IcHYBnSsxW3OoLscqCmwjcyqM/edit?usp=sharing Активность 204] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1LThjvW2FlgqHKGD0pfT6GCiYfK6cGASyAx-DSWdHjsA/edit?usp=sharing ДЗ 204]<br />
|}<br />
<br />
== Лекции ==<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дата лекции<br />
!тема лекции<br />
!дополнительные материалы<br />
|-<br />
|03.09.2022<br />
|Стратегические и нестратегические взаимодействия, примеры. Формализация одновременных взаимодействий в виде игр в нормальной форме. Матричная запись игр с 2 игроками, примеры. Сравнение профилей стратегий по Парето, Парето-оптимальные профили стратегий. Строго/слабо доминирующие стратегии, равновесия в строго/слабо доминирующих стратегиях.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/1 1 неделя], [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/2 2 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-1 1 неделя], [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-2 2 неделя]<br />
<br />
Алексей Савватеев <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=17176675618925890445&reqid=1662237943241960-2957665704564396072-vla1-2251-vla-l7-balancer-8080-BAL-6432&suggest_reqid=557135369158636339279440407783687&text=савватеев+теория+игр+лекция+1 Лекция 1] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=16196426250303824634&reqid=1662239129399232-15992862096193270937-vla1-2251-vla-l7-balancer-8080-BAL-61&suggest_reqid=557135369158636339291301794755819&text=савватеев+теория+игр+лекция+2 Лекция 2] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=11396199022059523635&suggest_reqid=557135369158636339291396043965073&text=савватеев+теория+игр+лекция+3 Лекция 3] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=11474602284554133982&reqid=1662239210097183-15470061965215477178-vla1-2251-vla-l7-balancer-8080-BAL-2138&suggest_reqid=557135369158636339292106870659353&text=савватеев+теория+игр+лекция+4 Лекция 4]<br />
<br />
|-<br />
|10.09.2022<br />
|Игры в нормальной форме, пример формализации игры с тремя игроками в виде нескольких матриц, примеры игр с большим количеством игроков. Равновесия, получаемые последовательным исключением строго/слабо доминируемых стратегий. Минимаксные (все против меня) и максиминные (осторожные) стратегии. Равновесие Нэша.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/2 2 неделя], [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/3 3 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-3 3-7 неделя]<br />
<br />
Алексей Савватеев <br />
[https://yandex.ru/video/preview/5743819050015473973 Лекция 5] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/7613644260134860259 Лекция 6] <br />
<br />
<br />
|-<br />
|17.09.2022<br />
|Пример игры со многими игроками (угадать среднее арифметическое всех названных чисел): максиминные и минимаксные стратегии игроков, Парето-оптимальные профили, равновесия Нэша.<br />
Смешанные стратегии, ожидаемые платежи, равновесие Нэша в смешанных стратегиях, теорема Нэша, исключение строго/слабо доминируемых стратегий с помощью смешанных стратегий.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/8 8 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-9 9-10 неделя]<br />
<br />
Алексей Савватеев <br />
[https://yandex.ru/video/preview/15857287820861354547 Лекция 10]<br />
[https://yandex.ru/video/preview/12182277885949068581 Лекция 12]<br />
<br />
|-<br />
|24.09.2022<br />
|Поиск равновесий Нэша в смешанных стратегиях, графический метод сравнения платежей игрока, проверка равновесий на устойчивость.<br />
Аукционы: примеры, свойства, сходства, различия, субъективная оценка стоимости лота и связь этой оценки со ставкой на аукционе.<br />
<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/SM5jmzWoI3qPbg Обзорная статья А.В.Савватеева про аукционы]<br />
<br />
|-<br />
|1.10.2022<br />
|Модель предвыборной конкуренции Хоттелинга-Даунса: предположения модели; случай 2 кандидатов, медианный избиратель, слабо доминирующая стратегия каждого из кандидатов, равновесие Нэша; случай 3 и более кандидатов, максимизация вероятности победы (равновесия Нэша) VS максимизация числа набранных голосов (отсутствие равновесий); случай функции распределения с линейной плотностью.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/4 4 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-3 3 неделя]<br />
<br />
[https://www.youtube.com/watch?v=jILgxeNBK_8 Маленький мультик про модель] (он есть и в переводе, но перевод мне не нравится)<br />
<br />
|-<br />
|15.10.2022<br />
|Игры с неполной информацией. Байесовы игры (типы игроков, веры игроков относительно типов других игроков, ожидаемые платежи игроков). Равновесие Байеса-Нэша.<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/2jVnCUZu8c3qqw Презентация]<br />
<br />
|В.И. Данилов. Лекции по теории игр. Препринт РЭШ, 2002. Лекция 18.<br />
<br />
А.В. Захаров. Теория игр в общественных науках. Пп. 3.1.1.–3.1.2.<br />
<br />
|-<br />
|12.11.2022<br />
|Последовательные стратегические взаимодействия: примеры, формализация в виде игры в развернутой форме (дерево игры), определение количества стратегий каждого игрока, определение количества подыгр, нахождение матрицы игры по дереву игры, поиск NE, алгоритм обратной индукции, SPNE.<br />
Теорема Цермело-Куна про существование SPNE в любой конечной (!) последовательной игре.<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/5 5-6 недели]<br><br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-14 14-15 неделя]<br><br />
Dixit A., Nalebuff B. The Art of Strategy. Chapters 2,6,7;<br><br />
А.В. Захаров. Теория игр в общественных науках. Пп. 2.1.1.–2.1.3.<br><br />
Schelling T., The Strategy of Conflict;<br><br />
В.И. Данилов. Лекции по теории игр. Препринт РЭШ, 2002. Лекция 1.<br />
<br />
<br />
|-<br />
|19.11.2022<br />
|Последовательные взаимодействия повторение: стратегии, подыгры, нахождение матрицы игры, поиск NE, поиск SPNE.<br><br />
Игры с Коммитментом: примеры последовательных игр, в которых одному из игроков выгодно взять на себя связывающее обязательство.<br><br />
Игры с несовершенной информацией: пример, определение стратегий, подыгр, SPNE.<br><br />
Байесовы игры: повторение на примере военных действий.<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/6 6 неделя]<br><br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-19 19 неделя]<br />
[https://disk.yandex.ru/i/9G0aizetfHPsDA Решение игры со странами]<br />
<br />
|-<br />
|26.11.2022<br />
|Игры с несовершенной информацией: отличие от последовательных взаимодействий с полной информацией, возможное отсутствие SPNE.<br><br />
Игры с несовершенной информацией: примеры, определение стратегий, подыгр, формирование матриц игр и подыгр, поиск NE и SPNE.<br><br />
Повторяющиеся игры: описание, примеры, единственность SPNE в случае одного NE в исходной игре и конечного количества периодов, случай нескольких NE в исходной игре, различные стратегии в повторяющейся игре, стратегии «договора».<br><br />
Повторяющаяся дилемма заключенных: различные стратегии, игра «Эволюция доверия».<br />
|[https://notdotteam.github.io/trust/ «Эволюция доверия»]<br><br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-18 18 неделя]<br><br />
В.И. Данилов. Лекции по теории игр. Стр. 73-78 (части лекций 13 и 14).<br />
<br />
|-<br />
|03.12.2022<br />
|Мэтчинги: постановка задачи; примеры множеств с двумя типами игроков, которых нужно разбить на пары.<br><br />
Предпочтения: полные, строгие, транзитивные; примеры.<br><br />
Мэтчинги: индивидуальная рациональность, парная рациональность, стабильные мэтчинги.<br><br />
Алгоритм поиска стабильных мэтчингов: алгоритм отсроченного принятия решений.<br><br />
Свойства мэтчингов, полученных в результате выполнения алгоритма: стабильность; это лучший стабильный мэтчинг для каждого из агентов, которые делали предложения, и худший для другой группы агентов.<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/9 9 неделя]<br />
<br />
|}<br />
<br />
== Семинары ==<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/VJs13h-QQVdS4Q Стратегические взаимодействия, игра в нормальной форме, Парето-оптимальность, доминирующие стратегии]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/BLF_B64Yreeb5g Доминируемые стратегии, минимакс, максимин, равновесие Нэша]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/_8VqIZzRSgxlzg Help01]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/7OPbE-e9h4c9dQ Смешанные стратегии и равновесие Нэша в смешанных стратегиях]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/01xPQDvVhuvCBA Help02]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/SGNtqPl_ksiAww Help03]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/O8m8B9K_OxLX8g Модель Хотеллинга-Даунса]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/4qu6gAoZ745GcQ Байесовы игры]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/hn4SNNdq272o_w Help04]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/a0Sisz-HMHVBcw Повторение]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/Tm_SE29-ftPNrQ Лыжники (Help05)]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/Z34sjCItue8wHg Игры в развернутой форме]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/j6HnPuTFEhx9Ug Игры с несовершенной информацией]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/lhL6Etimyaoj_Q Косичка (Help06)]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/rg3hM_cdhIxRzg Повторение]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/q0KygzGi4GiSoA Мэтчинги]<br />
<br />
== Домашние задания ==<br />
<br />
'''Обратите внимание на турнир!'''<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дедлайн<br />
!файл с заданием<br />
!форма для ответов<br />
|-<br />
|12.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/xPpKHVGXmieNBQ Домашнее задание 1]<br />
|[https://forms.gle/RTdRLZcvNvzpbvyE6 Форма ДЗ-1]<br />
<br />
|-<br />
|19.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/kfMYJkB1iiF_gg Домашнее задание 2]<br />
|[https://forms.gle/oGyY8FSbfeEsYXsv9 Форма ДЗ-2]<br />
<br />
|-<br />
|29.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/nDAZ3wFDfKM4sQ Домашнее задание 3]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSeRf1IbDEzwrjCflHxsekd7ZI5utTqYz-OR53LgnEjY1oGDQw/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-3]<br />
<br />
|-<br />
|9.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/f1cjdiDeUcbq-w Домашнее задание 4]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdFHp3iv9EzMKNvRbNC3YwAWiWOiAkpA8Q7tIrL8qjPQRXf2Q/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-4]<br />
<br />
|-<br />
|16.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/5Sdsj6-1EC-JEQ Домашнее задание 5]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSfFhfclBc8Ts8trQXyOnugxdB-cMF1Zs1weT81Mr82dMjNJwA/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-5]<br />
<br />
|-<br />
|31.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/QpypS8qdocQI_w Турнир 2]<br />
|<br />
<br />
|-<br />
|16.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/AMS9JEJQ6M8Avw Домашнее задание 6]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdL5yClVlgNVRp6Eiu9izN1_sfjI2vZyzxaa8GlYy8kSl0R9A/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-6]<br />
<br />
|-<br />
|26.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/GK3pnapp0_H_wA Домашнее задание 7]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdM1lS-RAwM1Lg3XWLYvN5kUEXgQ2ozvWjOUlUyKOtVMrii6w/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-7]<br />
<br />
|-<br />
|8.12.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/rkYd9uJ_1zf05w Домашнее задание 8]<br />
| [https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSeZ6ucf7YlopgbcHKk9_nl9Yv0kPzLZZZX-bJ7obuSu3uuB8g/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-8]<br />
<br />
|-<br />
|18.12.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/PmoAZZ4qNKCp2w Турнир 3]<br />
|<br />
<br />
|-<br />
|15.12.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/jFqZJOtiEbfXOA Домашнее задание 9]<br />
|<br />
|}</div>Любовь Сысоеваhttp://math-info.hse.ru/wiki2022-23/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B8%D0%B3%D1%80&diff=468Теория игр2022-12-08T20:16:59Z<p>Любовь Сысоева: /* Домашние задания */</p>
<hr />
<div>'''Дорогие студенты!'''<br />
<br />
На этой странице будут появляться различные материалы и объявления, связанные с курсом '''«Теория игр»''', читаемого для студентов 3-го курса ОП Политология в '''2022/2023''' учебном году. <br />
<br />
* Лекции читает: Сысоева Любовь Николаевна lsysoeva@hse.ru, telegram @lsysoeva<br />
* Семинары (201 и 203): Паршина Анастасия Алексеевна a.a.parshina@ya.ru, telegram @aaparshina<br />
* Семинары (202 и 204): Краснокутская Александра Львовна al.krasnokutskaya@gmail.com<br />
* Ассистенты: Арзуманян Артур telegram @artshic и Крипайтис Кирилл telegram @ppppprik<br />
<br />
''Формула итоговой оценки'':<br />
О<sub>Итоговая</sub> =0,25*О<sub>Экзамен</sub> +0,25*О<sub>К/р</sub> + 0,25*О<sub>ДЗ</sub> + 0,25*О<sub>Активность</sub> , где О<sub>Активность</sub> = 0,5∗О<sub>Активность_Семинары</sub> + 0,5∗О<sub>Активность_Лекции</sub><br />
<br />
Оценки за Экзамен, КР, ДЗ, Активность являются целыми числами (округление по правилам арифметики), оценки Активность_Семинары и Активность_Лекции не округляются.<br />
<br />
== Экзамен ==<br />
Экзамен состоится 21го декабря в 11:00 по адресу Мясницкая д.20.<br />
<br />
В экзамен может войти любая тема, рассмотренная на курсе.<br />
Особое внимание стоит уделить Байесовым играм и играм с несовершенной информацией.<br />
<br />
Задавайте вопросы на семинарах, просите консультации и дополнительные задачи!<br />
<br />
На контрольной можно пользоваться калькулятором (но не телефоном!) и '''двумя''' листами формата А4 с любыми записями с двух сторон.<br />
<br />
Демо-версии экзамена не предусмотрено в силу уникальности каждой задачи по теории игр, при подготовке стоит ориентироваться на задачи из семинаров и домашних работ.<br />
На экзамене будет 5 задач на различные темы.<br />
<br />
Если нужна консультация с лектором и вас набралось хотя бы 10 человек, пишите в телеграм @lsysoeva -- будем искать время!<br />
<br />
== Ведомости ==<br />
<br />
{|<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1fwKHS6v9XstPVA-KBLnc0yduBW8M6kdhGIYgu8-V728/edit?usp=sharing Активность 201] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1X61fBoP8Xmcw0KhJpnJa7RvvVSiKX_oGzX9iVVnvprw/edit?usp=sharing ДЗ 201]<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1yP9MbG9nTMdMNTDYSBdwVw1CBILOnQ_iWtq9_VSFm5g/edit?usp=sharing Активность 202] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1-Or4AzLTDN8BAqLAmCTXe7ikGkIteE2n0rl9L3YFDnI/edit?usp=sharing ДЗ 202]<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1z5mollNQ_6fVsg22wV6M50i1pa8g3h7D94FnZ2QLKAQ/edit?usp=sharing Активность 203] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r3Jr51DI6ZKXIjc9_DGSP6ap9hp5Cz30ixO9Bssgah0/edit?usp=sharing ДЗ 203]<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/14O560WPkH4zb1zx2v7IcHYBnSsxW3OoLscqCmwjcyqM/edit?usp=sharing Активность 204] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1LThjvW2FlgqHKGD0pfT6GCiYfK6cGASyAx-DSWdHjsA/edit?usp=sharing ДЗ 204]<br />
|}<br />
<br />
== Лекции ==<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дата лекции<br />
!тема лекции<br />
!дополнительные материалы<br />
|-<br />
|03.09.2022<br />
|Стратегические и нестратегические взаимодействия, примеры. Формализация одновременных взаимодействий в виде игр в нормальной форме. Матричная запись игр с 2 игроками, примеры. Сравнение профилей стратегий по Парето, Парето-оптимальные профили стратегий. Строго/слабо доминирующие стратегии, равновесия в строго/слабо доминирующих стратегиях.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/1 1 неделя], [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/2 2 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-1 1 неделя], [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-2 2 неделя]<br />
<br />
Алексей Савватеев <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=17176675618925890445&reqid=1662237943241960-2957665704564396072-vla1-2251-vla-l7-balancer-8080-BAL-6432&suggest_reqid=557135369158636339279440407783687&text=савватеев+теория+игр+лекция+1 Лекция 1] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=16196426250303824634&reqid=1662239129399232-15992862096193270937-vla1-2251-vla-l7-balancer-8080-BAL-61&suggest_reqid=557135369158636339291301794755819&text=савватеев+теория+игр+лекция+2 Лекция 2] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=11396199022059523635&suggest_reqid=557135369158636339291396043965073&text=савватеев+теория+игр+лекция+3 Лекция 3] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=11474602284554133982&reqid=1662239210097183-15470061965215477178-vla1-2251-vla-l7-balancer-8080-BAL-2138&suggest_reqid=557135369158636339292106870659353&text=савватеев+теория+игр+лекция+4 Лекция 4]<br />
<br />
|-<br />
|10.09.2022<br />
|Игры в нормальной форме, пример формализации игры с тремя игроками в виде нескольких матриц, примеры игр с большим количеством игроков. Равновесия, получаемые последовательным исключением строго/слабо доминируемых стратегий. Минимаксные (все против меня) и максиминные (осторожные) стратегии. Равновесие Нэша.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/2 2 неделя], [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/3 3 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-3 3-7 неделя]<br />
<br />
Алексей Савватеев <br />
[https://yandex.ru/video/preview/5743819050015473973 Лекция 5] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/7613644260134860259 Лекция 6] <br />
<br />
<br />
|-<br />
|17.09.2022<br />
|Пример игры со многими игроками (угадать среднее арифметическое всех названных чисел): максиминные и минимаксные стратегии игроков, Парето-оптимальные профили, равновесия Нэша.<br />
Смешанные стратегии, ожидаемые платежи, равновесие Нэша в смешанных стратегиях, теорема Нэша, исключение строго/слабо доминируемых стратегий с помощью смешанных стратегий.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/8 8 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-9 9-10 неделя]<br />
<br />
Алексей Савватеев <br />
[https://yandex.ru/video/preview/15857287820861354547 Лекция 10]<br />
[https://yandex.ru/video/preview/12182277885949068581 Лекция 12]<br />
<br />
|-<br />
|24.09.2022<br />
|Поиск равновесий Нэша в смешанных стратегиях, графический метод сравнения платежей игрока, проверка равновесий на устойчивость.<br />
Аукционы: примеры, свойства, сходства, различия, субъективная оценка стоимости лота и связь этой оценки со ставкой на аукционе.<br />
<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/SM5jmzWoI3qPbg Обзорная статья А.В.Савватеева про аукционы]<br />
<br />
|-<br />
|1.10.2022<br />
|Модель предвыборной конкуренции Хоттелинга-Даунса: предположения модели; случай 2 кандидатов, медианный избиратель, слабо доминирующая стратегия каждого из кандидатов, равновесие Нэша; случай 3 и более кандидатов, максимизация вероятности победы (равновесия Нэша) VS максимизация числа набранных голосов (отсутствие равновесий); случай функции распределения с линейной плотностью.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/4 4 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-3 3 неделя]<br />
<br />
[https://www.youtube.com/watch?v=jILgxeNBK_8 Маленький мультик про модель] (он есть и в переводе, но перевод мне не нравится)<br />
<br />
|-<br />
|15.10.2022<br />
|Игры с неполной информацией. Байесовы игры (типы игроков, веры игроков относительно типов других игроков, ожидаемые платежи игроков). Равновесие Байеса-Нэша.<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/2jVnCUZu8c3qqw Презентация]<br />
<br />
|В.И. Данилов. Лекции по теории игр. Препринт РЭШ, 2002. Лекция 18.<br />
<br />
А.В. Захаров. Теория игр в общественных науках. Пп. 3.1.1.–3.1.2.<br />
<br />
|-<br />
|12.11.2022<br />
|Последовательные стратегические взаимодействия: примеры, формализация в виде игры в развернутой форме (дерево игры), определение количества стратегий каждого игрока, определение количества подыгр, нахождение матрицы игры по дереву игры, поиск NE, алгоритм обратной индукции, SPNE.<br />
Теорема Цермело-Куна про существование SPNE в любой конечной (!) последовательной игре.<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/5 5-6 недели]<br><br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-14 14-15 неделя]<br><br />
Dixit A., Nalebuff B. The Art of Strategy. Chapters 2,6,7;<br><br />
А.В. Захаров. Теория игр в общественных науках. Пп. 2.1.1.–2.1.3.<br><br />
Schelling T., The Strategy of Conflict;<br><br />
В.И. Данилов. Лекции по теории игр. Препринт РЭШ, 2002. Лекция 1.<br />
<br />
<br />
|-<br />
|19.11.2022<br />
|Последовательные взаимодействия повторение: стратегии, подыгры, нахождение матрицы игры, поиск NE, поиск SPNE.<br><br />
Игры с Коммитментом: примеры последовательных игр, в которых одному из игроков выгодно взять на себя связывающее обязательство.<br><br />
Игры с несовершенной информацией: пример, определение стратегий, подыгр, SPNE.<br><br />
Байесовы игры: повторение на примере военных действий.<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/6 6 неделя]<br><br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-19 19 неделя]<br />
[https://disk.yandex.ru/i/9G0aizetfHPsDA Решение игры со странами]<br />
<br />
|-<br />
|26.11.2022<br />
|Игры с несовершенной информацией: отличие от последовательных взаимодействий с полной информацией, возможное отсутствие SPNE.<br><br />
Игры с несовершенной информацией: примеры, определение стратегий, подыгр, формирование матриц игр и подыгр, поиск NE и SPNE.<br><br />
Повторяющиеся игры: описание, примеры, единственность SPNE в случае одного NE в исходной игре и конечного количества периодов, случай нескольких NE в исходной игре, различные стратегии в повторяющейся игре, стратегии «договора».<br><br />
Повторяющаяся дилемма заключенных: различные стратегии, игра «Эволюция доверия».<br />
|[https://notdotteam.github.io/trust/ «Эволюция доверия»]<br><br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-18 18 неделя]<br><br />
В.И. Данилов. Лекции по теории игр. Стр. 73-78 (части лекций 13 и 14).<br />
<br />
|-<br />
|03.12.2022<br />
|Мэтчинги: постановка задачи; примеры множеств с двумя типами игроков, которых нужно разбить на пары.<br><br />
Предпочтения: полные, строгие, транзитивные; примеры.<br><br />
Мэтчинги: индивидуальная рациональность, парная рациональность, стабильные мэтчинги.<br><br />
Алгоритм поиска стабильных мэтчингов: алгоритм отсроченного принятия решений.<br><br />
Свойства мэтчингов, полученных в результате выполнения алгоритма: стабильность; это лучший стабильный мэтчинг для каждого из агентов, которые делали предложения, и худший для другой группы агентов.<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/9 9 неделя]<br />
<br />
|}<br />
<br />
== Семинары ==<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/VJs13h-QQVdS4Q Стратегические взаимодействия, игра в нормальной форме, Парето-оптимальность, доминирующие стратегии]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/BLF_B64Yreeb5g Доминируемые стратегии, минимакс, максимин, равновесие Нэша]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/_8VqIZzRSgxlzg Help01]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/7OPbE-e9h4c9dQ Смешанные стратегии и равновесие Нэша в смешанных стратегиях]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/01xPQDvVhuvCBA Help02]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/SGNtqPl_ksiAww Help03]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/O8m8B9K_OxLX8g Модель Хотеллинга-Даунса]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/4qu6gAoZ745GcQ Байесовы игры]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/hn4SNNdq272o_w Help04]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/a0Sisz-HMHVBcw Повторение]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/Tm_SE29-ftPNrQ Лыжники (Help05)]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/Z34sjCItue8wHg Игры в развернутой форме]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/j6HnPuTFEhx9Ug Игры с несовершенной информацией]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/lhL6Etimyaoj_Q Косичка (Help06)]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/rg3hM_cdhIxRzg Повторение]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/q0KygzGi4GiSoA Мэтчинги]<br />
<br />
== Домашние задания ==<br />
<br />
'''Обратите внимание на турнир!'''<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дедлайн<br />
!файл с заданием<br />
!форма для ответов<br />
|-<br />
|12.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/xPpKHVGXmieNBQ Домашнее задание 1]<br />
|[https://forms.gle/RTdRLZcvNvzpbvyE6 Форма ДЗ-1]<br />
<br />
|-<br />
|19.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/kfMYJkB1iiF_gg Домашнее задание 2]<br />
|[https://forms.gle/oGyY8FSbfeEsYXsv9 Форма ДЗ-2]<br />
<br />
|-<br />
|29.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/nDAZ3wFDfKM4sQ Домашнее задание 3]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSeRf1IbDEzwrjCflHxsekd7ZI5utTqYz-OR53LgnEjY1oGDQw/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-3]<br />
<br />
|-<br />
|9.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/f1cjdiDeUcbq-w Домашнее задание 4]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdFHp3iv9EzMKNvRbNC3YwAWiWOiAkpA8Q7tIrL8qjPQRXf2Q/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-4]<br />
<br />
|-<br />
|16.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/5Sdsj6-1EC-JEQ Домашнее задание 5]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSfFhfclBc8Ts8trQXyOnugxdB-cMF1Zs1weT81Mr82dMjNJwA/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-5]<br />
<br />
|-<br />
|31.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/QpypS8qdocQI_w Турнир 2]<br />
|<br />
<br />
|-<br />
|16.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/AMS9JEJQ6M8Avw Домашнее задание 6]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdL5yClVlgNVRp6Eiu9izN1_sfjI2vZyzxaa8GlYy8kSl0R9A/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-6]<br />
<br />
|-<br />
|26.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/GK3pnapp0_H_wA Домашнее задание 7]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdM1lS-RAwM1Lg3XWLYvN5kUEXgQ2ozvWjOUlUyKOtVMrii6w/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-7]<br />
<br />
|-<br />
|8.12.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/rkYd9uJ_1zf05w Домашнее задание 8]<br />
| [https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSeZ6ucf7YlopgbcHKk9_nl9Yv0kPzLZZZX-bJ7obuSu3uuB8g/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-8]<br />
<br />
|-<br />
|18.12.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/PmoAZZ4qNKCp2w Турнир 3]<br />
|<br />
<br />
|-<br />
|15.12.2022<br />
[https://disk.yandex.ru/i/jFqZJOtiEbfXOA Домашнее задание 9]<br />
|<br />
|}</div>Любовь Сысоеваhttp://math-info.hse.ru/wiki2022-23/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0&diff=467Дискретная Математика2022-12-08T19:51:33Z<p>Любовь Сысоева: /* Семинары */</p>
<hr />
<div>'''Дорогие студенты!'''<br />
<br />
На этой странице будут появляться различные материалы и объявления, связанные с курсом '''«Дискретная математика»''', читаемого для студентов 1-го курса ОП Вычислительные социальные науки в '''2022/2023''' учебном году. <br />
<br />
* Лекции и семинары: Сысоева Любовь Николаевна lsysoeva@hse.ru, telegram @lsysoeva<br />
* Ассистент: Ластовецкий Дмитрий dalastovetsky@hse.ru, telegram @dalastovetskiy<br />
<br />
{|<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_izNbdyLHY8c3Y4SfFzpzhsF-QTBNpRFmEqnCR3IQFU/edit?usp=sharing Ведомость активности] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SmaC4Uyy1F4Dn37zME5SMQCdAtXQHpSelk3JZttFxBU/edit?usp=sharing Ведомость ДЗ]<br />
|}<br />
<br />
Формула итоговой оценки:<br />
0,3 * Активность + 0,3 * Домашние задания + 0,4 * Экзамен<br />
<br />
== Консультации ==<br />
<br />
Консультации будут проходить онлайн по понедельникам в 17:00, задавайте ваши вопросы Дмитрию, присоединяйтесь к консультациям!<br />
<br />
Join Zoom Meeting<br />
https://us05web.zoom.us/j/4685079351?pwd=cVJkeVkzUUR1bXNjMzJ1WDRrN0EyUT09<br />
<br />
Meeting ID: 468 507 9351<br />
Passcode: yqTLi1<br />
<br />
== Лекции ==<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дата лекции<br />
!тема лекции<br />
!дополнительные материалы<br />
|-<br />
|16.09.2022<br />
|Понятие множества, конечные множества, задание множества перечислением элементов, задание множества условием, пустое множество, пересечение множеств, объединение множеств, декартово произведение множеств, парадокс брадобрея.<br><br />
Комбинаторика: правило суммы, правило произведения, факториал, число размещений с повторениями и без повторений, число сочетаний.<br />
|[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.1-26<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.44-63<br />
<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|Дискретная вероятность = (кол-во положительных исходов)/(общее число исходов).<br><br />
<br />
Сочетания с повторениями (метод шариков и перегородок), типы предметов.<br><br />
<br />
Треугольник Паскаля (количество путей от вершины вниз), рекуррентная формула (нижний элемент = сумме двух верхних).<br><br />
<br />
Бином Ньютона, связь с треугольником Паскаля (коэффициенты в разложении (a+b)<sup>n</sup> это числа в n строке треугольника).<br><br />
<br />
Числа сочетаний в треугольнике Паскаля, формула C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>k</sup><sub>n-1</sub> + C<sup>k-1</sup><sub>n-1</sub> и ее комбинаторный смысл.<br><br />
<br />
Сумма элементов n строки в треугольнике Паскаля равна 2<sup>n</sup> (через удвоение суммы предыдущей строки, через разложение (1+1)<sup>n</sup> и через все подмножества множества из n элементов).<br><br />
<br />
Полиномиальные коэффициенты (определение и формула).<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.26-40<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.63-70<br />
<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|Числа сочетаний в треугольнике Паскаля: возрастание элементов к середине строки и убывание после середины (C<sup>k</sup><sub>n</sub> < C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k < (n-1)/2 и C<sup>k</sup><sub>n</sub> > C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k > (n-1)/2), симметрия (C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>n-k</sup><sub>n</sub>), оценка среднего элемента в строке через сумму и количество элементов в этой строке (C<sup>n</sup><sub>2n</sub> > 2<sup>2n</sup>/(2n+1)).<br><br />
<br />
Сумма знакопеременных элементов n строки в треугольнике Паскаля равна нулю (через удвоение элементов предыдущей строки с противоположными знаками, через разложение (1-1)<sup>n</sup>).<br><br />
<br />
Формулы для 11<sup>2</sup>, 11<sup>3</sup>, 11<sup>4</sup> и связь со строками треугольника Паскаля (доказательство через разложение 11<sup>k</sup> = (10+1)<sup>k</sup> по биному Ньютона).<br><br />
<br />
Формула включений-исключений: через диаграммы Эйлера-Вена для 2 и 3 множеств, формулировка в общем случае.<br><br />
<br />
Принцип Дирихле (pigeonhole principle): если кроликов больше, чем клеток, то при рассадке кроликов по клеткам по крайней мере в одну клетку попадут по крайней мере два кролика.<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.41-44<br><br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.66<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи: задача про кроликов, определение (F<sub>0</sub> = 0, F<sub>1</sub> = 1, F<sub>n+1</sub> = F<sub>n</sub> + F<sub>n-1</sub>), F<sub>n</sub> равно сумме "диагонали" треугольника Паскаля (F<sub>n</sub> = C<sub>n-1</sub><sup>0</sup> + C<sub>n-2</sub><sup>1</sup> + C<sub>n-3</sub><sup>2</sup> + ... + C<sub>n-[n/2]</sub><sup>[n/2]-1</sup> целая часть должна быть верхней), явная формула (F<sub>n</sub> = 1/٧5((1+٧5)/2)^n - 1/٧5((1-٧5)/2)^n) и ее доказательство по индукции.<br />
<br />
Индукция: принцип математической индукции, база и переход их согласованность, индуктивное предположение, доказательство равенств, неравенств, разбор текстовой задачи (машина на краю пустыни).<br />
Примеры неверных доказательств по индукции (резиновый автобус, куча манки, одномастные лошади).<br />
<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.16-51<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|14.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи (повторение).<br />
Линейные рекуррентные соотношения в разных задачах.<br />
Рекурсия (программирование, литература) и ее связь с рекуррентными соотношениями.<br />
Основная теорема о рекуррентных соотношениях (Master theorem): оценка сложности рекурсивных алгоритмов.<br />
<br />
Рекуррентные записи n! и геометрических прогрессий.<br />
<br />
Индукция: повторение, связь с рекуррентными соотношениями, пример вложенной индукции (количество разломов прямоугольной шоколадки).<br />
<br />
|[https://ru.wikipedia.org/wiki/Основная_теорема_о_рекуррентных_соотношениях Основная теорема о рекуррентных соотношениях]<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|Числа Каталана (по заявкам): рекуррентная формула, количество правильных скобочных последовательностей, количество способов разбить n-угольник диагоналями на треугольники.<br />
<br />
Системы счисления: позиционные, примеры, n-ичные дроби, переводы между системами счислений целых чисел и дробных частей, погрешность в случае прерывания бесконечных дробей.<br />
<br />
Римская система счисления: способы записи чисел, сложность алгоритмов сложения и умножения чисел.<br />
<br />
Признаки делимости в n-ичной системе счисления: схожесть признаков делимости на n-1 и n+1 с признаками делимости на 9 и 11 для десятичной системы, схожесть признаков делимости на делители n с признаками делимости на 5 и 10 для десятичной системы.<br />
<br />
Троичная система: взвешивание путем уравновешивания весов с двумя чашами.<br />
|<br />
[https://disk.yandex.ru/i/UjJYIydJppYhQg Статья про числа Каталана]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/MOK8NEeNVq5SYA Книжка по системам счисления]<br />
<br />
|-<br />
|01.11.2022<br />
|Простые числа: определение, основная теорема арифметики (любое число однозначно разлагается в произведение простых), бесконечное количество простых чисел (два доказательства 1. p<sub>1</sub>p<sub>2</sub>...p<sub>n</sub>+1 ; 2. (k+1)<sup>n</sup> << 2<sup>k</sup> при фиксированном n и растущем k), Постулат Бертрана (теорема Чебышева): для любого натурального n ⩾ 2 найдётся простое число p в интервале n < p < 2n.<br />
<br />
Остатки от деления и вычеты: сложение, вычитание, умножение, поиск обратного вычета.<br />
Запись вычетов через отрицательные числа для удобства вычислений.<br />
Примеры, когда обратного вычета не существует (элемент и модуль не взаимно просты).<br />
<br />
Алгоритм Евклида (с использованием остатка от деления по модулю): сам алгоритм и оценка числа итераций через числа Фибоначчи.<br />
<br />
|[http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/e4d919f5-8435-4fe3-a779-275181a69951/M_1.1.4/M_1.1.4.html Вычеты (короткая базовая статья)]<br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.143-156<br />
<br />
|-<br />
|11.11.2022<br />
|Идея кодирования с открытым ключом.<br />
Диофантовы уравнения: примеры, великая теорема Ферма, линейные Диофантовы уравнения с двумя неизвестными, критерий разрешимости.<br />
Расширенный алгоритм Евклида: решение линейных Диофантовых уравнений с двумя неизвестными.<br />
Сведение поиска обратного по умножению элемента по модулю к решению линейного Диофантова уравнения с двумя неизвестными.<br />
Единственность обратного по умножению элемента по модулю (если существует, то единственный).<br />
<br />
Малая теорема Ферма: формулировка, четыре доказательства (мультиномиальное разложение, индукция и бином Ньютона, раскраска бус, перемножение чисел специального вида), поиск обратного по умножению элемента через малую теорему Ферма в случае простого модуля.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.154-163<br />
<br />
<br />
|-<br />
|15.11.2022<br />
|Идея проверки числа на простоту:<br><br />
1) проверка делимости на простые до корня из числа;<br><br />
2) проверка взаимной простоты с числами от 2 до n-1;<br><br />
3) (тест Ферма) проверка справедливости малой теоремы Ферма для чисел от 2 до n-1 (и числа Кармайкла);<br><br />
4) (тест Рабина) проверка справедливости малой теоремы Ферма плюс корней из 1.<br />
<br />
Китайская теорема об остатках: система сравнений по взаимнопростым модулям имеет единственное решение по произведению модулей.<br />
Доказательство и решения систем сравнений с помощью расширенного алгоритма Евклида.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.161-165<br />
<br />
|-<br />
|18.11.2022<br />
|Китайская теорема об остатках: доказательство (индукция во числу сравнений), Следствие: независимость распределения остатков по взаимнопростым модулям.<br><br />
Функция Эйлера: определение и вычисление для простых чисел, степеней простых чисел, составных чисел.<br><br />
Теорема Эйлера: формулировка, малая теорема Ферма как частный случай, доказательство (аналогично 4 доказательству малой теоремы Ферма, через обратимые остатки и их перемножение).<br><br />
Алгоритм кодирования с открытым ключом RSA: определение, корректность кодирования и декодирования, устойчивость к атакам.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.162-167<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/fX6Q_FMRE-I_Zg Лекции по криптографии] (тут довольно хорошо объяснен алгоритм RSA и еще много что)<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|Графы: определение (V,E), множество вершин, множество ребер, изолированная вершина, степень вершины, способы задания графов (матрица смежности, матрица инцидентности, список смежности).<br><br />
Формула 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>).<br><br />
Маршрут, путь, простой путь, расстояние между вершинами (длина кратчайшего пути), диаметр графа (самое большое расстояние между вершинами).<br><br />
Цикл, простой цикл.<br><br />
Связный граф, компонента связности.<br><br />
Оценка: количество компонент связности ≥ |V|-|E|.<br><br />
Следствие: для поиска самого тяжелого камня среди n камней необходимо n-1 взвешивание.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.95-118<br><br />
<br />
|-<br />
|25.11.2022<br />
|Деревья: (четыре определения и их эквивалентность) связный граф с V-1 ребром; минимальный связный граф; связный ациклический граф; граф, между любыми двумя вершинами которого существует единственный путь.<br><br />
''Дополнительно:'' бинарное дерево поиска: поиск элемента, добавление элемента, удаление элемента, поиск следующего и предшествующего элементов.<br><br />
Существование у произвольного дерева по крайней мере двух листьев (два доказательства: через формулу 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>) и через максимально удаленные вершины).<br><br />
Остовное дерево связного графа, возможность удаления из связного графа вершины вместе с ребрами без потери связности.<br><br />
Правильная раскраска: определение, примеры, критерий 2-раскрашиваемости графа (отсутствие циклов нечетной длины).<br><br />
''Дополнительно:'' алгоритмы поиска в ширину (BFS) и глубину (DFS).<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.118-123<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/XDNEDxyuccjLGA Т.Кормен и др. «Алгоритмы Построение и Анализ» стр 316-322, 607-663]<br />
<br />
|-<br />
|02.12.2022<br />
|Жадные алгоритмы: алгоритмы, оптимизирующие некоторый параметр на '''каждом''' шаге, примеры (задача о рюкзаке в дискретном и непрерывном вариантах, задача о поиске минимального остовного дерева, задача о загруженности аудитории).<br><br />
Эйлеровы циклы и пути: цикл (путь) проходящий по каждому ребру графа ровно один раз, критерии наличия Эйлерова цикла (пути) в неориентированном и ориентированном графах.<br><br />
Гамильтоновы циклы и пути: цикл (путь) проходящий через каждую вершину графа ровно один раз, отсутствие критерия, NP-полнота задачи о поиске Гамильтонова цикла в графе, теорема Оре.<br><br />
Чуть-чуть логики: формализация метода доказательства с помощью правила контрапозиции и метода доказательства от противного.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.132-135<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/XDNEDxyuccjLGA Т.Кормен и др. «Алгоритмы Построение и Анализ» стр 442-482, 642, 1086, 1101-1103]<br />
|}<br />
<br />
== Семинары ==<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/N5V4VaIkLVTajg Комбинаторика-1]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/DDB7KcxEXg3-6A Комбинаторика-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/QXW6c4tUxwjV4g Комбинаторика-3]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/lfhWkTgRJPvbGw Числа Фибоначчи, Индукция]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/I1VBzSGylBSUtw Числа Фибоначчи-2, Индукция-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/6ZeDU1zdCnlBog Системы счисления]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/pC1rFQaRgrr5KA Делимость и Вычеты]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/iGuukuYtT4O1iQ Расширенный алгоритм Евклида, малая теорема Ферма]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/yGSOYGTeGLBJVg Малая теорема Ферма, Китайская теорема об остатках]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KjQpX2s2Vj8ITw Теорема Эйлера]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/OOaz4DVxqMuUkg Графы-1]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KiTGSNoG6VM_Hg Деревья, правильные раскраски]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KE1u7QBFzIgkcA Эйлеровы и Гамильтоновы циклы и пути]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/WhUOhUDduFOzjQ Потоки в сетях]<br />
<br />
== Домашние задания ==<br />
'''В ДЗ-8 появилась бонусная задача на бинарные деревья поиска. Ссылку на книгу по теме можно найти в допматериалах к последней лекции.'''<br><br />
Книга «Алгоритмы. Построение и Анализ.» Т.Кормена и др. на мой взгляд является отличным источником знаний для начинающего (и не только) программиста -- в ней рассмотрено большое количество основных понятий и определений, для каждого алгоритма приведен псевдокод (иногда не один) и оценка сложности. Этой книгой можно пользоваться как справочником: читать 2-3 страницы по интересующей теме и временно откладывать.<br />
<br />
'''Правила сдачи ДЗ''': решения задач из домашнего задания оформляются письменно, первый лист работы подписывается, только ответы не проверяются, должно присутствовать ''полное рассуждение'', затем текст сканируется, файл называется в соответствии с ФИО студента (например, SysoevaLN.pdf) и отправляется на проверку (ссылку на загрузку см. в таблице ниже).<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дедлайн<br />
!Домашнее задание<br />
!Ссылка на загрузку файла<br />
!Решения и критерии<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/WeEzyM70AzqNtw Домашнее задание №1]<br />
|[https://www.dropbox.com/request/cGNCtS3rrJoiE6NGCrz9 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/lmtlr4mP41Iy-Q Решения ДЗ-1]<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/87IgAYKMLGbEyA Домашнее задание №2]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/_yELwtWaJS4RMA Решения ДЗ-2]<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/Yy6-_Hda1UEQLg Домашнее задание №3]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/-VioO1CArRXPEA Решения ДЗ-3]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/aofNsKB9AMhONA Домашнее задание №4]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/JVpDIULhuGcJfA Решения ДЗ-4]<br />
<br />
|-<br />
|4.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/V62t0PGwzQmJoA Домашнее задание №5]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/S-0Dkekb9_o1aQ Решения ДЗ-5]<br />
<br />
|-<br />
|12.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/ZtHuki9PQHV5Cg Домашнее задание №6]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/nmYHFgM2kiZtdg Решения ДЗ-6]<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/X6LCkozybxDH7w Домашнее задание №7]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/9WINMpnYoD5uRw Решения ДЗ-7]<br />
<br />
|-<br />
|27.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/FjywLphzBhL0Xw Домашнее задание №8]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
| [https://disk.yandex.ru/i/cQh7lkI29Bqgxw Решения ДЗ-8]<br />
<br />
|-<br />
|4.12.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/WRZnhkUVF8mXJA Домашнее задание №9]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|<br />
<br />
|-<br />
|11.12.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/gq1oxKo9Y78NEw Домашнее задание №10]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|<br />
|}</div>Любовь Сысоеваhttp://math-info.hse.ru/wiki2022-23/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B8%D0%B3%D1%80&diff=463Теория игр2022-12-06T15:16:45Z<p>Любовь Сысоева: /* Домашние задания */</p>
<hr />
<div>'''Дорогие студенты!'''<br />
<br />
На этой странице будут появляться различные материалы и объявления, связанные с курсом '''«Теория игр»''', читаемого для студентов 3-го курса ОП Политология в '''2022/2023''' учебном году. <br />
<br />
* Лекции читает: Сысоева Любовь Николаевна lsysoeva@hse.ru, telegram @lsysoeva<br />
* Семинары (201 и 203): Паршина Анастасия Алексеевна a.a.parshina@ya.ru, telegram @aaparshina<br />
* Семинары (202 и 204): Краснокутская Александра Львовна al.krasnokutskaya@gmail.com<br />
* Ассистенты: Арзуманян Артур telegram @artshic и Крипайтис Кирилл telegram @ppppprik<br />
<br />
''Формула итоговой оценки'':<br />
О<sub>Итоговая</sub> =0,25*О<sub>Экзамен</sub> +0,25*О<sub>К/р</sub> + 0,25*О<sub>ДЗ</sub> + 0,25*О<sub>Активность</sub> , где О<sub>Активность</sub> = 0,5∗О<sub>Активность_Семинары</sub> + 0,5∗О<sub>Активность_Лекции</sub><br />
<br />
Оценки за Экзамен, КР, ДЗ, Активность являются целыми числами (округление по правилам арифметики), оценки Активность_Семинары и Активность_Лекции не округляются.<br />
<br />
== Экзамен ==<br />
Экзамен состоится 21го декабря в 11:00 по адресу Мясницкая д.20.<br />
<br />
В экзамен может войти любая тема, рассмотренная на курсе.<br />
Особое внимание стоит уделить Байесовым играм и играм с несовершенной информацией.<br />
<br />
Задавайте вопросы на семинарах, просите консультации и дополнительные задачи!<br />
<br />
На контрольной можно пользоваться калькулятором (но не телефоном!) и '''двумя''' листами формата А4 с любыми записями с двух сторон.<br />
<br />
Демо-версии экзамена не предусмотрено в силу уникальности каждой задачи по теории игр, при подготовке стоит ориентироваться на задачи из семинаров и домашних работ.<br />
На экзамене будет 5 задач на различные темы.<br />
<br />
Если нужна консультация с лектором и вас набралось хотя бы 10 человек, пишите в телеграм @lsysoeva -- будем искать время!<br />
<br />
== Ведомости ==<br />
<br />
{|<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1fwKHS6v9XstPVA-KBLnc0yduBW8M6kdhGIYgu8-V728/edit?usp=sharing Активность 201] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1X61fBoP8Xmcw0KhJpnJa7RvvVSiKX_oGzX9iVVnvprw/edit?usp=sharing ДЗ 201]<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1yP9MbG9nTMdMNTDYSBdwVw1CBILOnQ_iWtq9_VSFm5g/edit?usp=sharing Активность 202] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1-Or4AzLTDN8BAqLAmCTXe7ikGkIteE2n0rl9L3YFDnI/edit?usp=sharing ДЗ 202]<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1z5mollNQ_6fVsg22wV6M50i1pa8g3h7D94FnZ2QLKAQ/edit?usp=sharing Активность 203] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r3Jr51DI6ZKXIjc9_DGSP6ap9hp5Cz30ixO9Bssgah0/edit?usp=sharing ДЗ 203]<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/14O560WPkH4zb1zx2v7IcHYBnSsxW3OoLscqCmwjcyqM/edit?usp=sharing Активность 204] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1LThjvW2FlgqHKGD0pfT6GCiYfK6cGASyAx-DSWdHjsA/edit?usp=sharing ДЗ 204]<br />
|}<br />
<br />
== Лекции ==<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дата лекции<br />
!тема лекции<br />
!дополнительные материалы<br />
|-<br />
|03.09.2022<br />
|Стратегические и нестратегические взаимодействия, примеры. Формализация одновременных взаимодействий в виде игр в нормальной форме. Матричная запись игр с 2 игроками, примеры. Сравнение профилей стратегий по Парето, Парето-оптимальные профили стратегий. Строго/слабо доминирующие стратегии, равновесия в строго/слабо доминирующих стратегиях.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/1 1 неделя], [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/2 2 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-1 1 неделя], [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-2 2 неделя]<br />
<br />
Алексей Савватеев <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=17176675618925890445&reqid=1662237943241960-2957665704564396072-vla1-2251-vla-l7-balancer-8080-BAL-6432&suggest_reqid=557135369158636339279440407783687&text=савватеев+теория+игр+лекция+1 Лекция 1] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=16196426250303824634&reqid=1662239129399232-15992862096193270937-vla1-2251-vla-l7-balancer-8080-BAL-61&suggest_reqid=557135369158636339291301794755819&text=савватеев+теория+игр+лекция+2 Лекция 2] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=11396199022059523635&suggest_reqid=557135369158636339291396043965073&text=савватеев+теория+игр+лекция+3 Лекция 3] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=11474602284554133982&reqid=1662239210097183-15470061965215477178-vla1-2251-vla-l7-balancer-8080-BAL-2138&suggest_reqid=557135369158636339292106870659353&text=савватеев+теория+игр+лекция+4 Лекция 4]<br />
<br />
|-<br />
|10.09.2022<br />
|Игры в нормальной форме, пример формализации игры с тремя игроками в виде нескольких матриц, примеры игр с большим количеством игроков. Равновесия, получаемые последовательным исключением строго/слабо доминируемых стратегий. Минимаксные (все против меня) и максиминные (осторожные) стратегии. Равновесие Нэша.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/2 2 неделя], [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/3 3 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-3 3-7 неделя]<br />
<br />
Алексей Савватеев <br />
[https://yandex.ru/video/preview/5743819050015473973 Лекция 5] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/7613644260134860259 Лекция 6] <br />
<br />
<br />
|-<br />
|17.09.2022<br />
|Пример игры со многими игроками (угадать среднее арифметическое всех названных чисел): максиминные и минимаксные стратегии игроков, Парето-оптимальные профили, равновесия Нэша.<br />
Смешанные стратегии, ожидаемые платежи, равновесие Нэша в смешанных стратегиях, теорема Нэша, исключение строго/слабо доминируемых стратегий с помощью смешанных стратегий.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/8 8 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-9 9-10 неделя]<br />
<br />
Алексей Савватеев <br />
[https://yandex.ru/video/preview/15857287820861354547 Лекция 10]<br />
[https://yandex.ru/video/preview/12182277885949068581 Лекция 12]<br />
<br />
|-<br />
|24.09.2022<br />
|Поиск равновесий Нэша в смешанных стратегиях, графический метод сравнения платежей игрока, проверка равновесий на устойчивость.<br />
Аукционы: примеры, свойства, сходства, различия, субъективная оценка стоимости лота и связь этой оценки со ставкой на аукционе.<br />
<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/SM5jmzWoI3qPbg Обзорная статья А.В.Савватеева про аукционы]<br />
<br />
|-<br />
|1.10.2022<br />
|Модель предвыборной конкуренции Хоттелинга-Даунса: предположения модели; случай 2 кандидатов, медианный избиратель, слабо доминирующая стратегия каждого из кандидатов, равновесие Нэша; случай 3 и более кандидатов, максимизация вероятности победы (равновесия Нэша) VS максимизация числа набранных голосов (отсутствие равновесий); случай функции распределения с линейной плотностью.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/4 4 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-3 3 неделя]<br />
<br />
[https://www.youtube.com/watch?v=jILgxeNBK_8 Маленький мультик про модель] (он есть и в переводе, но перевод мне не нравится)<br />
<br />
|-<br />
|15.10.2022<br />
|Игры с неполной информацией. Байесовы игры (типы игроков, веры игроков относительно типов других игроков, ожидаемые платежи игроков). Равновесие Байеса-Нэша.<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/2jVnCUZu8c3qqw Презентация]<br />
<br />
|В.И. Данилов. Лекции по теории игр. Препринт РЭШ, 2002. Лекция 18.<br />
<br />
А.В. Захаров. Теория игр в общественных науках. Пп. 3.1.1.–3.1.2.<br />
<br />
|-<br />
|12.11.2022<br />
|Последовательные стратегические взаимодействия: примеры, формализация в виде игры в развернутой форме (дерево игры), определение количества стратегий каждого игрока, определение количества подыгр, нахождение матрицы игры по дереву игры, поиск NE, алгоритм обратной индукции, SPNE.<br />
Теорема Цермело-Куна про существование SPNE в любой конечной (!) последовательной игре.<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/5 5-6 недели]<br><br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-14 14-15 неделя]<br><br />
Dixit A., Nalebuff B. The Art of Strategy. Chapters 2,6,7;<br><br />
А.В. Захаров. Теория игр в общественных науках. Пп. 2.1.1.–2.1.3.<br><br />
Schelling T., The Strategy of Conflict;<br><br />
В.И. Данилов. Лекции по теории игр. Препринт РЭШ, 2002. Лекция 1.<br />
<br />
<br />
|-<br />
|19.11.2022<br />
|Последовательные взаимодействия повторение: стратегии, подыгры, нахождение матрицы игры, поиск NE, поиск SPNE.<br><br />
Игры с Коммитментом: примеры последовательных игр, в которых одному из игроков выгодно взять на себя связывающее обязательство.<br><br />
Игры с несовершенной информацией: пример, определение стратегий, подыгр, SPNE.<br><br />
Байесовы игры: повторение на примере военных действий.<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/6 6 неделя]<br><br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-19 19 неделя]<br />
[https://disk.yandex.ru/i/9G0aizetfHPsDA Решение игры со странами]<br />
<br />
|-<br />
|26.11.2022<br />
|Игры с несовершенной информацией: отличие от последовательных взаимодействий с полной информацией, возможное отсутствие SPNE.<br><br />
Игры с несовершенной информацией: примеры, определение стратегий, подыгр, формирование матриц игр и подыгр, поиск NE и SPNE.<br><br />
Повторяющиеся игры: описание, примеры, единственность SPNE в случае одного NE в исходной игре и конечного количества периодов, случай нескольких NE в исходной игре, различные стратегии в повторяющейся игре, стратегии «договора».<br><br />
Повторяющаяся дилемма заключенных: различные стратегии, игра «Эволюция доверия».<br />
|[https://notdotteam.github.io/trust/ «Эволюция доверия»]<br><br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-18 18 неделя]<br><br />
В.И. Данилов. Лекции по теории игр. Стр. 73-78 (части лекций 13 и 14).<br />
<br />
|-<br />
|03.12.2022<br />
|Мэтчинги: постановка задачи; примеры множеств с двумя типами игроков, которых нужно разбить на пары.<br><br />
Предпочтения: полные, строгие, транзитивные; примеры.<br><br />
Мэтчинги: индивидуальная рациональность, парная рациональность, стабильные мэтчинги.<br><br />
Алгоритм поиска стабильных мэтчингов: алгоритм отсроченного принятия решений.<br><br />
Свойства мэтчингов, полученных в результате выполнения алгоритма: стабильность; это лучший стабильный мэтчинг для каждого из агентов, которые делали предложения, и худший для другой группы агентов.<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/9 9 неделя]<br />
<br />
|}<br />
<br />
== Семинары ==<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/VJs13h-QQVdS4Q Стратегические взаимодействия, игра в нормальной форме, Парето-оптимальность, доминирующие стратегии]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/BLF_B64Yreeb5g Доминируемые стратегии, минимакс, максимин, равновесие Нэша]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/_8VqIZzRSgxlzg Help01]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/7OPbE-e9h4c9dQ Смешанные стратегии и равновесие Нэша в смешанных стратегиях]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/01xPQDvVhuvCBA Help02]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/SGNtqPl_ksiAww Help03]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/O8m8B9K_OxLX8g Модель Хотеллинга-Даунса]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/4qu6gAoZ745GcQ Байесовы игры]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/hn4SNNdq272o_w Help04]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/a0Sisz-HMHVBcw Повторение]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/Tm_SE29-ftPNrQ Лыжники (Help05)]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/Z34sjCItue8wHg Игры в развернутой форме]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/j6HnPuTFEhx9Ug Игры с несовершенной информацией]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/lhL6Etimyaoj_Q Косичка (Help06)]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/rg3hM_cdhIxRzg Повторение]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/q0KygzGi4GiSoA Мэтчинги]<br />
<br />
== Домашние задания ==<br />
<br />
'''Обратите внимание на турнир!'''<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дедлайн<br />
!файл с заданием<br />
!форма для ответов<br />
|-<br />
|12.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/xPpKHVGXmieNBQ Домашнее задание 1]<br />
|[https://forms.gle/RTdRLZcvNvzpbvyE6 Форма ДЗ-1]<br />
<br />
|-<br />
|19.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/kfMYJkB1iiF_gg Домашнее задание 2]<br />
|[https://forms.gle/oGyY8FSbfeEsYXsv9 Форма ДЗ-2]<br />
<br />
|-<br />
|29.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/nDAZ3wFDfKM4sQ Домашнее задание 3]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSeRf1IbDEzwrjCflHxsekd7ZI5utTqYz-OR53LgnEjY1oGDQw/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-3]<br />
<br />
|-<br />
|9.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/f1cjdiDeUcbq-w Домашнее задание 4]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdFHp3iv9EzMKNvRbNC3YwAWiWOiAkpA8Q7tIrL8qjPQRXf2Q/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-4]<br />
<br />
|-<br />
|16.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/5Sdsj6-1EC-JEQ Домашнее задание 5]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSfFhfclBc8Ts8trQXyOnugxdB-cMF1Zs1weT81Mr82dMjNJwA/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-5]<br />
<br />
|-<br />
|31.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/QpypS8qdocQI_w Турнир 2]<br />
|<br />
<br />
|-<br />
|16.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/AMS9JEJQ6M8Avw Домашнее задание 6]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdL5yClVlgNVRp6Eiu9izN1_sfjI2vZyzxaa8GlYy8kSl0R9A/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-6]<br />
<br />
|-<br />
|26.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/GK3pnapp0_H_wA Домашнее задание 7]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdM1lS-RAwM1Lg3XWLYvN5kUEXgQ2ozvWjOUlUyKOtVMrii6w/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-7]<br />
<br />
|-<br />
|6.12.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/rkYd9uJ_1zf05w Домашнее задание 8]<br />
| [https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSeZ6ucf7YlopgbcHKk9_nl9Yv0kPzLZZZX-bJ7obuSu3uuB8g/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-8]<br />
<br />
|-<br />
|18.12.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/PmoAZZ4qNKCp2w Турнир 3]<br />
|<br />
|}</div>Любовь Сысоеваhttp://math-info.hse.ru/wiki2022-23/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0&diff=461Дискретная Математика2022-12-05T15:59:19Z<p>Любовь Сысоева: /* Домашние задания */</p>
<hr />
<div>'''Дорогие студенты!'''<br />
<br />
На этой странице будут появляться различные материалы и объявления, связанные с курсом '''«Дискретная математика»''', читаемого для студентов 1-го курса ОП Вычислительные социальные науки в '''2022/2023''' учебном году. <br />
<br />
* Лекции и семинары: Сысоева Любовь Николаевна lsysoeva@hse.ru, telegram @lsysoeva<br />
* Ассистент: Ластовецкий Дмитрий dalastovetsky@hse.ru, telegram @dalastovetskiy<br />
<br />
{|<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_izNbdyLHY8c3Y4SfFzpzhsF-QTBNpRFmEqnCR3IQFU/edit?usp=sharing Ведомость активности] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SmaC4Uyy1F4Dn37zME5SMQCdAtXQHpSelk3JZttFxBU/edit?usp=sharing Ведомость ДЗ]<br />
|}<br />
<br />
Формула итоговой оценки:<br />
0,3 * Активность + 0,3 * Домашние задания + 0,4 * Экзамен<br />
<br />
== Консультации ==<br />
<br />
Консультации будут проходить онлайн по понедельникам в 17:00, задавайте ваши вопросы Дмитрию, присоединяйтесь к консультациям!<br />
<br />
Join Zoom Meeting<br />
https://us05web.zoom.us/j/4685079351?pwd=cVJkeVkzUUR1bXNjMzJ1WDRrN0EyUT09<br />
<br />
Meeting ID: 468 507 9351<br />
Passcode: yqTLi1<br />
<br />
== Лекции ==<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дата лекции<br />
!тема лекции<br />
!дополнительные материалы<br />
|-<br />
|16.09.2022<br />
|Понятие множества, конечные множества, задание множества перечислением элементов, задание множества условием, пустое множество, пересечение множеств, объединение множеств, декартово произведение множеств, парадокс брадобрея.<br><br />
Комбинаторика: правило суммы, правило произведения, факториал, число размещений с повторениями и без повторений, число сочетаний.<br />
|[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.1-26<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.44-63<br />
<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|Дискретная вероятность = (кол-во положительных исходов)/(общее число исходов).<br><br />
<br />
Сочетания с повторениями (метод шариков и перегородок), типы предметов.<br><br />
<br />
Треугольник Паскаля (количество путей от вершины вниз), рекуррентная формула (нижний элемент = сумме двух верхних).<br><br />
<br />
Бином Ньютона, связь с треугольником Паскаля (коэффициенты в разложении (a+b)<sup>n</sup> это числа в n строке треугольника).<br><br />
<br />
Числа сочетаний в треугольнике Паскаля, формула C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>k</sup><sub>n-1</sub> + C<sup>k-1</sup><sub>n-1</sub> и ее комбинаторный смысл.<br><br />
<br />
Сумма элементов n строки в треугольнике Паскаля равна 2<sup>n</sup> (через удвоение суммы предыдущей строки, через разложение (1+1)<sup>n</sup> и через все подмножества множества из n элементов).<br><br />
<br />
Полиномиальные коэффициенты (определение и формула).<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.26-40<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.63-70<br />
<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|Числа сочетаний в треугольнике Паскаля: возрастание элементов к середине строки и убывание после середины (C<sup>k</sup><sub>n</sub> < C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k < (n-1)/2 и C<sup>k</sup><sub>n</sub> > C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k > (n-1)/2), симметрия (C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>n-k</sup><sub>n</sub>), оценка среднего элемента в строке через сумму и количество элементов в этой строке (C<sup>n</sup><sub>2n</sub> > 2<sup>2n</sup>/(2n+1)).<br><br />
<br />
Сумма знакопеременных элементов n строки в треугольнике Паскаля равна нулю (через удвоение элементов предыдущей строки с противоположными знаками, через разложение (1-1)<sup>n</sup>).<br><br />
<br />
Формулы для 11<sup>2</sup>, 11<sup>3</sup>, 11<sup>4</sup> и связь со строками треугольника Паскаля (доказательство через разложение 11<sup>k</sup> = (10+1)<sup>k</sup> по биному Ньютона).<br><br />
<br />
Формула включений-исключений: через диаграммы Эйлера-Вена для 2 и 3 множеств, формулировка в общем случае.<br><br />
<br />
Принцип Дирихле (pigeonhole principle): если кроликов больше, чем клеток, то при рассадке кроликов по клеткам по крайней мере в одну клетку попадут по крайней мере два кролика.<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.41-44<br><br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.66<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи: задача про кроликов, определение (F<sub>0</sub> = 0, F<sub>1</sub> = 1, F<sub>n+1</sub> = F<sub>n</sub> + F<sub>n-1</sub>), F<sub>n</sub> равно сумме "диагонали" треугольника Паскаля (F<sub>n</sub> = C<sub>n-1</sub><sup>0</sup> + C<sub>n-2</sub><sup>1</sup> + C<sub>n-3</sub><sup>2</sup> + ... + C<sub>n-[n/2]</sub><sup>[n/2]-1</sup> целая часть должна быть верхней), явная формула (F<sub>n</sub> = 1/٧5((1+٧5)/2)^n - 1/٧5((1-٧5)/2)^n) и ее доказательство по индукции.<br />
<br />
Индукция: принцип математической индукции, база и переход их согласованность, индуктивное предположение, доказательство равенств, неравенств, разбор текстовой задачи (машина на краю пустыни).<br />
Примеры неверных доказательств по индукции (резиновый автобус, куча манки, одномастные лошади).<br />
<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.16-51<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|14.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи (повторение).<br />
Линейные рекуррентные соотношения в разных задачах.<br />
Рекурсия (программирование, литература) и ее связь с рекуррентными соотношениями.<br />
Основная теорема о рекуррентных соотношениях (Master theorem): оценка сложности рекурсивных алгоритмов.<br />
<br />
Рекуррентные записи n! и геометрических прогрессий.<br />
<br />
Индукция: повторение, связь с рекуррентными соотношениями, пример вложенной индукции (количество разломов прямоугольной шоколадки).<br />
<br />
|[https://ru.wikipedia.org/wiki/Основная_теорема_о_рекуррентных_соотношениях Основная теорема о рекуррентных соотношениях]<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|Числа Каталана (по заявкам): рекуррентная формула, количество правильных скобочных последовательностей, количество способов разбить n-угольник диагоналями на треугольники.<br />
<br />
Системы счисления: позиционные, примеры, n-ичные дроби, переводы между системами счислений целых чисел и дробных частей, погрешность в случае прерывания бесконечных дробей.<br />
<br />
Римская система счисления: способы записи чисел, сложность алгоритмов сложения и умножения чисел.<br />
<br />
Признаки делимости в n-ичной системе счисления: схожесть признаков делимости на n-1 и n+1 с признаками делимости на 9 и 11 для десятичной системы, схожесть признаков делимости на делители n с признаками делимости на 5 и 10 для десятичной системы.<br />
<br />
Троичная система: взвешивание путем уравновешивания весов с двумя чашами.<br />
|<br />
[https://disk.yandex.ru/i/UjJYIydJppYhQg Статья про числа Каталана]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/MOK8NEeNVq5SYA Книжка по системам счисления]<br />
<br />
|-<br />
|01.11.2022<br />
|Простые числа: определение, основная теорема арифметики (любое число однозначно разлагается в произведение простых), бесконечное количество простых чисел (два доказательства 1. p<sub>1</sub>p<sub>2</sub>...p<sub>n</sub>+1 ; 2. (k+1)<sup>n</sup> << 2<sup>k</sup> при фиксированном n и растущем k), Постулат Бертрана (теорема Чебышева): для любого натурального n ⩾ 2 найдётся простое число p в интервале n < p < 2n.<br />
<br />
Остатки от деления и вычеты: сложение, вычитание, умножение, поиск обратного вычета.<br />
Запись вычетов через отрицательные числа для удобства вычислений.<br />
Примеры, когда обратного вычета не существует (элемент и модуль не взаимно просты).<br />
<br />
Алгоритм Евклида (с использованием остатка от деления по модулю): сам алгоритм и оценка числа итераций через числа Фибоначчи.<br />
<br />
|[http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/e4d919f5-8435-4fe3-a779-275181a69951/M_1.1.4/M_1.1.4.html Вычеты (короткая базовая статья)]<br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.143-156<br />
<br />
|-<br />
|11.11.2022<br />
|Идея кодирования с открытым ключом.<br />
Диофантовы уравнения: примеры, великая теорема Ферма, линейные Диофантовы уравнения с двумя неизвестными, критерий разрешимости.<br />
Расширенный алгоритм Евклида: решение линейных Диофантовых уравнений с двумя неизвестными.<br />
Сведение поиска обратного по умножению элемента по модулю к решению линейного Диофантова уравнения с двумя неизвестными.<br />
Единственность обратного по умножению элемента по модулю (если существует, то единственный).<br />
<br />
Малая теорема Ферма: формулировка, четыре доказательства (мультиномиальное разложение, индукция и бином Ньютона, раскраска бус, перемножение чисел специального вида), поиск обратного по умножению элемента через малую теорему Ферма в случае простого модуля.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.154-163<br />
<br />
<br />
|-<br />
|15.11.2022<br />
|Идея проверки числа на простоту:<br><br />
1) проверка делимости на простые до корня из числа;<br><br />
2) проверка взаимной простоты с числами от 2 до n-1;<br><br />
3) (тест Ферма) проверка справедливости малой теоремы Ферма для чисел от 2 до n-1 (и числа Кармайкла);<br><br />
4) (тест Рабина) проверка справедливости малой теоремы Ферма плюс корней из 1.<br />
<br />
Китайская теорема об остатках: система сравнений по взаимнопростым модулям имеет единственное решение по произведению модулей.<br />
Доказательство и решения систем сравнений с помощью расширенного алгоритма Евклида.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.161-165<br />
<br />
|-<br />
|18.11.2022<br />
|Китайская теорема об остатках: доказательство (индукция во числу сравнений), Следствие: независимость распределения остатков по взаимнопростым модулям.<br><br />
Функция Эйлера: определение и вычисление для простых чисел, степеней простых чисел, составных чисел.<br><br />
Теорема Эйлера: формулировка, малая теорема Ферма как частный случай, доказательство (аналогично 4 доказательству малой теоремы Ферма, через обратимые остатки и их перемножение).<br><br />
Алгоритм кодирования с открытым ключом RSA: определение, корректность кодирования и декодирования, устойчивость к атакам.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.162-167<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/fX6Q_FMRE-I_Zg Лекции по криптографии] (тут довольно хорошо объяснен алгоритм RSA и еще много что)<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|Графы: определение (V,E), множество вершин, множество ребер, изолированная вершина, степень вершины, способы задания графов (матрица смежности, матрица инцидентности, список смежности).<br><br />
Формула 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>).<br><br />
Маршрут, путь, простой путь, расстояние между вершинами (длина кратчайшего пути), диаметр графа (самое большое расстояние между вершинами).<br><br />
Цикл, простой цикл.<br><br />
Связный граф, компонента связности.<br><br />
Оценка: количество компонент связности ≥ |V|-|E|.<br><br />
Следствие: для поиска самого тяжелого камня среди n камней необходимо n-1 взвешивание.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.95-118<br><br />
<br />
|-<br />
|25.11.2022<br />
|Деревья: (четыре определения и их эквивалентность) связный граф с V-1 ребром; минимальный связный граф; связный ациклический граф; граф, между любыми двумя вершинами которого существует единственный путь.<br><br />
''Дополнительно:'' бинарное дерево поиска: поиск элемента, добавление элемента, удаление элемента, поиск следующего и предшествующего элементов.<br><br />
Существование у произвольного дерева по крайней мере двух листьев (два доказательства: через формулу 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>) и через максимально удаленные вершины).<br><br />
Остовное дерево связного графа, возможность удаления из связного графа вершины вместе с ребрами без потери связности.<br><br />
Правильная раскраска: определение, примеры, критерий 2-раскрашиваемости графа (отсутствие циклов нечетной длины).<br><br />
''Дополнительно:'' алгоритмы поиска в ширину (BFS) и глубину (DFS).<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.118-123<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/XDNEDxyuccjLGA Т.Кормен и др. «Алгоритмы Построение и Анализ» стр 316-322, 607-663]<br />
<br />
|-<br />
|02.12.2022<br />
|Жадные алгоритмы: алгоритмы, оптимизирующие некоторый параметр на '''каждом''' шаге, примеры (задача о рюкзаке в дискретном и непрерывном вариантах, задача о поиске минимального остовного дерева, задача о загруженности аудитории).<br><br />
Эйлеровы циклы и пути: цикл (путь) проходящий по каждому ребру графа ровно один раз, критерии наличия Эйлерова цикла (пути) в неориентированном и ориентированном графах.<br><br />
Гамильтоновы циклы и пути: цикл (путь) проходящий через каждую вершину графа ровно один раз, отсутствие критерия, NP-полнота задачи о поиске Гамильтонова цикла в графе, теорема Оре.<br><br />
Чуть-чуть логики: формализация метода доказательства с помощью правила контрапозиции и метода доказательства от противного.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.132-135<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/XDNEDxyuccjLGA Т.Кормен и др. «Алгоритмы Построение и Анализ» стр 442-482, 642, 1086, 1101-1103]<br />
|}<br />
<br />
== Семинары ==<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/N5V4VaIkLVTajg Комбинаторика-1]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/DDB7KcxEXg3-6A Комбинаторика-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/QXW6c4tUxwjV4g Комбинаторика-3]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/lfhWkTgRJPvbGw Числа Фибоначчи, Индукция]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/I1VBzSGylBSUtw Числа Фибоначчи-2, Индукция-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/6ZeDU1zdCnlBog Системы счисления]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/pC1rFQaRgrr5KA Делимость и Вычеты]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/iGuukuYtT4O1iQ Расширенный алгоритм Евклида, малая теорема Ферма]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/yGSOYGTeGLBJVg Малая теорема Ферма, Китайская теорема об остатках]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KjQpX2s2Vj8ITw Теорема Эйлера]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/OOaz4DVxqMuUkg Графы-1]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KiTGSNoG6VM_Hg Деревья, правильные раскраски]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KE1u7QBFzIgkcA Эйлеровы и Гамильтоновы циклы и пути]<br />
<br />
== Домашние задания ==<br />
'''В ДЗ-8 появилась бонусная задача на бинарные деревья поиска. Ссылку на книгу по теме можно найти в допматериалах к последней лекции.'''<br><br />
Книга «Алгоритмы. Построение и Анализ.» Т.Кормена и др. на мой взгляд является отличным источником знаний для начинающего (и не только) программиста -- в ней рассмотрено большое количество основных понятий и определений, для каждого алгоритма приведен псевдокод (иногда не один) и оценка сложности. Этой книгой можно пользоваться как справочником: читать 2-3 страницы по интересующей теме и временно откладывать.<br />
<br />
'''Правила сдачи ДЗ''': решения задач из домашнего задания оформляются письменно, первый лист работы подписывается, только ответы не проверяются, должно присутствовать ''полное рассуждение'', затем текст сканируется, файл называется в соответствии с ФИО студента (например, SysoevaLN.pdf) и отправляется на проверку (ссылку на загрузку см. в таблице ниже).<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дедлайн<br />
!Домашнее задание<br />
!Ссылка на загрузку файла<br />
!Решения и критерии<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/WeEzyM70AzqNtw Домашнее задание №1]<br />
|[https://www.dropbox.com/request/cGNCtS3rrJoiE6NGCrz9 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/lmtlr4mP41Iy-Q Решения ДЗ-1]<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/87IgAYKMLGbEyA Домашнее задание №2]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/_yELwtWaJS4RMA Решения ДЗ-2]<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/Yy6-_Hda1UEQLg Домашнее задание №3]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/-VioO1CArRXPEA Решения ДЗ-3]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/aofNsKB9AMhONA Домашнее задание №4]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/JVpDIULhuGcJfA Решения ДЗ-4]<br />
<br />
|-<br />
|4.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/V62t0PGwzQmJoA Домашнее задание №5]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/S-0Dkekb9_o1aQ Решения ДЗ-5]<br />
<br />
|-<br />
|12.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/ZtHuki9PQHV5Cg Домашнее задание №6]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/nmYHFgM2kiZtdg Решения ДЗ-6]<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/X6LCkozybxDH7w Домашнее задание №7]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/9WINMpnYoD5uRw Решения ДЗ-7]<br />
<br />
|-<br />
|27.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/FjywLphzBhL0Xw Домашнее задание №8]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
| [https://disk.yandex.ru/i/cQh7lkI29Bqgxw Решения ДЗ-8]<br />
<br />
|-<br />
|4.12.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/WRZnhkUVF8mXJA Домашнее задание №9]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|<br />
<br />
|-<br />
|11.12.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/gq1oxKo9Y78NEw Домашнее задание №10]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|<br />
|}</div>Любовь Сысоеваhttp://math-info.hse.ru/wiki2022-23/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B8%D0%B3%D1%80&diff=459Теория игр2022-12-05T13:02:22Z<p>Любовь Сысоева: /* Семинары */</p>
<hr />
<div>'''Дорогие студенты!'''<br />
<br />
На этой странице будут появляться различные материалы и объявления, связанные с курсом '''«Теория игр»''', читаемого для студентов 3-го курса ОП Политология в '''2022/2023''' учебном году. <br />
<br />
* Лекции читает: Сысоева Любовь Николаевна lsysoeva@hse.ru, telegram @lsysoeva<br />
* Семинары (201 и 203): Паршина Анастасия Алексеевна a.a.parshina@ya.ru, telegram @aaparshina<br />
* Семинары (202 и 204): Краснокутская Александра Львовна al.krasnokutskaya@gmail.com<br />
* Ассистенты: Арзуманян Артур telegram @artshic и Крипайтис Кирилл telegram @ppppprik<br />
<br />
''Формула итоговой оценки'':<br />
О<sub>Итоговая</sub> =0,25*О<sub>Экзамен</sub> +0,25*О<sub>К/р</sub> + 0,25*О<sub>ДЗ</sub> + 0,25*О<sub>Активность</sub> , где О<sub>Активность</sub> = 0,5∗О<sub>Активность_Семинары</sub> + 0,5∗О<sub>Активность_Лекции</sub><br />
<br />
Оценки за Экзамен, КР, ДЗ, Активность являются целыми числами (округление по правилам арифметики), оценки Активность_Семинары и Активность_Лекции не округляются.<br />
<br />
== Экзамен ==<br />
Экзамен состоится 21го декабря в 11:00 по адресу Мясницкая д.20.<br />
<br />
В экзамен может войти любая тема, рассмотренная на курсе.<br />
Особое внимание стоит уделить Байесовым играм и играм с несовершенной информацией.<br />
<br />
Задавайте вопросы на семинарах, просите консультации и дополнительные задачи!<br />
<br />
На контрольной можно пользоваться калькулятором (но не телефоном!) и '''двумя''' листами формата А4 с любыми записями с двух сторон.<br />
<br />
Демо-версии экзамена не предусмотрено в силу уникальности каждой задачи по теории игр, при подготовке стоит ориентироваться на задачи из семинаров и домашних работ.<br />
На экзамене будет 5 задач на различные темы.<br />
<br />
Если нужна консультация с лектором и вас набралось хотя бы 10 человек, пишите в телеграм @lsysoeva -- будем искать время!<br />
<br />
== Ведомости ==<br />
<br />
{|<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1fwKHS6v9XstPVA-KBLnc0yduBW8M6kdhGIYgu8-V728/edit?usp=sharing Активность 201] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1X61fBoP8Xmcw0KhJpnJa7RvvVSiKX_oGzX9iVVnvprw/edit?usp=sharing ДЗ 201]<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1yP9MbG9nTMdMNTDYSBdwVw1CBILOnQ_iWtq9_VSFm5g/edit?usp=sharing Активность 202] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1-Or4AzLTDN8BAqLAmCTXe7ikGkIteE2n0rl9L3YFDnI/edit?usp=sharing ДЗ 202]<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1z5mollNQ_6fVsg22wV6M50i1pa8g3h7D94FnZ2QLKAQ/edit?usp=sharing Активность 203] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r3Jr51DI6ZKXIjc9_DGSP6ap9hp5Cz30ixO9Bssgah0/edit?usp=sharing ДЗ 203]<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/14O560WPkH4zb1zx2v7IcHYBnSsxW3OoLscqCmwjcyqM/edit?usp=sharing Активность 204] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1LThjvW2FlgqHKGD0pfT6GCiYfK6cGASyAx-DSWdHjsA/edit?usp=sharing ДЗ 204]<br />
|}<br />
<br />
== Лекции ==<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дата лекции<br />
!тема лекции<br />
!дополнительные материалы<br />
|-<br />
|03.09.2022<br />
|Стратегические и нестратегические взаимодействия, примеры. Формализация одновременных взаимодействий в виде игр в нормальной форме. Матричная запись игр с 2 игроками, примеры. Сравнение профилей стратегий по Парето, Парето-оптимальные профили стратегий. Строго/слабо доминирующие стратегии, равновесия в строго/слабо доминирующих стратегиях.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/1 1 неделя], [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/2 2 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-1 1 неделя], [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-2 2 неделя]<br />
<br />
Алексей Савватеев <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=17176675618925890445&reqid=1662237943241960-2957665704564396072-vla1-2251-vla-l7-balancer-8080-BAL-6432&suggest_reqid=557135369158636339279440407783687&text=савватеев+теория+игр+лекция+1 Лекция 1] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=16196426250303824634&reqid=1662239129399232-15992862096193270937-vla1-2251-vla-l7-balancer-8080-BAL-61&suggest_reqid=557135369158636339291301794755819&text=савватеев+теория+игр+лекция+2 Лекция 2] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=11396199022059523635&suggest_reqid=557135369158636339291396043965073&text=савватеев+теория+игр+лекция+3 Лекция 3] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=11474602284554133982&reqid=1662239210097183-15470061965215477178-vla1-2251-vla-l7-balancer-8080-BAL-2138&suggest_reqid=557135369158636339292106870659353&text=савватеев+теория+игр+лекция+4 Лекция 4]<br />
<br />
|-<br />
|10.09.2022<br />
|Игры в нормальной форме, пример формализации игры с тремя игроками в виде нескольких матриц, примеры игр с большим количеством игроков. Равновесия, получаемые последовательным исключением строго/слабо доминируемых стратегий. Минимаксные (все против меня) и максиминные (осторожные) стратегии. Равновесие Нэша.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/2 2 неделя], [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/3 3 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-3 3-7 неделя]<br />
<br />
Алексей Савватеев <br />
[https://yandex.ru/video/preview/5743819050015473973 Лекция 5] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/7613644260134860259 Лекция 6] <br />
<br />
<br />
|-<br />
|17.09.2022<br />
|Пример игры со многими игроками (угадать среднее арифметическое всех названных чисел): максиминные и минимаксные стратегии игроков, Парето-оптимальные профили, равновесия Нэша.<br />
Смешанные стратегии, ожидаемые платежи, равновесие Нэша в смешанных стратегиях, теорема Нэша, исключение строго/слабо доминируемых стратегий с помощью смешанных стратегий.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/8 8 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-9 9-10 неделя]<br />
<br />
Алексей Савватеев <br />
[https://yandex.ru/video/preview/15857287820861354547 Лекция 10]<br />
[https://yandex.ru/video/preview/12182277885949068581 Лекция 12]<br />
<br />
|-<br />
|24.09.2022<br />
|Поиск равновесий Нэша в смешанных стратегиях, графический метод сравнения платежей игрока, проверка равновесий на устойчивость.<br />
Аукционы: примеры, свойства, сходства, различия, субъективная оценка стоимости лота и связь этой оценки со ставкой на аукционе.<br />
<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/SM5jmzWoI3qPbg Обзорная статья А.В.Савватеева про аукционы]<br />
<br />
|-<br />
|1.10.2022<br />
|Модель предвыборной конкуренции Хоттелинга-Даунса: предположения модели; случай 2 кандидатов, медианный избиратель, слабо доминирующая стратегия каждого из кандидатов, равновесие Нэша; случай 3 и более кандидатов, максимизация вероятности победы (равновесия Нэша) VS максимизация числа набранных голосов (отсутствие равновесий); случай функции распределения с линейной плотностью.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/4 4 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-3 3 неделя]<br />
<br />
[https://www.youtube.com/watch?v=jILgxeNBK_8 Маленький мультик про модель] (он есть и в переводе, но перевод мне не нравится)<br />
<br />
|-<br />
|15.10.2022<br />
|Игры с неполной информацией. Байесовы игры (типы игроков, веры игроков относительно типов других игроков, ожидаемые платежи игроков). Равновесие Байеса-Нэша.<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/2jVnCUZu8c3qqw Презентация]<br />
<br />
|В.И. Данилов. Лекции по теории игр. Препринт РЭШ, 2002. Лекция 18.<br />
<br />
А.В. Захаров. Теория игр в общественных науках. Пп. 3.1.1.–3.1.2.<br />
<br />
|-<br />
|12.11.2022<br />
|Последовательные стратегические взаимодействия: примеры, формализация в виде игры в развернутой форме (дерево игры), определение количества стратегий каждого игрока, определение количества подыгр, нахождение матрицы игры по дереву игры, поиск NE, алгоритм обратной индукции, SPNE.<br />
Теорема Цермело-Куна про существование SPNE в любой конечной (!) последовательной игре.<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/5 5-6 недели]<br><br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-14 14-15 неделя]<br><br />
Dixit A., Nalebuff B. The Art of Strategy. Chapters 2,6,7;<br><br />
А.В. Захаров. Теория игр в общественных науках. Пп. 2.1.1.–2.1.3.<br><br />
Schelling T., The Strategy of Conflict;<br><br />
В.И. Данилов. Лекции по теории игр. Препринт РЭШ, 2002. Лекция 1.<br />
<br />
<br />
|-<br />
|19.11.2022<br />
|Последовательные взаимодействия повторение: стратегии, подыгры, нахождение матрицы игры, поиск NE, поиск SPNE.<br><br />
Игры с Коммитментом: примеры последовательных игр, в которых одному из игроков выгодно взять на себя связывающее обязательство.<br><br />
Игры с несовершенной информацией: пример, определение стратегий, подыгр, SPNE.<br><br />
Байесовы игры: повторение на примере военных действий.<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/6 6 неделя]<br><br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-19 19 неделя]<br />
[https://disk.yandex.ru/i/9G0aizetfHPsDA Решение игры со странами]<br />
<br />
|-<br />
|26.11.2022<br />
|Игры с несовершенной информацией: отличие от последовательных взаимодействий с полной информацией, возможное отсутствие SPNE.<br><br />
Игры с несовершенной информацией: примеры, определение стратегий, подыгр, формирование матриц игр и подыгр, поиск NE и SPNE.<br><br />
Повторяющиеся игры: описание, примеры, единственность SPNE в случае одного NE в исходной игре и конечного количества периодов, случай нескольких NE в исходной игре, различные стратегии в повторяющейся игре, стратегии «договора».<br><br />
Повторяющаяся дилемма заключенных: различные стратегии, игра «Эволюция доверия».<br />
|[https://notdotteam.github.io/trust/ «Эволюция доверия»]<br><br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-18 18 неделя]<br><br />
В.И. Данилов. Лекции по теории игр. Стр. 73-78 (части лекций 13 и 14).<br />
<br />
|-<br />
|03.12.2022<br />
|Мэтчинги: постановка задачи; примеры множеств с двумя типами игроков, которых нужно разбить на пары.<br><br />
Предпочтения: полные, строгие, транзитивные; примеры.<br><br />
Мэтчинги: индивидуальная рациональность, парная рациональность, стабильные мэтчинги.<br><br />
Алгоритм поиска стабильных мэтчингов: алгоритм отсроченного принятия решений.<br><br />
Свойства мэтчингов, полученных в результате выполнения алгоритма: стабильность; это лучший стабильный мэтчинг для каждого из агентов, которые делали предложения, и худший для другой группы агентов.<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/9 9 неделя]<br />
<br />
|}<br />
<br />
== Семинары ==<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/VJs13h-QQVdS4Q Стратегические взаимодействия, игра в нормальной форме, Парето-оптимальность, доминирующие стратегии]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/BLF_B64Yreeb5g Доминируемые стратегии, минимакс, максимин, равновесие Нэша]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/_8VqIZzRSgxlzg Help01]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/7OPbE-e9h4c9dQ Смешанные стратегии и равновесие Нэша в смешанных стратегиях]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/01xPQDvVhuvCBA Help02]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/SGNtqPl_ksiAww Help03]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/O8m8B9K_OxLX8g Модель Хотеллинга-Даунса]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/4qu6gAoZ745GcQ Байесовы игры]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/hn4SNNdq272o_w Help04]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/a0Sisz-HMHVBcw Повторение]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/Tm_SE29-ftPNrQ Лыжники (Help05)]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/Z34sjCItue8wHg Игры в развернутой форме]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/j6HnPuTFEhx9Ug Игры с несовершенной информацией]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/lhL6Etimyaoj_Q Косичка (Help06)]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/rg3hM_cdhIxRzg Повторение]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/q0KygzGi4GiSoA Мэтчинги]<br />
<br />
== Домашние задания ==<br />
<br />
'''Обратите внимание на турнир!'''<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дедлайн<br />
!файл с заданием<br />
!форма для ответов<br />
|-<br />
|12.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/xPpKHVGXmieNBQ Домашнее задание 1]<br />
|[https://forms.gle/RTdRLZcvNvzpbvyE6 Форма ДЗ-1]<br />
<br />
|-<br />
|19.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/kfMYJkB1iiF_gg Домашнее задание 2]<br />
|[https://forms.gle/oGyY8FSbfeEsYXsv9 Форма ДЗ-2]<br />
<br />
|-<br />
|29.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/nDAZ3wFDfKM4sQ Домашнее задание 3]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSeRf1IbDEzwrjCflHxsekd7ZI5utTqYz-OR53LgnEjY1oGDQw/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-3]<br />
<br />
|-<br />
|9.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/f1cjdiDeUcbq-w Домашнее задание 4]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdFHp3iv9EzMKNvRbNC3YwAWiWOiAkpA8Q7tIrL8qjPQRXf2Q/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-4]<br />
<br />
|-<br />
|16.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/5Sdsj6-1EC-JEQ Домашнее задание 5]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSfFhfclBc8Ts8trQXyOnugxdB-cMF1Zs1weT81Mr82dMjNJwA/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-5]<br />
<br />
|-<br />
|31.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/QpypS8qdocQI_w Турнир 2]<br />
|<br />
<br />
|-<br />
|16.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/AMS9JEJQ6M8Avw Домашнее задание 6]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdL5yClVlgNVRp6Eiu9izN1_sfjI2vZyzxaa8GlYy8kSl0R9A/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-6]<br />
<br />
|-<br />
|26.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/GK3pnapp0_H_wA Домашнее задание 7]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdM1lS-RAwM1Lg3XWLYvN5kUEXgQ2ozvWjOUlUyKOtVMrii6w/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-7]<br />
<br />
|-<br />
|6.12.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/rkYd9uJ_1zf05w Домашнее задание 8]<br />
|<br />
<br />
|-<br />
|18.12.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/PmoAZZ4qNKCp2w Турнир 3]<br />
|<br />
|}</div>Любовь Сысоеваhttp://math-info.hse.ru/wiki2022-23/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0&diff=456Дискретная Математика2022-12-04T12:10:37Z<p>Любовь Сысоева: /* Домашние задания */</p>
<hr />
<div>'''Дорогие студенты!'''<br />
<br />
На этой странице будут появляться различные материалы и объявления, связанные с курсом '''«Дискретная математика»''', читаемого для студентов 1-го курса ОП Вычислительные социальные науки в '''2022/2023''' учебном году. <br />
<br />
* Лекции и семинары: Сысоева Любовь Николаевна lsysoeva@hse.ru, telegram @lsysoeva<br />
* Ассистент: Ластовецкий Дмитрий dalastovetsky@hse.ru, telegram @dalastovetskiy<br />
<br />
{|<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_izNbdyLHY8c3Y4SfFzpzhsF-QTBNpRFmEqnCR3IQFU/edit?usp=sharing Ведомость активности] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SmaC4Uyy1F4Dn37zME5SMQCdAtXQHpSelk3JZttFxBU/edit?usp=sharing Ведомость ДЗ]<br />
|}<br />
<br />
Формула итоговой оценки:<br />
0,3 * Активность + 0,3 * Домашние задания + 0,4 * Экзамен<br />
<br />
== Консультации ==<br />
<br />
Консультации будут проходить онлайн по понедельникам в 17:00, задавайте ваши вопросы Дмитрию, присоединяйтесь к консультациям!<br />
<br />
Join Zoom Meeting<br />
https://us05web.zoom.us/j/4685079351?pwd=cVJkeVkzUUR1bXNjMzJ1WDRrN0EyUT09<br />
<br />
Meeting ID: 468 507 9351<br />
Passcode: yqTLi1<br />
<br />
== Лекции ==<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дата лекции<br />
!тема лекции<br />
!дополнительные материалы<br />
|-<br />
|16.09.2022<br />
|Понятие множества, конечные множества, задание множества перечислением элементов, задание множества условием, пустое множество, пересечение множеств, объединение множеств, декартово произведение множеств, парадокс брадобрея.<br><br />
Комбинаторика: правило суммы, правило произведения, факториал, число размещений с повторениями и без повторений, число сочетаний.<br />
|[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.1-26<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.44-63<br />
<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|Дискретная вероятность = (кол-во положительных исходов)/(общее число исходов).<br><br />
<br />
Сочетания с повторениями (метод шариков и перегородок), типы предметов.<br><br />
<br />
Треугольник Паскаля (количество путей от вершины вниз), рекуррентная формула (нижний элемент = сумме двух верхних).<br><br />
<br />
Бином Ньютона, связь с треугольником Паскаля (коэффициенты в разложении (a+b)<sup>n</sup> это числа в n строке треугольника).<br><br />
<br />
Числа сочетаний в треугольнике Паскаля, формула C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>k</sup><sub>n-1</sub> + C<sup>k-1</sup><sub>n-1</sub> и ее комбинаторный смысл.<br><br />
<br />
Сумма элементов n строки в треугольнике Паскаля равна 2<sup>n</sup> (через удвоение суммы предыдущей строки, через разложение (1+1)<sup>n</sup> и через все подмножества множества из n элементов).<br><br />
<br />
Полиномиальные коэффициенты (определение и формула).<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.26-40<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.63-70<br />
<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|Числа сочетаний в треугольнике Паскаля: возрастание элементов к середине строки и убывание после середины (C<sup>k</sup><sub>n</sub> < C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k < (n-1)/2 и C<sup>k</sup><sub>n</sub> > C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k > (n-1)/2), симметрия (C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>n-k</sup><sub>n</sub>), оценка среднего элемента в строке через сумму и количество элементов в этой строке (C<sup>n</sup><sub>2n</sub> > 2<sup>2n</sup>/(2n+1)).<br><br />
<br />
Сумма знакопеременных элементов n строки в треугольнике Паскаля равна нулю (через удвоение элементов предыдущей строки с противоположными знаками, через разложение (1-1)<sup>n</sup>).<br><br />
<br />
Формулы для 11<sup>2</sup>, 11<sup>3</sup>, 11<sup>4</sup> и связь со строками треугольника Паскаля (доказательство через разложение 11<sup>k</sup> = (10+1)<sup>k</sup> по биному Ньютона).<br><br />
<br />
Формула включений-исключений: через диаграммы Эйлера-Вена для 2 и 3 множеств, формулировка в общем случае.<br><br />
<br />
Принцип Дирихле (pigeonhole principle): если кроликов больше, чем клеток, то при рассадке кроликов по клеткам по крайней мере в одну клетку попадут по крайней мере два кролика.<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.41-44<br><br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.66<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи: задача про кроликов, определение (F<sub>0</sub> = 0, F<sub>1</sub> = 1, F<sub>n+1</sub> = F<sub>n</sub> + F<sub>n-1</sub>), F<sub>n</sub> равно сумме "диагонали" треугольника Паскаля (F<sub>n</sub> = C<sub>n-1</sub><sup>0</sup> + C<sub>n-2</sub><sup>1</sup> + C<sub>n-3</sub><sup>2</sup> + ... + C<sub>n-[n/2]</sub><sup>[n/2]-1</sup> целая часть должна быть верхней), явная формула (F<sub>n</sub> = 1/٧5((1+٧5)/2)^n - 1/٧5((1-٧5)/2)^n) и ее доказательство по индукции.<br />
<br />
Индукция: принцип математической индукции, база и переход их согласованность, индуктивное предположение, доказательство равенств, неравенств, разбор текстовой задачи (машина на краю пустыни).<br />
Примеры неверных доказательств по индукции (резиновый автобус, куча манки, одномастные лошади).<br />
<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.16-51<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|14.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи (повторение).<br />
Линейные рекуррентные соотношения в разных задачах.<br />
Рекурсия (программирование, литература) и ее связь с рекуррентными соотношениями.<br />
Основная теорема о рекуррентных соотношениях (Master theorem): оценка сложности рекурсивных алгоритмов.<br />
<br />
Рекуррентные записи n! и геометрических прогрессий.<br />
<br />
Индукция: повторение, связь с рекуррентными соотношениями, пример вложенной индукции (количество разломов прямоугольной шоколадки).<br />
<br />
|[https://ru.wikipedia.org/wiki/Основная_теорема_о_рекуррентных_соотношениях Основная теорема о рекуррентных соотношениях]<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|Числа Каталана (по заявкам): рекуррентная формула, количество правильных скобочных последовательностей, количество способов разбить n-угольник диагоналями на треугольники.<br />
<br />
Системы счисления: позиционные, примеры, n-ичные дроби, переводы между системами счислений целых чисел и дробных частей, погрешность в случае прерывания бесконечных дробей.<br />
<br />
Римская система счисления: способы записи чисел, сложность алгоритмов сложения и умножения чисел.<br />
<br />
Признаки делимости в n-ичной системе счисления: схожесть признаков делимости на n-1 и n+1 с признаками делимости на 9 и 11 для десятичной системы, схожесть признаков делимости на делители n с признаками делимости на 5 и 10 для десятичной системы.<br />
<br />
Троичная система: взвешивание путем уравновешивания весов с двумя чашами.<br />
|<br />
[https://disk.yandex.ru/i/UjJYIydJppYhQg Статья про числа Каталана]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/MOK8NEeNVq5SYA Книжка по системам счисления]<br />
<br />
|-<br />
|01.11.2022<br />
|Простые числа: определение, основная теорема арифметики (любое число однозначно разлагается в произведение простых), бесконечное количество простых чисел (два доказательства 1. p<sub>1</sub>p<sub>2</sub>...p<sub>n</sub>+1 ; 2. (k+1)<sup>n</sup> << 2<sup>k</sup> при фиксированном n и растущем k), Постулат Бертрана (теорема Чебышева): для любого натурального n ⩾ 2 найдётся простое число p в интервале n < p < 2n.<br />
<br />
Остатки от деления и вычеты: сложение, вычитание, умножение, поиск обратного вычета.<br />
Запись вычетов через отрицательные числа для удобства вычислений.<br />
Примеры, когда обратного вычета не существует (элемент и модуль не взаимно просты).<br />
<br />
Алгоритм Евклида (с использованием остатка от деления по модулю): сам алгоритм и оценка числа итераций через числа Фибоначчи.<br />
<br />
|[http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/e4d919f5-8435-4fe3-a779-275181a69951/M_1.1.4/M_1.1.4.html Вычеты (короткая базовая статья)]<br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.143-156<br />
<br />
|-<br />
|11.11.2022<br />
|Идея кодирования с открытым ключом.<br />
Диофантовы уравнения: примеры, великая теорема Ферма, линейные Диофантовы уравнения с двумя неизвестными, критерий разрешимости.<br />
Расширенный алгоритм Евклида: решение линейных Диофантовых уравнений с двумя неизвестными.<br />
Сведение поиска обратного по умножению элемента по модулю к решению линейного Диофантова уравнения с двумя неизвестными.<br />
Единственность обратного по умножению элемента по модулю (если существует, то единственный).<br />
<br />
Малая теорема Ферма: формулировка, четыре доказательства (мультиномиальное разложение, индукция и бином Ньютона, раскраска бус, перемножение чисел специального вида), поиск обратного по умножению элемента через малую теорему Ферма в случае простого модуля.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.154-163<br />
<br />
<br />
|-<br />
|15.11.2022<br />
|Идея проверки числа на простоту:<br><br />
1) проверка делимости на простые до корня из числа;<br><br />
2) проверка взаимной простоты с числами от 2 до n-1;<br><br />
3) (тест Ферма) проверка справедливости малой теоремы Ферма для чисел от 2 до n-1 (и числа Кармайкла);<br><br />
4) (тест Рабина) проверка справедливости малой теоремы Ферма плюс корней из 1.<br />
<br />
Китайская теорема об остатках: система сравнений по взаимнопростым модулям имеет единственное решение по произведению модулей.<br />
Доказательство и решения систем сравнений с помощью расширенного алгоритма Евклида.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.161-165<br />
<br />
|-<br />
|18.11.2022<br />
|Китайская теорема об остатках: доказательство (индукция во числу сравнений), Следствие: независимость распределения остатков по взаимнопростым модулям.<br><br />
Функция Эйлера: определение и вычисление для простых чисел, степеней простых чисел, составных чисел.<br><br />
Теорема Эйлера: формулировка, малая теорема Ферма как частный случай, доказательство (аналогично 4 доказательству малой теоремы Ферма, через обратимые остатки и их перемножение).<br><br />
Алгоритм кодирования с открытым ключом RSA: определение, корректность кодирования и декодирования, устойчивость к атакам.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.162-167<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/fX6Q_FMRE-I_Zg Лекции по криптографии] (тут довольно хорошо объяснен алгоритм RSA и еще много что)<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|Графы: определение (V,E), множество вершин, множество ребер, изолированная вершина, степень вершины, способы задания графов (матрица смежности, матрица инцидентности, список смежности).<br><br />
Формула 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>).<br><br />
Маршрут, путь, простой путь, расстояние между вершинами (длина кратчайшего пути), диаметр графа (самое большое расстояние между вершинами).<br><br />
Цикл, простой цикл.<br><br />
Связный граф, компонента связности.<br><br />
Оценка: количество компонент связности ≥ |V|-|E|.<br><br />
Следствие: для поиска самого тяжелого камня среди n камней необходимо n-1 взвешивание.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.95-118<br><br />
<br />
|-<br />
|25.11.2022<br />
|Деревья: (четыре определения и их эквивалентность) связный граф с V-1 ребром; минимальный связный граф; связный ациклический граф; граф, между любыми двумя вершинами которого существует единственный путь.<br><br />
''Дополнительно:'' бинарное дерево поиска: поиск элемента, добавление элемента, удаление элемента, поиск следующего и предшествующего элементов.<br><br />
Существование у произвольного дерева по крайней мере двух листьев (два доказательства: через формулу 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>) и через максимально удаленные вершины).<br><br />
Остовное дерево связного графа, возможность удаления из связного графа вершины вместе с ребрами без потери связности.<br><br />
Правильная раскраска: определение, примеры, критерий 2-раскрашиваемости графа (отсутствие циклов нечетной длины).<br><br />
''Дополнительно:'' алгоритмы поиска в ширину (BFS) и глубину (DFS).<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.118-123<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/XDNEDxyuccjLGA Т.Кормен и др. «Алгоритмы Построение и Анализ» стр 316-322, 607-663]<br />
<br />
|-<br />
|02.12.2022<br />
|Жадные алгоритмы: алгоритмы, оптимизирующие некоторый параметр на '''каждом''' шаге, примеры (задача о рюкзаке в дискретном и непрерывном вариантах, задача о поиске минимального остовного дерева, задача о загруженности аудитории).<br><br />
Эйлеровы циклы и пути: цикл (путь) проходящий по каждому ребру графа ровно один раз, критерии наличия Эйлерова цикла (пути) в неориентированном и ориентированном графах.<br><br />
Гамильтоновы циклы и пути: цикл (путь) проходящий через каждую вершину графа ровно один раз, отсутствие критерия, NP-полнота задачи о поиске Гамильтонова цикла в графе, теорема Оре.<br><br />
Чуть-чуть логики: формализация метода доказательства с помощью правила контрапозиции и метода доказательства от противного.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.132-135<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/XDNEDxyuccjLGA Т.Кормен и др. «Алгоритмы Построение и Анализ» стр 442-482, 642, 1086, 1101-1103]<br />
|}<br />
<br />
== Семинары ==<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/N5V4VaIkLVTajg Комбинаторика-1]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/DDB7KcxEXg3-6A Комбинаторика-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/QXW6c4tUxwjV4g Комбинаторика-3]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/lfhWkTgRJPvbGw Числа Фибоначчи, Индукция]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/I1VBzSGylBSUtw Числа Фибоначчи-2, Индукция-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/6ZeDU1zdCnlBog Системы счисления]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/pC1rFQaRgrr5KA Делимость и Вычеты]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/iGuukuYtT4O1iQ Расширенный алгоритм Евклида, малая теорема Ферма]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/yGSOYGTeGLBJVg Малая теорема Ферма, Китайская теорема об остатках]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KjQpX2s2Vj8ITw Теорема Эйлера]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/OOaz4DVxqMuUkg Графы-1]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KiTGSNoG6VM_Hg Деревья, правильные раскраски]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KE1u7QBFzIgkcA Эйлеровы и Гамильтоновы циклы и пути]<br />
<br />
== Домашние задания ==<br />
'''В ДЗ-8 появилась бонусная задача на бинарные деревья поиска. Ссылку на книгу по теме можно найти в допматериалах к последней лекции.'''<br><br />
Книга «Алгоритмы. Построение и Анализ.» Т.Кормена и др. на мой взгляд является отличным источником знаний для начинающего (и не только) программиста -- в ней рассмотрено большое количество основных понятий и определений, для каждого алгоритма приведен псевдокод (иногда не один) и оценка сложности. Этой книгой можно пользоваться как справочником: читать 2-3 страницы по интересующей теме и временно откладывать.<br />
<br />
'''Правила сдачи ДЗ''': решения задач из домашнего задания оформляются письменно, первый лист работы подписывается, только ответы не проверяются, должно присутствовать ''полное рассуждение'', затем текст сканируется, файл называется в соответствии с ФИО студента (например, SysoevaLN.pdf) и отправляется на проверку (ссылку на загрузку см. в таблице ниже).<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дедлайн<br />
!Домашнее задание<br />
!Ссылка на загрузку файла<br />
!Решения и критерии<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/WeEzyM70AzqNtw Домашнее задание №1]<br />
|[https://www.dropbox.com/request/cGNCtS3rrJoiE6NGCrz9 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/lmtlr4mP41Iy-Q Решения ДЗ-1]<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/87IgAYKMLGbEyA Домашнее задание №2]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/_yELwtWaJS4RMA Решения ДЗ-2]<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/Yy6-_Hda1UEQLg Домашнее задание №3]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/-VioO1CArRXPEA Решения ДЗ-3]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/aofNsKB9AMhONA Домашнее задание №4]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/JVpDIULhuGcJfA Решения ДЗ-4]<br />
<br />
|-<br />
|4.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/V62t0PGwzQmJoA Домашнее задание №5]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/S-0Dkekb9_o1aQ Решения ДЗ-5]<br />
<br />
|-<br />
|12.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/ZtHuki9PQHV5Cg Домашнее задание №6]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/nmYHFgM2kiZtdg Решения ДЗ-6]<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/X6LCkozybxDH7w Домашнее задание №7]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/9WINMpnYoD5uRw Решения ДЗ-7]<br />
<br />
|-<br />
|27.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/FjywLphzBhL0Xw Домашнее задание №8]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|<br />
<br />
|-<br />
|4.12.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/WRZnhkUVF8mXJA Домашнее задание №9]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|<br />
<br />
|-<br />
|11.12.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/gq1oxKo9Y78NEw Домашнее задание №10]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|<br />
|}</div>Любовь Сысоеваhttp://math-info.hse.ru/wiki2022-23/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0&diff=455Дискретная Математика2022-12-04T07:50:10Z<p>Любовь Сысоева: /* Домашние задания */</p>
<hr />
<div>'''Дорогие студенты!'''<br />
<br />
На этой странице будут появляться различные материалы и объявления, связанные с курсом '''«Дискретная математика»''', читаемого для студентов 1-го курса ОП Вычислительные социальные науки в '''2022/2023''' учебном году. <br />
<br />
* Лекции и семинары: Сысоева Любовь Николаевна lsysoeva@hse.ru, telegram @lsysoeva<br />
* Ассистент: Ластовецкий Дмитрий dalastovetsky@hse.ru, telegram @dalastovetskiy<br />
<br />
{|<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_izNbdyLHY8c3Y4SfFzpzhsF-QTBNpRFmEqnCR3IQFU/edit?usp=sharing Ведомость активности] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SmaC4Uyy1F4Dn37zME5SMQCdAtXQHpSelk3JZttFxBU/edit?usp=sharing Ведомость ДЗ]<br />
|}<br />
<br />
Формула итоговой оценки:<br />
0,3 * Активность + 0,3 * Домашние задания + 0,4 * Экзамен<br />
<br />
== Консультации ==<br />
<br />
Консультации будут проходить онлайн по понедельникам в 17:00, задавайте ваши вопросы Дмитрию, присоединяйтесь к консультациям!<br />
<br />
Join Zoom Meeting<br />
https://us05web.zoom.us/j/4685079351?pwd=cVJkeVkzUUR1bXNjMzJ1WDRrN0EyUT09<br />
<br />
Meeting ID: 468 507 9351<br />
Passcode: yqTLi1<br />
<br />
== Лекции ==<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дата лекции<br />
!тема лекции<br />
!дополнительные материалы<br />
|-<br />
|16.09.2022<br />
|Понятие множества, конечные множества, задание множества перечислением элементов, задание множества условием, пустое множество, пересечение множеств, объединение множеств, декартово произведение множеств, парадокс брадобрея.<br><br />
Комбинаторика: правило суммы, правило произведения, факториал, число размещений с повторениями и без повторений, число сочетаний.<br />
|[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.1-26<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.44-63<br />
<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|Дискретная вероятность = (кол-во положительных исходов)/(общее число исходов).<br><br />
<br />
Сочетания с повторениями (метод шариков и перегородок), типы предметов.<br><br />
<br />
Треугольник Паскаля (количество путей от вершины вниз), рекуррентная формула (нижний элемент = сумме двух верхних).<br><br />
<br />
Бином Ньютона, связь с треугольником Паскаля (коэффициенты в разложении (a+b)<sup>n</sup> это числа в n строке треугольника).<br><br />
<br />
Числа сочетаний в треугольнике Паскаля, формула C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>k</sup><sub>n-1</sub> + C<sup>k-1</sup><sub>n-1</sub> и ее комбинаторный смысл.<br><br />
<br />
Сумма элементов n строки в треугольнике Паскаля равна 2<sup>n</sup> (через удвоение суммы предыдущей строки, через разложение (1+1)<sup>n</sup> и через все подмножества множества из n элементов).<br><br />
<br />
Полиномиальные коэффициенты (определение и формула).<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.26-40<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.63-70<br />
<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|Числа сочетаний в треугольнике Паскаля: возрастание элементов к середине строки и убывание после середины (C<sup>k</sup><sub>n</sub> < C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k < (n-1)/2 и C<sup>k</sup><sub>n</sub> > C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k > (n-1)/2), симметрия (C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>n-k</sup><sub>n</sub>), оценка среднего элемента в строке через сумму и количество элементов в этой строке (C<sup>n</sup><sub>2n</sub> > 2<sup>2n</sup>/(2n+1)).<br><br />
<br />
Сумма знакопеременных элементов n строки в треугольнике Паскаля равна нулю (через удвоение элементов предыдущей строки с противоположными знаками, через разложение (1-1)<sup>n</sup>).<br><br />
<br />
Формулы для 11<sup>2</sup>, 11<sup>3</sup>, 11<sup>4</sup> и связь со строками треугольника Паскаля (доказательство через разложение 11<sup>k</sup> = (10+1)<sup>k</sup> по биному Ньютона).<br><br />
<br />
Формула включений-исключений: через диаграммы Эйлера-Вена для 2 и 3 множеств, формулировка в общем случае.<br><br />
<br />
Принцип Дирихле (pigeonhole principle): если кроликов больше, чем клеток, то при рассадке кроликов по клеткам по крайней мере в одну клетку попадут по крайней мере два кролика.<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.41-44<br><br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.66<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи: задача про кроликов, определение (F<sub>0</sub> = 0, F<sub>1</sub> = 1, F<sub>n+1</sub> = F<sub>n</sub> + F<sub>n-1</sub>), F<sub>n</sub> равно сумме "диагонали" треугольника Паскаля (F<sub>n</sub> = C<sub>n-1</sub><sup>0</sup> + C<sub>n-2</sub><sup>1</sup> + C<sub>n-3</sub><sup>2</sup> + ... + C<sub>n-[n/2]</sub><sup>[n/2]-1</sup> целая часть должна быть верхней), явная формула (F<sub>n</sub> = 1/٧5((1+٧5)/2)^n - 1/٧5((1-٧5)/2)^n) и ее доказательство по индукции.<br />
<br />
Индукция: принцип математической индукции, база и переход их согласованность, индуктивное предположение, доказательство равенств, неравенств, разбор текстовой задачи (машина на краю пустыни).<br />
Примеры неверных доказательств по индукции (резиновый автобус, куча манки, одномастные лошади).<br />
<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.16-51<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|14.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи (повторение).<br />
Линейные рекуррентные соотношения в разных задачах.<br />
Рекурсия (программирование, литература) и ее связь с рекуррентными соотношениями.<br />
Основная теорема о рекуррентных соотношениях (Master theorem): оценка сложности рекурсивных алгоритмов.<br />
<br />
Рекуррентные записи n! и геометрических прогрессий.<br />
<br />
Индукция: повторение, связь с рекуррентными соотношениями, пример вложенной индукции (количество разломов прямоугольной шоколадки).<br />
<br />
|[https://ru.wikipedia.org/wiki/Основная_теорема_о_рекуррентных_соотношениях Основная теорема о рекуррентных соотношениях]<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|Числа Каталана (по заявкам): рекуррентная формула, количество правильных скобочных последовательностей, количество способов разбить n-угольник диагоналями на треугольники.<br />
<br />
Системы счисления: позиционные, примеры, n-ичные дроби, переводы между системами счислений целых чисел и дробных частей, погрешность в случае прерывания бесконечных дробей.<br />
<br />
Римская система счисления: способы записи чисел, сложность алгоритмов сложения и умножения чисел.<br />
<br />
Признаки делимости в n-ичной системе счисления: схожесть признаков делимости на n-1 и n+1 с признаками делимости на 9 и 11 для десятичной системы, схожесть признаков делимости на делители n с признаками делимости на 5 и 10 для десятичной системы.<br />
<br />
Троичная система: взвешивание путем уравновешивания весов с двумя чашами.<br />
|<br />
[https://disk.yandex.ru/i/UjJYIydJppYhQg Статья про числа Каталана]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/MOK8NEeNVq5SYA Книжка по системам счисления]<br />
<br />
|-<br />
|01.11.2022<br />
|Простые числа: определение, основная теорема арифметики (любое число однозначно разлагается в произведение простых), бесконечное количество простых чисел (два доказательства 1. p<sub>1</sub>p<sub>2</sub>...p<sub>n</sub>+1 ; 2. (k+1)<sup>n</sup> << 2<sup>k</sup> при фиксированном n и растущем k), Постулат Бертрана (теорема Чебышева): для любого натурального n ⩾ 2 найдётся простое число p в интервале n < p < 2n.<br />
<br />
Остатки от деления и вычеты: сложение, вычитание, умножение, поиск обратного вычета.<br />
Запись вычетов через отрицательные числа для удобства вычислений.<br />
Примеры, когда обратного вычета не существует (элемент и модуль не взаимно просты).<br />
<br />
Алгоритм Евклида (с использованием остатка от деления по модулю): сам алгоритм и оценка числа итераций через числа Фибоначчи.<br />
<br />
|[http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/e4d919f5-8435-4fe3-a779-275181a69951/M_1.1.4/M_1.1.4.html Вычеты (короткая базовая статья)]<br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.143-156<br />
<br />
|-<br />
|11.11.2022<br />
|Идея кодирования с открытым ключом.<br />
Диофантовы уравнения: примеры, великая теорема Ферма, линейные Диофантовы уравнения с двумя неизвестными, критерий разрешимости.<br />
Расширенный алгоритм Евклида: решение линейных Диофантовых уравнений с двумя неизвестными.<br />
Сведение поиска обратного по умножению элемента по модулю к решению линейного Диофантова уравнения с двумя неизвестными.<br />
Единственность обратного по умножению элемента по модулю (если существует, то единственный).<br />
<br />
Малая теорема Ферма: формулировка, четыре доказательства (мультиномиальное разложение, индукция и бином Ньютона, раскраска бус, перемножение чисел специального вида), поиск обратного по умножению элемента через малую теорему Ферма в случае простого модуля.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.154-163<br />
<br />
<br />
|-<br />
|15.11.2022<br />
|Идея проверки числа на простоту:<br><br />
1) проверка делимости на простые до корня из числа;<br><br />
2) проверка взаимной простоты с числами от 2 до n-1;<br><br />
3) (тест Ферма) проверка справедливости малой теоремы Ферма для чисел от 2 до n-1 (и числа Кармайкла);<br><br />
4) (тест Рабина) проверка справедливости малой теоремы Ферма плюс корней из 1.<br />
<br />
Китайская теорема об остатках: система сравнений по взаимнопростым модулям имеет единственное решение по произведению модулей.<br />
Доказательство и решения систем сравнений с помощью расширенного алгоритма Евклида.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.161-165<br />
<br />
|-<br />
|18.11.2022<br />
|Китайская теорема об остатках: доказательство (индукция во числу сравнений), Следствие: независимость распределения остатков по взаимнопростым модулям.<br><br />
Функция Эйлера: определение и вычисление для простых чисел, степеней простых чисел, составных чисел.<br><br />
Теорема Эйлера: формулировка, малая теорема Ферма как частный случай, доказательство (аналогично 4 доказательству малой теоремы Ферма, через обратимые остатки и их перемножение).<br><br />
Алгоритм кодирования с открытым ключом RSA: определение, корректность кодирования и декодирования, устойчивость к атакам.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.162-167<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/fX6Q_FMRE-I_Zg Лекции по криптографии] (тут довольно хорошо объяснен алгоритм RSA и еще много что)<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|Графы: определение (V,E), множество вершин, множество ребер, изолированная вершина, степень вершины, способы задания графов (матрица смежности, матрица инцидентности, список смежности).<br><br />
Формула 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>).<br><br />
Маршрут, путь, простой путь, расстояние между вершинами (длина кратчайшего пути), диаметр графа (самое большое расстояние между вершинами).<br><br />
Цикл, простой цикл.<br><br />
Связный граф, компонента связности.<br><br />
Оценка: количество компонент связности ≥ |V|-|E|.<br><br />
Следствие: для поиска самого тяжелого камня среди n камней необходимо n-1 взвешивание.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.95-118<br><br />
<br />
|-<br />
|25.11.2022<br />
|Деревья: (четыре определения и их эквивалентность) связный граф с V-1 ребром; минимальный связный граф; связный ациклический граф; граф, между любыми двумя вершинами которого существует единственный путь.<br><br />
''Дополнительно:'' бинарное дерево поиска: поиск элемента, добавление элемента, удаление элемента, поиск следующего и предшествующего элементов.<br><br />
Существование у произвольного дерева по крайней мере двух листьев (два доказательства: через формулу 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>) и через максимально удаленные вершины).<br><br />
Остовное дерево связного графа, возможность удаления из связного графа вершины вместе с ребрами без потери связности.<br><br />
Правильная раскраска: определение, примеры, критерий 2-раскрашиваемости графа (отсутствие циклов нечетной длины).<br><br />
''Дополнительно:'' алгоритмы поиска в ширину (BFS) и глубину (DFS).<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.118-123<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/XDNEDxyuccjLGA Т.Кормен и др. «Алгоритмы Построение и Анализ» стр 316-322, 607-663]<br />
<br />
|-<br />
|02.12.2022<br />
|Жадные алгоритмы: алгоритмы, оптимизирующие некоторый параметр на '''каждом''' шаге, примеры (задача о рюкзаке в дискретном и непрерывном вариантах, задача о поиске минимального остовного дерева, задача о загруженности аудитории).<br><br />
Эйлеровы циклы и пути: цикл (путь) проходящий по каждому ребру графа ровно один раз, критерии наличия Эйлерова цикла (пути) в неориентированном и ориентированном графах.<br><br />
Гамильтоновы циклы и пути: цикл (путь) проходящий через каждую вершину графа ровно один раз, отсутствие критерия, NP-полнота задачи о поиске Гамильтонова цикла в графе, теорема Оре.<br><br />
Чуть-чуть логики: формализация метода доказательства с помощью правила контрапозиции и метода доказательства от противного.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.132-135<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/XDNEDxyuccjLGA Т.Кормен и др. «Алгоритмы Построение и Анализ» стр 442-482, 642, 1086, 1101-1103]<br />
|}<br />
<br />
== Семинары ==<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/N5V4VaIkLVTajg Комбинаторика-1]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/DDB7KcxEXg3-6A Комбинаторика-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/QXW6c4tUxwjV4g Комбинаторика-3]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/lfhWkTgRJPvbGw Числа Фибоначчи, Индукция]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/I1VBzSGylBSUtw Числа Фибоначчи-2, Индукция-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/6ZeDU1zdCnlBog Системы счисления]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/pC1rFQaRgrr5KA Делимость и Вычеты]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/iGuukuYtT4O1iQ Расширенный алгоритм Евклида, малая теорема Ферма]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/yGSOYGTeGLBJVg Малая теорема Ферма, Китайская теорема об остатках]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KjQpX2s2Vj8ITw Теорема Эйлера]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/OOaz4DVxqMuUkg Графы-1]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KiTGSNoG6VM_Hg Деревья, правильные раскраски]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KE1u7QBFzIgkcA Эйлеровы и Гамильтоновы циклы и пути]<br />
<br />
== Домашние задания ==<br />
'''В ДЗ-8 появилась бонусная задача на бинарные деревья поиска. Ссылку на книгу по теме можно найти в допматериалах к последней лекции.'''<br><br />
Книга «Алгоритмы. Построение и Анализ.» Т.Кормена и др. на мой взгляд является отличным источником знаний для начинающего (и не только) программиста -- в ней рассмотрено большое количество основных понятий и определений, для каждого алгоритма приведен псевдокод (иногда не один) и оценка сложности. Этой книгой можно пользоваться как справочником: читать 2-3 страницы по интересующей теме и временно откладывать.<br />
<br />
'''Правила сдачи ДЗ''': решения задач из домашнего задания оформляются письменно, первый лист работы подписывается, только ответы не проверяются, должно присутствовать ''полное рассуждение'', затем текст сканируется, файл называется в соответствии с ФИО студента (например, SysoevaLN.pdf) и отправляется на проверку (ссылку на загрузку см. в таблице ниже).<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дедлайн<br />
!Домашнее задание<br />
!Ссылка на загрузку файла<br />
!Решения и критерии<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/WeEzyM70AzqNtw Домашнее задание №1]<br />
|[https://www.dropbox.com/request/cGNCtS3rrJoiE6NGCrz9 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/lmtlr4mP41Iy-Q Решения ДЗ-1]<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/87IgAYKMLGbEyA Домашнее задание №2]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/_yELwtWaJS4RMA Решения ДЗ-2]<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/Yy6-_Hda1UEQLg Домашнее задание №3]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/-VioO1CArRXPEA Решения ДЗ-3]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/aofNsKB9AMhONA Домашнее задание №4]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/JVpDIULhuGcJfA Решения ДЗ-4]<br />
<br />
|-<br />
|4.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/V62t0PGwzQmJoA Домашнее задание №5]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/S-0Dkekb9_o1aQ Решения ДЗ-5]<br />
<br />
|-<br />
|12.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/ZtHuki9PQHV5Cg Домашнее задание №6]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/nmYHFgM2kiZtdg Решения ДЗ-6]<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/X6LCkozybxDH7w Домашнее задание №7]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/9WINMpnYoD5uRw Решения ДЗ-7]<br />
<br />
|-<br />
|27.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/FjywLphzBhL0Xw Домашнее задание №8]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|<br />
<br />
|-<br />
|4.12.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/WRZnhkUVF8mXJA Домашнее задание №9]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|<br />
<br />
|}</div>Любовь Сысоеваhttp://math-info.hse.ru/wiki2022-23/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0&diff=454Дискретная Математика2022-12-04T07:46:16Z<p>Любовь Сысоева: /* Домашние задания */</p>
<hr />
<div>'''Дорогие студенты!'''<br />
<br />
На этой странице будут появляться различные материалы и объявления, связанные с курсом '''«Дискретная математика»''', читаемого для студентов 1-го курса ОП Вычислительные социальные науки в '''2022/2023''' учебном году. <br />
<br />
* Лекции и семинары: Сысоева Любовь Николаевна lsysoeva@hse.ru, telegram @lsysoeva<br />
* Ассистент: Ластовецкий Дмитрий dalastovetsky@hse.ru, telegram @dalastovetskiy<br />
<br />
{|<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_izNbdyLHY8c3Y4SfFzpzhsF-QTBNpRFmEqnCR3IQFU/edit?usp=sharing Ведомость активности] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SmaC4Uyy1F4Dn37zME5SMQCdAtXQHpSelk3JZttFxBU/edit?usp=sharing Ведомость ДЗ]<br />
|}<br />
<br />
Формула итоговой оценки:<br />
0,3 * Активность + 0,3 * Домашние задания + 0,4 * Экзамен<br />
<br />
== Консультации ==<br />
<br />
Консультации будут проходить онлайн по понедельникам в 17:00, задавайте ваши вопросы Дмитрию, присоединяйтесь к консультациям!<br />
<br />
Join Zoom Meeting<br />
https://us05web.zoom.us/j/4685079351?pwd=cVJkeVkzUUR1bXNjMzJ1WDRrN0EyUT09<br />
<br />
Meeting ID: 468 507 9351<br />
Passcode: yqTLi1<br />
<br />
== Лекции ==<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дата лекции<br />
!тема лекции<br />
!дополнительные материалы<br />
|-<br />
|16.09.2022<br />
|Понятие множества, конечные множества, задание множества перечислением элементов, задание множества условием, пустое множество, пересечение множеств, объединение множеств, декартово произведение множеств, парадокс брадобрея.<br><br />
Комбинаторика: правило суммы, правило произведения, факториал, число размещений с повторениями и без повторений, число сочетаний.<br />
|[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.1-26<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.44-63<br />
<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|Дискретная вероятность = (кол-во положительных исходов)/(общее число исходов).<br><br />
<br />
Сочетания с повторениями (метод шариков и перегородок), типы предметов.<br><br />
<br />
Треугольник Паскаля (количество путей от вершины вниз), рекуррентная формула (нижний элемент = сумме двух верхних).<br><br />
<br />
Бином Ньютона, связь с треугольником Паскаля (коэффициенты в разложении (a+b)<sup>n</sup> это числа в n строке треугольника).<br><br />
<br />
Числа сочетаний в треугольнике Паскаля, формула C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>k</sup><sub>n-1</sub> + C<sup>k-1</sup><sub>n-1</sub> и ее комбинаторный смысл.<br><br />
<br />
Сумма элементов n строки в треугольнике Паскаля равна 2<sup>n</sup> (через удвоение суммы предыдущей строки, через разложение (1+1)<sup>n</sup> и через все подмножества множества из n элементов).<br><br />
<br />
Полиномиальные коэффициенты (определение и формула).<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.26-40<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.63-70<br />
<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|Числа сочетаний в треугольнике Паскаля: возрастание элементов к середине строки и убывание после середины (C<sup>k</sup><sub>n</sub> < C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k < (n-1)/2 и C<sup>k</sup><sub>n</sub> > C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k > (n-1)/2), симметрия (C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>n-k</sup><sub>n</sub>), оценка среднего элемента в строке через сумму и количество элементов в этой строке (C<sup>n</sup><sub>2n</sub> > 2<sup>2n</sup>/(2n+1)).<br><br />
<br />
Сумма знакопеременных элементов n строки в треугольнике Паскаля равна нулю (через удвоение элементов предыдущей строки с противоположными знаками, через разложение (1-1)<sup>n</sup>).<br><br />
<br />
Формулы для 11<sup>2</sup>, 11<sup>3</sup>, 11<sup>4</sup> и связь со строками треугольника Паскаля (доказательство через разложение 11<sup>k</sup> = (10+1)<sup>k</sup> по биному Ньютона).<br><br />
<br />
Формула включений-исключений: через диаграммы Эйлера-Вена для 2 и 3 множеств, формулировка в общем случае.<br><br />
<br />
Принцип Дирихле (pigeonhole principle): если кроликов больше, чем клеток, то при рассадке кроликов по клеткам по крайней мере в одну клетку попадут по крайней мере два кролика.<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.41-44<br><br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.66<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи: задача про кроликов, определение (F<sub>0</sub> = 0, F<sub>1</sub> = 1, F<sub>n+1</sub> = F<sub>n</sub> + F<sub>n-1</sub>), F<sub>n</sub> равно сумме "диагонали" треугольника Паскаля (F<sub>n</sub> = C<sub>n-1</sub><sup>0</sup> + C<sub>n-2</sub><sup>1</sup> + C<sub>n-3</sub><sup>2</sup> + ... + C<sub>n-[n/2]</sub><sup>[n/2]-1</sup> целая часть должна быть верхней), явная формула (F<sub>n</sub> = 1/٧5((1+٧5)/2)^n - 1/٧5((1-٧5)/2)^n) и ее доказательство по индукции.<br />
<br />
Индукция: принцип математической индукции, база и переход их согласованность, индуктивное предположение, доказательство равенств, неравенств, разбор текстовой задачи (машина на краю пустыни).<br />
Примеры неверных доказательств по индукции (резиновый автобус, куча манки, одномастные лошади).<br />
<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.16-51<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|14.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи (повторение).<br />
Линейные рекуррентные соотношения в разных задачах.<br />
Рекурсия (программирование, литература) и ее связь с рекуррентными соотношениями.<br />
Основная теорема о рекуррентных соотношениях (Master theorem): оценка сложности рекурсивных алгоритмов.<br />
<br />
Рекуррентные записи n! и геометрических прогрессий.<br />
<br />
Индукция: повторение, связь с рекуррентными соотношениями, пример вложенной индукции (количество разломов прямоугольной шоколадки).<br />
<br />
|[https://ru.wikipedia.org/wiki/Основная_теорема_о_рекуррентных_соотношениях Основная теорема о рекуррентных соотношениях]<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|Числа Каталана (по заявкам): рекуррентная формула, количество правильных скобочных последовательностей, количество способов разбить n-угольник диагоналями на треугольники.<br />
<br />
Системы счисления: позиционные, примеры, n-ичные дроби, переводы между системами счислений целых чисел и дробных частей, погрешность в случае прерывания бесконечных дробей.<br />
<br />
Римская система счисления: способы записи чисел, сложность алгоритмов сложения и умножения чисел.<br />
<br />
Признаки делимости в n-ичной системе счисления: схожесть признаков делимости на n-1 и n+1 с признаками делимости на 9 и 11 для десятичной системы, схожесть признаков делимости на делители n с признаками делимости на 5 и 10 для десятичной системы.<br />
<br />
Троичная система: взвешивание путем уравновешивания весов с двумя чашами.<br />
|<br />
[https://disk.yandex.ru/i/UjJYIydJppYhQg Статья про числа Каталана]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/MOK8NEeNVq5SYA Книжка по системам счисления]<br />
<br />
|-<br />
|01.11.2022<br />
|Простые числа: определение, основная теорема арифметики (любое число однозначно разлагается в произведение простых), бесконечное количество простых чисел (два доказательства 1. p<sub>1</sub>p<sub>2</sub>...p<sub>n</sub>+1 ; 2. (k+1)<sup>n</sup> << 2<sup>k</sup> при фиксированном n и растущем k), Постулат Бертрана (теорема Чебышева): для любого натурального n ⩾ 2 найдётся простое число p в интервале n < p < 2n.<br />
<br />
Остатки от деления и вычеты: сложение, вычитание, умножение, поиск обратного вычета.<br />
Запись вычетов через отрицательные числа для удобства вычислений.<br />
Примеры, когда обратного вычета не существует (элемент и модуль не взаимно просты).<br />
<br />
Алгоритм Евклида (с использованием остатка от деления по модулю): сам алгоритм и оценка числа итераций через числа Фибоначчи.<br />
<br />
|[http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/e4d919f5-8435-4fe3-a779-275181a69951/M_1.1.4/M_1.1.4.html Вычеты (короткая базовая статья)]<br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.143-156<br />
<br />
|-<br />
|11.11.2022<br />
|Идея кодирования с открытым ключом.<br />
Диофантовы уравнения: примеры, великая теорема Ферма, линейные Диофантовы уравнения с двумя неизвестными, критерий разрешимости.<br />
Расширенный алгоритм Евклида: решение линейных Диофантовых уравнений с двумя неизвестными.<br />
Сведение поиска обратного по умножению элемента по модулю к решению линейного Диофантова уравнения с двумя неизвестными.<br />
Единственность обратного по умножению элемента по модулю (если существует, то единственный).<br />
<br />
Малая теорема Ферма: формулировка, четыре доказательства (мультиномиальное разложение, индукция и бином Ньютона, раскраска бус, перемножение чисел специального вида), поиск обратного по умножению элемента через малую теорему Ферма в случае простого модуля.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.154-163<br />
<br />
<br />
|-<br />
|15.11.2022<br />
|Идея проверки числа на простоту:<br><br />
1) проверка делимости на простые до корня из числа;<br><br />
2) проверка взаимной простоты с числами от 2 до n-1;<br><br />
3) (тест Ферма) проверка справедливости малой теоремы Ферма для чисел от 2 до n-1 (и числа Кармайкла);<br><br />
4) (тест Рабина) проверка справедливости малой теоремы Ферма плюс корней из 1.<br />
<br />
Китайская теорема об остатках: система сравнений по взаимнопростым модулям имеет единственное решение по произведению модулей.<br />
Доказательство и решения систем сравнений с помощью расширенного алгоритма Евклида.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.161-165<br />
<br />
|-<br />
|18.11.2022<br />
|Китайская теорема об остатках: доказательство (индукция во числу сравнений), Следствие: независимость распределения остатков по взаимнопростым модулям.<br><br />
Функция Эйлера: определение и вычисление для простых чисел, степеней простых чисел, составных чисел.<br><br />
Теорема Эйлера: формулировка, малая теорема Ферма как частный случай, доказательство (аналогично 4 доказательству малой теоремы Ферма, через обратимые остатки и их перемножение).<br><br />
Алгоритм кодирования с открытым ключом RSA: определение, корректность кодирования и декодирования, устойчивость к атакам.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.162-167<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/fX6Q_FMRE-I_Zg Лекции по криптографии] (тут довольно хорошо объяснен алгоритм RSA и еще много что)<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|Графы: определение (V,E), множество вершин, множество ребер, изолированная вершина, степень вершины, способы задания графов (матрица смежности, матрица инцидентности, список смежности).<br><br />
Формула 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>).<br><br />
Маршрут, путь, простой путь, расстояние между вершинами (длина кратчайшего пути), диаметр графа (самое большое расстояние между вершинами).<br><br />
Цикл, простой цикл.<br><br />
Связный граф, компонента связности.<br><br />
Оценка: количество компонент связности ≥ |V|-|E|.<br><br />
Следствие: для поиска самого тяжелого камня среди n камней необходимо n-1 взвешивание.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.95-118<br><br />
<br />
|-<br />
|25.11.2022<br />
|Деревья: (четыре определения и их эквивалентность) связный граф с V-1 ребром; минимальный связный граф; связный ациклический граф; граф, между любыми двумя вершинами которого существует единственный путь.<br><br />
''Дополнительно:'' бинарное дерево поиска: поиск элемента, добавление элемента, удаление элемента, поиск следующего и предшествующего элементов.<br><br />
Существование у произвольного дерева по крайней мере двух листьев (два доказательства: через формулу 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>) и через максимально удаленные вершины).<br><br />
Остовное дерево связного графа, возможность удаления из связного графа вершины вместе с ребрами без потери связности.<br><br />
Правильная раскраска: определение, примеры, критерий 2-раскрашиваемости графа (отсутствие циклов нечетной длины).<br><br />
''Дополнительно:'' алгоритмы поиска в ширину (BFS) и глубину (DFS).<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.118-123<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/XDNEDxyuccjLGA Т.Кормен и др. «Алгоритмы Построение и Анализ» стр 316-322, 607-663]<br />
<br />
|-<br />
|02.12.2022<br />
|Жадные алгоритмы: алгоритмы, оптимизирующие некоторый параметр на '''каждом''' шаге, примеры (задача о рюкзаке в дискретном и непрерывном вариантах, задача о поиске минимального остовного дерева, задача о загруженности аудитории).<br><br />
Эйлеровы циклы и пути: цикл (путь) проходящий по каждому ребру графа ровно один раз, критерии наличия Эйлерова цикла (пути) в неориентированном и ориентированном графах.<br><br />
Гамильтоновы циклы и пути: цикл (путь) проходящий через каждую вершину графа ровно один раз, отсутствие критерия, NP-полнота задачи о поиске Гамильтонова цикла в графе, теорема Оре.<br><br />
Чуть-чуть логики: формализация метода доказательства с помощью правила контрапозиции и метода доказательства от противного.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.132-135<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/XDNEDxyuccjLGA Т.Кормен и др. «Алгоритмы Построение и Анализ» стр 442-482, 642, 1086, 1101-1103]<br />
|}<br />
<br />
== Семинары ==<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/N5V4VaIkLVTajg Комбинаторика-1]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/DDB7KcxEXg3-6A Комбинаторика-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/QXW6c4tUxwjV4g Комбинаторика-3]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/lfhWkTgRJPvbGw Числа Фибоначчи, Индукция]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/I1VBzSGylBSUtw Числа Фибоначчи-2, Индукция-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/6ZeDU1zdCnlBog Системы счисления]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/pC1rFQaRgrr5KA Делимость и Вычеты]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/iGuukuYtT4O1iQ Расширенный алгоритм Евклида, малая теорема Ферма]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/yGSOYGTeGLBJVg Малая теорема Ферма, Китайская теорема об остатках]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KjQpX2s2Vj8ITw Теорема Эйлера]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/OOaz4DVxqMuUkg Графы-1]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KiTGSNoG6VM_Hg Деревья, правильные раскраски]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KE1u7QBFzIgkcA Эйлеровы и Гамильтоновы циклы и пути]<br />
<br />
== Домашние задания ==<br />
'''В ДЗ-8 появилась бонусная задача на бинарные деревья поиска. Ссылку на книгу по теме можно найти в допматериалах к последней лекции.'''<br><br />
<br />
'''Правила сдачи ДЗ''': решения задач из домашнего задания оформляются письменно, первый лист работы подписывается, только ответы не проверяются, должно присутствовать ''полное рассуждение'', затем текст сканируется, файл называется в соответствии с ФИО студента (например, SysoevaLN.pdf) и отправляется на проверку (ссылку на загрузку см. в таблице ниже).<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дедлайн<br />
!Домашнее задание<br />
!Ссылка на загрузку файла<br />
!Решения и критерии<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/WeEzyM70AzqNtw Домашнее задание №1]<br />
|[https://www.dropbox.com/request/cGNCtS3rrJoiE6NGCrz9 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/lmtlr4mP41Iy-Q Решения ДЗ-1]<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/87IgAYKMLGbEyA Домашнее задание №2]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/_yELwtWaJS4RMA Решения ДЗ-2]<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/Yy6-_Hda1UEQLg Домашнее задание №3]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/-VioO1CArRXPEA Решения ДЗ-3]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/aofNsKB9AMhONA Домашнее задание №4]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/JVpDIULhuGcJfA Решения ДЗ-4]<br />
<br />
|-<br />
|4.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/V62t0PGwzQmJoA Домашнее задание №5]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/S-0Dkekb9_o1aQ Решения ДЗ-5]<br />
<br />
|-<br />
|12.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/ZtHuki9PQHV5Cg Домашнее задание №6]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/nmYHFgM2kiZtdg Решения ДЗ-6]<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/X6LCkozybxDH7w Домашнее задание №7]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/9WINMpnYoD5uRw Решения ДЗ-7]<br />
<br />
|-<br />
|27.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/FjywLphzBhL0Xw Домашнее задание №8]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|<br />
<br />
|-<br />
|4.12.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/WRZnhkUVF8mXJA Домашнее задание №9]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|<br />
<br />
|}</div>Любовь Сысоеваhttp://math-info.hse.ru/wiki2022-23/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0&diff=453Дискретная Математика2022-12-04T07:45:28Z<p>Любовь Сысоева: /* Лекции */</p>
<hr />
<div>'''Дорогие студенты!'''<br />
<br />
На этой странице будут появляться различные материалы и объявления, связанные с курсом '''«Дискретная математика»''', читаемого для студентов 1-го курса ОП Вычислительные социальные науки в '''2022/2023''' учебном году. <br />
<br />
* Лекции и семинары: Сысоева Любовь Николаевна lsysoeva@hse.ru, telegram @lsysoeva<br />
* Ассистент: Ластовецкий Дмитрий dalastovetsky@hse.ru, telegram @dalastovetskiy<br />
<br />
{|<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_izNbdyLHY8c3Y4SfFzpzhsF-QTBNpRFmEqnCR3IQFU/edit?usp=sharing Ведомость активности] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SmaC4Uyy1F4Dn37zME5SMQCdAtXQHpSelk3JZttFxBU/edit?usp=sharing Ведомость ДЗ]<br />
|}<br />
<br />
Формула итоговой оценки:<br />
0,3 * Активность + 0,3 * Домашние задания + 0,4 * Экзамен<br />
<br />
== Консультации ==<br />
<br />
Консультации будут проходить онлайн по понедельникам в 17:00, задавайте ваши вопросы Дмитрию, присоединяйтесь к консультациям!<br />
<br />
Join Zoom Meeting<br />
https://us05web.zoom.us/j/4685079351?pwd=cVJkeVkzUUR1bXNjMzJ1WDRrN0EyUT09<br />
<br />
Meeting ID: 468 507 9351<br />
Passcode: yqTLi1<br />
<br />
== Лекции ==<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дата лекции<br />
!тема лекции<br />
!дополнительные материалы<br />
|-<br />
|16.09.2022<br />
|Понятие множества, конечные множества, задание множества перечислением элементов, задание множества условием, пустое множество, пересечение множеств, объединение множеств, декартово произведение множеств, парадокс брадобрея.<br><br />
Комбинаторика: правило суммы, правило произведения, факториал, число размещений с повторениями и без повторений, число сочетаний.<br />
|[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.1-26<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.44-63<br />
<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|Дискретная вероятность = (кол-во положительных исходов)/(общее число исходов).<br><br />
<br />
Сочетания с повторениями (метод шариков и перегородок), типы предметов.<br><br />
<br />
Треугольник Паскаля (количество путей от вершины вниз), рекуррентная формула (нижний элемент = сумме двух верхних).<br><br />
<br />
Бином Ньютона, связь с треугольником Паскаля (коэффициенты в разложении (a+b)<sup>n</sup> это числа в n строке треугольника).<br><br />
<br />
Числа сочетаний в треугольнике Паскаля, формула C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>k</sup><sub>n-1</sub> + C<sup>k-1</sup><sub>n-1</sub> и ее комбинаторный смысл.<br><br />
<br />
Сумма элементов n строки в треугольнике Паскаля равна 2<sup>n</sup> (через удвоение суммы предыдущей строки, через разложение (1+1)<sup>n</sup> и через все подмножества множества из n элементов).<br><br />
<br />
Полиномиальные коэффициенты (определение и формула).<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.26-40<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.63-70<br />
<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|Числа сочетаний в треугольнике Паскаля: возрастание элементов к середине строки и убывание после середины (C<sup>k</sup><sub>n</sub> < C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k < (n-1)/2 и C<sup>k</sup><sub>n</sub> > C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k > (n-1)/2), симметрия (C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>n-k</sup><sub>n</sub>), оценка среднего элемента в строке через сумму и количество элементов в этой строке (C<sup>n</sup><sub>2n</sub> > 2<sup>2n</sup>/(2n+1)).<br><br />
<br />
Сумма знакопеременных элементов n строки в треугольнике Паскаля равна нулю (через удвоение элементов предыдущей строки с противоположными знаками, через разложение (1-1)<sup>n</sup>).<br><br />
<br />
Формулы для 11<sup>2</sup>, 11<sup>3</sup>, 11<sup>4</sup> и связь со строками треугольника Паскаля (доказательство через разложение 11<sup>k</sup> = (10+1)<sup>k</sup> по биному Ньютона).<br><br />
<br />
Формула включений-исключений: через диаграммы Эйлера-Вена для 2 и 3 множеств, формулировка в общем случае.<br><br />
<br />
Принцип Дирихле (pigeonhole principle): если кроликов больше, чем клеток, то при рассадке кроликов по клеткам по крайней мере в одну клетку попадут по крайней мере два кролика.<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.41-44<br><br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.66<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи: задача про кроликов, определение (F<sub>0</sub> = 0, F<sub>1</sub> = 1, F<sub>n+1</sub> = F<sub>n</sub> + F<sub>n-1</sub>), F<sub>n</sub> равно сумме "диагонали" треугольника Паскаля (F<sub>n</sub> = C<sub>n-1</sub><sup>0</sup> + C<sub>n-2</sub><sup>1</sup> + C<sub>n-3</sub><sup>2</sup> + ... + C<sub>n-[n/2]</sub><sup>[n/2]-1</sup> целая часть должна быть верхней), явная формула (F<sub>n</sub> = 1/٧5((1+٧5)/2)^n - 1/٧5((1-٧5)/2)^n) и ее доказательство по индукции.<br />
<br />
Индукция: принцип математической индукции, база и переход их согласованность, индуктивное предположение, доказательство равенств, неравенств, разбор текстовой задачи (машина на краю пустыни).<br />
Примеры неверных доказательств по индукции (резиновый автобус, куча манки, одномастные лошади).<br />
<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.16-51<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|14.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи (повторение).<br />
Линейные рекуррентные соотношения в разных задачах.<br />
Рекурсия (программирование, литература) и ее связь с рекуррентными соотношениями.<br />
Основная теорема о рекуррентных соотношениях (Master theorem): оценка сложности рекурсивных алгоритмов.<br />
<br />
Рекуррентные записи n! и геометрических прогрессий.<br />
<br />
Индукция: повторение, связь с рекуррентными соотношениями, пример вложенной индукции (количество разломов прямоугольной шоколадки).<br />
<br />
|[https://ru.wikipedia.org/wiki/Основная_теорема_о_рекуррентных_соотношениях Основная теорема о рекуррентных соотношениях]<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|Числа Каталана (по заявкам): рекуррентная формула, количество правильных скобочных последовательностей, количество способов разбить n-угольник диагоналями на треугольники.<br />
<br />
Системы счисления: позиционные, примеры, n-ичные дроби, переводы между системами счислений целых чисел и дробных частей, погрешность в случае прерывания бесконечных дробей.<br />
<br />
Римская система счисления: способы записи чисел, сложность алгоритмов сложения и умножения чисел.<br />
<br />
Признаки делимости в n-ичной системе счисления: схожесть признаков делимости на n-1 и n+1 с признаками делимости на 9 и 11 для десятичной системы, схожесть признаков делимости на делители n с признаками делимости на 5 и 10 для десятичной системы.<br />
<br />
Троичная система: взвешивание путем уравновешивания весов с двумя чашами.<br />
|<br />
[https://disk.yandex.ru/i/UjJYIydJppYhQg Статья про числа Каталана]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/MOK8NEeNVq5SYA Книжка по системам счисления]<br />
<br />
|-<br />
|01.11.2022<br />
|Простые числа: определение, основная теорема арифметики (любое число однозначно разлагается в произведение простых), бесконечное количество простых чисел (два доказательства 1. p<sub>1</sub>p<sub>2</sub>...p<sub>n</sub>+1 ; 2. (k+1)<sup>n</sup> << 2<sup>k</sup> при фиксированном n и растущем k), Постулат Бертрана (теорема Чебышева): для любого натурального n ⩾ 2 найдётся простое число p в интервале n < p < 2n.<br />
<br />
Остатки от деления и вычеты: сложение, вычитание, умножение, поиск обратного вычета.<br />
Запись вычетов через отрицательные числа для удобства вычислений.<br />
Примеры, когда обратного вычета не существует (элемент и модуль не взаимно просты).<br />
<br />
Алгоритм Евклида (с использованием остатка от деления по модулю): сам алгоритм и оценка числа итераций через числа Фибоначчи.<br />
<br />
|[http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/e4d919f5-8435-4fe3-a779-275181a69951/M_1.1.4/M_1.1.4.html Вычеты (короткая базовая статья)]<br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.143-156<br />
<br />
|-<br />
|11.11.2022<br />
|Идея кодирования с открытым ключом.<br />
Диофантовы уравнения: примеры, великая теорема Ферма, линейные Диофантовы уравнения с двумя неизвестными, критерий разрешимости.<br />
Расширенный алгоритм Евклида: решение линейных Диофантовых уравнений с двумя неизвестными.<br />
Сведение поиска обратного по умножению элемента по модулю к решению линейного Диофантова уравнения с двумя неизвестными.<br />
Единственность обратного по умножению элемента по модулю (если существует, то единственный).<br />
<br />
Малая теорема Ферма: формулировка, четыре доказательства (мультиномиальное разложение, индукция и бином Ньютона, раскраска бус, перемножение чисел специального вида), поиск обратного по умножению элемента через малую теорему Ферма в случае простого модуля.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.154-163<br />
<br />
<br />
|-<br />
|15.11.2022<br />
|Идея проверки числа на простоту:<br><br />
1) проверка делимости на простые до корня из числа;<br><br />
2) проверка взаимной простоты с числами от 2 до n-1;<br><br />
3) (тест Ферма) проверка справедливости малой теоремы Ферма для чисел от 2 до n-1 (и числа Кармайкла);<br><br />
4) (тест Рабина) проверка справедливости малой теоремы Ферма плюс корней из 1.<br />
<br />
Китайская теорема об остатках: система сравнений по взаимнопростым модулям имеет единственное решение по произведению модулей.<br />
Доказательство и решения систем сравнений с помощью расширенного алгоритма Евклида.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.161-165<br />
<br />
|-<br />
|18.11.2022<br />
|Китайская теорема об остатках: доказательство (индукция во числу сравнений), Следствие: независимость распределения остатков по взаимнопростым модулям.<br><br />
Функция Эйлера: определение и вычисление для простых чисел, степеней простых чисел, составных чисел.<br><br />
Теорема Эйлера: формулировка, малая теорема Ферма как частный случай, доказательство (аналогично 4 доказательству малой теоремы Ферма, через обратимые остатки и их перемножение).<br><br />
Алгоритм кодирования с открытым ключом RSA: определение, корректность кодирования и декодирования, устойчивость к атакам.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.162-167<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/fX6Q_FMRE-I_Zg Лекции по криптографии] (тут довольно хорошо объяснен алгоритм RSA и еще много что)<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|Графы: определение (V,E), множество вершин, множество ребер, изолированная вершина, степень вершины, способы задания графов (матрица смежности, матрица инцидентности, список смежности).<br><br />
Формула 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>).<br><br />
Маршрут, путь, простой путь, расстояние между вершинами (длина кратчайшего пути), диаметр графа (самое большое расстояние между вершинами).<br><br />
Цикл, простой цикл.<br><br />
Связный граф, компонента связности.<br><br />
Оценка: количество компонент связности ≥ |V|-|E|.<br><br />
Следствие: для поиска самого тяжелого камня среди n камней необходимо n-1 взвешивание.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.95-118<br><br />
<br />
|-<br />
|25.11.2022<br />
|Деревья: (четыре определения и их эквивалентность) связный граф с V-1 ребром; минимальный связный граф; связный ациклический граф; граф, между любыми двумя вершинами которого существует единственный путь.<br><br />
''Дополнительно:'' бинарное дерево поиска: поиск элемента, добавление элемента, удаление элемента, поиск следующего и предшествующего элементов.<br><br />
Существование у произвольного дерева по крайней мере двух листьев (два доказательства: через формулу 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>) и через максимально удаленные вершины).<br><br />
Остовное дерево связного графа, возможность удаления из связного графа вершины вместе с ребрами без потери связности.<br><br />
Правильная раскраска: определение, примеры, критерий 2-раскрашиваемости графа (отсутствие циклов нечетной длины).<br><br />
''Дополнительно:'' алгоритмы поиска в ширину (BFS) и глубину (DFS).<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.118-123<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/XDNEDxyuccjLGA Т.Кормен и др. «Алгоритмы Построение и Анализ» стр 316-322, 607-663]<br />
<br />
|-<br />
|02.12.2022<br />
|Жадные алгоритмы: алгоритмы, оптимизирующие некоторый параметр на '''каждом''' шаге, примеры (задача о рюкзаке в дискретном и непрерывном вариантах, задача о поиске минимального остовного дерева, задача о загруженности аудитории).<br><br />
Эйлеровы циклы и пути: цикл (путь) проходящий по каждому ребру графа ровно один раз, критерии наличия Эйлерова цикла (пути) в неориентированном и ориентированном графах.<br><br />
Гамильтоновы циклы и пути: цикл (путь) проходящий через каждую вершину графа ровно один раз, отсутствие критерия, NP-полнота задачи о поиске Гамильтонова цикла в графе, теорема Оре.<br><br />
Чуть-чуть логики: формализация метода доказательства с помощью правила контрапозиции и метода доказательства от противного.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.132-135<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/XDNEDxyuccjLGA Т.Кормен и др. «Алгоритмы Построение и Анализ» стр 442-482, 642, 1086, 1101-1103]<br />
|}<br />
<br />
== Семинары ==<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/N5V4VaIkLVTajg Комбинаторика-1]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/DDB7KcxEXg3-6A Комбинаторика-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/QXW6c4tUxwjV4g Комбинаторика-3]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/lfhWkTgRJPvbGw Числа Фибоначчи, Индукция]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/I1VBzSGylBSUtw Числа Фибоначчи-2, Индукция-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/6ZeDU1zdCnlBog Системы счисления]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/pC1rFQaRgrr5KA Делимость и Вычеты]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/iGuukuYtT4O1iQ Расширенный алгоритм Евклида, малая теорема Ферма]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/yGSOYGTeGLBJVg Малая теорема Ферма, Китайская теорема об остатках]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KjQpX2s2Vj8ITw Теорема Эйлера]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/OOaz4DVxqMuUkg Графы-1]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KiTGSNoG6VM_Hg Деревья, правильные раскраски]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KE1u7QBFzIgkcA Эйлеровы и Гамильтоновы циклы и пути]<br />
<br />
== Домашние задания ==<br />
'''В ДЗ-8 появилась бонусная задача на бинарные деревья поиска. Ссылку на книгу по теме можно найти в допматериалах к последней лекции.'''<br />
<br />
'''Правила сдачи ДЗ''': решения задач из домашнего задания оформляются письменно, первый лист работы подписывается, только ответы не проверяются, должно присутствовать ''полное рассуждение'', затем текст сканируется, файл называется в соответствии с ФИО студента (например, SysoevaLN.pdf) и отправляется на проверку (ссылку на загрузку см. в таблице ниже).<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дедлайн<br />
!Домашнее задание<br />
!Ссылка на загрузку файла<br />
!Решения и критерии<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/WeEzyM70AzqNtw Домашнее задание №1]<br />
|[https://www.dropbox.com/request/cGNCtS3rrJoiE6NGCrz9 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/lmtlr4mP41Iy-Q Решения ДЗ-1]<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/87IgAYKMLGbEyA Домашнее задание №2]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/_yELwtWaJS4RMA Решения ДЗ-2]<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/Yy6-_Hda1UEQLg Домашнее задание №3]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/-VioO1CArRXPEA Решения ДЗ-3]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/aofNsKB9AMhONA Домашнее задание №4]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/JVpDIULhuGcJfA Решения ДЗ-4]<br />
<br />
|-<br />
|4.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/V62t0PGwzQmJoA Домашнее задание №5]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/S-0Dkekb9_o1aQ Решения ДЗ-5]<br />
<br />
|-<br />
|12.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/ZtHuki9PQHV5Cg Домашнее задание №6]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/nmYHFgM2kiZtdg Решения ДЗ-6]<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/X6LCkozybxDH7w Домашнее задание №7]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/9WINMpnYoD5uRw Решения ДЗ-7]<br />
<br />
|-<br />
|27.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/FjywLphzBhL0Xw Домашнее задание №8]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|<br />
<br />
|-<br />
|4.12.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/WRZnhkUVF8mXJA Домашнее задание №9]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|<br />
<br />
|}</div>Любовь Сысоеваhttp://math-info.hse.ru/wiki2022-23/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0&diff=452Дискретная Математика2022-12-04T07:44:34Z<p>Любовь Сысоева: /* Лекции */</p>
<hr />
<div>'''Дорогие студенты!'''<br />
<br />
На этой странице будут появляться различные материалы и объявления, связанные с курсом '''«Дискретная математика»''', читаемого для студентов 1-го курса ОП Вычислительные социальные науки в '''2022/2023''' учебном году. <br />
<br />
* Лекции и семинары: Сысоева Любовь Николаевна lsysoeva@hse.ru, telegram @lsysoeva<br />
* Ассистент: Ластовецкий Дмитрий dalastovetsky@hse.ru, telegram @dalastovetskiy<br />
<br />
{|<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_izNbdyLHY8c3Y4SfFzpzhsF-QTBNpRFmEqnCR3IQFU/edit?usp=sharing Ведомость активности] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SmaC4Uyy1F4Dn37zME5SMQCdAtXQHpSelk3JZttFxBU/edit?usp=sharing Ведомость ДЗ]<br />
|}<br />
<br />
Формула итоговой оценки:<br />
0,3 * Активность + 0,3 * Домашние задания + 0,4 * Экзамен<br />
<br />
== Консультации ==<br />
<br />
Консультации будут проходить онлайн по понедельникам в 17:00, задавайте ваши вопросы Дмитрию, присоединяйтесь к консультациям!<br />
<br />
Join Zoom Meeting<br />
https://us05web.zoom.us/j/4685079351?pwd=cVJkeVkzUUR1bXNjMzJ1WDRrN0EyUT09<br />
<br />
Meeting ID: 468 507 9351<br />
Passcode: yqTLi1<br />
<br />
== Лекции ==<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дата лекции<br />
!тема лекции<br />
!дополнительные материалы<br />
|-<br />
|16.09.2022<br />
|Понятие множества, конечные множества, задание множества перечислением элементов, задание множества условием, пустое множество, пересечение множеств, объединение множеств, декартово произведение множеств, парадокс брадобрея.<br><br />
Комбинаторика: правило суммы, правило произведения, факториал, число размещений с повторениями и без повторений, число сочетаний.<br />
|[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.1-26<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.44-63<br />
<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|Дискретная вероятность = (кол-во положительных исходов)/(общее число исходов).<br><br />
<br />
Сочетания с повторениями (метод шариков и перегородок), типы предметов.<br><br />
<br />
Треугольник Паскаля (количество путей от вершины вниз), рекуррентная формула (нижний элемент = сумме двух верхних).<br><br />
<br />
Бином Ньютона, связь с треугольником Паскаля (коэффициенты в разложении (a+b)<sup>n</sup> это числа в n строке треугольника).<br><br />
<br />
Числа сочетаний в треугольнике Паскаля, формула C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>k</sup><sub>n-1</sub> + C<sup>k-1</sup><sub>n-1</sub> и ее комбинаторный смысл.<br><br />
<br />
Сумма элементов n строки в треугольнике Паскаля равна 2<sup>n</sup> (через удвоение суммы предыдущей строки, через разложение (1+1)<sup>n</sup> и через все подмножества множества из n элементов).<br><br />
<br />
Полиномиальные коэффициенты (определение и формула).<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.26-40<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.63-70<br />
<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|Числа сочетаний в треугольнике Паскаля: возрастание элементов к середине строки и убывание после середины (C<sup>k</sup><sub>n</sub> < C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k < (n-1)/2 и C<sup>k</sup><sub>n</sub> > C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k > (n-1)/2), симметрия (C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>n-k</sup><sub>n</sub>), оценка среднего элемента в строке через сумму и количество элементов в этой строке (C<sup>n</sup><sub>2n</sub> > 2<sup>2n</sup>/(2n+1)).<br><br />
<br />
Сумма знакопеременных элементов n строки в треугольнике Паскаля равна нулю (через удвоение элементов предыдущей строки с противоположными знаками, через разложение (1-1)<sup>n</sup>).<br><br />
<br />
Формулы для 11<sup>2</sup>, 11<sup>3</sup>, 11<sup>4</sup> и связь со строками треугольника Паскаля (доказательство через разложение 11<sup>k</sup> = (10+1)<sup>k</sup> по биному Ньютона).<br><br />
<br />
Формула включений-исключений: через диаграммы Эйлера-Вена для 2 и 3 множеств, формулировка в общем случае.<br><br />
<br />
Принцип Дирихле (pigeonhole principle): если кроликов больше, чем клеток, то при рассадке кроликов по клеткам по крайней мере в одну клетку попадут по крайней мере два кролика.<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.41-44<br><br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.66<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи: задача про кроликов, определение (F<sub>0</sub> = 0, F<sub>1</sub> = 1, F<sub>n+1</sub> = F<sub>n</sub> + F<sub>n-1</sub>), F<sub>n</sub> равно сумме "диагонали" треугольника Паскаля (F<sub>n</sub> = C<sub>n-1</sub><sup>0</sup> + C<sub>n-2</sub><sup>1</sup> + C<sub>n-3</sub><sup>2</sup> + ... + C<sub>n-[n/2]</sub><sup>[n/2]-1</sup> целая часть должна быть верхней), явная формула (F<sub>n</sub> = 1/٧5((1+٧5)/2)^n - 1/٧5((1-٧5)/2)^n) и ее доказательство по индукции.<br />
<br />
Индукция: принцип математической индукции, база и переход их согласованность, индуктивное предположение, доказательство равенств, неравенств, разбор текстовой задачи (машина на краю пустыни).<br />
Примеры неверных доказательств по индукции (резиновый автобус, куча манки, одномастные лошади).<br />
<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.16-51<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|14.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи (повторение).<br />
Линейные рекуррентные соотношения в разных задачах.<br />
Рекурсия (программирование, литература) и ее связь с рекуррентными соотношениями.<br />
Основная теорема о рекуррентных соотношениях (Master theorem): оценка сложности рекурсивных алгоритмов.<br />
<br />
Рекуррентные записи n! и геометрических прогрессий.<br />
<br />
Индукция: повторение, связь с рекуррентными соотношениями, пример вложенной индукции (количество разломов прямоугольной шоколадки).<br />
<br />
|[https://ru.wikipedia.org/wiki/Основная_теорема_о_рекуррентных_соотношениях Основная теорема о рекуррентных соотношениях]<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|Числа Каталана (по заявкам): рекуррентная формула, количество правильных скобочных последовательностей, количество способов разбить n-угольник диагоналями на треугольники.<br />
<br />
Системы счисления: позиционные, примеры, n-ичные дроби, переводы между системами счислений целых чисел и дробных частей, погрешность в случае прерывания бесконечных дробей.<br />
<br />
Римская система счисления: способы записи чисел, сложность алгоритмов сложения и умножения чисел.<br />
<br />
Признаки делимости в n-ичной системе счисления: схожесть признаков делимости на n-1 и n+1 с признаками делимости на 9 и 11 для десятичной системы, схожесть признаков делимости на делители n с признаками делимости на 5 и 10 для десятичной системы.<br />
<br />
Троичная система: взвешивание путем уравновешивания весов с двумя чашами.<br />
|<br />
[https://disk.yandex.ru/i/UjJYIydJppYhQg Статья про числа Каталана]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/MOK8NEeNVq5SYA Книжка по системам счисления]<br />
<br />
|-<br />
|01.11.2022<br />
|Простые числа: определение, основная теорема арифметики (любое число однозначно разлагается в произведение простых), бесконечное количество простых чисел (два доказательства 1. p<sub>1</sub>p<sub>2</sub>...p<sub>n</sub>+1 ; 2. (k+1)<sup>n</sup> << 2<sup>k</sup> при фиксированном n и растущем k), Постулат Бертрана (теорема Чебышева): для любого натурального n ⩾ 2 найдётся простое число p в интервале n < p < 2n.<br />
<br />
Остатки от деления и вычеты: сложение, вычитание, умножение, поиск обратного вычета.<br />
Запись вычетов через отрицательные числа для удобства вычислений.<br />
Примеры, когда обратного вычета не существует (элемент и модуль не взаимно просты).<br />
<br />
Алгоритм Евклида (с использованием остатка от деления по модулю): сам алгоритм и оценка числа итераций через числа Фибоначчи.<br />
<br />
|[http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/e4d919f5-8435-4fe3-a779-275181a69951/M_1.1.4/M_1.1.4.html Вычеты (короткая базовая статья)]<br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.143-156<br />
<br />
|-<br />
|11.11.2022<br />
|Идея кодирования с открытым ключом.<br />
Диофантовы уравнения: примеры, великая теорема Ферма, линейные Диофантовы уравнения с двумя неизвестными, критерий разрешимости.<br />
Расширенный алгоритм Евклида: решение линейных Диофантовых уравнений с двумя неизвестными.<br />
Сведение поиска обратного по умножению элемента по модулю к решению линейного Диофантова уравнения с двумя неизвестными.<br />
Единственность обратного по умножению элемента по модулю (если существует, то единственный).<br />
<br />
Малая теорема Ферма: формулировка, четыре доказательства (мультиномиальное разложение, индукция и бином Ньютона, раскраска бус, перемножение чисел специального вида), поиск обратного по умножению элемента через малую теорему Ферма в случае простого модуля.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.154-163<br />
<br />
<br />
|-<br />
|15.11.2022<br />
|Идея проверки числа на простоту:<br><br />
1) проверка делимости на простые до корня из числа;<br><br />
2) проверка взаимной простоты с числами от 2 до n-1;<br><br />
3) (тест Ферма) проверка справедливости малой теоремы Ферма для чисел от 2 до n-1 (и числа Кармайкла);<br><br />
4) (тест Рабина) проверка справедливости малой теоремы Ферма плюс корней из 1.<br />
<br />
Китайская теорема об остатках: система сравнений по взаимнопростым модулям имеет единственное решение по произведению модулей.<br />
Доказательство и решения систем сравнений с помощью расширенного алгоритма Евклида.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.161-165<br />
<br />
|-<br />
|18.11.2022<br />
|Китайская теорема об остатках: доказательство (индукция во числу сравнений), Следствие: независимость распределения остатков по взаимнопростым модулям.<br><br />
Функция Эйлера: определение и вычисление для простых чисел, степеней простых чисел, составных чисел.<br><br />
Теорема Эйлера: формулировка, малая теорема Ферма как частный случай, доказательство (аналогично 4 доказательству малой теоремы Ферма, через обратимые остатки и их перемножение).<br><br />
Алгоритм кодирования с открытым ключом RSA: определение, корректность кодирования и декодирования, устойчивость к атакам.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.162-167<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/fX6Q_FMRE-I_Zg Лекции по криптографии] (тут довольно хорошо объяснен алгоритм RSA и еще много что)<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|Графы: определение (V,E), множество вершин, множество ребер, изолированная вершина, степень вершины, способы задания графов (матрица смежности, матрица инцидентности, список смежности).<br><br />
Формула 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>).<br><br />
Маршрут, путь, простой путь, расстояние между вершинами (длина кратчайшего пути), диаметр графа (самое большое расстояние между вершинами).<br><br />
Цикл, простой цикл.<br><br />
Связный граф, компонента связности.<br><br />
Оценка: количество компонент связности ≥ |V|-|E|.<br><br />
Следствие: для поиска самого тяжелого камня среди n камней необходимо n-1 взвешивание.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.95-118<br><br />
<br />
|-<br />
|25.11.2022<br />
|Деревья: (четыре определения и их эквивалентность) связный граф с V-1 ребром; минимальный связный граф; связный ациклический граф; граф, между любыми двумя вершинами которого существует единственный путь.<br><br />
''Дополнительно:'' бинарное дерево поиска: поиск элемента, добавление элемента, удаление элемента, поиск следующего и предшествующего элементов.<br><br />
Существование у произвольного дерева по крайней мере двух листьев (два доказательства: через формулу 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>) и через максимально удаленные вершины).<br><br />
Остовное дерево связного графа, возможность удаления из связного графа вершины вместе с ребрами без потери связности.<br><br />
Правильная раскраска: определение, примеры, критерий 2-раскрашиваемости графа (отсутствие циклов нечетной длины).<br><br />
''Дополнительно:'' алгоритмы поиска в ширину (BFS) и глубину (DFS).<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.118-123<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/XDNEDxyuccjLGA Т.Кормен и др. «Алгоритмы Построение и Анализ» стр 316-322, 607-663]<br />
<br />
|-<br />
|02.12.2022<br />
|Жадные алгоритмы: алгоритмы, оптимизирующие некоторый параметр на '''каждом''' шаге, примеры (задача о рюкзаке в дискретном и непрерывном вариантах, задача о поиске минимального остовного дерева, задача о загруженности аудитории).<br><br />
Эйлеровы циклы и пути: цикл (путь) проходящий по каждому ребру графа ровно один раз, критерии наличия Эйлерова цикла (пути) в неориентированном и ориентированном графах.<br><br />
Гамильтоновы циклы и пути: цикл (путь) проходящий через каждую вершину графа ровно один раз, отсутствие критерия, NP-полнота задачи о поиске Гамильтонова цикла в графе, теорема Оре.<br><br />
Чуть-чуть логики: формализация метода доказательства с помощью правила контрапозиции и метода доказательства от противного.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.132-135<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/XDNEDxyuccjLGA Т.Кормен и др. «Алгоритмы Построение и Анализ» стр 642, 1086, 1101-1103]<br />
|}<br />
<br />
== Семинары ==<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/N5V4VaIkLVTajg Комбинаторика-1]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/DDB7KcxEXg3-6A Комбинаторика-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/QXW6c4tUxwjV4g Комбинаторика-3]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/lfhWkTgRJPvbGw Числа Фибоначчи, Индукция]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/I1VBzSGylBSUtw Числа Фибоначчи-2, Индукция-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/6ZeDU1zdCnlBog Системы счисления]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/pC1rFQaRgrr5KA Делимость и Вычеты]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/iGuukuYtT4O1iQ Расширенный алгоритм Евклида, малая теорема Ферма]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/yGSOYGTeGLBJVg Малая теорема Ферма, Китайская теорема об остатках]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KjQpX2s2Vj8ITw Теорема Эйлера]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/OOaz4DVxqMuUkg Графы-1]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KiTGSNoG6VM_Hg Деревья, правильные раскраски]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KE1u7QBFzIgkcA Эйлеровы и Гамильтоновы циклы и пути]<br />
<br />
== Домашние задания ==<br />
'''В ДЗ-8 появилась бонусная задача на бинарные деревья поиска. Ссылку на книгу по теме можно найти в допматериалах к последней лекции.'''<br />
<br />
'''Правила сдачи ДЗ''': решения задач из домашнего задания оформляются письменно, первый лист работы подписывается, только ответы не проверяются, должно присутствовать ''полное рассуждение'', затем текст сканируется, файл называется в соответствии с ФИО студента (например, SysoevaLN.pdf) и отправляется на проверку (ссылку на загрузку см. в таблице ниже).<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дедлайн<br />
!Домашнее задание<br />
!Ссылка на загрузку файла<br />
!Решения и критерии<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/WeEzyM70AzqNtw Домашнее задание №1]<br />
|[https://www.dropbox.com/request/cGNCtS3rrJoiE6NGCrz9 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/lmtlr4mP41Iy-Q Решения ДЗ-1]<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/87IgAYKMLGbEyA Домашнее задание №2]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/_yELwtWaJS4RMA Решения ДЗ-2]<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/Yy6-_Hda1UEQLg Домашнее задание №3]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/-VioO1CArRXPEA Решения ДЗ-3]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/aofNsKB9AMhONA Домашнее задание №4]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/JVpDIULhuGcJfA Решения ДЗ-4]<br />
<br />
|-<br />
|4.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/V62t0PGwzQmJoA Домашнее задание №5]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/S-0Dkekb9_o1aQ Решения ДЗ-5]<br />
<br />
|-<br />
|12.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/ZtHuki9PQHV5Cg Домашнее задание №6]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/nmYHFgM2kiZtdg Решения ДЗ-6]<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/X6LCkozybxDH7w Домашнее задание №7]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/9WINMpnYoD5uRw Решения ДЗ-7]<br />
<br />
|-<br />
|27.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/FjywLphzBhL0Xw Домашнее задание №8]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|<br />
<br />
|-<br />
|4.12.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/WRZnhkUVF8mXJA Домашнее задание №9]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|<br />
<br />
|}</div>Любовь Сысоеваhttp://math-info.hse.ru/wiki2022-23/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0&diff=451Дискретная Математика2022-12-04T07:39:42Z<p>Любовь Сысоева: /* Лекции */</p>
<hr />
<div>'''Дорогие студенты!'''<br />
<br />
На этой странице будут появляться различные материалы и объявления, связанные с курсом '''«Дискретная математика»''', читаемого для студентов 1-го курса ОП Вычислительные социальные науки в '''2022/2023''' учебном году. <br />
<br />
* Лекции и семинары: Сысоева Любовь Николаевна lsysoeva@hse.ru, telegram @lsysoeva<br />
* Ассистент: Ластовецкий Дмитрий dalastovetsky@hse.ru, telegram @dalastovetskiy<br />
<br />
{|<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_izNbdyLHY8c3Y4SfFzpzhsF-QTBNpRFmEqnCR3IQFU/edit?usp=sharing Ведомость активности] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SmaC4Uyy1F4Dn37zME5SMQCdAtXQHpSelk3JZttFxBU/edit?usp=sharing Ведомость ДЗ]<br />
|}<br />
<br />
Формула итоговой оценки:<br />
0,3 * Активность + 0,3 * Домашние задания + 0,4 * Экзамен<br />
<br />
== Консультации ==<br />
<br />
Консультации будут проходить онлайн по понедельникам в 17:00, задавайте ваши вопросы Дмитрию, присоединяйтесь к консультациям!<br />
<br />
Join Zoom Meeting<br />
https://us05web.zoom.us/j/4685079351?pwd=cVJkeVkzUUR1bXNjMzJ1WDRrN0EyUT09<br />
<br />
Meeting ID: 468 507 9351<br />
Passcode: yqTLi1<br />
<br />
== Лекции ==<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дата лекции<br />
!тема лекции<br />
!дополнительные материалы<br />
|-<br />
|16.09.2022<br />
|Понятие множества, конечные множества, задание множества перечислением элементов, задание множества условием, пустое множество, пересечение множеств, объединение множеств, декартово произведение множеств, парадокс брадобрея.<br><br />
Комбинаторика: правило суммы, правило произведения, факториал, число размещений с повторениями и без повторений, число сочетаний.<br />
|[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.1-26<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.44-63<br />
<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|Дискретная вероятность = (кол-во положительных исходов)/(общее число исходов).<br><br />
<br />
Сочетания с повторениями (метод шариков и перегородок), типы предметов.<br><br />
<br />
Треугольник Паскаля (количество путей от вершины вниз), рекуррентная формула (нижний элемент = сумме двух верхних).<br><br />
<br />
Бином Ньютона, связь с треугольником Паскаля (коэффициенты в разложении (a+b)<sup>n</sup> это числа в n строке треугольника).<br><br />
<br />
Числа сочетаний в треугольнике Паскаля, формула C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>k</sup><sub>n-1</sub> + C<sup>k-1</sup><sub>n-1</sub> и ее комбинаторный смысл.<br><br />
<br />
Сумма элементов n строки в треугольнике Паскаля равна 2<sup>n</sup> (через удвоение суммы предыдущей строки, через разложение (1+1)<sup>n</sup> и через все подмножества множества из n элементов).<br><br />
<br />
Полиномиальные коэффициенты (определение и формула).<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.26-40<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.63-70<br />
<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|Числа сочетаний в треугольнике Паскаля: возрастание элементов к середине строки и убывание после середины (C<sup>k</sup><sub>n</sub> < C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k < (n-1)/2 и C<sup>k</sup><sub>n</sub> > C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k > (n-1)/2), симметрия (C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>n-k</sup><sub>n</sub>), оценка среднего элемента в строке через сумму и количество элементов в этой строке (C<sup>n</sup><sub>2n</sub> > 2<sup>2n</sup>/(2n+1)).<br><br />
<br />
Сумма знакопеременных элементов n строки в треугольнике Паскаля равна нулю (через удвоение элементов предыдущей строки с противоположными знаками, через разложение (1-1)<sup>n</sup>).<br><br />
<br />
Формулы для 11<sup>2</sup>, 11<sup>3</sup>, 11<sup>4</sup> и связь со строками треугольника Паскаля (доказательство через разложение 11<sup>k</sup> = (10+1)<sup>k</sup> по биному Ньютона).<br><br />
<br />
Формула включений-исключений: через диаграммы Эйлера-Вена для 2 и 3 множеств, формулировка в общем случае.<br><br />
<br />
Принцип Дирихле (pigeonhole principle): если кроликов больше, чем клеток, то при рассадке кроликов по клеткам по крайней мере в одну клетку попадут по крайней мере два кролика.<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.41-44<br><br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.66<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи: задача про кроликов, определение (F<sub>0</sub> = 0, F<sub>1</sub> = 1, F<sub>n+1</sub> = F<sub>n</sub> + F<sub>n-1</sub>), F<sub>n</sub> равно сумме "диагонали" треугольника Паскаля (F<sub>n</sub> = C<sub>n-1</sub><sup>0</sup> + C<sub>n-2</sub><sup>1</sup> + C<sub>n-3</sub><sup>2</sup> + ... + C<sub>n-[n/2]</sub><sup>[n/2]-1</sup> целая часть должна быть верхней), явная формула (F<sub>n</sub> = 1/٧5((1+٧5)/2)^n - 1/٧5((1-٧5)/2)^n) и ее доказательство по индукции.<br />
<br />
Индукция: принцип математической индукции, база и переход их согласованность, индуктивное предположение, доказательство равенств, неравенств, разбор текстовой задачи (машина на краю пустыни).<br />
Примеры неверных доказательств по индукции (резиновый автобус, куча манки, одномастные лошади).<br />
<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.16-51<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|14.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи (повторение).<br />
Линейные рекуррентные соотношения в разных задачах.<br />
Рекурсия (программирование, литература) и ее связь с рекуррентными соотношениями.<br />
Основная теорема о рекуррентных соотношениях (Master theorem): оценка сложности рекурсивных алгоритмов.<br />
<br />
Рекуррентные записи n! и геометрических прогрессий.<br />
<br />
Индукция: повторение, связь с рекуррентными соотношениями, пример вложенной индукции (количество разломов прямоугольной шоколадки).<br />
<br />
|[https://ru.wikipedia.org/wiki/Основная_теорема_о_рекуррентных_соотношениях Основная теорема о рекуррентных соотношениях]<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|Числа Каталана (по заявкам): рекуррентная формула, количество правильных скобочных последовательностей, количество способов разбить n-угольник диагоналями на треугольники.<br />
<br />
Системы счисления: позиционные, примеры, n-ичные дроби, переводы между системами счислений целых чисел и дробных частей, погрешность в случае прерывания бесконечных дробей.<br />
<br />
Римская система счисления: способы записи чисел, сложность алгоритмов сложения и умножения чисел.<br />
<br />
Признаки делимости в n-ичной системе счисления: схожесть признаков делимости на n-1 и n+1 с признаками делимости на 9 и 11 для десятичной системы, схожесть признаков делимости на делители n с признаками делимости на 5 и 10 для десятичной системы.<br />
<br />
Троичная система: взвешивание путем уравновешивания весов с двумя чашами.<br />
|<br />
[https://disk.yandex.ru/i/UjJYIydJppYhQg Статья про числа Каталана]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/MOK8NEeNVq5SYA Книжка по системам счисления]<br />
<br />
|-<br />
|01.11.2022<br />
|Простые числа: определение, основная теорема арифметики (любое число однозначно разлагается в произведение простых), бесконечное количество простых чисел (два доказательства 1. p<sub>1</sub>p<sub>2</sub>...p<sub>n</sub>+1 ; 2. (k+1)<sup>n</sup> << 2<sup>k</sup> при фиксированном n и растущем k), Постулат Бертрана (теорема Чебышева): для любого натурального n ⩾ 2 найдётся простое число p в интервале n < p < 2n.<br />
<br />
Остатки от деления и вычеты: сложение, вычитание, умножение, поиск обратного вычета.<br />
Запись вычетов через отрицательные числа для удобства вычислений.<br />
Примеры, когда обратного вычета не существует (элемент и модуль не взаимно просты).<br />
<br />
Алгоритм Евклида (с использованием остатка от деления по модулю): сам алгоритм и оценка числа итераций через числа Фибоначчи.<br />
<br />
|[http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/e4d919f5-8435-4fe3-a779-275181a69951/M_1.1.4/M_1.1.4.html Вычеты (короткая базовая статья)]<br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.143-156<br />
<br />
|-<br />
|11.11.2022<br />
|Идея кодирования с открытым ключом.<br />
Диофантовы уравнения: примеры, великая теорема Ферма, линейные Диофантовы уравнения с двумя неизвестными, критерий разрешимости.<br />
Расширенный алгоритм Евклида: решение линейных Диофантовых уравнений с двумя неизвестными.<br />
Сведение поиска обратного по умножению элемента по модулю к решению линейного Диофантова уравнения с двумя неизвестными.<br />
Единственность обратного по умножению элемента по модулю (если существует, то единственный).<br />
<br />
Малая теорема Ферма: формулировка, четыре доказательства (мультиномиальное разложение, индукция и бином Ньютона, раскраска бус, перемножение чисел специального вида), поиск обратного по умножению элемента через малую теорему Ферма в случае простого модуля.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.154-163<br />
<br />
<br />
|-<br />
|15.11.2022<br />
|Идея проверки числа на простоту:<br><br />
1) проверка делимости на простые до корня из числа;<br><br />
2) проверка взаимной простоты с числами от 2 до n-1;<br><br />
3) (тест Ферма) проверка справедливости малой теоремы Ферма для чисел от 2 до n-1 (и числа Кармайкла);<br><br />
4) (тест Рабина) проверка справедливости малой теоремы Ферма плюс корней из 1.<br />
<br />
Китайская теорема об остатках: система сравнений по взаимнопростым модулям имеет единственное решение по произведению модулей.<br />
Доказательство и решения систем сравнений с помощью расширенного алгоритма Евклида.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.161-165<br />
<br />
|-<br />
|18.11.2022<br />
|Китайская теорема об остатках: доказательство (индукция во числу сравнений), Следствие: независимость распределения остатков по взаимнопростым модулям.<br><br />
Функция Эйлера: определение и вычисление для простых чисел, степеней простых чисел, составных чисел.<br><br />
Теорема Эйлера: формулировка, малая теорема Ферма как частный случай, доказательство (аналогично 4 доказательству малой теоремы Ферма, через обратимые остатки и их перемножение).<br><br />
Алгоритм кодирования с открытым ключом RSA: определение, корректность кодирования и декодирования, устойчивость к атакам.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.162-167<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/fX6Q_FMRE-I_Zg Лекции по криптографии] (тут довольно хорошо объяснен алгоритм RSA и еще много что)<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|Графы: определение (V,E), множество вершин, множество ребер, изолированная вершина, степень вершины, способы задания графов (матрица смежности, матрица инцидентности, список смежности).<br><br />
Формула 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>).<br><br />
Маршрут, путь, простой путь, расстояние между вершинами (длина кратчайшего пути), диаметр графа (самое большое расстояние между вершинами).<br><br />
Цикл, простой цикл.<br><br />
Связный граф, компонента связности.<br><br />
Оценка: количество компонент связности ≥ |V|-|E|.<br><br />
Следствие: для поиска самого тяжелого камня среди n камней необходимо n-1 взвешивание.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.95-118<br><br />
<br />
|-<br />
|25.11.2022<br />
|Деревья: (четыре определения и их эквивалентность) связный граф с V-1 ребром; минимальный связный граф; связный ациклический граф; граф, между любыми двумя вершинами которого существует единственный путь.<br><br />
''Дополнительно:'' бинарное дерево поиска: поиск элемента, добавление элемента, удаление элемента, поиск следующего и предшествующего элементов.<br><br />
Существование у произвольного дерева по крайней мере двух листьев (два доказательства: через формулу 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>) и через максимально удаленные вершины).<br><br />
Остовное дерево связного графа, возможность удаления из связного графа вершины вместе с ребрами без потери связности.<br><br />
Правильная раскраска: определение, примеры, критерий 2-раскрашиваемости графа (отсутствие циклов нечетной длины).<br><br />
''Дополнительно:'' алгоритмы поиска в ширину (BFS) и глубину (DFS).<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.118-123<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/XDNEDxyuccjLGA Т.Кормен и др. «Алгоритмы Построение и Анализ» стр 316-322, 607-663]<br />
<br />
|-<br />
|02.12.2022<br />
|Жадные алгоритмы: алгоритмы, оптимизирующие некоторый параметр на '''каждом''' шаге, примеры (задача о рюкзаке в дискретном и непрерывном вариантах, задача о поиске минимального остовного дерева, задача о загруженности аудитории).<br><br />
Эйлеровы циклы и пути: цикл (путь) проходящий по каждому ребру графа ровно один раз, критерии наличия Эйлерова цикла (пути) в неориентированном и ориентированном графах.<br><br />
Гамильтоновы циклы и пути: цикл (путь) проходящий через каждую вершину графа ровно один раз, отсутствие критерия, NP-полнота задачи о поиске Гамильтонова цикла в графе, теорема Оре.<br><br />
Чуть-чуть логики: формализация метода доказательства с помощью правила контрапозиции и метода доказательства от противного.<br />
|}<br />
<br />
== Семинары ==<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/N5V4VaIkLVTajg Комбинаторика-1]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/DDB7KcxEXg3-6A Комбинаторика-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/QXW6c4tUxwjV4g Комбинаторика-3]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/lfhWkTgRJPvbGw Числа Фибоначчи, Индукция]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/I1VBzSGylBSUtw Числа Фибоначчи-2, Индукция-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/6ZeDU1zdCnlBog Системы счисления]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/pC1rFQaRgrr5KA Делимость и Вычеты]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/iGuukuYtT4O1iQ Расширенный алгоритм Евклида, малая теорема Ферма]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/yGSOYGTeGLBJVg Малая теорема Ферма, Китайская теорема об остатках]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KjQpX2s2Vj8ITw Теорема Эйлера]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/OOaz4DVxqMuUkg Графы-1]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KiTGSNoG6VM_Hg Деревья, правильные раскраски]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KE1u7QBFzIgkcA Эйлеровы и Гамильтоновы циклы и пути]<br />
<br />
== Домашние задания ==<br />
'''В ДЗ-8 появилась бонусная задача на бинарные деревья поиска. Ссылку на книгу по теме можно найти в допматериалах к последней лекции.'''<br />
<br />
'''Правила сдачи ДЗ''': решения задач из домашнего задания оформляются письменно, первый лист работы подписывается, только ответы не проверяются, должно присутствовать ''полное рассуждение'', затем текст сканируется, файл называется в соответствии с ФИО студента (например, SysoevaLN.pdf) и отправляется на проверку (ссылку на загрузку см. в таблице ниже).<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дедлайн<br />
!Домашнее задание<br />
!Ссылка на загрузку файла<br />
!Решения и критерии<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/WeEzyM70AzqNtw Домашнее задание №1]<br />
|[https://www.dropbox.com/request/cGNCtS3rrJoiE6NGCrz9 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/lmtlr4mP41Iy-Q Решения ДЗ-1]<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/87IgAYKMLGbEyA Домашнее задание №2]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/_yELwtWaJS4RMA Решения ДЗ-2]<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/Yy6-_Hda1UEQLg Домашнее задание №3]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/-VioO1CArRXPEA Решения ДЗ-3]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/aofNsKB9AMhONA Домашнее задание №4]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/JVpDIULhuGcJfA Решения ДЗ-4]<br />
<br />
|-<br />
|4.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/V62t0PGwzQmJoA Домашнее задание №5]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/S-0Dkekb9_o1aQ Решения ДЗ-5]<br />
<br />
|-<br />
|12.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/ZtHuki9PQHV5Cg Домашнее задание №6]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/nmYHFgM2kiZtdg Решения ДЗ-6]<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/X6LCkozybxDH7w Домашнее задание №7]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/9WINMpnYoD5uRw Решения ДЗ-7]<br />
<br />
|-<br />
|27.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/FjywLphzBhL0Xw Домашнее задание №8]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|<br />
<br />
|-<br />
|4.12.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/WRZnhkUVF8mXJA Домашнее задание №9]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|<br />
<br />
|}</div>Любовь Сысоеваhttp://math-info.hse.ru/wiki2022-23/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B8%D0%B3%D1%80&diff=450Теория игр2022-12-03T17:54:12Z<p>Любовь Сысоева: /* Экзамен */</p>
<hr />
<div>'''Дорогие студенты!'''<br />
<br />
На этой странице будут появляться различные материалы и объявления, связанные с курсом '''«Теория игр»''', читаемого для студентов 3-го курса ОП Политология в '''2022/2023''' учебном году. <br />
<br />
* Лекции читает: Сысоева Любовь Николаевна lsysoeva@hse.ru, telegram @lsysoeva<br />
* Семинары (201 и 203): Паршина Анастасия Алексеевна a.a.parshina@ya.ru, telegram @aaparshina<br />
* Семинары (202 и 204): Краснокутская Александра Львовна al.krasnokutskaya@gmail.com<br />
* Ассистенты: Арзуманян Артур telegram @artshic и Крипайтис Кирилл telegram @ppppprik<br />
<br />
''Формула итоговой оценки'':<br />
О<sub>Итоговая</sub> =0,25*О<sub>Экзамен</sub> +0,25*О<sub>К/р</sub> + 0,25*О<sub>ДЗ</sub> + 0,25*О<sub>Активность</sub> , где О<sub>Активность</sub> = 0,5∗О<sub>Активность_Семинары</sub> + 0,5∗О<sub>Активность_Лекции</sub><br />
<br />
Оценки за Экзамен, КР, ДЗ, Активность являются целыми числами (округление по правилам арифметики), оценки Активность_Семинары и Активность_Лекции не округляются.<br />
<br />
== Экзамен ==<br />
Экзамен состоится 21го декабря в 11:00 по адресу Мясницкая д.20.<br />
<br />
В экзамен может войти любая тема, рассмотренная на курсе.<br />
Особое внимание стоит уделить Байесовым играм и играм с несовершенной информацией.<br />
<br />
Задавайте вопросы на семинарах, просите консультации и дополнительные задачи!<br />
<br />
На контрольной можно пользоваться калькулятором (но не телефоном!) и '''двумя''' листами формата А4 с любыми записями с двух сторон.<br />
<br />
Демо-версии экзамена не предусмотрено в силу уникальности каждой задачи по теории игр, при подготовке стоит ориентироваться на задачи из семинаров и домашних работ.<br />
На экзамене будет 5 задач на различные темы.<br />
<br />
Если нужна консультация с лектором и вас набралось хотя бы 10 человек, пишите в телеграм @lsysoeva -- будем искать время!<br />
<br />
== Ведомости ==<br />
<br />
{|<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1fwKHS6v9XstPVA-KBLnc0yduBW8M6kdhGIYgu8-V728/edit?usp=sharing Активность 201] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1X61fBoP8Xmcw0KhJpnJa7RvvVSiKX_oGzX9iVVnvprw/edit?usp=sharing ДЗ 201]<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1yP9MbG9nTMdMNTDYSBdwVw1CBILOnQ_iWtq9_VSFm5g/edit?usp=sharing Активность 202] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1-Or4AzLTDN8BAqLAmCTXe7ikGkIteE2n0rl9L3YFDnI/edit?usp=sharing ДЗ 202]<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1z5mollNQ_6fVsg22wV6M50i1pa8g3h7D94FnZ2QLKAQ/edit?usp=sharing Активность 203] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r3Jr51DI6ZKXIjc9_DGSP6ap9hp5Cz30ixO9Bssgah0/edit?usp=sharing ДЗ 203]<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/14O560WPkH4zb1zx2v7IcHYBnSsxW3OoLscqCmwjcyqM/edit?usp=sharing Активность 204] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1LThjvW2FlgqHKGD0pfT6GCiYfK6cGASyAx-DSWdHjsA/edit?usp=sharing ДЗ 204]<br />
|}<br />
<br />
== Лекции ==<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дата лекции<br />
!тема лекции<br />
!дополнительные материалы<br />
|-<br />
|03.09.2022<br />
|Стратегические и нестратегические взаимодействия, примеры. Формализация одновременных взаимодействий в виде игр в нормальной форме. Матричная запись игр с 2 игроками, примеры. Сравнение профилей стратегий по Парето, Парето-оптимальные профили стратегий. Строго/слабо доминирующие стратегии, равновесия в строго/слабо доминирующих стратегиях.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/1 1 неделя], [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/2 2 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-1 1 неделя], [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-2 2 неделя]<br />
<br />
Алексей Савватеев <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=17176675618925890445&reqid=1662237943241960-2957665704564396072-vla1-2251-vla-l7-balancer-8080-BAL-6432&suggest_reqid=557135369158636339279440407783687&text=савватеев+теория+игр+лекция+1 Лекция 1] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=16196426250303824634&reqid=1662239129399232-15992862096193270937-vla1-2251-vla-l7-balancer-8080-BAL-61&suggest_reqid=557135369158636339291301794755819&text=савватеев+теория+игр+лекция+2 Лекция 2] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=11396199022059523635&suggest_reqid=557135369158636339291396043965073&text=савватеев+теория+игр+лекция+3 Лекция 3] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=11474602284554133982&reqid=1662239210097183-15470061965215477178-vla1-2251-vla-l7-balancer-8080-BAL-2138&suggest_reqid=557135369158636339292106870659353&text=савватеев+теория+игр+лекция+4 Лекция 4]<br />
<br />
|-<br />
|10.09.2022<br />
|Игры в нормальной форме, пример формализации игры с тремя игроками в виде нескольких матриц, примеры игр с большим количеством игроков. Равновесия, получаемые последовательным исключением строго/слабо доминируемых стратегий. Минимаксные (все против меня) и максиминные (осторожные) стратегии. Равновесие Нэша.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/2 2 неделя], [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/3 3 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-3 3-7 неделя]<br />
<br />
Алексей Савватеев <br />
[https://yandex.ru/video/preview/5743819050015473973 Лекция 5] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/7613644260134860259 Лекция 6] <br />
<br />
<br />
|-<br />
|17.09.2022<br />
|Пример игры со многими игроками (угадать среднее арифметическое всех названных чисел): максиминные и минимаксные стратегии игроков, Парето-оптимальные профили, равновесия Нэша.<br />
Смешанные стратегии, ожидаемые платежи, равновесие Нэша в смешанных стратегиях, теорема Нэша, исключение строго/слабо доминируемых стратегий с помощью смешанных стратегий.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/8 8 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-9 9-10 неделя]<br />
<br />
Алексей Савватеев <br />
[https://yandex.ru/video/preview/15857287820861354547 Лекция 10]<br />
[https://yandex.ru/video/preview/12182277885949068581 Лекция 12]<br />
<br />
|-<br />
|24.09.2022<br />
|Поиск равновесий Нэша в смешанных стратегиях, графический метод сравнения платежей игрока, проверка равновесий на устойчивость.<br />
Аукционы: примеры, свойства, сходства, различия, субъективная оценка стоимости лота и связь этой оценки со ставкой на аукционе.<br />
<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/SM5jmzWoI3qPbg Обзорная статья А.В.Савватеева про аукционы]<br />
<br />
|-<br />
|1.10.2022<br />
|Модель предвыборной конкуренции Хоттелинга-Даунса: предположения модели; случай 2 кандидатов, медианный избиратель, слабо доминирующая стратегия каждого из кандидатов, равновесие Нэша; случай 3 и более кандидатов, максимизация вероятности победы (равновесия Нэша) VS максимизация числа набранных голосов (отсутствие равновесий); случай функции распределения с линейной плотностью.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/4 4 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-3 3 неделя]<br />
<br />
[https://www.youtube.com/watch?v=jILgxeNBK_8 Маленький мультик про модель] (он есть и в переводе, но перевод мне не нравится)<br />
<br />
|-<br />
|15.10.2022<br />
|Игры с неполной информацией. Байесовы игры (типы игроков, веры игроков относительно типов других игроков, ожидаемые платежи игроков). Равновесие Байеса-Нэша.<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/2jVnCUZu8c3qqw Презентация]<br />
<br />
|В.И. Данилов. Лекции по теории игр. Препринт РЭШ, 2002. Лекция 18.<br />
<br />
А.В. Захаров. Теория игр в общественных науках. Пп. 3.1.1.–3.1.2.<br />
<br />
|-<br />
|12.11.2022<br />
|Последовательные стратегические взаимодействия: примеры, формализация в виде игры в развернутой форме (дерево игры), определение количества стратегий каждого игрока, определение количества подыгр, нахождение матрицы игры по дереву игры, поиск NE, алгоритм обратной индукции, SPNE.<br />
Теорема Цермело-Куна про существование SPNE в любой конечной (!) последовательной игре.<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/5 5-6 недели]<br><br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-14 14-15 неделя]<br><br />
Dixit A., Nalebuff B. The Art of Strategy. Chapters 2,6,7;<br><br />
А.В. Захаров. Теория игр в общественных науках. Пп. 2.1.1.–2.1.3.<br><br />
Schelling T., The Strategy of Conflict;<br><br />
В.И. Данилов. Лекции по теории игр. Препринт РЭШ, 2002. Лекция 1.<br />
<br />
<br />
|-<br />
|19.11.2022<br />
|Последовательные взаимодействия повторение: стратегии, подыгры, нахождение матрицы игры, поиск NE, поиск SPNE.<br><br />
Игры с Коммитментом: примеры последовательных игр, в которых одному из игроков выгодно взять на себя связывающее обязательство.<br><br />
Игры с несовершенной информацией: пример, определение стратегий, подыгр, SPNE.<br><br />
Байесовы игры: повторение на примере военных действий.<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/6 6 неделя]<br><br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-19 19 неделя]<br />
[https://disk.yandex.ru/i/9G0aizetfHPsDA Решение игры со странами]<br />
<br />
|-<br />
|26.11.2022<br />
|Игры с несовершенной информацией: отличие от последовательных взаимодействий с полной информацией, возможное отсутствие SPNE.<br><br />
Игры с несовершенной информацией: примеры, определение стратегий, подыгр, формирование матриц игр и подыгр, поиск NE и SPNE.<br><br />
Повторяющиеся игры: описание, примеры, единственность SPNE в случае одного NE в исходной игре и конечного количества периодов, случай нескольких NE в исходной игре, различные стратегии в повторяющейся игре, стратегии «договора».<br><br />
Повторяющаяся дилемма заключенных: различные стратегии, игра «Эволюция доверия».<br />
|[https://notdotteam.github.io/trust/ «Эволюция доверия»]<br><br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-18 18 неделя]<br><br />
В.И. Данилов. Лекции по теории игр. Стр. 73-78 (части лекций 13 и 14).<br />
<br />
|-<br />
|03.12.2022<br />
|Мэтчинги: постановка задачи; примеры множеств с двумя типами игроков, которых нужно разбить на пары.<br><br />
Предпочтения: полные, строгие, транзитивные; примеры.<br><br />
Мэтчинги: индивидуальная рациональность, парная рациональность, стабильные мэтчинги.<br><br />
Алгоритм поиска стабильных мэтчингов: алгоритм отсроченного принятия решений.<br><br />
Свойства мэтчингов, полученных в результате выполнения алгоритма: стабильность; это лучший стабильный мэтчинг для каждого из агентов, которые делали предложения, и худший для другой группы агентов.<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/9 9 неделя]<br />
<br />
|}<br />
<br />
== Семинары ==<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/VJs13h-QQVdS4Q Стратегические взаимодействия, игра в нормальной форме, Парето-оптимальность, доминирующие стратегии]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/BLF_B64Yreeb5g Доминируемые стратегии, минимакс, максимин, равновесие Нэша]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/_8VqIZzRSgxlzg Help01]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/7OPbE-e9h4c9dQ Смешанные стратегии и равновесие Нэша в смешанных стратегиях]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/01xPQDvVhuvCBA Help02]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/SGNtqPl_ksiAww Help03]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/O8m8B9K_OxLX8g Модель Хотеллинга-Даунса]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/4qu6gAoZ745GcQ Байесовы игры]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/hn4SNNdq272o_w Help04]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/a0Sisz-HMHVBcw Повторение]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/Tm_SE29-ftPNrQ Лыжники (Help05)]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/Z34sjCItue8wHg Игры в развернутой форме]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/j6HnPuTFEhx9Ug Игры с несовершенной информацией]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/lhL6Etimyaoj_Q Косичка (Help06)]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/rg3hM_cdhIxRzg Повторение]<br />
<br />
== Домашние задания ==<br />
<br />
'''Обратите внимание на турнир!'''<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дедлайн<br />
!файл с заданием<br />
!форма для ответов<br />
|-<br />
|12.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/xPpKHVGXmieNBQ Домашнее задание 1]<br />
|[https://forms.gle/RTdRLZcvNvzpbvyE6 Форма ДЗ-1]<br />
<br />
|-<br />
|19.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/kfMYJkB1iiF_gg Домашнее задание 2]<br />
|[https://forms.gle/oGyY8FSbfeEsYXsv9 Форма ДЗ-2]<br />
<br />
|-<br />
|29.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/nDAZ3wFDfKM4sQ Домашнее задание 3]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSeRf1IbDEzwrjCflHxsekd7ZI5utTqYz-OR53LgnEjY1oGDQw/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-3]<br />
<br />
|-<br />
|9.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/f1cjdiDeUcbq-w Домашнее задание 4]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdFHp3iv9EzMKNvRbNC3YwAWiWOiAkpA8Q7tIrL8qjPQRXf2Q/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-4]<br />
<br />
|-<br />
|16.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/5Sdsj6-1EC-JEQ Домашнее задание 5]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSfFhfclBc8Ts8trQXyOnugxdB-cMF1Zs1weT81Mr82dMjNJwA/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-5]<br />
<br />
|-<br />
|31.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/QpypS8qdocQI_w Турнир 2]<br />
|<br />
<br />
|-<br />
|16.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/AMS9JEJQ6M8Avw Домашнее задание 6]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdL5yClVlgNVRp6Eiu9izN1_sfjI2vZyzxaa8GlYy8kSl0R9A/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-6]<br />
<br />
|-<br />
|26.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/GK3pnapp0_H_wA Домашнее задание 7]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdM1lS-RAwM1Lg3XWLYvN5kUEXgQ2ozvWjOUlUyKOtVMrii6w/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-7]<br />
<br />
|-<br />
|6.12.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/rkYd9uJ_1zf05w Домашнее задание 8]<br />
|<br />
<br />
|-<br />
|18.12.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/PmoAZZ4qNKCp2w Турнир 3]<br />
|<br />
|}</div>Любовь Сысоеваhttp://math-info.hse.ru/wiki2022-23/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B8%D0%B3%D1%80&diff=449Теория игр2022-12-03T17:52:16Z<p>Любовь Сысоева: /* Контрольная работа */</p>
<hr />
<div>'''Дорогие студенты!'''<br />
<br />
На этой странице будут появляться различные материалы и объявления, связанные с курсом '''«Теория игр»''', читаемого для студентов 3-го курса ОП Политология в '''2022/2023''' учебном году. <br />
<br />
* Лекции читает: Сысоева Любовь Николаевна lsysoeva@hse.ru, telegram @lsysoeva<br />
* Семинары (201 и 203): Паршина Анастасия Алексеевна a.a.parshina@ya.ru, telegram @aaparshina<br />
* Семинары (202 и 204): Краснокутская Александра Львовна al.krasnokutskaya@gmail.com<br />
* Ассистенты: Арзуманян Артур telegram @artshic и Крипайтис Кирилл telegram @ppppprik<br />
<br />
''Формула итоговой оценки'':<br />
О<sub>Итоговая</sub> =0,25*О<sub>Экзамен</sub> +0,25*О<sub>К/р</sub> + 0,25*О<sub>ДЗ</sub> + 0,25*О<sub>Активность</sub> , где О<sub>Активность</sub> = 0,5∗О<sub>Активность_Семинары</sub> + 0,5∗О<sub>Активность_Лекции</sub><br />
<br />
Оценки за Экзамен, КР, ДЗ, Активность являются целыми числами (округление по правилам арифметики), оценки Активность_Семинары и Активность_Лекции не округляются.<br />
<br />
== Экзамен ==<br />
Экзамен состоится 21го декабря в 11:00 по адресу Мясницкая д.20.<br />
<br />
В экзамен может войти любая тема, рассмотренная на курсе.<br />
Особое внимание стоит уделить Байесовым играм и играм с несовершенной информацией.<br />
<br />
Задавайте вопросы на семинарах, просите консультации и дополнительные задачи!<br />
<br />
На контрольной можно пользоваться калькулятором (но не телефоном!) и '''двумя''' листами формата А4 с любыми записями с двух сторон.<br />
<br />
Демо-версии экзамена не предусмотрено в силу уникальности каждой задачи по теории игр, при подготовке стоит ориентироваться на задачи из семинаров и домашних работ.<br />
На экзамене будет 5 задач на различные темы.<br />
<br />
== Ведомости ==<br />
<br />
{|<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1fwKHS6v9XstPVA-KBLnc0yduBW8M6kdhGIYgu8-V728/edit?usp=sharing Активность 201] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1X61fBoP8Xmcw0KhJpnJa7RvvVSiKX_oGzX9iVVnvprw/edit?usp=sharing ДЗ 201]<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1yP9MbG9nTMdMNTDYSBdwVw1CBILOnQ_iWtq9_VSFm5g/edit?usp=sharing Активность 202] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1-Or4AzLTDN8BAqLAmCTXe7ikGkIteE2n0rl9L3YFDnI/edit?usp=sharing ДЗ 202]<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1z5mollNQ_6fVsg22wV6M50i1pa8g3h7D94FnZ2QLKAQ/edit?usp=sharing Активность 203] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r3Jr51DI6ZKXIjc9_DGSP6ap9hp5Cz30ixO9Bssgah0/edit?usp=sharing ДЗ 203]<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/14O560WPkH4zb1zx2v7IcHYBnSsxW3OoLscqCmwjcyqM/edit?usp=sharing Активность 204] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1LThjvW2FlgqHKGD0pfT6GCiYfK6cGASyAx-DSWdHjsA/edit?usp=sharing ДЗ 204]<br />
|}<br />
<br />
== Лекции ==<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дата лекции<br />
!тема лекции<br />
!дополнительные материалы<br />
|-<br />
|03.09.2022<br />
|Стратегические и нестратегические взаимодействия, примеры. Формализация одновременных взаимодействий в виде игр в нормальной форме. Матричная запись игр с 2 игроками, примеры. Сравнение профилей стратегий по Парето, Парето-оптимальные профили стратегий. Строго/слабо доминирующие стратегии, равновесия в строго/слабо доминирующих стратегиях.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/1 1 неделя], [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/2 2 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-1 1 неделя], [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-2 2 неделя]<br />
<br />
Алексей Савватеев <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=17176675618925890445&reqid=1662237943241960-2957665704564396072-vla1-2251-vla-l7-balancer-8080-BAL-6432&suggest_reqid=557135369158636339279440407783687&text=савватеев+теория+игр+лекция+1 Лекция 1] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=16196426250303824634&reqid=1662239129399232-15992862096193270937-vla1-2251-vla-l7-balancer-8080-BAL-61&suggest_reqid=557135369158636339291301794755819&text=савватеев+теория+игр+лекция+2 Лекция 2] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=11396199022059523635&suggest_reqid=557135369158636339291396043965073&text=савватеев+теория+игр+лекция+3 Лекция 3] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=11474602284554133982&reqid=1662239210097183-15470061965215477178-vla1-2251-vla-l7-balancer-8080-BAL-2138&suggest_reqid=557135369158636339292106870659353&text=савватеев+теория+игр+лекция+4 Лекция 4]<br />
<br />
|-<br />
|10.09.2022<br />
|Игры в нормальной форме, пример формализации игры с тремя игроками в виде нескольких матриц, примеры игр с большим количеством игроков. Равновесия, получаемые последовательным исключением строго/слабо доминируемых стратегий. Минимаксные (все против меня) и максиминные (осторожные) стратегии. Равновесие Нэша.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/2 2 неделя], [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/3 3 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-3 3-7 неделя]<br />
<br />
Алексей Савватеев <br />
[https://yandex.ru/video/preview/5743819050015473973 Лекция 5] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/7613644260134860259 Лекция 6] <br />
<br />
<br />
|-<br />
|17.09.2022<br />
|Пример игры со многими игроками (угадать среднее арифметическое всех названных чисел): максиминные и минимаксные стратегии игроков, Парето-оптимальные профили, равновесия Нэша.<br />
Смешанные стратегии, ожидаемые платежи, равновесие Нэша в смешанных стратегиях, теорема Нэша, исключение строго/слабо доминируемых стратегий с помощью смешанных стратегий.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/8 8 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-9 9-10 неделя]<br />
<br />
Алексей Савватеев <br />
[https://yandex.ru/video/preview/15857287820861354547 Лекция 10]<br />
[https://yandex.ru/video/preview/12182277885949068581 Лекция 12]<br />
<br />
|-<br />
|24.09.2022<br />
|Поиск равновесий Нэша в смешанных стратегиях, графический метод сравнения платежей игрока, проверка равновесий на устойчивость.<br />
Аукционы: примеры, свойства, сходства, различия, субъективная оценка стоимости лота и связь этой оценки со ставкой на аукционе.<br />
<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/SM5jmzWoI3qPbg Обзорная статья А.В.Савватеева про аукционы]<br />
<br />
|-<br />
|1.10.2022<br />
|Модель предвыборной конкуренции Хоттелинга-Даунса: предположения модели; случай 2 кандидатов, медианный избиратель, слабо доминирующая стратегия каждого из кандидатов, равновесие Нэша; случай 3 и более кандидатов, максимизация вероятности победы (равновесия Нэша) VS максимизация числа набранных голосов (отсутствие равновесий); случай функции распределения с линейной плотностью.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/4 4 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-3 3 неделя]<br />
<br />
[https://www.youtube.com/watch?v=jILgxeNBK_8 Маленький мультик про модель] (он есть и в переводе, но перевод мне не нравится)<br />
<br />
|-<br />
|15.10.2022<br />
|Игры с неполной информацией. Байесовы игры (типы игроков, веры игроков относительно типов других игроков, ожидаемые платежи игроков). Равновесие Байеса-Нэша.<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/2jVnCUZu8c3qqw Презентация]<br />
<br />
|В.И. Данилов. Лекции по теории игр. Препринт РЭШ, 2002. Лекция 18.<br />
<br />
А.В. Захаров. Теория игр в общественных науках. Пп. 3.1.1.–3.1.2.<br />
<br />
|-<br />
|12.11.2022<br />
|Последовательные стратегические взаимодействия: примеры, формализация в виде игры в развернутой форме (дерево игры), определение количества стратегий каждого игрока, определение количества подыгр, нахождение матрицы игры по дереву игры, поиск NE, алгоритм обратной индукции, SPNE.<br />
Теорема Цермело-Куна про существование SPNE в любой конечной (!) последовательной игре.<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/5 5-6 недели]<br><br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-14 14-15 неделя]<br><br />
Dixit A., Nalebuff B. The Art of Strategy. Chapters 2,6,7;<br><br />
А.В. Захаров. Теория игр в общественных науках. Пп. 2.1.1.–2.1.3.<br><br />
Schelling T., The Strategy of Conflict;<br><br />
В.И. Данилов. Лекции по теории игр. Препринт РЭШ, 2002. Лекция 1.<br />
<br />
<br />
|-<br />
|19.11.2022<br />
|Последовательные взаимодействия повторение: стратегии, подыгры, нахождение матрицы игры, поиск NE, поиск SPNE.<br><br />
Игры с Коммитментом: примеры последовательных игр, в которых одному из игроков выгодно взять на себя связывающее обязательство.<br><br />
Игры с несовершенной информацией: пример, определение стратегий, подыгр, SPNE.<br><br />
Байесовы игры: повторение на примере военных действий.<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/6 6 неделя]<br><br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-19 19 неделя]<br />
[https://disk.yandex.ru/i/9G0aizetfHPsDA Решение игры со странами]<br />
<br />
|-<br />
|26.11.2022<br />
|Игры с несовершенной информацией: отличие от последовательных взаимодействий с полной информацией, возможное отсутствие SPNE.<br><br />
Игры с несовершенной информацией: примеры, определение стратегий, подыгр, формирование матриц игр и подыгр, поиск NE и SPNE.<br><br />
Повторяющиеся игры: описание, примеры, единственность SPNE в случае одного NE в исходной игре и конечного количества периодов, случай нескольких NE в исходной игре, различные стратегии в повторяющейся игре, стратегии «договора».<br><br />
Повторяющаяся дилемма заключенных: различные стратегии, игра «Эволюция доверия».<br />
|[https://notdotteam.github.io/trust/ «Эволюция доверия»]<br><br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-18 18 неделя]<br><br />
В.И. Данилов. Лекции по теории игр. Стр. 73-78 (части лекций 13 и 14).<br />
<br />
|-<br />
|03.12.2022<br />
|Мэтчинги: постановка задачи; примеры множеств с двумя типами игроков, которых нужно разбить на пары.<br><br />
Предпочтения: полные, строгие, транзитивные; примеры.<br><br />
Мэтчинги: индивидуальная рациональность, парная рациональность, стабильные мэтчинги.<br><br />
Алгоритм поиска стабильных мэтчингов: алгоритм отсроченного принятия решений.<br><br />
Свойства мэтчингов, полученных в результате выполнения алгоритма: стабильность; это лучший стабильный мэтчинг для каждого из агентов, которые делали предложения, и худший для другой группы агентов.<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/9 9 неделя]<br />
<br />
|}<br />
<br />
== Семинары ==<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/VJs13h-QQVdS4Q Стратегические взаимодействия, игра в нормальной форме, Парето-оптимальность, доминирующие стратегии]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/BLF_B64Yreeb5g Доминируемые стратегии, минимакс, максимин, равновесие Нэша]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/_8VqIZzRSgxlzg Help01]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/7OPbE-e9h4c9dQ Смешанные стратегии и равновесие Нэша в смешанных стратегиях]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/01xPQDvVhuvCBA Help02]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/SGNtqPl_ksiAww Help03]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/O8m8B9K_OxLX8g Модель Хотеллинга-Даунса]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/4qu6gAoZ745GcQ Байесовы игры]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/hn4SNNdq272o_w Help04]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/a0Sisz-HMHVBcw Повторение]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/Tm_SE29-ftPNrQ Лыжники (Help05)]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/Z34sjCItue8wHg Игры в развернутой форме]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/j6HnPuTFEhx9Ug Игры с несовершенной информацией]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/lhL6Etimyaoj_Q Косичка (Help06)]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/rg3hM_cdhIxRzg Повторение]<br />
<br />
== Домашние задания ==<br />
<br />
'''Обратите внимание на турнир!'''<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дедлайн<br />
!файл с заданием<br />
!форма для ответов<br />
|-<br />
|12.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/xPpKHVGXmieNBQ Домашнее задание 1]<br />
|[https://forms.gle/RTdRLZcvNvzpbvyE6 Форма ДЗ-1]<br />
<br />
|-<br />
|19.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/kfMYJkB1iiF_gg Домашнее задание 2]<br />
|[https://forms.gle/oGyY8FSbfeEsYXsv9 Форма ДЗ-2]<br />
<br />
|-<br />
|29.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/nDAZ3wFDfKM4sQ Домашнее задание 3]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSeRf1IbDEzwrjCflHxsekd7ZI5utTqYz-OR53LgnEjY1oGDQw/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-3]<br />
<br />
|-<br />
|9.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/f1cjdiDeUcbq-w Домашнее задание 4]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdFHp3iv9EzMKNvRbNC3YwAWiWOiAkpA8Q7tIrL8qjPQRXf2Q/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-4]<br />
<br />
|-<br />
|16.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/5Sdsj6-1EC-JEQ Домашнее задание 5]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSfFhfclBc8Ts8trQXyOnugxdB-cMF1Zs1weT81Mr82dMjNJwA/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-5]<br />
<br />
|-<br />
|31.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/QpypS8qdocQI_w Турнир 2]<br />
|<br />
<br />
|-<br />
|16.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/AMS9JEJQ6M8Avw Домашнее задание 6]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdL5yClVlgNVRp6Eiu9izN1_sfjI2vZyzxaa8GlYy8kSl0R9A/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-6]<br />
<br />
|-<br />
|26.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/GK3pnapp0_H_wA Домашнее задание 7]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdM1lS-RAwM1Lg3XWLYvN5kUEXgQ2ozvWjOUlUyKOtVMrii6w/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-7]<br />
<br />
|-<br />
|6.12.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/rkYd9uJ_1zf05w Домашнее задание 8]<br />
|<br />
<br />
|-<br />
|18.12.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/PmoAZZ4qNKCp2w Турнир 3]<br />
|<br />
|}</div>Любовь Сысоеваhttp://math-info.hse.ru/wiki2022-23/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B8%D0%B3%D1%80&diff=448Теория игр2022-12-03T17:44:59Z<p>Любовь Сысоева: /* Домашние задания */</p>
<hr />
<div>'''Дорогие студенты!'''<br />
<br />
На этой странице будут появляться различные материалы и объявления, связанные с курсом '''«Теория игр»''', читаемого для студентов 3-го курса ОП Политология в '''2022/2023''' учебном году. <br />
<br />
* Лекции читает: Сысоева Любовь Николаевна lsysoeva@hse.ru, telegram @lsysoeva<br />
* Семинары (201 и 203): Паршина Анастасия Алексеевна a.a.parshina@ya.ru, telegram @aaparshina<br />
* Семинары (202 и 204): Краснокутская Александра Львовна al.krasnokutskaya@gmail.com<br />
* Ассистенты: Арзуманян Артур telegram @artshic и Крипайтис Кирилл telegram @ppppprik<br />
<br />
''Формула итоговой оценки'':<br />
О<sub>Итоговая</sub> =0,25*О<sub>Экзамен</sub> +0,25*О<sub>К/р</sub> + 0,25*О<sub>ДЗ</sub> + 0,25*О<sub>Активность</sub> , где О<sub>Активность</sub> = 0,5∗О<sub>Активность_Семинары</sub> + 0,5∗О<sub>Активность_Лекции</sub><br />
<br />
Оценки за Экзамен, КР, ДЗ, Активность являются целыми числами (округление по правилам арифметики), оценки Активность_Семинары и Активность_Лекции не округляются.<br />
<br />
== Контрольная работа ==<br />
Контрольная работа состоится 5го ноября в 11:00 по адресу Мясницкая д.11.<br />
<br />
В контрольную войдут все темы, рассмотренные в первом модуле на семинарах и в домашних работах.<br />
<br />
Если нужны будут дополнительные задачи для тренировки на какую-то конкретную тему, пишите в телеграм @lsysoeva, выложу одну-две задачи в дополнение.<br />
<br />
На контрольной можно пользоваться калькулятором (но не телефоном!) и собственным листом формата А4 с любыми записями с двух сторон.<br />
<br />
Демо-версии контрольной не предусмотрено в силу уникальности каждой задачи по теории игр, при подготовке стоит ориентироваться на задачи из семинаров и домашних работ.<br />
<br />
== Ведомости ==<br />
<br />
{|<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1fwKHS6v9XstPVA-KBLnc0yduBW8M6kdhGIYgu8-V728/edit?usp=sharing Активность 201] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1X61fBoP8Xmcw0KhJpnJa7RvvVSiKX_oGzX9iVVnvprw/edit?usp=sharing ДЗ 201]<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1yP9MbG9nTMdMNTDYSBdwVw1CBILOnQ_iWtq9_VSFm5g/edit?usp=sharing Активность 202] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1-Or4AzLTDN8BAqLAmCTXe7ikGkIteE2n0rl9L3YFDnI/edit?usp=sharing ДЗ 202]<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1z5mollNQ_6fVsg22wV6M50i1pa8g3h7D94FnZ2QLKAQ/edit?usp=sharing Активность 203] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r3Jr51DI6ZKXIjc9_DGSP6ap9hp5Cz30ixO9Bssgah0/edit?usp=sharing ДЗ 203]<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/14O560WPkH4zb1zx2v7IcHYBnSsxW3OoLscqCmwjcyqM/edit?usp=sharing Активность 204] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1LThjvW2FlgqHKGD0pfT6GCiYfK6cGASyAx-DSWdHjsA/edit?usp=sharing ДЗ 204]<br />
|}<br />
<br />
== Лекции ==<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дата лекции<br />
!тема лекции<br />
!дополнительные материалы<br />
|-<br />
|03.09.2022<br />
|Стратегические и нестратегические взаимодействия, примеры. Формализация одновременных взаимодействий в виде игр в нормальной форме. Матричная запись игр с 2 игроками, примеры. Сравнение профилей стратегий по Парето, Парето-оптимальные профили стратегий. Строго/слабо доминирующие стратегии, равновесия в строго/слабо доминирующих стратегиях.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/1 1 неделя], [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/2 2 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-1 1 неделя], [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-2 2 неделя]<br />
<br />
Алексей Савватеев <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=17176675618925890445&reqid=1662237943241960-2957665704564396072-vla1-2251-vla-l7-balancer-8080-BAL-6432&suggest_reqid=557135369158636339279440407783687&text=савватеев+теория+игр+лекция+1 Лекция 1] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=16196426250303824634&reqid=1662239129399232-15992862096193270937-vla1-2251-vla-l7-balancer-8080-BAL-61&suggest_reqid=557135369158636339291301794755819&text=савватеев+теория+игр+лекция+2 Лекция 2] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=11396199022059523635&suggest_reqid=557135369158636339291396043965073&text=савватеев+теория+игр+лекция+3 Лекция 3] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=11474602284554133982&reqid=1662239210097183-15470061965215477178-vla1-2251-vla-l7-balancer-8080-BAL-2138&suggest_reqid=557135369158636339292106870659353&text=савватеев+теория+игр+лекция+4 Лекция 4]<br />
<br />
|-<br />
|10.09.2022<br />
|Игры в нормальной форме, пример формализации игры с тремя игроками в виде нескольких матриц, примеры игр с большим количеством игроков. Равновесия, получаемые последовательным исключением строго/слабо доминируемых стратегий. Минимаксные (все против меня) и максиминные (осторожные) стратегии. Равновесие Нэша.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/2 2 неделя], [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/3 3 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-3 3-7 неделя]<br />
<br />
Алексей Савватеев <br />
[https://yandex.ru/video/preview/5743819050015473973 Лекция 5] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/7613644260134860259 Лекция 6] <br />
<br />
<br />
|-<br />
|17.09.2022<br />
|Пример игры со многими игроками (угадать среднее арифметическое всех названных чисел): максиминные и минимаксные стратегии игроков, Парето-оптимальные профили, равновесия Нэша.<br />
Смешанные стратегии, ожидаемые платежи, равновесие Нэша в смешанных стратегиях, теорема Нэша, исключение строго/слабо доминируемых стратегий с помощью смешанных стратегий.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/8 8 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-9 9-10 неделя]<br />
<br />
Алексей Савватеев <br />
[https://yandex.ru/video/preview/15857287820861354547 Лекция 10]<br />
[https://yandex.ru/video/preview/12182277885949068581 Лекция 12]<br />
<br />
|-<br />
|24.09.2022<br />
|Поиск равновесий Нэша в смешанных стратегиях, графический метод сравнения платежей игрока, проверка равновесий на устойчивость.<br />
Аукционы: примеры, свойства, сходства, различия, субъективная оценка стоимости лота и связь этой оценки со ставкой на аукционе.<br />
<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/SM5jmzWoI3qPbg Обзорная статья А.В.Савватеева про аукционы]<br />
<br />
|-<br />
|1.10.2022<br />
|Модель предвыборной конкуренции Хоттелинга-Даунса: предположения модели; случай 2 кандидатов, медианный избиратель, слабо доминирующая стратегия каждого из кандидатов, равновесие Нэша; случай 3 и более кандидатов, максимизация вероятности победы (равновесия Нэша) VS максимизация числа набранных голосов (отсутствие равновесий); случай функции распределения с линейной плотностью.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/4 4 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-3 3 неделя]<br />
<br />
[https://www.youtube.com/watch?v=jILgxeNBK_8 Маленький мультик про модель] (он есть и в переводе, но перевод мне не нравится)<br />
<br />
|-<br />
|15.10.2022<br />
|Игры с неполной информацией. Байесовы игры (типы игроков, веры игроков относительно типов других игроков, ожидаемые платежи игроков). Равновесие Байеса-Нэша.<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/2jVnCUZu8c3qqw Презентация]<br />
<br />
|В.И. Данилов. Лекции по теории игр. Препринт РЭШ, 2002. Лекция 18.<br />
<br />
А.В. Захаров. Теория игр в общественных науках. Пп. 3.1.1.–3.1.2.<br />
<br />
|-<br />
|12.11.2022<br />
|Последовательные стратегические взаимодействия: примеры, формализация в виде игры в развернутой форме (дерево игры), определение количества стратегий каждого игрока, определение количества подыгр, нахождение матрицы игры по дереву игры, поиск NE, алгоритм обратной индукции, SPNE.<br />
Теорема Цермело-Куна про существование SPNE в любой конечной (!) последовательной игре.<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/5 5-6 недели]<br><br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-14 14-15 неделя]<br><br />
Dixit A., Nalebuff B. The Art of Strategy. Chapters 2,6,7;<br><br />
А.В. Захаров. Теория игр в общественных науках. Пп. 2.1.1.–2.1.3.<br><br />
Schelling T., The Strategy of Conflict;<br><br />
В.И. Данилов. Лекции по теории игр. Препринт РЭШ, 2002. Лекция 1.<br />
<br />
<br />
|-<br />
|19.11.2022<br />
|Последовательные взаимодействия повторение: стратегии, подыгры, нахождение матрицы игры, поиск NE, поиск SPNE.<br><br />
Игры с Коммитментом: примеры последовательных игр, в которых одному из игроков выгодно взять на себя связывающее обязательство.<br><br />
Игры с несовершенной информацией: пример, определение стратегий, подыгр, SPNE.<br><br />
Байесовы игры: повторение на примере военных действий.<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/6 6 неделя]<br><br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-19 19 неделя]<br />
[https://disk.yandex.ru/i/9G0aizetfHPsDA Решение игры со странами]<br />
<br />
|-<br />
|26.11.2022<br />
|Игры с несовершенной информацией: отличие от последовательных взаимодействий с полной информацией, возможное отсутствие SPNE.<br><br />
Игры с несовершенной информацией: примеры, определение стратегий, подыгр, формирование матриц игр и подыгр, поиск NE и SPNE.<br><br />
Повторяющиеся игры: описание, примеры, единственность SPNE в случае одного NE в исходной игре и конечного количества периодов, случай нескольких NE в исходной игре, различные стратегии в повторяющейся игре, стратегии «договора».<br><br />
Повторяющаяся дилемма заключенных: различные стратегии, игра «Эволюция доверия».<br />
|[https://notdotteam.github.io/trust/ «Эволюция доверия»]<br><br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-18 18 неделя]<br><br />
В.И. Данилов. Лекции по теории игр. Стр. 73-78 (части лекций 13 и 14).<br />
<br />
|-<br />
|03.12.2022<br />
|Мэтчинги: постановка задачи; примеры множеств с двумя типами игроков, которых нужно разбить на пары.<br><br />
Предпочтения: полные, строгие, транзитивные; примеры.<br><br />
Мэтчинги: индивидуальная рациональность, парная рациональность, стабильные мэтчинги.<br><br />
Алгоритм поиска стабильных мэтчингов: алгоритм отсроченного принятия решений.<br><br />
Свойства мэтчингов, полученных в результате выполнения алгоритма: стабильность; это лучший стабильный мэтчинг для каждого из агентов, которые делали предложения, и худший для другой группы агентов.<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/9 9 неделя]<br />
<br />
|}<br />
<br />
== Семинары ==<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/VJs13h-QQVdS4Q Стратегические взаимодействия, игра в нормальной форме, Парето-оптимальность, доминирующие стратегии]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/BLF_B64Yreeb5g Доминируемые стратегии, минимакс, максимин, равновесие Нэша]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/_8VqIZzRSgxlzg Help01]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/7OPbE-e9h4c9dQ Смешанные стратегии и равновесие Нэша в смешанных стратегиях]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/01xPQDvVhuvCBA Help02]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/SGNtqPl_ksiAww Help03]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/O8m8B9K_OxLX8g Модель Хотеллинга-Даунса]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/4qu6gAoZ745GcQ Байесовы игры]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/hn4SNNdq272o_w Help04]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/a0Sisz-HMHVBcw Повторение]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/Tm_SE29-ftPNrQ Лыжники (Help05)]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/Z34sjCItue8wHg Игры в развернутой форме]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/j6HnPuTFEhx9Ug Игры с несовершенной информацией]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/lhL6Etimyaoj_Q Косичка (Help06)]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/rg3hM_cdhIxRzg Повторение]<br />
<br />
== Домашние задания ==<br />
<br />
'''Обратите внимание на турнир!'''<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дедлайн<br />
!файл с заданием<br />
!форма для ответов<br />
|-<br />
|12.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/xPpKHVGXmieNBQ Домашнее задание 1]<br />
|[https://forms.gle/RTdRLZcvNvzpbvyE6 Форма ДЗ-1]<br />
<br />
|-<br />
|19.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/kfMYJkB1iiF_gg Домашнее задание 2]<br />
|[https://forms.gle/oGyY8FSbfeEsYXsv9 Форма ДЗ-2]<br />
<br />
|-<br />
|29.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/nDAZ3wFDfKM4sQ Домашнее задание 3]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSeRf1IbDEzwrjCflHxsekd7ZI5utTqYz-OR53LgnEjY1oGDQw/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-3]<br />
<br />
|-<br />
|9.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/f1cjdiDeUcbq-w Домашнее задание 4]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdFHp3iv9EzMKNvRbNC3YwAWiWOiAkpA8Q7tIrL8qjPQRXf2Q/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-4]<br />
<br />
|-<br />
|16.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/5Sdsj6-1EC-JEQ Домашнее задание 5]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSfFhfclBc8Ts8trQXyOnugxdB-cMF1Zs1weT81Mr82dMjNJwA/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-5]<br />
<br />
|-<br />
|31.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/QpypS8qdocQI_w Турнир 2]<br />
|<br />
<br />
|-<br />
|16.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/AMS9JEJQ6M8Avw Домашнее задание 6]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdL5yClVlgNVRp6Eiu9izN1_sfjI2vZyzxaa8GlYy8kSl0R9A/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-6]<br />
<br />
|-<br />
|26.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/GK3pnapp0_H_wA Домашнее задание 7]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdM1lS-RAwM1Lg3XWLYvN5kUEXgQ2ozvWjOUlUyKOtVMrii6w/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-7]<br />
<br />
|-<br />
|6.12.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/rkYd9uJ_1zf05w Домашнее задание 8]<br />
|<br />
<br />
|-<br />
|18.12.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/PmoAZZ4qNKCp2w Турнир 3]<br />
|<br />
|}</div>Любовь Сысоеваhttp://math-info.hse.ru/wiki2022-23/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B8%D0%B3%D1%80&diff=447Теория игр2022-12-03T17:43:50Z<p>Любовь Сысоева: /* Лекции */</p>
<hr />
<div>'''Дорогие студенты!'''<br />
<br />
На этой странице будут появляться различные материалы и объявления, связанные с курсом '''«Теория игр»''', читаемого для студентов 3-го курса ОП Политология в '''2022/2023''' учебном году. <br />
<br />
* Лекции читает: Сысоева Любовь Николаевна lsysoeva@hse.ru, telegram @lsysoeva<br />
* Семинары (201 и 203): Паршина Анастасия Алексеевна a.a.parshina@ya.ru, telegram @aaparshina<br />
* Семинары (202 и 204): Краснокутская Александра Львовна al.krasnokutskaya@gmail.com<br />
* Ассистенты: Арзуманян Артур telegram @artshic и Крипайтис Кирилл telegram @ppppprik<br />
<br />
''Формула итоговой оценки'':<br />
О<sub>Итоговая</sub> =0,25*О<sub>Экзамен</sub> +0,25*О<sub>К/р</sub> + 0,25*О<sub>ДЗ</sub> + 0,25*О<sub>Активность</sub> , где О<sub>Активность</sub> = 0,5∗О<sub>Активность_Семинары</sub> + 0,5∗О<sub>Активность_Лекции</sub><br />
<br />
Оценки за Экзамен, КР, ДЗ, Активность являются целыми числами (округление по правилам арифметики), оценки Активность_Семинары и Активность_Лекции не округляются.<br />
<br />
== Контрольная работа ==<br />
Контрольная работа состоится 5го ноября в 11:00 по адресу Мясницкая д.11.<br />
<br />
В контрольную войдут все темы, рассмотренные в первом модуле на семинарах и в домашних работах.<br />
<br />
Если нужны будут дополнительные задачи для тренировки на какую-то конкретную тему, пишите в телеграм @lsysoeva, выложу одну-две задачи в дополнение.<br />
<br />
На контрольной можно пользоваться калькулятором (но не телефоном!) и собственным листом формата А4 с любыми записями с двух сторон.<br />
<br />
Демо-версии контрольной не предусмотрено в силу уникальности каждой задачи по теории игр, при подготовке стоит ориентироваться на задачи из семинаров и домашних работ.<br />
<br />
== Ведомости ==<br />
<br />
{|<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1fwKHS6v9XstPVA-KBLnc0yduBW8M6kdhGIYgu8-V728/edit?usp=sharing Активность 201] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1X61fBoP8Xmcw0KhJpnJa7RvvVSiKX_oGzX9iVVnvprw/edit?usp=sharing ДЗ 201]<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1yP9MbG9nTMdMNTDYSBdwVw1CBILOnQ_iWtq9_VSFm5g/edit?usp=sharing Активность 202] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1-Or4AzLTDN8BAqLAmCTXe7ikGkIteE2n0rl9L3YFDnI/edit?usp=sharing ДЗ 202]<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1z5mollNQ_6fVsg22wV6M50i1pa8g3h7D94FnZ2QLKAQ/edit?usp=sharing Активность 203] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r3Jr51DI6ZKXIjc9_DGSP6ap9hp5Cz30ixO9Bssgah0/edit?usp=sharing ДЗ 203]<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/14O560WPkH4zb1zx2v7IcHYBnSsxW3OoLscqCmwjcyqM/edit?usp=sharing Активность 204] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1LThjvW2FlgqHKGD0pfT6GCiYfK6cGASyAx-DSWdHjsA/edit?usp=sharing ДЗ 204]<br />
|}<br />
<br />
== Лекции ==<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дата лекции<br />
!тема лекции<br />
!дополнительные материалы<br />
|-<br />
|03.09.2022<br />
|Стратегические и нестратегические взаимодействия, примеры. Формализация одновременных взаимодействий в виде игр в нормальной форме. Матричная запись игр с 2 игроками, примеры. Сравнение профилей стратегий по Парето, Парето-оптимальные профили стратегий. Строго/слабо доминирующие стратегии, равновесия в строго/слабо доминирующих стратегиях.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/1 1 неделя], [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/2 2 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-1 1 неделя], [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-2 2 неделя]<br />
<br />
Алексей Савватеев <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=17176675618925890445&reqid=1662237943241960-2957665704564396072-vla1-2251-vla-l7-balancer-8080-BAL-6432&suggest_reqid=557135369158636339279440407783687&text=савватеев+теория+игр+лекция+1 Лекция 1] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=16196426250303824634&reqid=1662239129399232-15992862096193270937-vla1-2251-vla-l7-balancer-8080-BAL-61&suggest_reqid=557135369158636339291301794755819&text=савватеев+теория+игр+лекция+2 Лекция 2] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=11396199022059523635&suggest_reqid=557135369158636339291396043965073&text=савватеев+теория+игр+лекция+3 Лекция 3] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=11474602284554133982&reqid=1662239210097183-15470061965215477178-vla1-2251-vla-l7-balancer-8080-BAL-2138&suggest_reqid=557135369158636339292106870659353&text=савватеев+теория+игр+лекция+4 Лекция 4]<br />
<br />
|-<br />
|10.09.2022<br />
|Игры в нормальной форме, пример формализации игры с тремя игроками в виде нескольких матриц, примеры игр с большим количеством игроков. Равновесия, получаемые последовательным исключением строго/слабо доминируемых стратегий. Минимаксные (все против меня) и максиминные (осторожные) стратегии. Равновесие Нэша.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/2 2 неделя], [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/3 3 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-3 3-7 неделя]<br />
<br />
Алексей Савватеев <br />
[https://yandex.ru/video/preview/5743819050015473973 Лекция 5] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/7613644260134860259 Лекция 6] <br />
<br />
<br />
|-<br />
|17.09.2022<br />
|Пример игры со многими игроками (угадать среднее арифметическое всех названных чисел): максиминные и минимаксные стратегии игроков, Парето-оптимальные профили, равновесия Нэша.<br />
Смешанные стратегии, ожидаемые платежи, равновесие Нэша в смешанных стратегиях, теорема Нэша, исключение строго/слабо доминируемых стратегий с помощью смешанных стратегий.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/8 8 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-9 9-10 неделя]<br />
<br />
Алексей Савватеев <br />
[https://yandex.ru/video/preview/15857287820861354547 Лекция 10]<br />
[https://yandex.ru/video/preview/12182277885949068581 Лекция 12]<br />
<br />
|-<br />
|24.09.2022<br />
|Поиск равновесий Нэша в смешанных стратегиях, графический метод сравнения платежей игрока, проверка равновесий на устойчивость.<br />
Аукционы: примеры, свойства, сходства, различия, субъективная оценка стоимости лота и связь этой оценки со ставкой на аукционе.<br />
<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/SM5jmzWoI3qPbg Обзорная статья А.В.Савватеева про аукционы]<br />
<br />
|-<br />
|1.10.2022<br />
|Модель предвыборной конкуренции Хоттелинга-Даунса: предположения модели; случай 2 кандидатов, медианный избиратель, слабо доминирующая стратегия каждого из кандидатов, равновесие Нэша; случай 3 и более кандидатов, максимизация вероятности победы (равновесия Нэша) VS максимизация числа набранных голосов (отсутствие равновесий); случай функции распределения с линейной плотностью.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/4 4 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-3 3 неделя]<br />
<br />
[https://www.youtube.com/watch?v=jILgxeNBK_8 Маленький мультик про модель] (он есть и в переводе, но перевод мне не нравится)<br />
<br />
|-<br />
|15.10.2022<br />
|Игры с неполной информацией. Байесовы игры (типы игроков, веры игроков относительно типов других игроков, ожидаемые платежи игроков). Равновесие Байеса-Нэша.<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/2jVnCUZu8c3qqw Презентация]<br />
<br />
|В.И. Данилов. Лекции по теории игр. Препринт РЭШ, 2002. Лекция 18.<br />
<br />
А.В. Захаров. Теория игр в общественных науках. Пп. 3.1.1.–3.1.2.<br />
<br />
|-<br />
|12.11.2022<br />
|Последовательные стратегические взаимодействия: примеры, формализация в виде игры в развернутой форме (дерево игры), определение количества стратегий каждого игрока, определение количества подыгр, нахождение матрицы игры по дереву игры, поиск NE, алгоритм обратной индукции, SPNE.<br />
Теорема Цермело-Куна про существование SPNE в любой конечной (!) последовательной игре.<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/5 5-6 недели]<br><br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-14 14-15 неделя]<br><br />
Dixit A., Nalebuff B. The Art of Strategy. Chapters 2,6,7;<br><br />
А.В. Захаров. Теория игр в общественных науках. Пп. 2.1.1.–2.1.3.<br><br />
Schelling T., The Strategy of Conflict;<br><br />
В.И. Данилов. Лекции по теории игр. Препринт РЭШ, 2002. Лекция 1.<br />
<br />
<br />
|-<br />
|19.11.2022<br />
|Последовательные взаимодействия повторение: стратегии, подыгры, нахождение матрицы игры, поиск NE, поиск SPNE.<br><br />
Игры с Коммитментом: примеры последовательных игр, в которых одному из игроков выгодно взять на себя связывающее обязательство.<br><br />
Игры с несовершенной информацией: пример, определение стратегий, подыгр, SPNE.<br><br />
Байесовы игры: повторение на примере военных действий.<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/6 6 неделя]<br><br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-19 19 неделя]<br />
[https://disk.yandex.ru/i/9G0aizetfHPsDA Решение игры со странами]<br />
<br />
|-<br />
|26.11.2022<br />
|Игры с несовершенной информацией: отличие от последовательных взаимодействий с полной информацией, возможное отсутствие SPNE.<br><br />
Игры с несовершенной информацией: примеры, определение стратегий, подыгр, формирование матриц игр и подыгр, поиск NE и SPNE.<br><br />
Повторяющиеся игры: описание, примеры, единственность SPNE в случае одного NE в исходной игре и конечного количества периодов, случай нескольких NE в исходной игре, различные стратегии в повторяющейся игре, стратегии «договора».<br><br />
Повторяющаяся дилемма заключенных: различные стратегии, игра «Эволюция доверия».<br />
|[https://notdotteam.github.io/trust/ «Эволюция доверия»]<br><br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-18 18 неделя]<br><br />
В.И. Данилов. Лекции по теории игр. Стр. 73-78 (части лекций 13 и 14).<br />
<br />
|-<br />
|03.12.2022<br />
|Мэтчинги: постановка задачи; примеры множеств с двумя типами игроков, которых нужно разбить на пары.<br><br />
Предпочтения: полные, строгие, транзитивные; примеры.<br><br />
Мэтчинги: индивидуальная рациональность, парная рациональность, стабильные мэтчинги.<br><br />
Алгоритм поиска стабильных мэтчингов: алгоритм отсроченного принятия решений.<br><br />
Свойства мэтчингов, полученных в результате выполнения алгоритма: стабильность; это лучший стабильный мэтчинг для каждого из агентов, которые делали предложения, и худший для другой группы агентов.<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/9 9 неделя]<br />
<br />
|}<br />
<br />
== Семинары ==<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/VJs13h-QQVdS4Q Стратегические взаимодействия, игра в нормальной форме, Парето-оптимальность, доминирующие стратегии]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/BLF_B64Yreeb5g Доминируемые стратегии, минимакс, максимин, равновесие Нэша]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/_8VqIZzRSgxlzg Help01]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/7OPbE-e9h4c9dQ Смешанные стратегии и равновесие Нэша в смешанных стратегиях]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/01xPQDvVhuvCBA Help02]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/SGNtqPl_ksiAww Help03]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/O8m8B9K_OxLX8g Модель Хотеллинга-Даунса]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/4qu6gAoZ745GcQ Байесовы игры]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/hn4SNNdq272o_w Help04]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/a0Sisz-HMHVBcw Повторение]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/Tm_SE29-ftPNrQ Лыжники (Help05)]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/Z34sjCItue8wHg Игры в развернутой форме]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/j6HnPuTFEhx9Ug Игры с несовершенной информацией]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/lhL6Etimyaoj_Q Косичка (Help06)]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/rg3hM_cdhIxRzg Повторение]<br />
<br />
== Домашние задания ==<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дедлайн<br />
!файл с заданием<br />
!форма для ответов<br />
|-<br />
|12.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/xPpKHVGXmieNBQ Домашнее задание 1]<br />
|[https://forms.gle/RTdRLZcvNvzpbvyE6 Форма ДЗ-1]<br />
<br />
|-<br />
|19.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/kfMYJkB1iiF_gg Домашнее задание 2]<br />
|[https://forms.gle/oGyY8FSbfeEsYXsv9 Форма ДЗ-2]<br />
<br />
|-<br />
|29.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/nDAZ3wFDfKM4sQ Домашнее задание 3]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSeRf1IbDEzwrjCflHxsekd7ZI5utTqYz-OR53LgnEjY1oGDQw/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-3]<br />
<br />
|-<br />
|9.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/f1cjdiDeUcbq-w Домашнее задание 4]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdFHp3iv9EzMKNvRbNC3YwAWiWOiAkpA8Q7tIrL8qjPQRXf2Q/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-4]<br />
<br />
|-<br />
|16.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/5Sdsj6-1EC-JEQ Домашнее задание 5]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSfFhfclBc8Ts8trQXyOnugxdB-cMF1Zs1weT81Mr82dMjNJwA/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-5]<br />
<br />
|-<br />
|31.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/QpypS8qdocQI_w Турнир 2]<br />
|<br />
<br />
|-<br />
|16.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/AMS9JEJQ6M8Avw Домашнее задание 6]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdL5yClVlgNVRp6Eiu9izN1_sfjI2vZyzxaa8GlYy8kSl0R9A/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-6]<br />
<br />
|-<br />
|26.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/GK3pnapp0_H_wA Домашнее задание 7]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdM1lS-RAwM1Lg3XWLYvN5kUEXgQ2ozvWjOUlUyKOtVMrii6w/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-7]<br />
<br />
|-<br />
|6.12.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/rkYd9uJ_1zf05w Домашнее задание 8]<br />
|<br />
<br />
|-<br />
|18.12.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/PmoAZZ4qNKCp2w Турнир 3]<br />
|<br />
|}</div>Любовь Сысоеваhttp://math-info.hse.ru/wiki2022-23/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B8%D0%B3%D1%80&diff=446Теория игр2022-12-03T17:42:27Z<p>Любовь Сысоева: /* Лекции */</p>
<hr />
<div>'''Дорогие студенты!'''<br />
<br />
На этой странице будут появляться различные материалы и объявления, связанные с курсом '''«Теория игр»''', читаемого для студентов 3-го курса ОП Политология в '''2022/2023''' учебном году. <br />
<br />
* Лекции читает: Сысоева Любовь Николаевна lsysoeva@hse.ru, telegram @lsysoeva<br />
* Семинары (201 и 203): Паршина Анастасия Алексеевна a.a.parshina@ya.ru, telegram @aaparshina<br />
* Семинары (202 и 204): Краснокутская Александра Львовна al.krasnokutskaya@gmail.com<br />
* Ассистенты: Арзуманян Артур telegram @artshic и Крипайтис Кирилл telegram @ppppprik<br />
<br />
''Формула итоговой оценки'':<br />
О<sub>Итоговая</sub> =0,25*О<sub>Экзамен</sub> +0,25*О<sub>К/р</sub> + 0,25*О<sub>ДЗ</sub> + 0,25*О<sub>Активность</sub> , где О<sub>Активность</sub> = 0,5∗О<sub>Активность_Семинары</sub> + 0,5∗О<sub>Активность_Лекции</sub><br />
<br />
Оценки за Экзамен, КР, ДЗ, Активность являются целыми числами (округление по правилам арифметики), оценки Активность_Семинары и Активность_Лекции не округляются.<br />
<br />
== Контрольная работа ==<br />
Контрольная работа состоится 5го ноября в 11:00 по адресу Мясницкая д.11.<br />
<br />
В контрольную войдут все темы, рассмотренные в первом модуле на семинарах и в домашних работах.<br />
<br />
Если нужны будут дополнительные задачи для тренировки на какую-то конкретную тему, пишите в телеграм @lsysoeva, выложу одну-две задачи в дополнение.<br />
<br />
На контрольной можно пользоваться калькулятором (но не телефоном!) и собственным листом формата А4 с любыми записями с двух сторон.<br />
<br />
Демо-версии контрольной не предусмотрено в силу уникальности каждой задачи по теории игр, при подготовке стоит ориентироваться на задачи из семинаров и домашних работ.<br />
<br />
== Ведомости ==<br />
<br />
{|<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1fwKHS6v9XstPVA-KBLnc0yduBW8M6kdhGIYgu8-V728/edit?usp=sharing Активность 201] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1X61fBoP8Xmcw0KhJpnJa7RvvVSiKX_oGzX9iVVnvprw/edit?usp=sharing ДЗ 201]<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1yP9MbG9nTMdMNTDYSBdwVw1CBILOnQ_iWtq9_VSFm5g/edit?usp=sharing Активность 202] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1-Or4AzLTDN8BAqLAmCTXe7ikGkIteE2n0rl9L3YFDnI/edit?usp=sharing ДЗ 202]<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1z5mollNQ_6fVsg22wV6M50i1pa8g3h7D94FnZ2QLKAQ/edit?usp=sharing Активность 203] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r3Jr51DI6ZKXIjc9_DGSP6ap9hp5Cz30ixO9Bssgah0/edit?usp=sharing ДЗ 203]<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/14O560WPkH4zb1zx2v7IcHYBnSsxW3OoLscqCmwjcyqM/edit?usp=sharing Активность 204] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1LThjvW2FlgqHKGD0pfT6GCiYfK6cGASyAx-DSWdHjsA/edit?usp=sharing ДЗ 204]<br />
|}<br />
<br />
== Лекции ==<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дата лекции<br />
!тема лекции<br />
!дополнительные материалы<br />
|-<br />
|03.09.2022<br />
|Стратегические и нестратегические взаимодействия, примеры. Формализация одновременных взаимодействий в виде игр в нормальной форме. Матричная запись игр с 2 игроками, примеры. Сравнение профилей стратегий по Парето, Парето-оптимальные профили стратегий. Строго/слабо доминирующие стратегии, равновесия в строго/слабо доминирующих стратегиях.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/1 1 неделя], [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/2 2 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-1 1 неделя], [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-2 2 неделя]<br />
<br />
Алексей Савватеев <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=17176675618925890445&reqid=1662237943241960-2957665704564396072-vla1-2251-vla-l7-balancer-8080-BAL-6432&suggest_reqid=557135369158636339279440407783687&text=савватеев+теория+игр+лекция+1 Лекция 1] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=16196426250303824634&reqid=1662239129399232-15992862096193270937-vla1-2251-vla-l7-balancer-8080-BAL-61&suggest_reqid=557135369158636339291301794755819&text=савватеев+теория+игр+лекция+2 Лекция 2] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=11396199022059523635&suggest_reqid=557135369158636339291396043965073&text=савватеев+теория+игр+лекция+3 Лекция 3] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=11474602284554133982&reqid=1662239210097183-15470061965215477178-vla1-2251-vla-l7-balancer-8080-BAL-2138&suggest_reqid=557135369158636339292106870659353&text=савватеев+теория+игр+лекция+4 Лекция 4]<br />
<br />
|-<br />
|10.09.2022<br />
|Игры в нормальной форме, пример формализации игры с тремя игроками в виде нескольких матриц, примеры игр с большим количеством игроков. Равновесия, получаемые последовательным исключением строго/слабо доминируемых стратегий. Минимаксные (все против меня) и максиминные (осторожные) стратегии. Равновесие Нэша.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/2 2 неделя], [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/3 3 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-3 3-7 неделя]<br />
<br />
Алексей Савватеев <br />
[https://yandex.ru/video/preview/5743819050015473973 Лекция 5] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/7613644260134860259 Лекция 6] <br />
<br />
<br />
|-<br />
|17.09.2022<br />
|Пример игры со многими игроками (угадать среднее арифметическое всех названных чисел): максиминные и минимаксные стратегии игроков, Парето-оптимальные профили, равновесия Нэша.<br />
Смешанные стратегии, ожидаемые платежи, равновесие Нэша в смешанных стратегиях, теорема Нэша, исключение строго/слабо доминируемых стратегий с помощью смешанных стратегий.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/8 8 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-9 9-10 неделя]<br />
<br />
Алексей Савватеев <br />
[https://yandex.ru/video/preview/15857287820861354547 Лекция 10]<br />
[https://yandex.ru/video/preview/12182277885949068581 Лекция 12]<br />
<br />
|-<br />
|24.09.2022<br />
|Поиск равновесий Нэша в смешанных стратегиях, графический метод сравнения платежей игрока, проверка равновесий на устойчивость.<br />
Аукционы: примеры, свойства, сходства, различия, субъективная оценка стоимости лота и связь этой оценки со ставкой на аукционе.<br />
<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/SM5jmzWoI3qPbg Обзорная статья А.В.Савватеева про аукционы]<br />
<br />
|-<br />
|1.10.2022<br />
|Модель предвыборной конкуренции Хоттелинга-Даунса: предположения модели; случай 2 кандидатов, медианный избиратель, слабо доминирующая стратегия каждого из кандидатов, равновесие Нэша; случай 3 и более кандидатов, максимизация вероятности победы (равновесия Нэша) VS максимизация числа набранных голосов (отсутствие равновесий); случай функции распределения с линейной плотностью.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/4 4 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-3 3 неделя]<br />
<br />
[https://www.youtube.com/watch?v=jILgxeNBK_8 Маленький мультик про модель] (он есть и в переводе, но перевод мне не нравится)<br />
<br />
|-<br />
|15.10.2022<br />
|Игры с неполной информацией. Байесовы игры (типы игроков, веры игроков относительно типов других игроков, ожидаемые платежи игроков). Равновесие Байеса-Нэша.<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/2jVnCUZu8c3qqw Презентация]<br />
<br />
|В.И. Данилов. Лекции по теории игр. Препринт РЭШ, 2002. Лекция 18.<br />
<br />
А.В. Захаров. Теория игр в общественных науках. Пп. 3.1.1.–3.1.2.<br />
<br />
|-<br />
|12.11.2022<br />
|Последовательные стратегические взаимодействия: примеры, формализация в виде игры в развернутой форме (дерево игры), определение количества стратегий каждого игрока, определение количества подыгр, нахождение матрицы игры по дереву игры, поиск NE, алгоритм обратной индукции, SPNE.<br />
Теорема Цермело-Куна про существование SPNE в любой конечной (!) последовательной игре.<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/5 5-6 недели]<br><br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-14 14-15 неделя]<br><br />
Dixit A., Nalebuff B. The Art of Strategy. Chapters 2,6,7;<br><br />
А.В. Захаров. Теория игр в общественных науках. Пп. 2.1.1.–2.1.3.<br><br />
Schelling T., The Strategy of Conflict;<br><br />
В.И. Данилов. Лекции по теории игр. Препринт РЭШ, 2002. Лекция 1.<br />
<br />
<br />
|-<br />
|19.11.2022<br />
|Последовательные взаимодействия повторение: стратегии, подыгры, нахождение матрицы игры, поиск NE, поиск SPNE.<br><br />
Игры с Коммитментом: примеры последовательных игр, в которых одному из игроков выгодно взять на себя связывающее обязательство.<br><br />
Игры с несовершенной информацией: пример, определение стратегий, подыгр, SPNE.<br><br />
Байесовы игры: повторение на примере военных действий.<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/6 6 неделя]<br><br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-19 19 неделя]<br />
[https://disk.yandex.ru/i/9G0aizetfHPsDA Решение игры со странами]<br />
<br />
|-<br />
|26.11.2022<br />
|Игры с несовершенной информацией: отличие от последовательных взаимодействий с полной информацией, возможное отсутствие SPNE.<br><br />
Игры с несовершенной информацией: примеры, определение стратегий, подыгр, формирование матриц игр и подыгр, поиск NE и SPNE.<br><br />
Повторяющиеся игры: описание, примеры, единственность SPNE в случае одного NE в исходной игре и конечного количества периодов, случай нескольких NE в исходной игре, различные стратегии в повторяющейся игре, стратегии «договора».<br><br />
Повторяющаяся дилемма заключенных: различные стратегии, игра «Эволюция доверия».<br />
|[https://notdotteam.github.io/trust/ «Эволюция доверия»]<br><br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-18 18 неделя]<br><br />
В.И. Данилов. Лекции по теории игр. Стр. 73-78 (части лекций 13 и 14).<br />
<br />
|-<br />
|03.12.2022<br />
|Мэтчинги: постановка задачи, примеры множеств с двумя типами игроков, которых нужно разбить на пары.<br><br />
Предпочтения: полные, строгие, транзитивные, примеры.<br><br />
Мэтчинги: индивидуальная рациональность, парная рациональность, стабильные мэтчинги.<br><br />
Алгоритм поиска стабильных мэтчингов: алгоритм отсроченного принятия решений.<br><br />
Свойства мэтчингов, полученных в результате выполнения алгоритма: стабильность, это лучший стабильный мэтчинг для каждого из агентов, которые делали предложения и худший для другой группы агентов.<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/9 9 неделя]<br />
<br />
|}<br />
<br />
== Семинары ==<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/VJs13h-QQVdS4Q Стратегические взаимодействия, игра в нормальной форме, Парето-оптимальность, доминирующие стратегии]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/BLF_B64Yreeb5g Доминируемые стратегии, минимакс, максимин, равновесие Нэша]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/_8VqIZzRSgxlzg Help01]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/7OPbE-e9h4c9dQ Смешанные стратегии и равновесие Нэша в смешанных стратегиях]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/01xPQDvVhuvCBA Help02]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/SGNtqPl_ksiAww Help03]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/O8m8B9K_OxLX8g Модель Хотеллинга-Даунса]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/4qu6gAoZ745GcQ Байесовы игры]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/hn4SNNdq272o_w Help04]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/a0Sisz-HMHVBcw Повторение]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/Tm_SE29-ftPNrQ Лыжники (Help05)]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/Z34sjCItue8wHg Игры в развернутой форме]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/j6HnPuTFEhx9Ug Игры с несовершенной информацией]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/lhL6Etimyaoj_Q Косичка (Help06)]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/rg3hM_cdhIxRzg Повторение]<br />
<br />
== Домашние задания ==<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дедлайн<br />
!файл с заданием<br />
!форма для ответов<br />
|-<br />
|12.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/xPpKHVGXmieNBQ Домашнее задание 1]<br />
|[https://forms.gle/RTdRLZcvNvzpbvyE6 Форма ДЗ-1]<br />
<br />
|-<br />
|19.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/kfMYJkB1iiF_gg Домашнее задание 2]<br />
|[https://forms.gle/oGyY8FSbfeEsYXsv9 Форма ДЗ-2]<br />
<br />
|-<br />
|29.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/nDAZ3wFDfKM4sQ Домашнее задание 3]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSeRf1IbDEzwrjCflHxsekd7ZI5utTqYz-OR53LgnEjY1oGDQw/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-3]<br />
<br />
|-<br />
|9.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/f1cjdiDeUcbq-w Домашнее задание 4]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdFHp3iv9EzMKNvRbNC3YwAWiWOiAkpA8Q7tIrL8qjPQRXf2Q/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-4]<br />
<br />
|-<br />
|16.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/5Sdsj6-1EC-JEQ Домашнее задание 5]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSfFhfclBc8Ts8trQXyOnugxdB-cMF1Zs1weT81Mr82dMjNJwA/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-5]<br />
<br />
|-<br />
|31.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/QpypS8qdocQI_w Турнир 2]<br />
|<br />
<br />
|-<br />
|16.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/AMS9JEJQ6M8Avw Домашнее задание 6]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdL5yClVlgNVRp6Eiu9izN1_sfjI2vZyzxaa8GlYy8kSl0R9A/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-6]<br />
<br />
|-<br />
|26.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/GK3pnapp0_H_wA Домашнее задание 7]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdM1lS-RAwM1Lg3XWLYvN5kUEXgQ2ozvWjOUlUyKOtVMrii6w/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-7]<br />
<br />
|-<br />
|6.12.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/rkYd9uJ_1zf05w Домашнее задание 8]<br />
|<br />
<br />
|-<br />
|18.12.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/PmoAZZ4qNKCp2w Турнир 3]<br />
|<br />
|}</div>Любовь Сысоеваhttp://math-info.hse.ru/wiki2022-23/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B8%D0%B3%D1%80&diff=444Теория игр2022-12-02T20:59:43Z<p>Любовь Сысоева: /* Семинары */</p>
<hr />
<div>'''Дорогие студенты!'''<br />
<br />
На этой странице будут появляться различные материалы и объявления, связанные с курсом '''«Теория игр»''', читаемого для студентов 3-го курса ОП Политология в '''2022/2023''' учебном году. <br />
<br />
* Лекции читает: Сысоева Любовь Николаевна lsysoeva@hse.ru, telegram @lsysoeva<br />
* Семинары (201 и 203): Паршина Анастасия Алексеевна a.a.parshina@ya.ru, telegram @aaparshina<br />
* Семинары (202 и 204): Краснокутская Александра Львовна al.krasnokutskaya@gmail.com<br />
* Ассистенты: Арзуманян Артур telegram @artshic и Крипайтис Кирилл telegram @ppppprik<br />
<br />
''Формула итоговой оценки'':<br />
О<sub>Итоговая</sub> =0,25*О<sub>Экзамен</sub> +0,25*О<sub>К/р</sub> + 0,25*О<sub>ДЗ</sub> + 0,25*О<sub>Активность</sub> , где О<sub>Активность</sub> = 0,5∗О<sub>Активность_Семинары</sub> + 0,5∗О<sub>Активность_Лекции</sub><br />
<br />
Оценки за Экзамен, КР, ДЗ, Активность являются целыми числами (округление по правилам арифметики), оценки Активность_Семинары и Активность_Лекции не округляются.<br />
<br />
== Контрольная работа ==<br />
Контрольная работа состоится 5го ноября в 11:00 по адресу Мясницкая д.11.<br />
<br />
В контрольную войдут все темы, рассмотренные в первом модуле на семинарах и в домашних работах.<br />
<br />
Если нужны будут дополнительные задачи для тренировки на какую-то конкретную тему, пишите в телеграм @lsysoeva, выложу одну-две задачи в дополнение.<br />
<br />
На контрольной можно пользоваться калькулятором (но не телефоном!) и собственным листом формата А4 с любыми записями с двух сторон.<br />
<br />
Демо-версии контрольной не предусмотрено в силу уникальности каждой задачи по теории игр, при подготовке стоит ориентироваться на задачи из семинаров и домашних работ.<br />
<br />
== Ведомости ==<br />
<br />
{|<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1fwKHS6v9XstPVA-KBLnc0yduBW8M6kdhGIYgu8-V728/edit?usp=sharing Активность 201] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1X61fBoP8Xmcw0KhJpnJa7RvvVSiKX_oGzX9iVVnvprw/edit?usp=sharing ДЗ 201]<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1yP9MbG9nTMdMNTDYSBdwVw1CBILOnQ_iWtq9_VSFm5g/edit?usp=sharing Активность 202] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1-Or4AzLTDN8BAqLAmCTXe7ikGkIteE2n0rl9L3YFDnI/edit?usp=sharing ДЗ 202]<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1z5mollNQ_6fVsg22wV6M50i1pa8g3h7D94FnZ2QLKAQ/edit?usp=sharing Активность 203] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r3Jr51DI6ZKXIjc9_DGSP6ap9hp5Cz30ixO9Bssgah0/edit?usp=sharing ДЗ 203]<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/14O560WPkH4zb1zx2v7IcHYBnSsxW3OoLscqCmwjcyqM/edit?usp=sharing Активность 204] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1LThjvW2FlgqHKGD0pfT6GCiYfK6cGASyAx-DSWdHjsA/edit?usp=sharing ДЗ 204]<br />
|}<br />
<br />
== Лекции ==<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дата лекции<br />
!тема лекции<br />
!дополнительные материалы<br />
|-<br />
|03.09.2022<br />
|Стратегические и нестратегические взаимодействия, примеры. Формализация одновременных взаимодействий в виде игр в нормальной форме. Матричная запись игр с 2 игроками, примеры. Сравнение профилей стратегий по Парето, Парето-оптимальные профили стратегий. Строго/слабо доминирующие стратегии, равновесия в строго/слабо доминирующих стратегиях.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/1 1 неделя], [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/2 2 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-1 1 неделя], [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-2 2 неделя]<br />
<br />
Алексей Савватеев <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=17176675618925890445&reqid=1662237943241960-2957665704564396072-vla1-2251-vla-l7-balancer-8080-BAL-6432&suggest_reqid=557135369158636339279440407783687&text=савватеев+теория+игр+лекция+1 Лекция 1] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=16196426250303824634&reqid=1662239129399232-15992862096193270937-vla1-2251-vla-l7-balancer-8080-BAL-61&suggest_reqid=557135369158636339291301794755819&text=савватеев+теория+игр+лекция+2 Лекция 2] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=11396199022059523635&suggest_reqid=557135369158636339291396043965073&text=савватеев+теория+игр+лекция+3 Лекция 3] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=11474602284554133982&reqid=1662239210097183-15470061965215477178-vla1-2251-vla-l7-balancer-8080-BAL-2138&suggest_reqid=557135369158636339292106870659353&text=савватеев+теория+игр+лекция+4 Лекция 4]<br />
<br />
|-<br />
|10.09.2022<br />
|Игры в нормальной форме, пример формализации игры с тремя игроками в виде нескольких матриц, примеры игр с большим количеством игроков. Равновесия, получаемые последовательным исключением строго/слабо доминируемых стратегий. Минимаксные (все против меня) и максиминные (осторожные) стратегии. Равновесие Нэша.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/2 2 неделя], [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/3 3 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-3 3-7 неделя]<br />
<br />
Алексей Савватеев <br />
[https://yandex.ru/video/preview/5743819050015473973 Лекция 5] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/7613644260134860259 Лекция 6] <br />
<br />
<br />
|-<br />
|17.09.2022<br />
|Пример игры со многими игроками (угадать среднее арифметическое всех названных чисел): максиминные и минимаксные стратегии игроков, Парето-оптимальные профили, равновесия Нэша.<br />
Смешанные стратегии, ожидаемые платежи, равновесие Нэша в смешанных стратегиях, теорема Нэша, исключение строго/слабо доминируемых стратегий с помощью смешанных стратегий.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/8 8 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-9 9-10 неделя]<br />
<br />
Алексей Савватеев <br />
[https://yandex.ru/video/preview/15857287820861354547 Лекция 10]<br />
[https://yandex.ru/video/preview/12182277885949068581 Лекция 12]<br />
<br />
|-<br />
|24.09.2022<br />
|Поиск равновесий Нэша в смешанных стратегиях, графический метод сравнения платежей игрока, проверка равновесий на устойчивость.<br />
Аукционы: примеры, свойства, сходства, различия, субъективная оценка стоимости лота и связь этой оценки со ставкой на аукционе.<br />
<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/SM5jmzWoI3qPbg Обзорная статья А.В.Савватеева про аукционы]<br />
<br />
|-<br />
|1.10.2022<br />
|Модель предвыборной конкуренции Хоттелинга-Даунса: предположения модели; случай 2 кандидатов, медианный избиратель, слабо доминирующая стратегия каждого из кандидатов, равновесие Нэша; случай 3 и более кандидатов, максимизация вероятности победы (равновесия Нэша) VS максимизация числа набранных голосов (отсутствие равновесий); случай функции распределения с линейной плотностью.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/4 4 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-3 3 неделя]<br />
<br />
[https://www.youtube.com/watch?v=jILgxeNBK_8 Маленький мультик про модель] (он есть и в переводе, но перевод мне не нравится)<br />
<br />
|-<br />
|15.10.2022<br />
|Игры с неполной информацией. Байесовы игры (типы игроков, веры игроков относительно типов других игроков, ожидаемые платежи игроков). Равновесие Байеса-Нэша.<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/2jVnCUZu8c3qqw Презентация]<br />
<br />
|В.И. Данилов. Лекции по теории игр. Препринт РЭШ, 2002. Лекция 18.<br />
<br />
А.В. Захаров. Теория игр в общественных науках. Пп. 3.1.1.–3.1.2.<br />
<br />
|-<br />
|12.11.2022<br />
|Последовательные стратегические взаимодействия: примеры, формализация в виде игры в развернутой форме (дерево игры), определение количества стратегий каждого игрока, определение количества подыгр, нахождение матрицы игры по дереву игры, поиск NE, алгоритм обратной индукции, SPNE.<br />
Теорема Цермело-Куна про существование SPNE в любой конечной (!) последовательной игре.<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/5 5-6 недели]<br><br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-14 14-15 неделя]<br><br />
Dixit A., Nalebuff B. The Art of Strategy. Chapters 2,6,7;<br><br />
А.В. Захаров. Теория игр в общественных науках. Пп. 2.1.1.–2.1.3.<br><br />
Schelling T., The Strategy of Conflict;<br><br />
В.И. Данилов. Лекции по теории игр. Препринт РЭШ, 2002. Лекция 1.<br />
<br />
<br />
|-<br />
|19.11.2022<br />
|Последовательные взаимодействия повторение: стратегии, подыгры, нахождение матрицы игры, поиск NE, поиск SPNE.<br><br />
Игры с Коммитментом: примеры последовательных игр, в которых одному из игроков выгодно взять на себя связывающее обязательство.<br><br />
Игры с несовершенной информацией: пример, определение стратегий, подыгр, SPNE.<br><br />
Байесовы игры: повторение на примере военных действий.<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/6 6 неделя]<br><br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-19 19 неделя]<br />
[https://disk.yandex.ru/i/9G0aizetfHPsDA Решение игры со странами]<br />
<br />
|-<br />
|26.11.2022<br />
|Игры с несовершенной информацией: отличие от последовательных взаимодействий с полной информацией, возможное отсутствие SPNE.<br><br />
Игры с несовершенной информацией: примеры, определение стратегий, подыгр, формирование матриц игр и подыгр, поиск NE и SPNE.<br><br />
Повторяющиеся игры: описание, примеры, единственность SPNE в случае одного NE в исходной игре и конечного количества периодов, случай нескольких NE в исходной игре, различные стратегии в повторяющейся игре, стратегии «договора».<br><br />
Повторяющаяся дилемма заключенных: различные стратегии, игра «Эволюция доверия».<br />
|[https://notdotteam.github.io/trust/ «Эволюция доверия»]<br><br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-18 18 неделя]<br><br />
В.И. Данилов. Лекции по теории игр. Стр. 73-78 (части лекций 13 и 14).<br />
<br />
|-<br />
|03.12.2022<br />
|По расписанию у нас одна лекция, после нее можно по вашему желанию переписать 1-2 теста.<br />
|<br />
<br />
|}<br />
<br />
== Семинары ==<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/VJs13h-QQVdS4Q Стратегические взаимодействия, игра в нормальной форме, Парето-оптимальность, доминирующие стратегии]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/BLF_B64Yreeb5g Доминируемые стратегии, минимакс, максимин, равновесие Нэша]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/_8VqIZzRSgxlzg Help01]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/7OPbE-e9h4c9dQ Смешанные стратегии и равновесие Нэша в смешанных стратегиях]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/01xPQDvVhuvCBA Help02]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/SGNtqPl_ksiAww Help03]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/O8m8B9K_OxLX8g Модель Хотеллинга-Даунса]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/4qu6gAoZ745GcQ Байесовы игры]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/hn4SNNdq272o_w Help04]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/a0Sisz-HMHVBcw Повторение]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/Tm_SE29-ftPNrQ Лыжники (Help05)]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/Z34sjCItue8wHg Игры в развернутой форме]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/j6HnPuTFEhx9Ug Игры с несовершенной информацией]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/lhL6Etimyaoj_Q Косичка (Help06)]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/rg3hM_cdhIxRzg Повторение]<br />
<br />
== Домашние задания ==<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дедлайн<br />
!файл с заданием<br />
!форма для ответов<br />
|-<br />
|12.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/xPpKHVGXmieNBQ Домашнее задание 1]<br />
|[https://forms.gle/RTdRLZcvNvzpbvyE6 Форма ДЗ-1]<br />
<br />
|-<br />
|19.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/kfMYJkB1iiF_gg Домашнее задание 2]<br />
|[https://forms.gle/oGyY8FSbfeEsYXsv9 Форма ДЗ-2]<br />
<br />
|-<br />
|29.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/nDAZ3wFDfKM4sQ Домашнее задание 3]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSeRf1IbDEzwrjCflHxsekd7ZI5utTqYz-OR53LgnEjY1oGDQw/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-3]<br />
<br />
|-<br />
|9.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/f1cjdiDeUcbq-w Домашнее задание 4]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdFHp3iv9EzMKNvRbNC3YwAWiWOiAkpA8Q7tIrL8qjPQRXf2Q/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-4]<br />
<br />
|-<br />
|16.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/5Sdsj6-1EC-JEQ Домашнее задание 5]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSfFhfclBc8Ts8trQXyOnugxdB-cMF1Zs1weT81Mr82dMjNJwA/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-5]<br />
<br />
|-<br />
|31.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/QpypS8qdocQI_w Турнир 2]<br />
|<br />
<br />
|-<br />
|16.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/AMS9JEJQ6M8Avw Домашнее задание 6]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdL5yClVlgNVRp6Eiu9izN1_sfjI2vZyzxaa8GlYy8kSl0R9A/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-6]<br />
<br />
|-<br />
|26.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/GK3pnapp0_H_wA Домашнее задание 7]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdM1lS-RAwM1Lg3XWLYvN5kUEXgQ2ozvWjOUlUyKOtVMrii6w/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-7]<br />
<br />
|-<br />
|6.12.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/rkYd9uJ_1zf05w Домашнее задание 8]<br />
|<br />
|}</div>Любовь Сысоеваhttp://math-info.hse.ru/wiki2022-23/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0&diff=443Дискретная Математика2022-12-01T18:17:22Z<p>Любовь Сысоева: /* Семинары */</p>
<hr />
<div>'''Дорогие студенты!'''<br />
<br />
На этой странице будут появляться различные материалы и объявления, связанные с курсом '''«Дискретная математика»''', читаемого для студентов 1-го курса ОП Вычислительные социальные науки в '''2022/2023''' учебном году. <br />
<br />
* Лекции и семинары: Сысоева Любовь Николаевна lsysoeva@hse.ru, telegram @lsysoeva<br />
* Ассистент: Ластовецкий Дмитрий dalastovetsky@hse.ru, telegram @dalastovetskiy<br />
<br />
{|<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_izNbdyLHY8c3Y4SfFzpzhsF-QTBNpRFmEqnCR3IQFU/edit?usp=sharing Ведомость активности] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SmaC4Uyy1F4Dn37zME5SMQCdAtXQHpSelk3JZttFxBU/edit?usp=sharing Ведомость ДЗ]<br />
|}<br />
<br />
Формула итоговой оценки:<br />
0,3 * Активность + 0,3 * Домашние задания + 0,4 * Экзамен<br />
<br />
== Консультации ==<br />
<br />
Консультации будут проходить онлайн по понедельникам в 17:00, задавайте ваши вопросы Дмитрию, присоединяйтесь к консультациям!<br />
<br />
Join Zoom Meeting<br />
https://us05web.zoom.us/j/4685079351?pwd=cVJkeVkzUUR1bXNjMzJ1WDRrN0EyUT09<br />
<br />
Meeting ID: 468 507 9351<br />
Passcode: yqTLi1<br />
<br />
== Лекции ==<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дата лекции<br />
!тема лекции<br />
!дополнительные материалы<br />
|-<br />
|16.09.2022<br />
|Понятие множества, конечные множества, задание множества перечислением элементов, задание множества условием, пустое множество, пересечение множеств, объединение множеств, декартово произведение множеств, парадокс брадобрея.<br><br />
Комбинаторика: правило суммы, правило произведения, факториал, число размещений с повторениями и без повторений, число сочетаний.<br />
|[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.1-26<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.44-63<br />
<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|Дискретная вероятность = (кол-во положительных исходов)/(общее число исходов).<br><br />
<br />
Сочетания с повторениями (метод шариков и перегородок), типы предметов.<br><br />
<br />
Треугольник Паскаля (количество путей от вершины вниз), рекуррентная формула (нижний элемент = сумме двух верхних).<br><br />
<br />
Бином Ньютона, связь с треугольником Паскаля (коэффициенты в разложении (a+b)<sup>n</sup> это числа в n строке треугольника).<br><br />
<br />
Числа сочетаний в треугольнике Паскаля, формула C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>k</sup><sub>n-1</sub> + C<sup>k-1</sup><sub>n-1</sub> и ее комбинаторный смысл.<br><br />
<br />
Сумма элементов n строки в треугольнике Паскаля равна 2<sup>n</sup> (через удвоение суммы предыдущей строки, через разложение (1+1)<sup>n</sup> и через все подмножества множества из n элементов).<br><br />
<br />
Полиномиальные коэффициенты (определение и формула).<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.26-40<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.63-70<br />
<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|Числа сочетаний в треугольнике Паскаля: возрастание элементов к середине строки и убывание после середины (C<sup>k</sup><sub>n</sub> < C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k < (n-1)/2 и C<sup>k</sup><sub>n</sub> > C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k > (n-1)/2), симметрия (C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>n-k</sup><sub>n</sub>), оценка среднего элемента в строке через сумму и количество элементов в этой строке (C<sup>n</sup><sub>2n</sub> > 2<sup>2n</sup>/(2n+1)).<br><br />
<br />
Сумма знакопеременных элементов n строки в треугольнике Паскаля равна нулю (через удвоение элементов предыдущей строки с противоположными знаками, через разложение (1-1)<sup>n</sup>).<br><br />
<br />
Формулы для 11<sup>2</sup>, 11<sup>3</sup>, 11<sup>4</sup> и связь со строками треугольника Паскаля (доказательство через разложение 11<sup>k</sup> = (10+1)<sup>k</sup> по биному Ньютона).<br><br />
<br />
Формула включений-исключений: через диаграммы Эйлера-Вена для 2 и 3 множеств, формулировка в общем случае.<br><br />
<br />
Принцип Дирихле (pigeonhole principle): если кроликов больше, чем клеток, то при рассадке кроликов по клеткам по крайней мере в одну клетку попадут по крайней мере два кролика.<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.41-44<br><br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.66<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи: задача про кроликов, определение (F<sub>0</sub> = 0, F<sub>1</sub> = 1, F<sub>n+1</sub> = F<sub>n</sub> + F<sub>n-1</sub>), F<sub>n</sub> равно сумме "диагонали" треугольника Паскаля (F<sub>n</sub> = C<sub>n-1</sub><sup>0</sup> + C<sub>n-2</sub><sup>1</sup> + C<sub>n-3</sub><sup>2</sup> + ... + C<sub>n-[n/2]</sub><sup>[n/2]-1</sup> целая часть должна быть верхней), явная формула (F<sub>n</sub> = 1/٧5((1+٧5)/2)^n - 1/٧5((1-٧5)/2)^n) и ее доказательство по индукции.<br />
<br />
Индукция: принцип математической индукции, база и переход их согласованность, индуктивное предположение, доказательство равенств, неравенств, разбор текстовой задачи (машина на краю пустыни).<br />
Примеры неверных доказательств по индукции (резиновый автобус, куча манки, одномастные лошади).<br />
<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.16-51<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|14.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи (повторение).<br />
Линейные рекуррентные соотношения в разных задачах.<br />
Рекурсия (программирование, литература) и ее связь с рекуррентными соотношениями.<br />
Основная теорема о рекуррентных соотношениях (Master theorem): оценка сложности рекурсивных алгоритмов.<br />
<br />
Рекуррентные записи n! и геометрических прогрессий.<br />
<br />
Индукция: повторение, связь с рекуррентными соотношениями, пример вложенной индукции (количество разломов прямоугольной шоколадки).<br />
<br />
|[https://ru.wikipedia.org/wiki/Основная_теорема_о_рекуррентных_соотношениях Основная теорема о рекуррентных соотношениях]<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|Числа Каталана (по заявкам): рекуррентная формула, количество правильных скобочных последовательностей, количество способов разбить n-угольник диагоналями на треугольники.<br />
<br />
Системы счисления: позиционные, примеры, n-ичные дроби, переводы между системами счислений целых чисел и дробных частей, погрешность в случае прерывания бесконечных дробей.<br />
<br />
Римская система счисления: способы записи чисел, сложность алгоритмов сложения и умножения чисел.<br />
<br />
Признаки делимости в n-ичной системе счисления: схожесть признаков делимости на n-1 и n+1 с признаками делимости на 9 и 11 для десятичной системы, схожесть признаков делимости на делители n с признаками делимости на 5 и 10 для десятичной системы.<br />
<br />
Троичная система: взвешивание путем уравновешивания весов с двумя чашами.<br />
|<br />
[https://disk.yandex.ru/i/UjJYIydJppYhQg Статья про числа Каталана]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/MOK8NEeNVq5SYA Книжка по системам счисления]<br />
<br />
|-<br />
|01.11.2022<br />
|Простые числа: определение, основная теорема арифметики (любое число однозначно разлагается в произведение простых), бесконечное количество простых чисел (два доказательства 1. p<sub>1</sub>p<sub>2</sub>...p<sub>n</sub>+1 ; 2. (k+1)<sup>n</sup> << 2<sup>k</sup> при фиксированном n и растущем k), Постулат Бертрана (теорема Чебышева): для любого натурального n ⩾ 2 найдётся простое число p в интервале n < p < 2n.<br />
<br />
Остатки от деления и вычеты: сложение, вычитание, умножение, поиск обратного вычета.<br />
Запись вычетов через отрицательные числа для удобства вычислений.<br />
Примеры, когда обратного вычета не существует (элемент и модуль не взаимно просты).<br />
<br />
Алгоритм Евклида (с использованием остатка от деления по модулю): сам алгоритм и оценка числа итераций через числа Фибоначчи.<br />
<br />
|[http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/e4d919f5-8435-4fe3-a779-275181a69951/M_1.1.4/M_1.1.4.html Вычеты (короткая базовая статья)]<br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.143-156<br />
<br />
|-<br />
|11.11.2022<br />
|Идея кодирования с открытым ключом.<br />
Диофантовы уравнения: примеры, великая теорема Ферма, линейные Диофантовы уравнения с двумя неизвестными, критерий разрешимости.<br />
Расширенный алгоритм Евклида: решение линейных Диофантовых уравнений с двумя неизвестными.<br />
Сведение поиска обратного по умножению элемента по модулю к решению линейного Диофантова уравнения с двумя неизвестными.<br />
Единственность обратного по умножению элемента по модулю (если существует, то единственный).<br />
<br />
Малая теорема Ферма: формулировка, четыре доказательства (мультиномиальное разложение, индукция и бином Ньютона, раскраска бус, перемножение чисел специального вида), поиск обратного по умножению элемента через малую теорему Ферма в случае простого модуля.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.154-163<br />
<br />
<br />
|-<br />
|15.11.2022<br />
|Идея проверки числа на простоту:<br><br />
1) проверка делимости на простые до корня из числа;<br><br />
2) проверка взаимной простоты с числами от 2 до n-1;<br><br />
3) (тест Ферма) проверка справедливости малой теоремы Ферма для чисел от 2 до n-1 (и числа Кармайкла);<br><br />
4) (тест Рабина) проверка справедливости малой теоремы Ферма плюс корней из 1.<br />
<br />
Китайская теорема об остатках: система сравнений по взаимнопростым модулям имеет единственное решение по произведению модулей.<br />
Доказательство и решения систем сравнений с помощью расширенного алгоритма Евклида.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.161-165<br />
<br />
|-<br />
|18.11.2022<br />
|Китайская теорема об остатках: доказательство (индукция во числу сравнений), Следствие: независимость распределения остатков по взаимнопростым модулям.<br><br />
Функция Эйлера: определение и вычисление для простых чисел, степеней простых чисел, составных чисел.<br><br />
Теорема Эйлера: формулировка, малая теорема Ферма как частный случай, доказательство (аналогично 4 доказательству малой теоремы Ферма, через обратимые остатки и их перемножение).<br><br />
Алгоритм кодирования с открытым ключом RSA: определение, корректность кодирования и декодирования, устойчивость к атакам.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.162-167<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/fX6Q_FMRE-I_Zg Лекции по криптографии] (тут довольно хорошо объяснен алгоритм RSA и еще много что)<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|Графы: определение (V,E), множество вершин, множество ребер, изолированная вершина, степень вершины, способы задания графов (матрица смежности, матрица инцидентности, список смежности).<br><br />
Формула 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>).<br><br />
Маршрут, путь, простой путь, расстояние между вершинами (длина кратчайшего пути), диаметр графа (самое большое расстояние между вершинами).<br><br />
Цикл, простой цикл.<br><br />
Связный граф, компонента связности.<br><br />
Оценка: количество компонент связности ≥ |V|-|E|.<br><br />
Следствие: для поиска самого тяжелого камня среди n камней необходимо n-1 взвешивание.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.95-118<br><br />
<br />
|-<br />
|25.11.2022<br />
|Деревья: (четыре определения и их эквивалентность) связный граф с V-1 ребром; минимальный связный граф; связный ациклический граф; граф, между любыми двумя вершинами которого существует единственный путь.<br><br />
''Дополнительно:'' бинарное дерево поиска: поиск элемента, добавление элемента, удаление элемента, поиск следующего и предшествующего элементов.<br><br />
Существование у произвольного дерева по крайней мере двух листьев (два доказательства: через формулу 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>) и через максимально удаленные вершины).<br><br />
Остовное дерево связного графа, возможность удаления из связного графа вершины вместе с ребрами без потери связности.<br><br />
Правильная раскраска: определение, примеры, критерий 2-раскрашиваемости графа (отсутствие циклов нечетной длины).<br><br />
''Дополнительно:'' алгоритмы поиска в ширину (BFS) и глубину (DFS).<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.118-123<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/XDNEDxyuccjLGA Т.Кормен и др. «Алгоритмы Построение и Анализ» стр 316-322, 607-663]<br />
|}<br />
<br />
== Семинары ==<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/N5V4VaIkLVTajg Комбинаторика-1]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/DDB7KcxEXg3-6A Комбинаторика-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/QXW6c4tUxwjV4g Комбинаторика-3]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/lfhWkTgRJPvbGw Числа Фибоначчи, Индукция]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/I1VBzSGylBSUtw Числа Фибоначчи-2, Индукция-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/6ZeDU1zdCnlBog Системы счисления]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/pC1rFQaRgrr5KA Делимость и Вычеты]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/iGuukuYtT4O1iQ Расширенный алгоритм Евклида, малая теорема Ферма]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/yGSOYGTeGLBJVg Малая теорема Ферма, Китайская теорема об остатках]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KjQpX2s2Vj8ITw Теорема Эйлера]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/OOaz4DVxqMuUkg Графы-1]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KiTGSNoG6VM_Hg Деревья, правильные раскраски]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KE1u7QBFzIgkcA Эйлеровы и Гамильтоновы циклы и пути]<br />
<br />
== Домашние задания ==<br />
'''В ДЗ-8 появилась бонусная задача на бинарные деревья поиска. Ссылку на книгу по теме можно найти в допматериалах к последней лекции.'''<br />
<br />
'''Правила сдачи ДЗ''': решения задач из домашнего задания оформляются письменно, первый лист работы подписывается, только ответы не проверяются, должно присутствовать ''полное рассуждение'', затем текст сканируется, файл называется в соответствии с ФИО студента (например, SysoevaLN.pdf) и отправляется на проверку (ссылку на загрузку см. в таблице ниже).<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дедлайн<br />
!Домашнее задание<br />
!Ссылка на загрузку файла<br />
!Решения и критерии<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/WeEzyM70AzqNtw Домашнее задание №1]<br />
|[https://www.dropbox.com/request/cGNCtS3rrJoiE6NGCrz9 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/lmtlr4mP41Iy-Q Решения ДЗ-1]<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/87IgAYKMLGbEyA Домашнее задание №2]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/_yELwtWaJS4RMA Решения ДЗ-2]<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/Yy6-_Hda1UEQLg Домашнее задание №3]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/-VioO1CArRXPEA Решения ДЗ-3]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/aofNsKB9AMhONA Домашнее задание №4]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/JVpDIULhuGcJfA Решения ДЗ-4]<br />
<br />
|-<br />
|4.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/V62t0PGwzQmJoA Домашнее задание №5]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/S-0Dkekb9_o1aQ Решения ДЗ-5]<br />
<br />
|-<br />
|12.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/ZtHuki9PQHV5Cg Домашнее задание №6]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/nmYHFgM2kiZtdg Решения ДЗ-6]<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/X6LCkozybxDH7w Домашнее задание №7]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/9WINMpnYoD5uRw Решения ДЗ-7]<br />
<br />
|-<br />
|27.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/FjywLphzBhL0Xw Домашнее задание №8]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|<br />
<br />
|-<br />
|4.12.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/WRZnhkUVF8mXJA Домашнее задание №9]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|<br />
<br />
|}</div>Любовь Сысоеваhttp://math-info.hse.ru/wiki2022-23/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B8%D0%B3%D1%80&diff=438Теория игр2022-11-28T12:56:35Z<p>Любовь Сысоева: /* Семинары */</p>
<hr />
<div>'''Дорогие студенты!'''<br />
<br />
На этой странице будут появляться различные материалы и объявления, связанные с курсом '''«Теория игр»''', читаемого для студентов 3-го курса ОП Политология в '''2022/2023''' учебном году. <br />
<br />
* Лекции читает: Сысоева Любовь Николаевна lsysoeva@hse.ru, telegram @lsysoeva<br />
* Семинары (201 и 203): Паршина Анастасия Алексеевна a.a.parshina@ya.ru, telegram @aaparshina<br />
* Семинары (202 и 204): Краснокутская Александра Львовна al.krasnokutskaya@gmail.com<br />
* Ассистенты: Арзуманян Артур telegram @artshic и Крипайтис Кирилл telegram @ppppprik<br />
<br />
''Формула итоговой оценки'':<br />
О<sub>Итоговая</sub> =0,25*О<sub>Экзамен</sub> +0,25*О<sub>К/р</sub> + 0,25*О<sub>ДЗ</sub> + 0,25*О<sub>Активность</sub> , где О<sub>Активность</sub> = 0,5∗О<sub>Активность_Семинары</sub> + 0,5∗О<sub>Активность_Лекции</sub><br />
<br />
Оценки за Экзамен, КР, ДЗ, Активность являются целыми числами (округление по правилам арифметики), оценки Активность_Семинары и Активность_Лекции не округляются.<br />
<br />
== Контрольная работа ==<br />
Контрольная работа состоится 5го ноября в 11:00 по адресу Мясницкая д.11.<br />
<br />
В контрольную войдут все темы, рассмотренные в первом модуле на семинарах и в домашних работах.<br />
<br />
Если нужны будут дополнительные задачи для тренировки на какую-то конкретную тему, пишите в телеграм @lsysoeva, выложу одну-две задачи в дополнение.<br />
<br />
На контрольной можно пользоваться калькулятором (но не телефоном!) и собственным листом формата А4 с любыми записями с двух сторон.<br />
<br />
Демо-версии контрольной не предусмотрено в силу уникальности каждой задачи по теории игр, при подготовке стоит ориентироваться на задачи из семинаров и домашних работ.<br />
<br />
== Ведомости ==<br />
<br />
{|<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1fwKHS6v9XstPVA-KBLnc0yduBW8M6kdhGIYgu8-V728/edit?usp=sharing Активность 201] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1X61fBoP8Xmcw0KhJpnJa7RvvVSiKX_oGzX9iVVnvprw/edit?usp=sharing ДЗ 201]<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1yP9MbG9nTMdMNTDYSBdwVw1CBILOnQ_iWtq9_VSFm5g/edit?usp=sharing Активность 202] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1-Or4AzLTDN8BAqLAmCTXe7ikGkIteE2n0rl9L3YFDnI/edit?usp=sharing ДЗ 202]<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1z5mollNQ_6fVsg22wV6M50i1pa8g3h7D94FnZ2QLKAQ/edit?usp=sharing Активность 203] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r3Jr51DI6ZKXIjc9_DGSP6ap9hp5Cz30ixO9Bssgah0/edit?usp=sharing ДЗ 203]<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/14O560WPkH4zb1zx2v7IcHYBnSsxW3OoLscqCmwjcyqM/edit?usp=sharing Активность 204] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1LThjvW2FlgqHKGD0pfT6GCiYfK6cGASyAx-DSWdHjsA/edit?usp=sharing ДЗ 204]<br />
|}<br />
<br />
== Лекции ==<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дата лекции<br />
!тема лекции<br />
!дополнительные материалы<br />
|-<br />
|03.09.2022<br />
|Стратегические и нестратегические взаимодействия, примеры. Формализация одновременных взаимодействий в виде игр в нормальной форме. Матричная запись игр с 2 игроками, примеры. Сравнение профилей стратегий по Парето, Парето-оптимальные профили стратегий. Строго/слабо доминирующие стратегии, равновесия в строго/слабо доминирующих стратегиях.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/1 1 неделя], [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/2 2 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-1 1 неделя], [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-2 2 неделя]<br />
<br />
Алексей Савватеев <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=17176675618925890445&reqid=1662237943241960-2957665704564396072-vla1-2251-vla-l7-balancer-8080-BAL-6432&suggest_reqid=557135369158636339279440407783687&text=савватеев+теория+игр+лекция+1 Лекция 1] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=16196426250303824634&reqid=1662239129399232-15992862096193270937-vla1-2251-vla-l7-balancer-8080-BAL-61&suggest_reqid=557135369158636339291301794755819&text=савватеев+теория+игр+лекция+2 Лекция 2] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=11396199022059523635&suggest_reqid=557135369158636339291396043965073&text=савватеев+теория+игр+лекция+3 Лекция 3] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=11474602284554133982&reqid=1662239210097183-15470061965215477178-vla1-2251-vla-l7-balancer-8080-BAL-2138&suggest_reqid=557135369158636339292106870659353&text=савватеев+теория+игр+лекция+4 Лекция 4]<br />
<br />
|-<br />
|10.09.2022<br />
|Игры в нормальной форме, пример формализации игры с тремя игроками в виде нескольких матриц, примеры игр с большим количеством игроков. Равновесия, получаемые последовательным исключением строго/слабо доминируемых стратегий. Минимаксные (все против меня) и максиминные (осторожные) стратегии. Равновесие Нэша.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/2 2 неделя], [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/3 3 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-3 3-7 неделя]<br />
<br />
Алексей Савватеев <br />
[https://yandex.ru/video/preview/5743819050015473973 Лекция 5] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/7613644260134860259 Лекция 6] <br />
<br />
<br />
|-<br />
|17.09.2022<br />
|Пример игры со многими игроками (угадать среднее арифметическое всех названных чисел): максиминные и минимаксные стратегии игроков, Парето-оптимальные профили, равновесия Нэша.<br />
Смешанные стратегии, ожидаемые платежи, равновесие Нэша в смешанных стратегиях, теорема Нэша, исключение строго/слабо доминируемых стратегий с помощью смешанных стратегий.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/8 8 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-9 9-10 неделя]<br />
<br />
Алексей Савватеев <br />
[https://yandex.ru/video/preview/15857287820861354547 Лекция 10]<br />
[https://yandex.ru/video/preview/12182277885949068581 Лекция 12]<br />
<br />
|-<br />
|24.09.2022<br />
|Поиск равновесий Нэша в смешанных стратегиях, графический метод сравнения платежей игрока, проверка равновесий на устойчивость.<br />
Аукционы: примеры, свойства, сходства, различия, субъективная оценка стоимости лота и связь этой оценки со ставкой на аукционе.<br />
<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/SM5jmzWoI3qPbg Обзорная статья А.В.Савватеева про аукционы]<br />
<br />
|-<br />
|1.10.2022<br />
|Модель предвыборной конкуренции Хоттелинга-Даунса: предположения модели; случай 2 кандидатов, медианный избиратель, слабо доминирующая стратегия каждого из кандидатов, равновесие Нэша; случай 3 и более кандидатов, максимизация вероятности победы (равновесия Нэша) VS максимизация числа набранных голосов (отсутствие равновесий); случай функции распределения с линейной плотностью.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/4 4 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-3 3 неделя]<br />
<br />
[https://www.youtube.com/watch?v=jILgxeNBK_8 Маленький мультик про модель] (он есть и в переводе, но перевод мне не нравится)<br />
<br />
|-<br />
|15.10.2022<br />
|Игры с неполной информацией. Байесовы игры (типы игроков, веры игроков относительно типов других игроков, ожидаемые платежи игроков). Равновесие Байеса-Нэша.<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/2jVnCUZu8c3qqw Презентация]<br />
<br />
|В.И. Данилов. Лекции по теории игр. Препринт РЭШ, 2002. Лекция 18.<br />
<br />
А.В. Захаров. Теория игр в общественных науках. Пп. 3.1.1.–3.1.2.<br />
<br />
|-<br />
|12.11.2022<br />
|Последовательные стратегические взаимодействия: примеры, формализация в виде игры в развернутой форме (дерево игры), определение количества стратегий каждого игрока, определение количества подыгр, нахождение матрицы игры по дереву игры, поиск NE, алгоритм обратной индукции, SPNE.<br />
Теорема Цермело-Куна про существование SPNE в любой конечной (!) последовательной игре.<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/5 5-6 недели]<br><br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-14 14-15 неделя]<br><br />
Dixit A., Nalebuff B. The Art of Strategy. Chapters 2,6,7;<br><br />
А.В. Захаров. Теория игр в общественных науках. Пп. 2.1.1.–2.1.3.<br><br />
Schelling T., The Strategy of Conflict;<br><br />
В.И. Данилов. Лекции по теории игр. Препринт РЭШ, 2002. Лекция 1.<br />
<br />
<br />
|-<br />
|19.11.2022<br />
|Последовательные взаимодействия повторение: стратегии, подыгры, нахождение матрицы игры, поиск NE, поиск SPNE.<br><br />
Игры с Коммитментом: примеры последовательных игр, в которых одному из игроков выгодно взять на себя связывающее обязательство.<br><br />
Игры с несовершенной информацией: пример, определение стратегий, подыгр, SPNE.<br><br />
Байесовы игры: повторение на примере военных действий.<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/6 6 неделя]<br><br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-19 19 неделя]<br />
[https://disk.yandex.ru/i/9G0aizetfHPsDA Решение игры со странами]<br />
<br />
|-<br />
|26.11.2022<br />
|Игры с несовершенной информацией: отличие от последовательных взаимодействий с полной информацией, возможное отсутствие SPNE.<br><br />
Игры с несовершенной информацией: примеры, определение стратегий, подыгр, формирование матриц игр и подыгр, поиск NE и SPNE.<br><br />
Повторяющиеся игры: описание, примеры, единственность SPNE в случае одного NE в исходной игре и конечного количества периодов, случай нескольких NE в исходной игре, различные стратегии в повторяющейся игре, стратегии «договора».<br><br />
Повторяющаяся дилемма заключенных: различные стратегии, игра «Эволюция доверия».<br />
|[https://notdotteam.github.io/trust/ «Эволюция доверия»]<br><br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-18 18 неделя]<br><br />
В.И. Данилов. Лекции по теории игр. Стр. 73-78 (части лекций 13 и 14).<br />
<br />
|-<br />
|03.12.2022<br />
|По расписанию у нас одна лекция, после нее можно по вашему желанию переписать 1-2 теста.<br />
|<br />
<br />
|}<br />
<br />
== Семинары ==<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/VJs13h-QQVdS4Q Стратегические взаимодействия, игра в нормальной форме, Парето-оптимальность, доминирующие стратегии]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/BLF_B64Yreeb5g Доминируемые стратегии, минимакс, максимин, равновесие Нэша]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/_8VqIZzRSgxlzg Help01]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/7OPbE-e9h4c9dQ Смешанные стратегии и равновесие Нэша в смешанных стратегиях]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/01xPQDvVhuvCBA Help02]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/SGNtqPl_ksiAww Help03]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/O8m8B9K_OxLX8g Модель Хотеллинга-Даунса]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/4qu6gAoZ745GcQ Байесовы игры]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/hn4SNNdq272o_w Help04]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/a0Sisz-HMHVBcw Повторение]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/Tm_SE29-ftPNrQ Лыжники (Help05)]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/Z34sjCItue8wHg Игры в развернутой форме]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/j6HnPuTFEhx9Ug Игры с несовершенной информацией]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/lhL6Etimyaoj_Q Косичка (Help06)]<br />
<br />
== Домашние задания ==<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дедлайн<br />
!файл с заданием<br />
!форма для ответов<br />
|-<br />
|12.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/xPpKHVGXmieNBQ Домашнее задание 1]<br />
|[https://forms.gle/RTdRLZcvNvzpbvyE6 Форма ДЗ-1]<br />
<br />
|-<br />
|19.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/kfMYJkB1iiF_gg Домашнее задание 2]<br />
|[https://forms.gle/oGyY8FSbfeEsYXsv9 Форма ДЗ-2]<br />
<br />
|-<br />
|29.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/nDAZ3wFDfKM4sQ Домашнее задание 3]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSeRf1IbDEzwrjCflHxsekd7ZI5utTqYz-OR53LgnEjY1oGDQw/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-3]<br />
<br />
|-<br />
|9.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/f1cjdiDeUcbq-w Домашнее задание 4]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdFHp3iv9EzMKNvRbNC3YwAWiWOiAkpA8Q7tIrL8qjPQRXf2Q/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-4]<br />
<br />
|-<br />
|16.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/5Sdsj6-1EC-JEQ Домашнее задание 5]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSfFhfclBc8Ts8trQXyOnugxdB-cMF1Zs1weT81Mr82dMjNJwA/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-5]<br />
<br />
|-<br />
|31.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/QpypS8qdocQI_w Турнир 2]<br />
|<br />
<br />
|-<br />
|16.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/AMS9JEJQ6M8Avw Домашнее задание 6]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdL5yClVlgNVRp6Eiu9izN1_sfjI2vZyzxaa8GlYy8kSl0R9A/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-6]<br />
<br />
|-<br />
|26.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/GK3pnapp0_H_wA Домашнее задание 7]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdM1lS-RAwM1Lg3XWLYvN5kUEXgQ2ozvWjOUlUyKOtVMrii6w/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-7]<br />
<br />
|-<br />
|6.12.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/rkYd9uJ_1zf05w Домашнее задание 8]<br />
|<br />
|}</div>Любовь Сысоеваhttp://math-info.hse.ru/wiki2022-23/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B8%D0%B3%D1%80&diff=437Теория игр2022-11-27T15:55:08Z<p>Любовь Сысоева: /* Домашние задания */</p>
<hr />
<div>'''Дорогие студенты!'''<br />
<br />
На этой странице будут появляться различные материалы и объявления, связанные с курсом '''«Теория игр»''', читаемого для студентов 3-го курса ОП Политология в '''2022/2023''' учебном году. <br />
<br />
* Лекции читает: Сысоева Любовь Николаевна lsysoeva@hse.ru, telegram @lsysoeva<br />
* Семинары (201 и 203): Паршина Анастасия Алексеевна a.a.parshina@ya.ru, telegram @aaparshina<br />
* Семинары (202 и 204): Краснокутская Александра Львовна al.krasnokutskaya@gmail.com<br />
* Ассистенты: Арзуманян Артур telegram @artshic и Крипайтис Кирилл telegram @ppppprik<br />
<br />
''Формула итоговой оценки'':<br />
О<sub>Итоговая</sub> =0,25*О<sub>Экзамен</sub> +0,25*О<sub>К/р</sub> + 0,25*О<sub>ДЗ</sub> + 0,25*О<sub>Активность</sub> , где О<sub>Активность</sub> = 0,5∗О<sub>Активность_Семинары</sub> + 0,5∗О<sub>Активность_Лекции</sub><br />
<br />
Оценки за Экзамен, КР, ДЗ, Активность являются целыми числами (округление по правилам арифметики), оценки Активность_Семинары и Активность_Лекции не округляются.<br />
<br />
== Контрольная работа ==<br />
Контрольная работа состоится 5го ноября в 11:00 по адресу Мясницкая д.11.<br />
<br />
В контрольную войдут все темы, рассмотренные в первом модуле на семинарах и в домашних работах.<br />
<br />
Если нужны будут дополнительные задачи для тренировки на какую-то конкретную тему, пишите в телеграм @lsysoeva, выложу одну-две задачи в дополнение.<br />
<br />
На контрольной можно пользоваться калькулятором (но не телефоном!) и собственным листом формата А4 с любыми записями с двух сторон.<br />
<br />
Демо-версии контрольной не предусмотрено в силу уникальности каждой задачи по теории игр, при подготовке стоит ориентироваться на задачи из семинаров и домашних работ.<br />
<br />
== Ведомости ==<br />
<br />
{|<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1fwKHS6v9XstPVA-KBLnc0yduBW8M6kdhGIYgu8-V728/edit?usp=sharing Активность 201] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1X61fBoP8Xmcw0KhJpnJa7RvvVSiKX_oGzX9iVVnvprw/edit?usp=sharing ДЗ 201]<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1yP9MbG9nTMdMNTDYSBdwVw1CBILOnQ_iWtq9_VSFm5g/edit?usp=sharing Активность 202] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1-Or4AzLTDN8BAqLAmCTXe7ikGkIteE2n0rl9L3YFDnI/edit?usp=sharing ДЗ 202]<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1z5mollNQ_6fVsg22wV6M50i1pa8g3h7D94FnZ2QLKAQ/edit?usp=sharing Активность 203] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r3Jr51DI6ZKXIjc9_DGSP6ap9hp5Cz30ixO9Bssgah0/edit?usp=sharing ДЗ 203]<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/14O560WPkH4zb1zx2v7IcHYBnSsxW3OoLscqCmwjcyqM/edit?usp=sharing Активность 204] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1LThjvW2FlgqHKGD0pfT6GCiYfK6cGASyAx-DSWdHjsA/edit?usp=sharing ДЗ 204]<br />
|}<br />
<br />
== Лекции ==<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дата лекции<br />
!тема лекции<br />
!дополнительные материалы<br />
|-<br />
|03.09.2022<br />
|Стратегические и нестратегические взаимодействия, примеры. Формализация одновременных взаимодействий в виде игр в нормальной форме. Матричная запись игр с 2 игроками, примеры. Сравнение профилей стратегий по Парето, Парето-оптимальные профили стратегий. Строго/слабо доминирующие стратегии, равновесия в строго/слабо доминирующих стратегиях.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/1 1 неделя], [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/2 2 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-1 1 неделя], [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-2 2 неделя]<br />
<br />
Алексей Савватеев <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=17176675618925890445&reqid=1662237943241960-2957665704564396072-vla1-2251-vla-l7-balancer-8080-BAL-6432&suggest_reqid=557135369158636339279440407783687&text=савватеев+теория+игр+лекция+1 Лекция 1] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=16196426250303824634&reqid=1662239129399232-15992862096193270937-vla1-2251-vla-l7-balancer-8080-BAL-61&suggest_reqid=557135369158636339291301794755819&text=савватеев+теория+игр+лекция+2 Лекция 2] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=11396199022059523635&suggest_reqid=557135369158636339291396043965073&text=савватеев+теория+игр+лекция+3 Лекция 3] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=11474602284554133982&reqid=1662239210097183-15470061965215477178-vla1-2251-vla-l7-balancer-8080-BAL-2138&suggest_reqid=557135369158636339292106870659353&text=савватеев+теория+игр+лекция+4 Лекция 4]<br />
<br />
|-<br />
|10.09.2022<br />
|Игры в нормальной форме, пример формализации игры с тремя игроками в виде нескольких матриц, примеры игр с большим количеством игроков. Равновесия, получаемые последовательным исключением строго/слабо доминируемых стратегий. Минимаксные (все против меня) и максиминные (осторожные) стратегии. Равновесие Нэша.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/2 2 неделя], [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/3 3 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-3 3-7 неделя]<br />
<br />
Алексей Савватеев <br />
[https://yandex.ru/video/preview/5743819050015473973 Лекция 5] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/7613644260134860259 Лекция 6] <br />
<br />
<br />
|-<br />
|17.09.2022<br />
|Пример игры со многими игроками (угадать среднее арифметическое всех названных чисел): максиминные и минимаксные стратегии игроков, Парето-оптимальные профили, равновесия Нэша.<br />
Смешанные стратегии, ожидаемые платежи, равновесие Нэша в смешанных стратегиях, теорема Нэша, исключение строго/слабо доминируемых стратегий с помощью смешанных стратегий.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/8 8 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-9 9-10 неделя]<br />
<br />
Алексей Савватеев <br />
[https://yandex.ru/video/preview/15857287820861354547 Лекция 10]<br />
[https://yandex.ru/video/preview/12182277885949068581 Лекция 12]<br />
<br />
|-<br />
|24.09.2022<br />
|Поиск равновесий Нэша в смешанных стратегиях, графический метод сравнения платежей игрока, проверка равновесий на устойчивость.<br />
Аукционы: примеры, свойства, сходства, различия, субъективная оценка стоимости лота и связь этой оценки со ставкой на аукционе.<br />
<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/SM5jmzWoI3qPbg Обзорная статья А.В.Савватеева про аукционы]<br />
<br />
|-<br />
|1.10.2022<br />
|Модель предвыборной конкуренции Хоттелинга-Даунса: предположения модели; случай 2 кандидатов, медианный избиратель, слабо доминирующая стратегия каждого из кандидатов, равновесие Нэша; случай 3 и более кандидатов, максимизация вероятности победы (равновесия Нэша) VS максимизация числа набранных голосов (отсутствие равновесий); случай функции распределения с линейной плотностью.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/4 4 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-3 3 неделя]<br />
<br />
[https://www.youtube.com/watch?v=jILgxeNBK_8 Маленький мультик про модель] (он есть и в переводе, но перевод мне не нравится)<br />
<br />
|-<br />
|15.10.2022<br />
|Игры с неполной информацией. Байесовы игры (типы игроков, веры игроков относительно типов других игроков, ожидаемые платежи игроков). Равновесие Байеса-Нэша.<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/2jVnCUZu8c3qqw Презентация]<br />
<br />
|В.И. Данилов. Лекции по теории игр. Препринт РЭШ, 2002. Лекция 18.<br />
<br />
А.В. Захаров. Теория игр в общественных науках. Пп. 3.1.1.–3.1.2.<br />
<br />
|-<br />
|12.11.2022<br />
|Последовательные стратегические взаимодействия: примеры, формализация в виде игры в развернутой форме (дерево игры), определение количества стратегий каждого игрока, определение количества подыгр, нахождение матрицы игры по дереву игры, поиск NE, алгоритм обратной индукции, SPNE.<br />
Теорема Цермело-Куна про существование SPNE в любой конечной (!) последовательной игре.<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/5 5-6 недели]<br><br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-14 14-15 неделя]<br><br />
Dixit A., Nalebuff B. The Art of Strategy. Chapters 2,6,7;<br><br />
А.В. Захаров. Теория игр в общественных науках. Пп. 2.1.1.–2.1.3.<br><br />
Schelling T., The Strategy of Conflict;<br><br />
В.И. Данилов. Лекции по теории игр. Препринт РЭШ, 2002. Лекция 1.<br />
<br />
<br />
|-<br />
|19.11.2022<br />
|Последовательные взаимодействия повторение: стратегии, подыгры, нахождение матрицы игры, поиск NE, поиск SPNE.<br><br />
Игры с Коммитментом: примеры последовательных игр, в которых одному из игроков выгодно взять на себя связывающее обязательство.<br><br />
Игры с несовершенной информацией: пример, определение стратегий, подыгр, SPNE.<br><br />
Байесовы игры: повторение на примере военных действий.<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/6 6 неделя]<br><br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-19 19 неделя]<br />
[https://disk.yandex.ru/i/9G0aizetfHPsDA Решение игры со странами]<br />
<br />
|-<br />
|26.11.2022<br />
|Игры с несовершенной информацией: отличие от последовательных взаимодействий с полной информацией, возможное отсутствие SPNE.<br><br />
Игры с несовершенной информацией: примеры, определение стратегий, подыгр, формирование матриц игр и подыгр, поиск NE и SPNE.<br><br />
Повторяющиеся игры: описание, примеры, единственность SPNE в случае одного NE в исходной игре и конечного количества периодов, случай нескольких NE в исходной игре, различные стратегии в повторяющейся игре, стратегии «договора».<br><br />
Повторяющаяся дилемма заключенных: различные стратегии, игра «Эволюция доверия».<br />
|[https://notdotteam.github.io/trust/ «Эволюция доверия»]<br><br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-18 18 неделя]<br><br />
В.И. Данилов. Лекции по теории игр. Стр. 73-78 (части лекций 13 и 14).<br />
<br />
|-<br />
|03.12.2022<br />
|По расписанию у нас одна лекция, после нее можно по вашему желанию переписать 1-2 теста.<br />
|<br />
<br />
|}<br />
<br />
== Семинары ==<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/VJs13h-QQVdS4Q Стратегические взаимодействия, игра в нормальной форме, Парето-оптимальность, доминирующие стратегии]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/BLF_B64Yreeb5g Доминируемые стратегии, минимакс, максимин, равновесие Нэша]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/_8VqIZzRSgxlzg Help01]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/7OPbE-e9h4c9dQ Смешанные стратегии и равновесие Нэша в смешанных стратегиях]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/01xPQDvVhuvCBA Help02]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/SGNtqPl_ksiAww Help03]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/O8m8B9K_OxLX8g Модель Хотеллинга-Даунса]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/4qu6gAoZ745GcQ Байесовы игры]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/hn4SNNdq272o_w Help04]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/a0Sisz-HMHVBcw Повторение]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/Tm_SE29-ftPNrQ Лыжники (Help05)]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/Z34sjCItue8wHg Игры в развернутой форме]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/j6HnPuTFEhx9Ug Игры с несовершенной информацией]<br />
<br />
== Домашние задания ==<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дедлайн<br />
!файл с заданием<br />
!форма для ответов<br />
|-<br />
|12.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/xPpKHVGXmieNBQ Домашнее задание 1]<br />
|[https://forms.gle/RTdRLZcvNvzpbvyE6 Форма ДЗ-1]<br />
<br />
|-<br />
|19.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/kfMYJkB1iiF_gg Домашнее задание 2]<br />
|[https://forms.gle/oGyY8FSbfeEsYXsv9 Форма ДЗ-2]<br />
<br />
|-<br />
|29.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/nDAZ3wFDfKM4sQ Домашнее задание 3]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSeRf1IbDEzwrjCflHxsekd7ZI5utTqYz-OR53LgnEjY1oGDQw/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-3]<br />
<br />
|-<br />
|9.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/f1cjdiDeUcbq-w Домашнее задание 4]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdFHp3iv9EzMKNvRbNC3YwAWiWOiAkpA8Q7tIrL8qjPQRXf2Q/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-4]<br />
<br />
|-<br />
|16.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/5Sdsj6-1EC-JEQ Домашнее задание 5]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSfFhfclBc8Ts8trQXyOnugxdB-cMF1Zs1weT81Mr82dMjNJwA/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-5]<br />
<br />
|-<br />
|31.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/QpypS8qdocQI_w Турнир 2]<br />
|<br />
<br />
|-<br />
|16.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/AMS9JEJQ6M8Avw Домашнее задание 6]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdL5yClVlgNVRp6Eiu9izN1_sfjI2vZyzxaa8GlYy8kSl0R9A/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-6]<br />
<br />
|-<br />
|26.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/GK3pnapp0_H_wA Домашнее задание 7]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdM1lS-RAwM1Lg3XWLYvN5kUEXgQ2ozvWjOUlUyKOtVMrii6w/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-7]<br />
<br />
|-<br />
|6.12.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/rkYd9uJ_1zf05w Домашнее задание 8]<br />
|<br />
|}</div>Любовь Сысоеваhttp://math-info.hse.ru/wiki2022-23/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B8%D0%B3%D1%80&diff=436Теория игр2022-11-27T15:54:34Z<p>Любовь Сысоева: /* Домашние задания */</p>
<hr />
<div>'''Дорогие студенты!'''<br />
<br />
На этой странице будут появляться различные материалы и объявления, связанные с курсом '''«Теория игр»''', читаемого для студентов 3-го курса ОП Политология в '''2022/2023''' учебном году. <br />
<br />
* Лекции читает: Сысоева Любовь Николаевна lsysoeva@hse.ru, telegram @lsysoeva<br />
* Семинары (201 и 203): Паршина Анастасия Алексеевна a.a.parshina@ya.ru, telegram @aaparshina<br />
* Семинары (202 и 204): Краснокутская Александра Львовна al.krasnokutskaya@gmail.com<br />
* Ассистенты: Арзуманян Артур telegram @artshic и Крипайтис Кирилл telegram @ppppprik<br />
<br />
''Формула итоговой оценки'':<br />
О<sub>Итоговая</sub> =0,25*О<sub>Экзамен</sub> +0,25*О<sub>К/р</sub> + 0,25*О<sub>ДЗ</sub> + 0,25*О<sub>Активность</sub> , где О<sub>Активность</sub> = 0,5∗О<sub>Активность_Семинары</sub> + 0,5∗О<sub>Активность_Лекции</sub><br />
<br />
Оценки за Экзамен, КР, ДЗ, Активность являются целыми числами (округление по правилам арифметики), оценки Активность_Семинары и Активность_Лекции не округляются.<br />
<br />
== Контрольная работа ==<br />
Контрольная работа состоится 5го ноября в 11:00 по адресу Мясницкая д.11.<br />
<br />
В контрольную войдут все темы, рассмотренные в первом модуле на семинарах и в домашних работах.<br />
<br />
Если нужны будут дополнительные задачи для тренировки на какую-то конкретную тему, пишите в телеграм @lsysoeva, выложу одну-две задачи в дополнение.<br />
<br />
На контрольной можно пользоваться калькулятором (но не телефоном!) и собственным листом формата А4 с любыми записями с двух сторон.<br />
<br />
Демо-версии контрольной не предусмотрено в силу уникальности каждой задачи по теории игр, при подготовке стоит ориентироваться на задачи из семинаров и домашних работ.<br />
<br />
== Ведомости ==<br />
<br />
{|<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1fwKHS6v9XstPVA-KBLnc0yduBW8M6kdhGIYgu8-V728/edit?usp=sharing Активность 201] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1X61fBoP8Xmcw0KhJpnJa7RvvVSiKX_oGzX9iVVnvprw/edit?usp=sharing ДЗ 201]<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1yP9MbG9nTMdMNTDYSBdwVw1CBILOnQ_iWtq9_VSFm5g/edit?usp=sharing Активность 202] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1-Or4AzLTDN8BAqLAmCTXe7ikGkIteE2n0rl9L3YFDnI/edit?usp=sharing ДЗ 202]<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1z5mollNQ_6fVsg22wV6M50i1pa8g3h7D94FnZ2QLKAQ/edit?usp=sharing Активность 203] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r3Jr51DI6ZKXIjc9_DGSP6ap9hp5Cz30ixO9Bssgah0/edit?usp=sharing ДЗ 203]<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/14O560WPkH4zb1zx2v7IcHYBnSsxW3OoLscqCmwjcyqM/edit?usp=sharing Активность 204] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1LThjvW2FlgqHKGD0pfT6GCiYfK6cGASyAx-DSWdHjsA/edit?usp=sharing ДЗ 204]<br />
|}<br />
<br />
== Лекции ==<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дата лекции<br />
!тема лекции<br />
!дополнительные материалы<br />
|-<br />
|03.09.2022<br />
|Стратегические и нестратегические взаимодействия, примеры. Формализация одновременных взаимодействий в виде игр в нормальной форме. Матричная запись игр с 2 игроками, примеры. Сравнение профилей стратегий по Парето, Парето-оптимальные профили стратегий. Строго/слабо доминирующие стратегии, равновесия в строго/слабо доминирующих стратегиях.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/1 1 неделя], [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/2 2 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-1 1 неделя], [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-2 2 неделя]<br />
<br />
Алексей Савватеев <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=17176675618925890445&reqid=1662237943241960-2957665704564396072-vla1-2251-vla-l7-balancer-8080-BAL-6432&suggest_reqid=557135369158636339279440407783687&text=савватеев+теория+игр+лекция+1 Лекция 1] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=16196426250303824634&reqid=1662239129399232-15992862096193270937-vla1-2251-vla-l7-balancer-8080-BAL-61&suggest_reqid=557135369158636339291301794755819&text=савватеев+теория+игр+лекция+2 Лекция 2] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=11396199022059523635&suggest_reqid=557135369158636339291396043965073&text=савватеев+теория+игр+лекция+3 Лекция 3] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=11474602284554133982&reqid=1662239210097183-15470061965215477178-vla1-2251-vla-l7-balancer-8080-BAL-2138&suggest_reqid=557135369158636339292106870659353&text=савватеев+теория+игр+лекция+4 Лекция 4]<br />
<br />
|-<br />
|10.09.2022<br />
|Игры в нормальной форме, пример формализации игры с тремя игроками в виде нескольких матриц, примеры игр с большим количеством игроков. Равновесия, получаемые последовательным исключением строго/слабо доминируемых стратегий. Минимаксные (все против меня) и максиминные (осторожные) стратегии. Равновесие Нэша.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/2 2 неделя], [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/3 3 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-3 3-7 неделя]<br />
<br />
Алексей Савватеев <br />
[https://yandex.ru/video/preview/5743819050015473973 Лекция 5] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/7613644260134860259 Лекция 6] <br />
<br />
<br />
|-<br />
|17.09.2022<br />
|Пример игры со многими игроками (угадать среднее арифметическое всех названных чисел): максиминные и минимаксные стратегии игроков, Парето-оптимальные профили, равновесия Нэша.<br />
Смешанные стратегии, ожидаемые платежи, равновесие Нэша в смешанных стратегиях, теорема Нэша, исключение строго/слабо доминируемых стратегий с помощью смешанных стратегий.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/8 8 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-9 9-10 неделя]<br />
<br />
Алексей Савватеев <br />
[https://yandex.ru/video/preview/15857287820861354547 Лекция 10]<br />
[https://yandex.ru/video/preview/12182277885949068581 Лекция 12]<br />
<br />
|-<br />
|24.09.2022<br />
|Поиск равновесий Нэша в смешанных стратегиях, графический метод сравнения платежей игрока, проверка равновесий на устойчивость.<br />
Аукционы: примеры, свойства, сходства, различия, субъективная оценка стоимости лота и связь этой оценки со ставкой на аукционе.<br />
<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/SM5jmzWoI3qPbg Обзорная статья А.В.Савватеева про аукционы]<br />
<br />
|-<br />
|1.10.2022<br />
|Модель предвыборной конкуренции Хоттелинга-Даунса: предположения модели; случай 2 кандидатов, медианный избиратель, слабо доминирующая стратегия каждого из кандидатов, равновесие Нэша; случай 3 и более кандидатов, максимизация вероятности победы (равновесия Нэша) VS максимизация числа набранных голосов (отсутствие равновесий); случай функции распределения с линейной плотностью.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/4 4 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-3 3 неделя]<br />
<br />
[https://www.youtube.com/watch?v=jILgxeNBK_8 Маленький мультик про модель] (он есть и в переводе, но перевод мне не нравится)<br />
<br />
|-<br />
|15.10.2022<br />
|Игры с неполной информацией. Байесовы игры (типы игроков, веры игроков относительно типов других игроков, ожидаемые платежи игроков). Равновесие Байеса-Нэша.<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/2jVnCUZu8c3qqw Презентация]<br />
<br />
|В.И. Данилов. Лекции по теории игр. Препринт РЭШ, 2002. Лекция 18.<br />
<br />
А.В. Захаров. Теория игр в общественных науках. Пп. 3.1.1.–3.1.2.<br />
<br />
|-<br />
|12.11.2022<br />
|Последовательные стратегические взаимодействия: примеры, формализация в виде игры в развернутой форме (дерево игры), определение количества стратегий каждого игрока, определение количества подыгр, нахождение матрицы игры по дереву игры, поиск NE, алгоритм обратной индукции, SPNE.<br />
Теорема Цермело-Куна про существование SPNE в любой конечной (!) последовательной игре.<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/5 5-6 недели]<br><br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-14 14-15 неделя]<br><br />
Dixit A., Nalebuff B. The Art of Strategy. Chapters 2,6,7;<br><br />
А.В. Захаров. Теория игр в общественных науках. Пп. 2.1.1.–2.1.3.<br><br />
Schelling T., The Strategy of Conflict;<br><br />
В.И. Данилов. Лекции по теории игр. Препринт РЭШ, 2002. Лекция 1.<br />
<br />
<br />
|-<br />
|19.11.2022<br />
|Последовательные взаимодействия повторение: стратегии, подыгры, нахождение матрицы игры, поиск NE, поиск SPNE.<br><br />
Игры с Коммитментом: примеры последовательных игр, в которых одному из игроков выгодно взять на себя связывающее обязательство.<br><br />
Игры с несовершенной информацией: пример, определение стратегий, подыгр, SPNE.<br><br />
Байесовы игры: повторение на примере военных действий.<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/6 6 неделя]<br><br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-19 19 неделя]<br />
[https://disk.yandex.ru/i/9G0aizetfHPsDA Решение игры со странами]<br />
<br />
|-<br />
|26.11.2022<br />
|Игры с несовершенной информацией: отличие от последовательных взаимодействий с полной информацией, возможное отсутствие SPNE.<br><br />
Игры с несовершенной информацией: примеры, определение стратегий, подыгр, формирование матриц игр и подыгр, поиск NE и SPNE.<br><br />
Повторяющиеся игры: описание, примеры, единственность SPNE в случае одного NE в исходной игре и конечного количества периодов, случай нескольких NE в исходной игре, различные стратегии в повторяющейся игре, стратегии «договора».<br><br />
Повторяющаяся дилемма заключенных: различные стратегии, игра «Эволюция доверия».<br />
|[https://notdotteam.github.io/trust/ «Эволюция доверия»]<br><br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-18 18 неделя]<br><br />
В.И. Данилов. Лекции по теории игр. Стр. 73-78 (части лекций 13 и 14).<br />
<br />
|-<br />
|03.12.2022<br />
|По расписанию у нас одна лекция, после нее можно по вашему желанию переписать 1-2 теста.<br />
|<br />
<br />
|}<br />
<br />
== Семинары ==<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/VJs13h-QQVdS4Q Стратегические взаимодействия, игра в нормальной форме, Парето-оптимальность, доминирующие стратегии]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/BLF_B64Yreeb5g Доминируемые стратегии, минимакс, максимин, равновесие Нэша]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/_8VqIZzRSgxlzg Help01]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/7OPbE-e9h4c9dQ Смешанные стратегии и равновесие Нэша в смешанных стратегиях]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/01xPQDvVhuvCBA Help02]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/SGNtqPl_ksiAww Help03]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/O8m8B9K_OxLX8g Модель Хотеллинга-Даунса]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/4qu6gAoZ745GcQ Байесовы игры]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/hn4SNNdq272o_w Help04]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/a0Sisz-HMHVBcw Повторение]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/Tm_SE29-ftPNrQ Лыжники (Help05)]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/Z34sjCItue8wHg Игры в развернутой форме]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/j6HnPuTFEhx9Ug Игры с несовершенной информацией]<br />
<br />
== Домашние задания ==<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дедлайн<br />
!файл с заданием<br />
!форма для ответов<br />
|-<br />
|12.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/xPpKHVGXmieNBQ Домашнее задание 1]<br />
|[https://forms.gle/RTdRLZcvNvzpbvyE6 Форма ДЗ-1]<br />
<br />
|-<br />
|19.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/kfMYJkB1iiF_gg Домашнее задание 2]<br />
|[https://forms.gle/oGyY8FSbfeEsYXsv9 Форма ДЗ-2]<br />
<br />
|-<br />
|29.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/nDAZ3wFDfKM4sQ Домашнее задание 3]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSeRf1IbDEzwrjCflHxsekd7ZI5utTqYz-OR53LgnEjY1oGDQw/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-3]<br />
<br />
|-<br />
|9.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/f1cjdiDeUcbq-w Домашнее задание 4]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdFHp3iv9EzMKNvRbNC3YwAWiWOiAkpA8Q7tIrL8qjPQRXf2Q/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-4]<br />
<br />
|-<br />
|16.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/5Sdsj6-1EC-JEQ Домашнее задание 5]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSfFhfclBc8Ts8trQXyOnugxdB-cMF1Zs1weT81Mr82dMjNJwA/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-5]<br />
<br />
|-<br />
|31.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/QpypS8qdocQI_w Турнир 2]<br />
|<br />
<br />
|-<br />
|16.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/AMS9JEJQ6M8Avw Домашнее задание 6]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdL5yClVlgNVRp6Eiu9izN1_sfjI2vZyzxaa8GlYy8kSl0R9A/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-6]<br />
<br />
|-<br />
|26.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/GK3pnapp0_H_wA Домашнее задание 7]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdM1lS-RAwM1Lg3XWLYvN5kUEXgQ2ozvWjOUlUyKOtVMrii6w/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-7]<br />
<br />
|-<br />
|6.12.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/rkYd9uJ_1zf05w Домашнее задание 8]<br />
|<br />
<br />
<br />
<br />
|}</div>Любовь Сысоеваhttp://math-info.hse.ru/wiki2022-23/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B8%D0%B3%D1%80&diff=435Теория игр2022-11-27T14:57:32Z<p>Любовь Сысоева: /* Лекции */</p>
<hr />
<div>'''Дорогие студенты!'''<br />
<br />
На этой странице будут появляться различные материалы и объявления, связанные с курсом '''«Теория игр»''', читаемого для студентов 3-го курса ОП Политология в '''2022/2023''' учебном году. <br />
<br />
* Лекции читает: Сысоева Любовь Николаевна lsysoeva@hse.ru, telegram @lsysoeva<br />
* Семинары (201 и 203): Паршина Анастасия Алексеевна a.a.parshina@ya.ru, telegram @aaparshina<br />
* Семинары (202 и 204): Краснокутская Александра Львовна al.krasnokutskaya@gmail.com<br />
* Ассистенты: Арзуманян Артур telegram @artshic и Крипайтис Кирилл telegram @ppppprik<br />
<br />
''Формула итоговой оценки'':<br />
О<sub>Итоговая</sub> =0,25*О<sub>Экзамен</sub> +0,25*О<sub>К/р</sub> + 0,25*О<sub>ДЗ</sub> + 0,25*О<sub>Активность</sub> , где О<sub>Активность</sub> = 0,5∗О<sub>Активность_Семинары</sub> + 0,5∗О<sub>Активность_Лекции</sub><br />
<br />
Оценки за Экзамен, КР, ДЗ, Активность являются целыми числами (округление по правилам арифметики), оценки Активность_Семинары и Активность_Лекции не округляются.<br />
<br />
== Контрольная работа ==<br />
Контрольная работа состоится 5го ноября в 11:00 по адресу Мясницкая д.11.<br />
<br />
В контрольную войдут все темы, рассмотренные в первом модуле на семинарах и в домашних работах.<br />
<br />
Если нужны будут дополнительные задачи для тренировки на какую-то конкретную тему, пишите в телеграм @lsysoeva, выложу одну-две задачи в дополнение.<br />
<br />
На контрольной можно пользоваться калькулятором (но не телефоном!) и собственным листом формата А4 с любыми записями с двух сторон.<br />
<br />
Демо-версии контрольной не предусмотрено в силу уникальности каждой задачи по теории игр, при подготовке стоит ориентироваться на задачи из семинаров и домашних работ.<br />
<br />
== Ведомости ==<br />
<br />
{|<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1fwKHS6v9XstPVA-KBLnc0yduBW8M6kdhGIYgu8-V728/edit?usp=sharing Активность 201] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1X61fBoP8Xmcw0KhJpnJa7RvvVSiKX_oGzX9iVVnvprw/edit?usp=sharing ДЗ 201]<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1yP9MbG9nTMdMNTDYSBdwVw1CBILOnQ_iWtq9_VSFm5g/edit?usp=sharing Активность 202] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1-Or4AzLTDN8BAqLAmCTXe7ikGkIteE2n0rl9L3YFDnI/edit?usp=sharing ДЗ 202]<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1z5mollNQ_6fVsg22wV6M50i1pa8g3h7D94FnZ2QLKAQ/edit?usp=sharing Активность 203] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r3Jr51DI6ZKXIjc9_DGSP6ap9hp5Cz30ixO9Bssgah0/edit?usp=sharing ДЗ 203]<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/14O560WPkH4zb1zx2v7IcHYBnSsxW3OoLscqCmwjcyqM/edit?usp=sharing Активность 204] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1LThjvW2FlgqHKGD0pfT6GCiYfK6cGASyAx-DSWdHjsA/edit?usp=sharing ДЗ 204]<br />
|}<br />
<br />
== Лекции ==<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дата лекции<br />
!тема лекции<br />
!дополнительные материалы<br />
|-<br />
|03.09.2022<br />
|Стратегические и нестратегические взаимодействия, примеры. Формализация одновременных взаимодействий в виде игр в нормальной форме. Матричная запись игр с 2 игроками, примеры. Сравнение профилей стратегий по Парето, Парето-оптимальные профили стратегий. Строго/слабо доминирующие стратегии, равновесия в строго/слабо доминирующих стратегиях.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/1 1 неделя], [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/2 2 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-1 1 неделя], [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-2 2 неделя]<br />
<br />
Алексей Савватеев <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=17176675618925890445&reqid=1662237943241960-2957665704564396072-vla1-2251-vla-l7-balancer-8080-BAL-6432&suggest_reqid=557135369158636339279440407783687&text=савватеев+теория+игр+лекция+1 Лекция 1] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=16196426250303824634&reqid=1662239129399232-15992862096193270937-vla1-2251-vla-l7-balancer-8080-BAL-61&suggest_reqid=557135369158636339291301794755819&text=савватеев+теория+игр+лекция+2 Лекция 2] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=11396199022059523635&suggest_reqid=557135369158636339291396043965073&text=савватеев+теория+игр+лекция+3 Лекция 3] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=11474602284554133982&reqid=1662239210097183-15470061965215477178-vla1-2251-vla-l7-balancer-8080-BAL-2138&suggest_reqid=557135369158636339292106870659353&text=савватеев+теория+игр+лекция+4 Лекция 4]<br />
<br />
|-<br />
|10.09.2022<br />
|Игры в нормальной форме, пример формализации игры с тремя игроками в виде нескольких матриц, примеры игр с большим количеством игроков. Равновесия, получаемые последовательным исключением строго/слабо доминируемых стратегий. Минимаксные (все против меня) и максиминные (осторожные) стратегии. Равновесие Нэша.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/2 2 неделя], [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/3 3 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-3 3-7 неделя]<br />
<br />
Алексей Савватеев <br />
[https://yandex.ru/video/preview/5743819050015473973 Лекция 5] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/7613644260134860259 Лекция 6] <br />
<br />
<br />
|-<br />
|17.09.2022<br />
|Пример игры со многими игроками (угадать среднее арифметическое всех названных чисел): максиминные и минимаксные стратегии игроков, Парето-оптимальные профили, равновесия Нэша.<br />
Смешанные стратегии, ожидаемые платежи, равновесие Нэша в смешанных стратегиях, теорема Нэша, исключение строго/слабо доминируемых стратегий с помощью смешанных стратегий.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/8 8 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-9 9-10 неделя]<br />
<br />
Алексей Савватеев <br />
[https://yandex.ru/video/preview/15857287820861354547 Лекция 10]<br />
[https://yandex.ru/video/preview/12182277885949068581 Лекция 12]<br />
<br />
|-<br />
|24.09.2022<br />
|Поиск равновесий Нэша в смешанных стратегиях, графический метод сравнения платежей игрока, проверка равновесий на устойчивость.<br />
Аукционы: примеры, свойства, сходства, различия, субъективная оценка стоимости лота и связь этой оценки со ставкой на аукционе.<br />
<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/SM5jmzWoI3qPbg Обзорная статья А.В.Савватеева про аукционы]<br />
<br />
|-<br />
|1.10.2022<br />
|Модель предвыборной конкуренции Хоттелинга-Даунса: предположения модели; случай 2 кандидатов, медианный избиратель, слабо доминирующая стратегия каждого из кандидатов, равновесие Нэша; случай 3 и более кандидатов, максимизация вероятности победы (равновесия Нэша) VS максимизация числа набранных голосов (отсутствие равновесий); случай функции распределения с линейной плотностью.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/4 4 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-3 3 неделя]<br />
<br />
[https://www.youtube.com/watch?v=jILgxeNBK_8 Маленький мультик про модель] (он есть и в переводе, но перевод мне не нравится)<br />
<br />
|-<br />
|15.10.2022<br />
|Игры с неполной информацией. Байесовы игры (типы игроков, веры игроков относительно типов других игроков, ожидаемые платежи игроков). Равновесие Байеса-Нэша.<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/2jVnCUZu8c3qqw Презентация]<br />
<br />
|В.И. Данилов. Лекции по теории игр. Препринт РЭШ, 2002. Лекция 18.<br />
<br />
А.В. Захаров. Теория игр в общественных науках. Пп. 3.1.1.–3.1.2.<br />
<br />
|-<br />
|12.11.2022<br />
|Последовательные стратегические взаимодействия: примеры, формализация в виде игры в развернутой форме (дерево игры), определение количества стратегий каждого игрока, определение количества подыгр, нахождение матрицы игры по дереву игры, поиск NE, алгоритм обратной индукции, SPNE.<br />
Теорема Цермело-Куна про существование SPNE в любой конечной (!) последовательной игре.<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/5 5-6 недели]<br><br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-14 14-15 неделя]<br><br />
Dixit A., Nalebuff B. The Art of Strategy. Chapters 2,6,7;<br><br />
А.В. Захаров. Теория игр в общественных науках. Пп. 2.1.1.–2.1.3.<br><br />
Schelling T., The Strategy of Conflict;<br><br />
В.И. Данилов. Лекции по теории игр. Препринт РЭШ, 2002. Лекция 1.<br />
<br />
<br />
|-<br />
|19.11.2022<br />
|Последовательные взаимодействия повторение: стратегии, подыгры, нахождение матрицы игры, поиск NE, поиск SPNE.<br><br />
Игры с Коммитментом: примеры последовательных игр, в которых одному из игроков выгодно взять на себя связывающее обязательство.<br><br />
Игры с несовершенной информацией: пример, определение стратегий, подыгр, SPNE.<br><br />
Байесовы игры: повторение на примере военных действий.<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/6 6 неделя]<br><br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-19 19 неделя]<br />
[https://disk.yandex.ru/i/9G0aizetfHPsDA Решение игры со странами]<br />
<br />
|-<br />
|26.11.2022<br />
|Игры с несовершенной информацией: отличие от последовательных взаимодействий с полной информацией, возможное отсутствие SPNE.<br><br />
Игры с несовершенной информацией: примеры, определение стратегий, подыгр, формирование матриц игр и подыгр, поиск NE и SPNE.<br><br />
Повторяющиеся игры: описание, примеры, единственность SPNE в случае одного NE в исходной игре и конечного количества периодов, случай нескольких NE в исходной игре, различные стратегии в повторяющейся игре, стратегии «договора».<br><br />
Повторяющаяся дилемма заключенных: различные стратегии, игра «Эволюция доверия».<br />
|[https://notdotteam.github.io/trust/ «Эволюция доверия»]<br><br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-18 18 неделя]<br><br />
В.И. Данилов. Лекции по теории игр. Стр. 73-78 (части лекций 13 и 14).<br />
<br />
|-<br />
|03.12.2022<br />
|По расписанию у нас одна лекция, после нее можно по вашему желанию переписать 1-2 теста.<br />
|<br />
<br />
|}<br />
<br />
== Семинары ==<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/VJs13h-QQVdS4Q Стратегические взаимодействия, игра в нормальной форме, Парето-оптимальность, доминирующие стратегии]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/BLF_B64Yreeb5g Доминируемые стратегии, минимакс, максимин, равновесие Нэша]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/_8VqIZzRSgxlzg Help01]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/7OPbE-e9h4c9dQ Смешанные стратегии и равновесие Нэша в смешанных стратегиях]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/01xPQDvVhuvCBA Help02]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/SGNtqPl_ksiAww Help03]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/O8m8B9K_OxLX8g Модель Хотеллинга-Даунса]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/4qu6gAoZ745GcQ Байесовы игры]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/hn4SNNdq272o_w Help04]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/a0Sisz-HMHVBcw Повторение]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/Tm_SE29-ftPNrQ Лыжники (Help05)]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/Z34sjCItue8wHg Игры в развернутой форме]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/j6HnPuTFEhx9Ug Игры с несовершенной информацией]<br />
<br />
== Домашние задания ==<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дедлайн<br />
!файл с заданием<br />
!форма для ответов<br />
|-<br />
|12.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/xPpKHVGXmieNBQ Домашнее задание 1]<br />
|[https://forms.gle/RTdRLZcvNvzpbvyE6 Форма ДЗ-1]<br />
<br />
|-<br />
|19.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/kfMYJkB1iiF_gg Домашнее задание 2]<br />
|[https://forms.gle/oGyY8FSbfeEsYXsv9 Форма ДЗ-2]<br />
<br />
|-<br />
|29.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/nDAZ3wFDfKM4sQ Домашнее задание 3]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSeRf1IbDEzwrjCflHxsekd7ZI5utTqYz-OR53LgnEjY1oGDQw/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-3]<br />
<br />
|-<br />
|9.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/f1cjdiDeUcbq-w Домашнее задание 4]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdFHp3iv9EzMKNvRbNC3YwAWiWOiAkpA8Q7tIrL8qjPQRXf2Q/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-4]<br />
<br />
|-<br />
|16.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/5Sdsj6-1EC-JEQ Домашнее задание 5]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSfFhfclBc8Ts8trQXyOnugxdB-cMF1Zs1weT81Mr82dMjNJwA/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-5]<br />
<br />
|-<br />
|31.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/QpypS8qdocQI_w Турнир 2]<br />
|<br />
<br />
|-<br />
|16.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/AMS9JEJQ6M8Avw Домашнее задание 6]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdL5yClVlgNVRp6Eiu9izN1_sfjI2vZyzxaa8GlYy8kSl0R9A/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-6]<br />
<br />
|-<br />
|26.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/GK3pnapp0_H_wA Домашнее задание 7]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdM1lS-RAwM1Lg3XWLYvN5kUEXgQ2ozvWjOUlUyKOtVMrii6w/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-7]<br />
<br />
|}</div>Любовь Сысоеваhttp://math-info.hse.ru/wiki2022-23/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B8%D0%B3%D1%80&diff=434Теория игр2022-11-27T14:54:53Z<p>Любовь Сысоева: /* Лекции */</p>
<hr />
<div>'''Дорогие студенты!'''<br />
<br />
На этой странице будут появляться различные материалы и объявления, связанные с курсом '''«Теория игр»''', читаемого для студентов 3-го курса ОП Политология в '''2022/2023''' учебном году. <br />
<br />
* Лекции читает: Сысоева Любовь Николаевна lsysoeva@hse.ru, telegram @lsysoeva<br />
* Семинары (201 и 203): Паршина Анастасия Алексеевна a.a.parshina@ya.ru, telegram @aaparshina<br />
* Семинары (202 и 204): Краснокутская Александра Львовна al.krasnokutskaya@gmail.com<br />
* Ассистенты: Арзуманян Артур telegram @artshic и Крипайтис Кирилл telegram @ppppprik<br />
<br />
''Формула итоговой оценки'':<br />
О<sub>Итоговая</sub> =0,25*О<sub>Экзамен</sub> +0,25*О<sub>К/р</sub> + 0,25*О<sub>ДЗ</sub> + 0,25*О<sub>Активность</sub> , где О<sub>Активность</sub> = 0,5∗О<sub>Активность_Семинары</sub> + 0,5∗О<sub>Активность_Лекции</sub><br />
<br />
Оценки за Экзамен, КР, ДЗ, Активность являются целыми числами (округление по правилам арифметики), оценки Активность_Семинары и Активность_Лекции не округляются.<br />
<br />
== Контрольная работа ==<br />
Контрольная работа состоится 5го ноября в 11:00 по адресу Мясницкая д.11.<br />
<br />
В контрольную войдут все темы, рассмотренные в первом модуле на семинарах и в домашних работах.<br />
<br />
Если нужны будут дополнительные задачи для тренировки на какую-то конкретную тему, пишите в телеграм @lsysoeva, выложу одну-две задачи в дополнение.<br />
<br />
На контрольной можно пользоваться калькулятором (но не телефоном!) и собственным листом формата А4 с любыми записями с двух сторон.<br />
<br />
Демо-версии контрольной не предусмотрено в силу уникальности каждой задачи по теории игр, при подготовке стоит ориентироваться на задачи из семинаров и домашних работ.<br />
<br />
== Ведомости ==<br />
<br />
{|<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1fwKHS6v9XstPVA-KBLnc0yduBW8M6kdhGIYgu8-V728/edit?usp=sharing Активность 201] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1X61fBoP8Xmcw0KhJpnJa7RvvVSiKX_oGzX9iVVnvprw/edit?usp=sharing ДЗ 201]<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1yP9MbG9nTMdMNTDYSBdwVw1CBILOnQ_iWtq9_VSFm5g/edit?usp=sharing Активность 202] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1-Or4AzLTDN8BAqLAmCTXe7ikGkIteE2n0rl9L3YFDnI/edit?usp=sharing ДЗ 202]<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1z5mollNQ_6fVsg22wV6M50i1pa8g3h7D94FnZ2QLKAQ/edit?usp=sharing Активность 203] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r3Jr51DI6ZKXIjc9_DGSP6ap9hp5Cz30ixO9Bssgah0/edit?usp=sharing ДЗ 203]<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/14O560WPkH4zb1zx2v7IcHYBnSsxW3OoLscqCmwjcyqM/edit?usp=sharing Активность 204] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1LThjvW2FlgqHKGD0pfT6GCiYfK6cGASyAx-DSWdHjsA/edit?usp=sharing ДЗ 204]<br />
|}<br />
<br />
== Лекции ==<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дата лекции<br />
!тема лекции<br />
!дополнительные материалы<br />
|-<br />
|03.09.2022<br />
|Стратегические и нестратегические взаимодействия, примеры. Формализация одновременных взаимодействий в виде игр в нормальной форме. Матричная запись игр с 2 игроками, примеры. Сравнение профилей стратегий по Парето, Парето-оптимальные профили стратегий. Строго/слабо доминирующие стратегии, равновесия в строго/слабо доминирующих стратегиях.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/1 1 неделя], [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/2 2 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-1 1 неделя], [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-2 2 неделя]<br />
<br />
Алексей Савватеев <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=17176675618925890445&reqid=1662237943241960-2957665704564396072-vla1-2251-vla-l7-balancer-8080-BAL-6432&suggest_reqid=557135369158636339279440407783687&text=савватеев+теория+игр+лекция+1 Лекция 1] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=16196426250303824634&reqid=1662239129399232-15992862096193270937-vla1-2251-vla-l7-balancer-8080-BAL-61&suggest_reqid=557135369158636339291301794755819&text=савватеев+теория+игр+лекция+2 Лекция 2] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=11396199022059523635&suggest_reqid=557135369158636339291396043965073&text=савватеев+теория+игр+лекция+3 Лекция 3] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=11474602284554133982&reqid=1662239210097183-15470061965215477178-vla1-2251-vla-l7-balancer-8080-BAL-2138&suggest_reqid=557135369158636339292106870659353&text=савватеев+теория+игр+лекция+4 Лекция 4]<br />
<br />
|-<br />
|10.09.2022<br />
|Игры в нормальной форме, пример формализации игры с тремя игроками в виде нескольких матриц, примеры игр с большим количеством игроков. Равновесия, получаемые последовательным исключением строго/слабо доминируемых стратегий. Минимаксные (все против меня) и максиминные (осторожные) стратегии. Равновесие Нэша.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/2 2 неделя], [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/3 3 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-3 3-7 неделя]<br />
<br />
Алексей Савватеев <br />
[https://yandex.ru/video/preview/5743819050015473973 Лекция 5] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/7613644260134860259 Лекция 6] <br />
<br />
<br />
|-<br />
|17.09.2022<br />
|Пример игры со многими игроками (угадать среднее арифметическое всех названных чисел): максиминные и минимаксные стратегии игроков, Парето-оптимальные профили, равновесия Нэша.<br />
Смешанные стратегии, ожидаемые платежи, равновесие Нэша в смешанных стратегиях, теорема Нэша, исключение строго/слабо доминируемых стратегий с помощью смешанных стратегий.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/8 8 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-9 9-10 неделя]<br />
<br />
Алексей Савватеев <br />
[https://yandex.ru/video/preview/15857287820861354547 Лекция 10]<br />
[https://yandex.ru/video/preview/12182277885949068581 Лекция 12]<br />
<br />
|-<br />
|24.09.2022<br />
|Поиск равновесий Нэша в смешанных стратегиях, графический метод сравнения платежей игрока, проверка равновесий на устойчивость.<br />
Аукционы: примеры, свойства, сходства, различия, субъективная оценка стоимости лота и связь этой оценки со ставкой на аукционе.<br />
<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/SM5jmzWoI3qPbg Обзорная статья А.В.Савватеева про аукционы]<br />
<br />
|-<br />
|1.10.2022<br />
|Модель предвыборной конкуренции Хоттелинга-Даунса: предположения модели; случай 2 кандидатов, медианный избиратель, слабо доминирующая стратегия каждого из кандидатов, равновесие Нэша; случай 3 и более кандидатов, максимизация вероятности победы (равновесия Нэша) VS максимизация числа набранных голосов (отсутствие равновесий); случай функции распределения с линейной плотностью.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/4 4 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-3 3 неделя]<br />
<br />
[https://www.youtube.com/watch?v=jILgxeNBK_8 Маленький мультик про модель] (он есть и в переводе, но перевод мне не нравится)<br />
<br />
|-<br />
|15.10.2022<br />
|Игры с неполной информацией. Байесовы игры (типы игроков, веры игроков относительно типов других игроков, ожидаемые платежи игроков). Равновесие Байеса-Нэша.<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/2jVnCUZu8c3qqw Презентация]<br />
<br />
|В.И. Данилов. Лекции по теории игр. Препринт РЭШ, 2002. Лекция 18.<br />
<br />
А.В. Захаров. Теория игр в общественных науках. Пп. 3.1.1.–3.1.2.<br />
<br />
|-<br />
|12.11.2022<br />
|Последовательные стратегические взаимодействия: примеры, формализация в виде игры в развернутой форме (дерево игры), определение количества стратегий каждого игрока, определение количества подыгр, нахождение матрицы игры по дереву игры, поиск NE, алгоритм обратной индукции, SPNE.<br />
Теорема Цермело-Куна про существование SPNE в любой конечной (!) последовательной игре.<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/5 5-6 недели]<br><br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-14 14-15 неделя]<br><br />
Dixit A., Nalebuff B. The Art of Strategy. Chapters 2,6,7;<br><br />
А.В. Захаров. Теория игр в общественных науках. Пп. 2.1.1.–2.1.3.<br><br />
Schelling T., The Strategy of Conflict;<br><br />
В.И. Данилов. Лекции по теории игр. Препринт РЭШ, 2002. Лекция 1.<br />
<br />
<br />
|-<br />
|19.11.2022<br />
|Последовательные взаимодействия повторение: стратегии, подыгры, нахождение матрицы игры, поиск NE, поиск SPNE.<br><br />
Игры с Коммитментом: примеры последовательных игр, в которых одному из игроков выгодно взять на себя связывающее обязательство.<br><br />
Игры с несовершенной информацией: пример, определение стратегий, подыгр, SPNE.<br><br />
Байесовы игры: повторение на примере военных действий.<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/6 6 неделя]<br><br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-19 19 неделя]<br />
[https://disk.yandex.ru/i/9G0aizetfHPsDA Решение игры со странами]<br />
<br />
|-<br />
|26.11.2022<br />
|Игры с несовершенной информацией: отличие от последовательных взаимодействий с полной информацией, возможное отсутствие SPNE.<br><br />
Игры с несовершенной информацией: примеры, определение стратегий, подыгр, формирование матриц игр и подыгр, поиск NE и SPNE.<br><br />
Повторяющиеся игры: описание, примеры, единственность SPNE в случае одного NE в исходной игре и конечного количества периодов, случай нескольких NE в исходной игре, различные стратегии в повторяющейся игре, стратегии «договора».<br><br />
Повторяющаяся дилемма заключенных: различные стратегии, игра «Эволюция доверия»<br />
|[https://notdotteam.github.io/trust/ «Эволюция доверия»]<br />
<br />
|-<br />
|03.12.2022<br />
|По расписанию у нас одна лекция, на второй паре можно по вашему желанию переписать 1-2 теста.<br />
|<br />
<br />
|}<br />
<br />
== Семинары ==<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/VJs13h-QQVdS4Q Стратегические взаимодействия, игра в нормальной форме, Парето-оптимальность, доминирующие стратегии]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/BLF_B64Yreeb5g Доминируемые стратегии, минимакс, максимин, равновесие Нэша]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/_8VqIZzRSgxlzg Help01]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/7OPbE-e9h4c9dQ Смешанные стратегии и равновесие Нэша в смешанных стратегиях]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/01xPQDvVhuvCBA Help02]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/SGNtqPl_ksiAww Help03]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/O8m8B9K_OxLX8g Модель Хотеллинга-Даунса]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/4qu6gAoZ745GcQ Байесовы игры]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/hn4SNNdq272o_w Help04]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/a0Sisz-HMHVBcw Повторение]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/Tm_SE29-ftPNrQ Лыжники (Help05)]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/Z34sjCItue8wHg Игры в развернутой форме]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/j6HnPuTFEhx9Ug Игры с несовершенной информацией]<br />
<br />
== Домашние задания ==<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дедлайн<br />
!файл с заданием<br />
!форма для ответов<br />
|-<br />
|12.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/xPpKHVGXmieNBQ Домашнее задание 1]<br />
|[https://forms.gle/RTdRLZcvNvzpbvyE6 Форма ДЗ-1]<br />
<br />
|-<br />
|19.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/kfMYJkB1iiF_gg Домашнее задание 2]<br />
|[https://forms.gle/oGyY8FSbfeEsYXsv9 Форма ДЗ-2]<br />
<br />
|-<br />
|29.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/nDAZ3wFDfKM4sQ Домашнее задание 3]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSeRf1IbDEzwrjCflHxsekd7ZI5utTqYz-OR53LgnEjY1oGDQw/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-3]<br />
<br />
|-<br />
|9.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/f1cjdiDeUcbq-w Домашнее задание 4]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdFHp3iv9EzMKNvRbNC3YwAWiWOiAkpA8Q7tIrL8qjPQRXf2Q/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-4]<br />
<br />
|-<br />
|16.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/5Sdsj6-1EC-JEQ Домашнее задание 5]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSfFhfclBc8Ts8trQXyOnugxdB-cMF1Zs1weT81Mr82dMjNJwA/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-5]<br />
<br />
|-<br />
|31.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/QpypS8qdocQI_w Турнир 2]<br />
|<br />
<br />
|-<br />
|16.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/AMS9JEJQ6M8Avw Домашнее задание 6]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdL5yClVlgNVRp6Eiu9izN1_sfjI2vZyzxaa8GlYy8kSl0R9A/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-6]<br />
<br />
|-<br />
|26.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/GK3pnapp0_H_wA Домашнее задание 7]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdM1lS-RAwM1Lg3XWLYvN5kUEXgQ2ozvWjOUlUyKOtVMrii6w/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-7]<br />
<br />
|}</div>Любовь Сысоеваhttp://math-info.hse.ru/wiki2022-23/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B8%D0%B3%D1%80&diff=433Теория игр2022-11-27T14:44:25Z<p>Любовь Сысоева: /* Семинары */</p>
<hr />
<div>'''Дорогие студенты!'''<br />
<br />
На этой странице будут появляться различные материалы и объявления, связанные с курсом '''«Теория игр»''', читаемого для студентов 3-го курса ОП Политология в '''2022/2023''' учебном году. <br />
<br />
* Лекции читает: Сысоева Любовь Николаевна lsysoeva@hse.ru, telegram @lsysoeva<br />
* Семинары (201 и 203): Паршина Анастасия Алексеевна a.a.parshina@ya.ru, telegram @aaparshina<br />
* Семинары (202 и 204): Краснокутская Александра Львовна al.krasnokutskaya@gmail.com<br />
* Ассистенты: Арзуманян Артур telegram @artshic и Крипайтис Кирилл telegram @ppppprik<br />
<br />
''Формула итоговой оценки'':<br />
О<sub>Итоговая</sub> =0,25*О<sub>Экзамен</sub> +0,25*О<sub>К/р</sub> + 0,25*О<sub>ДЗ</sub> + 0,25*О<sub>Активность</sub> , где О<sub>Активность</sub> = 0,5∗О<sub>Активность_Семинары</sub> + 0,5∗О<sub>Активность_Лекции</sub><br />
<br />
Оценки за Экзамен, КР, ДЗ, Активность являются целыми числами (округление по правилам арифметики), оценки Активность_Семинары и Активность_Лекции не округляются.<br />
<br />
== Контрольная работа ==<br />
Контрольная работа состоится 5го ноября в 11:00 по адресу Мясницкая д.11.<br />
<br />
В контрольную войдут все темы, рассмотренные в первом модуле на семинарах и в домашних работах.<br />
<br />
Если нужны будут дополнительные задачи для тренировки на какую-то конкретную тему, пишите в телеграм @lsysoeva, выложу одну-две задачи в дополнение.<br />
<br />
На контрольной можно пользоваться калькулятором (но не телефоном!) и собственным листом формата А4 с любыми записями с двух сторон.<br />
<br />
Демо-версии контрольной не предусмотрено в силу уникальности каждой задачи по теории игр, при подготовке стоит ориентироваться на задачи из семинаров и домашних работ.<br />
<br />
== Ведомости ==<br />
<br />
{|<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1fwKHS6v9XstPVA-KBLnc0yduBW8M6kdhGIYgu8-V728/edit?usp=sharing Активность 201] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1X61fBoP8Xmcw0KhJpnJa7RvvVSiKX_oGzX9iVVnvprw/edit?usp=sharing ДЗ 201]<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1yP9MbG9nTMdMNTDYSBdwVw1CBILOnQ_iWtq9_VSFm5g/edit?usp=sharing Активность 202] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1-Or4AzLTDN8BAqLAmCTXe7ikGkIteE2n0rl9L3YFDnI/edit?usp=sharing ДЗ 202]<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1z5mollNQ_6fVsg22wV6M50i1pa8g3h7D94FnZ2QLKAQ/edit?usp=sharing Активность 203] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r3Jr51DI6ZKXIjc9_DGSP6ap9hp5Cz30ixO9Bssgah0/edit?usp=sharing ДЗ 203]<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/14O560WPkH4zb1zx2v7IcHYBnSsxW3OoLscqCmwjcyqM/edit?usp=sharing Активность 204] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1LThjvW2FlgqHKGD0pfT6GCiYfK6cGASyAx-DSWdHjsA/edit?usp=sharing ДЗ 204]<br />
|}<br />
<br />
== Лекции ==<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дата лекции<br />
!тема лекции<br />
!дополнительные материалы<br />
|-<br />
|03.09.2022<br />
|Стратегические и нестратегические взаимодействия, примеры. Формализация одновременных взаимодействий в виде игр в нормальной форме. Матричная запись игр с 2 игроками, примеры. Сравнение профилей стратегий по Парето, Парето-оптимальные профили стратегий. Строго/слабо доминирующие стратегии, равновесия в строго/слабо доминирующих стратегиях.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/1 1 неделя], [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/2 2 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-1 1 неделя], [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-2 2 неделя]<br />
<br />
Алексей Савватеев <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=17176675618925890445&reqid=1662237943241960-2957665704564396072-vla1-2251-vla-l7-balancer-8080-BAL-6432&suggest_reqid=557135369158636339279440407783687&text=савватеев+теория+игр+лекция+1 Лекция 1] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=16196426250303824634&reqid=1662239129399232-15992862096193270937-vla1-2251-vla-l7-balancer-8080-BAL-61&suggest_reqid=557135369158636339291301794755819&text=савватеев+теория+игр+лекция+2 Лекция 2] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=11396199022059523635&suggest_reqid=557135369158636339291396043965073&text=савватеев+теория+игр+лекция+3 Лекция 3] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=11474602284554133982&reqid=1662239210097183-15470061965215477178-vla1-2251-vla-l7-balancer-8080-BAL-2138&suggest_reqid=557135369158636339292106870659353&text=савватеев+теория+игр+лекция+4 Лекция 4]<br />
<br />
|-<br />
|10.09.2022<br />
|Игры в нормальной форме, пример формализации игры с тремя игроками в виде нескольких матриц, примеры игр с большим количеством игроков. Равновесия, получаемые последовательным исключением строго/слабо доминируемых стратегий. Минимаксные (все против меня) и максиминные (осторожные) стратегии. Равновесие Нэша.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/2 2 неделя], [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/3 3 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-3 3-7 неделя]<br />
<br />
Алексей Савватеев <br />
[https://yandex.ru/video/preview/5743819050015473973 Лекция 5] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/7613644260134860259 Лекция 6] <br />
<br />
<br />
|-<br />
|17.09.2022<br />
|Пример игры со многими игроками (угадать среднее арифметическое всех названных чисел): максиминные и минимаксные стратегии игроков, Парето-оптимальные профили, равновесия Нэша.<br />
Смешанные стратегии, ожидаемые платежи, равновесие Нэша в смешанных стратегиях, теорема Нэша, исключение строго/слабо доминируемых стратегий с помощью смешанных стратегий.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/8 8 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-9 9-10 неделя]<br />
<br />
Алексей Савватеев <br />
[https://yandex.ru/video/preview/15857287820861354547 Лекция 10]<br />
[https://yandex.ru/video/preview/12182277885949068581 Лекция 12]<br />
<br />
|-<br />
|24.09.2022<br />
|Поиск равновесий Нэша в смешанных стратегиях, графический метод сравнения платежей игрока, проверка равновесий на устойчивость.<br />
Аукционы: примеры, свойства, сходства, различия, субъективная оценка стоимости лота и связь этой оценки со ставкой на аукционе.<br />
<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/SM5jmzWoI3qPbg Обзорная статья А.В.Савватеева про аукционы]<br />
<br />
|-<br />
|1.10.2022<br />
|Модель предвыборной конкуренции Хоттелинга-Даунса: предположения модели; случай 2 кандидатов, медианный избиратель, слабо доминирующая стратегия каждого из кандидатов, равновесие Нэша; случай 3 и более кандидатов, максимизация вероятности победы (равновесия Нэша) VS максимизация числа набранных голосов (отсутствие равновесий); случай функции распределения с линейной плотностью.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/4 4 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-3 3 неделя]<br />
<br />
[https://www.youtube.com/watch?v=jILgxeNBK_8 Маленький мультик про модель] (он есть и в переводе, но перевод мне не нравится)<br />
<br />
|-<br />
|15.10.2022<br />
|Игры с неполной информацией. Байесовы игры (типы игроков, веры игроков относительно типов других игроков, ожидаемые платежи игроков). Равновесие Байеса-Нэша.<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/2jVnCUZu8c3qqw Презентация]<br />
<br />
|В.И. Данилов. Лекции по теории игр. Препринт РЭШ, 2002. Лекция 18.<br />
<br />
А.В. Захаров. Теория игр в общественных науках. Пп. 3.1.1.–3.1.2.<br />
<br />
|-<br />
|12.11.2022<br />
|Последовательные стратегические взаимодействия: примеры, формализация в виде игры в развернутой форме (дерево игры), определение количества стратегий каждого игрока, определение количества подыгр, нахождение матрицы игры по дереву игры, поиск NE, алгоритм обратной индукции, SPNE.<br />
Теорема Цермело-Куна про существование SPNE в любой конечной (!) последовательной игре.<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/5 5-6 недели]<br><br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-14 14-15 неделя]<br><br />
Dixit A., Nalebuff B. The Art of Strategy. Chapters 2,6,7;<br><br />
А.В. Захаров. Теория игр в общественных науках. Пп. 2.1.1.–2.1.3.<br><br />
Schelling T., The Strategy of Conflict;<br><br />
В.И. Данилов. Лекции по теории игр. Препринт РЭШ, 2002. Лекция 1.<br />
<br />
<br />
|-<br />
|19.11.2022<br />
|Последовательные взаимодействия повторение: стратегии, подыгры, нахождение матрицы игры, поиск NE, поиск SPNE.<br><br />
Игры с Коммитментом: примеры последовательных игр, в которых одному из игроков выгодно взять на себя связывающее обязательство.<br><br />
Игры с несовершенной информацией: пример, определение стратегий, подыгр, SPNE.<br><br />
Байесовы игры: повторение на примере военных действий.<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/6 6 неделя]<br><br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-19 19 неделя]<br />
[https://disk.yandex.ru/i/9G0aizetfHPsDA Решение игры со странами]<br />
<br />
|-<br />
|26.11.2022<br />
|Тема теста: игры с несовершенной информацией<br />
|<br />
<br />
|}<br />
<br />
== Семинары ==<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/VJs13h-QQVdS4Q Стратегические взаимодействия, игра в нормальной форме, Парето-оптимальность, доминирующие стратегии]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/BLF_B64Yreeb5g Доминируемые стратегии, минимакс, максимин, равновесие Нэша]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/_8VqIZzRSgxlzg Help01]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/7OPbE-e9h4c9dQ Смешанные стратегии и равновесие Нэша в смешанных стратегиях]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/01xPQDvVhuvCBA Help02]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/SGNtqPl_ksiAww Help03]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/O8m8B9K_OxLX8g Модель Хотеллинга-Даунса]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/4qu6gAoZ745GcQ Байесовы игры]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/hn4SNNdq272o_w Help04]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/a0Sisz-HMHVBcw Повторение]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/Tm_SE29-ftPNrQ Лыжники (Help05)]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/Z34sjCItue8wHg Игры в развернутой форме]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/j6HnPuTFEhx9Ug Игры с несовершенной информацией]<br />
<br />
== Домашние задания ==<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дедлайн<br />
!файл с заданием<br />
!форма для ответов<br />
|-<br />
|12.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/xPpKHVGXmieNBQ Домашнее задание 1]<br />
|[https://forms.gle/RTdRLZcvNvzpbvyE6 Форма ДЗ-1]<br />
<br />
|-<br />
|19.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/kfMYJkB1iiF_gg Домашнее задание 2]<br />
|[https://forms.gle/oGyY8FSbfeEsYXsv9 Форма ДЗ-2]<br />
<br />
|-<br />
|29.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/nDAZ3wFDfKM4sQ Домашнее задание 3]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSeRf1IbDEzwrjCflHxsekd7ZI5utTqYz-OR53LgnEjY1oGDQw/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-3]<br />
<br />
|-<br />
|9.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/f1cjdiDeUcbq-w Домашнее задание 4]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdFHp3iv9EzMKNvRbNC3YwAWiWOiAkpA8Q7tIrL8qjPQRXf2Q/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-4]<br />
<br />
|-<br />
|16.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/5Sdsj6-1EC-JEQ Домашнее задание 5]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSfFhfclBc8Ts8trQXyOnugxdB-cMF1Zs1weT81Mr82dMjNJwA/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-5]<br />
<br />
|-<br />
|31.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/QpypS8qdocQI_w Турнир 2]<br />
|<br />
<br />
|-<br />
|16.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/AMS9JEJQ6M8Avw Домашнее задание 6]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdL5yClVlgNVRp6Eiu9izN1_sfjI2vZyzxaa8GlYy8kSl0R9A/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-6]<br />
<br />
|-<br />
|26.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/GK3pnapp0_H_wA Домашнее задание 7]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdM1lS-RAwM1Lg3XWLYvN5kUEXgQ2ozvWjOUlUyKOtVMrii6w/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-7]<br />
<br />
|}</div>Любовь Сысоеваhttp://math-info.hse.ru/wiki2022-23/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0&diff=432Дискретная Математика2022-11-27T12:36:09Z<p>Любовь Сысоева: /* Домашние задания */</p>
<hr />
<div>'''Дорогие студенты!'''<br />
<br />
На этой странице будут появляться различные материалы и объявления, связанные с курсом '''«Дискретная математика»''', читаемого для студентов 1-го курса ОП Вычислительные социальные науки в '''2022/2023''' учебном году. <br />
<br />
* Лекции и семинары: Сысоева Любовь Николаевна lsysoeva@hse.ru, telegram @lsysoeva<br />
* Ассистент: Ластовецкий Дмитрий dalastovetsky@hse.ru, telegram @dalastovetskiy<br />
<br />
{|<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_izNbdyLHY8c3Y4SfFzpzhsF-QTBNpRFmEqnCR3IQFU/edit?usp=sharing Ведомость активности] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SmaC4Uyy1F4Dn37zME5SMQCdAtXQHpSelk3JZttFxBU/edit?usp=sharing Ведомость ДЗ]<br />
|}<br />
<br />
Формула итоговой оценки:<br />
0,3 * Активность + 0,3 * Домашние задания + 0,4 * Экзамен<br />
<br />
== Консультации ==<br />
<br />
Консультации будут проходить онлайн по понедельникам в 17:00, задавайте ваши вопросы Дмитрию, присоединяйтесь к консультациям!<br />
<br />
Join Zoom Meeting<br />
https://us05web.zoom.us/j/4685079351?pwd=cVJkeVkzUUR1bXNjMzJ1WDRrN0EyUT09<br />
<br />
Meeting ID: 468 507 9351<br />
Passcode: yqTLi1<br />
<br />
== Лекции ==<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дата лекции<br />
!тема лекции<br />
!дополнительные материалы<br />
|-<br />
|16.09.2022<br />
|Понятие множества, конечные множества, задание множества перечислением элементов, задание множества условием, пустое множество, пересечение множеств, объединение множеств, декартово произведение множеств, парадокс брадобрея.<br><br />
Комбинаторика: правило суммы, правило произведения, факториал, число размещений с повторениями и без повторений, число сочетаний.<br />
|[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.1-26<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.44-63<br />
<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|Дискретная вероятность = (кол-во положительных исходов)/(общее число исходов).<br><br />
<br />
Сочетания с повторениями (метод шариков и перегородок), типы предметов.<br><br />
<br />
Треугольник Паскаля (количество путей от вершины вниз), рекуррентная формула (нижний элемент = сумме двух верхних).<br><br />
<br />
Бином Ньютона, связь с треугольником Паскаля (коэффициенты в разложении (a+b)<sup>n</sup> это числа в n строке треугольника).<br><br />
<br />
Числа сочетаний в треугольнике Паскаля, формула C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>k</sup><sub>n-1</sub> + C<sup>k-1</sup><sub>n-1</sub> и ее комбинаторный смысл.<br><br />
<br />
Сумма элементов n строки в треугольнике Паскаля равна 2<sup>n</sup> (через удвоение суммы предыдущей строки, через разложение (1+1)<sup>n</sup> и через все подмножества множества из n элементов).<br><br />
<br />
Полиномиальные коэффициенты (определение и формула).<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.26-40<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.63-70<br />
<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|Числа сочетаний в треугольнике Паскаля: возрастание элементов к середине строки и убывание после середины (C<sup>k</sup><sub>n</sub> < C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k < (n-1)/2 и C<sup>k</sup><sub>n</sub> > C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k > (n-1)/2), симметрия (C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>n-k</sup><sub>n</sub>), оценка среднего элемента в строке через сумму и количество элементов в этой строке (C<sup>n</sup><sub>2n</sub> > 2<sup>2n</sup>/(2n+1)).<br><br />
<br />
Сумма знакопеременных элементов n строки в треугольнике Паскаля равна нулю (через удвоение элементов предыдущей строки с противоположными знаками, через разложение (1-1)<sup>n</sup>).<br><br />
<br />
Формулы для 11<sup>2</sup>, 11<sup>3</sup>, 11<sup>4</sup> и связь со строками треугольника Паскаля (доказательство через разложение 11<sup>k</sup> = (10+1)<sup>k</sup> по биному Ньютона).<br><br />
<br />
Формула включений-исключений: через диаграммы Эйлера-Вена для 2 и 3 множеств, формулировка в общем случае.<br><br />
<br />
Принцип Дирихле (pigeonhole principle): если кроликов больше, чем клеток, то при рассадке кроликов по клеткам по крайней мере в одну клетку попадут по крайней мере два кролика.<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.41-44<br><br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.66<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи: задача про кроликов, определение (F<sub>0</sub> = 0, F<sub>1</sub> = 1, F<sub>n+1</sub> = F<sub>n</sub> + F<sub>n-1</sub>), F<sub>n</sub> равно сумме "диагонали" треугольника Паскаля (F<sub>n</sub> = C<sub>n-1</sub><sup>0</sup> + C<sub>n-2</sub><sup>1</sup> + C<sub>n-3</sub><sup>2</sup> + ... + C<sub>n-[n/2]</sub><sup>[n/2]-1</sup> целая часть должна быть верхней), явная формула (F<sub>n</sub> = 1/٧5((1+٧5)/2)^n - 1/٧5((1-٧5)/2)^n) и ее доказательство по индукции.<br />
<br />
Индукция: принцип математической индукции, база и переход их согласованность, индуктивное предположение, доказательство равенств, неравенств, разбор текстовой задачи (машина на краю пустыни).<br />
Примеры неверных доказательств по индукции (резиновый автобус, куча манки, одномастные лошади).<br />
<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.16-51<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|14.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи (повторение).<br />
Линейные рекуррентные соотношения в разных задачах.<br />
Рекурсия (программирование, литература) и ее связь с рекуррентными соотношениями.<br />
Основная теорема о рекуррентных соотношениях (Master theorem): оценка сложности рекурсивных алгоритмов.<br />
<br />
Рекуррентные записи n! и геометрических прогрессий.<br />
<br />
Индукция: повторение, связь с рекуррентными соотношениями, пример вложенной индукции (количество разломов прямоугольной шоколадки).<br />
<br />
|[https://ru.wikipedia.org/wiki/Основная_теорема_о_рекуррентных_соотношениях Основная теорема о рекуррентных соотношениях]<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|Числа Каталана (по заявкам): рекуррентная формула, количество правильных скобочных последовательностей, количество способов разбить n-угольник диагоналями на треугольники.<br />
<br />
Системы счисления: позиционные, примеры, n-ичные дроби, переводы между системами счислений целых чисел и дробных частей, погрешность в случае прерывания бесконечных дробей.<br />
<br />
Римская система счисления: способы записи чисел, сложность алгоритмов сложения и умножения чисел.<br />
<br />
Признаки делимости в n-ичной системе счисления: схожесть признаков делимости на n-1 и n+1 с признаками делимости на 9 и 11 для десятичной системы, схожесть признаков делимости на делители n с признаками делимости на 5 и 10 для десятичной системы.<br />
<br />
Троичная система: взвешивание путем уравновешивания весов с двумя чашами.<br />
|<br />
[https://disk.yandex.ru/i/UjJYIydJppYhQg Статья про числа Каталана]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/MOK8NEeNVq5SYA Книжка по системам счисления]<br />
<br />
|-<br />
|01.11.2022<br />
|Простые числа: определение, основная теорема арифметики (любое число однозначно разлагается в произведение простых), бесконечное количество простых чисел (два доказательства 1. p<sub>1</sub>p<sub>2</sub>...p<sub>n</sub>+1 ; 2. (k+1)<sup>n</sup> << 2<sup>k</sup> при фиксированном n и растущем k), Постулат Бертрана (теорема Чебышева): для любого натурального n ⩾ 2 найдётся простое число p в интервале n < p < 2n.<br />
<br />
Остатки от деления и вычеты: сложение, вычитание, умножение, поиск обратного вычета.<br />
Запись вычетов через отрицательные числа для удобства вычислений.<br />
Примеры, когда обратного вычета не существует (элемент и модуль не взаимно просты).<br />
<br />
Алгоритм Евклида (с использованием остатка от деления по модулю): сам алгоритм и оценка числа итераций через числа Фибоначчи.<br />
<br />
|[http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/e4d919f5-8435-4fe3-a779-275181a69951/M_1.1.4/M_1.1.4.html Вычеты (короткая базовая статья)]<br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.143-156<br />
<br />
|-<br />
|11.11.2022<br />
|Идея кодирования с открытым ключом.<br />
Диофантовы уравнения: примеры, великая теорема Ферма, линейные Диофантовы уравнения с двумя неизвестными, критерий разрешимости.<br />
Расширенный алгоритм Евклида: решение линейных Диофантовых уравнений с двумя неизвестными.<br />
Сведение поиска обратного по умножению элемента по модулю к решению линейного Диофантова уравнения с двумя неизвестными.<br />
Единственность обратного по умножению элемента по модулю (если существует, то единственный).<br />
<br />
Малая теорема Ферма: формулировка, четыре доказательства (мультиномиальное разложение, индукция и бином Ньютона, раскраска бус, перемножение чисел специального вида), поиск обратного по умножению элемента через малую теорему Ферма в случае простого модуля.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.154-163<br />
<br />
<br />
|-<br />
|15.11.2022<br />
|Идея проверки числа на простоту:<br><br />
1) проверка делимости на простые до корня из числа;<br><br />
2) проверка взаимной простоты с числами от 2 до n-1;<br><br />
3) (тест Ферма) проверка справедливости малой теоремы Ферма для чисел от 2 до n-1 (и числа Кармайкла);<br><br />
4) (тест Рабина) проверка справедливости малой теоремы Ферма плюс корней из 1.<br />
<br />
Китайская теорема об остатках: система сравнений по взаимнопростым модулям имеет единственное решение по произведению модулей.<br />
Доказательство и решения систем сравнений с помощью расширенного алгоритма Евклида.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.161-165<br />
<br />
|-<br />
|18.11.2022<br />
|Китайская теорема об остатках: доказательство (индукция во числу сравнений), Следствие: независимость распределения остатков по взаимнопростым модулям.<br><br />
Функция Эйлера: определение и вычисление для простых чисел, степеней простых чисел, составных чисел.<br><br />
Теорема Эйлера: формулировка, малая теорема Ферма как частный случай, доказательство (аналогично 4 доказательству малой теоремы Ферма, через обратимые остатки и их перемножение).<br><br />
Алгоритм кодирования с открытым ключом RSA: определение, корректность кодирования и декодирования, устойчивость к атакам.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.162-167<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/fX6Q_FMRE-I_Zg Лекции по криптографии] (тут довольно хорошо объяснен алгоритм RSA и еще много что)<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|Графы: определение (V,E), множество вершин, множество ребер, изолированная вершина, степень вершины, способы задания графов (матрица смежности, матрица инцидентности, список смежности).<br><br />
Формула 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>).<br><br />
Маршрут, путь, простой путь, расстояние между вершинами (длина кратчайшего пути), диаметр графа (самое большое расстояние между вершинами).<br><br />
Цикл, простой цикл.<br><br />
Связный граф, компонента связности.<br><br />
Оценка: количество компонент связности ≥ |V|-|E|.<br><br />
Следствие: для поиска самого тяжелого камня среди n камней необходимо n-1 взвешивание.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.95-118<br><br />
<br />
|-<br />
|25.11.2022<br />
|Деревья: (четыре определения и их эквивалентность) связный граф с V-1 ребром; минимальный связный граф; связный ациклический граф; граф, между любыми двумя вершинами которого существует единственный путь.<br><br />
''Дополнительно:'' бинарное дерево поиска: поиск элемента, добавление элемента, удаление элемента, поиск следующего и предшествующего элементов.<br><br />
Существование у произвольного дерева по крайней мере двух листьев (два доказательства: через формулу 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>) и через максимально удаленные вершины).<br><br />
Остовное дерево связного графа, возможность удаления из связного графа вершины вместе с ребрами без потери связности.<br><br />
Правильная раскраска: определение, примеры, критерий 2-раскрашиваемости графа (отсутствие циклов нечетной длины).<br><br />
''Дополнительно:'' алгоритмы поиска в ширину (BFS) и глубину (DFS).<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.118-123<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/XDNEDxyuccjLGA Т.Кормен и др. «Алгоритмы Построение и Анализ» стр 316-322, 607-663]<br />
|}<br />
<br />
== Семинары ==<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/N5V4VaIkLVTajg Комбинаторика-1]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/DDB7KcxEXg3-6A Комбинаторика-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/QXW6c4tUxwjV4g Комбинаторика-3]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/lfhWkTgRJPvbGw Числа Фибоначчи, Индукция]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/I1VBzSGylBSUtw Числа Фибоначчи-2, Индукция-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/6ZeDU1zdCnlBog Системы счисления]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/pC1rFQaRgrr5KA Делимость и Вычеты]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/iGuukuYtT4O1iQ Расширенный алгоритм Евклида, малая теорема Ферма]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/yGSOYGTeGLBJVg Малая теорема Ферма, Китайская теорема об остатках]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KjQpX2s2Vj8ITw Теорема Эйлера]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/OOaz4DVxqMuUkg Графы-1]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KiTGSNoG6VM_Hg Деревья, правильные раскраски]<br />
<br />
== Домашние задания ==<br />
'''В ДЗ-8 появилась бонусная задача на бинарные деревья поиска. Ссылку на книгу по теме можно найти в допматериалах к последней лекции.'''<br />
<br />
'''Правила сдачи ДЗ''': решения задач из домашнего задания оформляются письменно, первый лист работы подписывается, только ответы не проверяются, должно присутствовать ''полное рассуждение'', затем текст сканируется, файл называется в соответствии с ФИО студента (например, SysoevaLN.pdf) и отправляется на проверку (ссылку на загрузку см. в таблице ниже).<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дедлайн<br />
!Домашнее задание<br />
!Ссылка на загрузку файла<br />
!Решения и критерии<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/WeEzyM70AzqNtw Домашнее задание №1]<br />
|[https://www.dropbox.com/request/cGNCtS3rrJoiE6NGCrz9 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/lmtlr4mP41Iy-Q Решения ДЗ-1]<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/87IgAYKMLGbEyA Домашнее задание №2]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/_yELwtWaJS4RMA Решения ДЗ-2]<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/Yy6-_Hda1UEQLg Домашнее задание №3]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/-VioO1CArRXPEA Решения ДЗ-3]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/aofNsKB9AMhONA Домашнее задание №4]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/JVpDIULhuGcJfA Решения ДЗ-4]<br />
<br />
|-<br />
|4.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/V62t0PGwzQmJoA Домашнее задание №5]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/S-0Dkekb9_o1aQ Решения ДЗ-5]<br />
<br />
|-<br />
|12.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/ZtHuki9PQHV5Cg Домашнее задание №6]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/nmYHFgM2kiZtdg Решения ДЗ-6]<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/X6LCkozybxDH7w Домашнее задание №7]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/9WINMpnYoD5uRw Решения ДЗ-7]<br />
<br />
|-<br />
|27.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/FjywLphzBhL0Xw Домашнее задание №8]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|<br />
<br />
|-<br />
|4.12.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/WRZnhkUVF8mXJA Домашнее задание №9]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|<br />
<br />
|}</div>Любовь Сысоеваhttp://math-info.hse.ru/wiki2022-23/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0&diff=431Дискретная Математика2022-11-27T12:25:15Z<p>Любовь Сысоева: /* Домашние задания */</p>
<hr />
<div>'''Дорогие студенты!'''<br />
<br />
На этой странице будут появляться различные материалы и объявления, связанные с курсом '''«Дискретная математика»''', читаемого для студентов 1-го курса ОП Вычислительные социальные науки в '''2022/2023''' учебном году. <br />
<br />
* Лекции и семинары: Сысоева Любовь Николаевна lsysoeva@hse.ru, telegram @lsysoeva<br />
* Ассистент: Ластовецкий Дмитрий dalastovetsky@hse.ru, telegram @dalastovetskiy<br />
<br />
{|<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_izNbdyLHY8c3Y4SfFzpzhsF-QTBNpRFmEqnCR3IQFU/edit?usp=sharing Ведомость активности] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SmaC4Uyy1F4Dn37zME5SMQCdAtXQHpSelk3JZttFxBU/edit?usp=sharing Ведомость ДЗ]<br />
|}<br />
<br />
Формула итоговой оценки:<br />
0,3 * Активность + 0,3 * Домашние задания + 0,4 * Экзамен<br />
<br />
== Консультации ==<br />
<br />
Консультации будут проходить онлайн по понедельникам в 17:00, задавайте ваши вопросы Дмитрию, присоединяйтесь к консультациям!<br />
<br />
Join Zoom Meeting<br />
https://us05web.zoom.us/j/4685079351?pwd=cVJkeVkzUUR1bXNjMzJ1WDRrN0EyUT09<br />
<br />
Meeting ID: 468 507 9351<br />
Passcode: yqTLi1<br />
<br />
== Лекции ==<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дата лекции<br />
!тема лекции<br />
!дополнительные материалы<br />
|-<br />
|16.09.2022<br />
|Понятие множества, конечные множества, задание множества перечислением элементов, задание множества условием, пустое множество, пересечение множеств, объединение множеств, декартово произведение множеств, парадокс брадобрея.<br><br />
Комбинаторика: правило суммы, правило произведения, факториал, число размещений с повторениями и без повторений, число сочетаний.<br />
|[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.1-26<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.44-63<br />
<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|Дискретная вероятность = (кол-во положительных исходов)/(общее число исходов).<br><br />
<br />
Сочетания с повторениями (метод шариков и перегородок), типы предметов.<br><br />
<br />
Треугольник Паскаля (количество путей от вершины вниз), рекуррентная формула (нижний элемент = сумме двух верхних).<br><br />
<br />
Бином Ньютона, связь с треугольником Паскаля (коэффициенты в разложении (a+b)<sup>n</sup> это числа в n строке треугольника).<br><br />
<br />
Числа сочетаний в треугольнике Паскаля, формула C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>k</sup><sub>n-1</sub> + C<sup>k-1</sup><sub>n-1</sub> и ее комбинаторный смысл.<br><br />
<br />
Сумма элементов n строки в треугольнике Паскаля равна 2<sup>n</sup> (через удвоение суммы предыдущей строки, через разложение (1+1)<sup>n</sup> и через все подмножества множества из n элементов).<br><br />
<br />
Полиномиальные коэффициенты (определение и формула).<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.26-40<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.63-70<br />
<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|Числа сочетаний в треугольнике Паскаля: возрастание элементов к середине строки и убывание после середины (C<sup>k</sup><sub>n</sub> < C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k < (n-1)/2 и C<sup>k</sup><sub>n</sub> > C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k > (n-1)/2), симметрия (C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>n-k</sup><sub>n</sub>), оценка среднего элемента в строке через сумму и количество элементов в этой строке (C<sup>n</sup><sub>2n</sub> > 2<sup>2n</sup>/(2n+1)).<br><br />
<br />
Сумма знакопеременных элементов n строки в треугольнике Паскаля равна нулю (через удвоение элементов предыдущей строки с противоположными знаками, через разложение (1-1)<sup>n</sup>).<br><br />
<br />
Формулы для 11<sup>2</sup>, 11<sup>3</sup>, 11<sup>4</sup> и связь со строками треугольника Паскаля (доказательство через разложение 11<sup>k</sup> = (10+1)<sup>k</sup> по биному Ньютона).<br><br />
<br />
Формула включений-исключений: через диаграммы Эйлера-Вена для 2 и 3 множеств, формулировка в общем случае.<br><br />
<br />
Принцип Дирихле (pigeonhole principle): если кроликов больше, чем клеток, то при рассадке кроликов по клеткам по крайней мере в одну клетку попадут по крайней мере два кролика.<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.41-44<br><br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.66<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи: задача про кроликов, определение (F<sub>0</sub> = 0, F<sub>1</sub> = 1, F<sub>n+1</sub> = F<sub>n</sub> + F<sub>n-1</sub>), F<sub>n</sub> равно сумме "диагонали" треугольника Паскаля (F<sub>n</sub> = C<sub>n-1</sub><sup>0</sup> + C<sub>n-2</sub><sup>1</sup> + C<sub>n-3</sub><sup>2</sup> + ... + C<sub>n-[n/2]</sub><sup>[n/2]-1</sup> целая часть должна быть верхней), явная формула (F<sub>n</sub> = 1/٧5((1+٧5)/2)^n - 1/٧5((1-٧5)/2)^n) и ее доказательство по индукции.<br />
<br />
Индукция: принцип математической индукции, база и переход их согласованность, индуктивное предположение, доказательство равенств, неравенств, разбор текстовой задачи (машина на краю пустыни).<br />
Примеры неверных доказательств по индукции (резиновый автобус, куча манки, одномастные лошади).<br />
<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.16-51<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|14.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи (повторение).<br />
Линейные рекуррентные соотношения в разных задачах.<br />
Рекурсия (программирование, литература) и ее связь с рекуррентными соотношениями.<br />
Основная теорема о рекуррентных соотношениях (Master theorem): оценка сложности рекурсивных алгоритмов.<br />
<br />
Рекуррентные записи n! и геометрических прогрессий.<br />
<br />
Индукция: повторение, связь с рекуррентными соотношениями, пример вложенной индукции (количество разломов прямоугольной шоколадки).<br />
<br />
|[https://ru.wikipedia.org/wiki/Основная_теорема_о_рекуррентных_соотношениях Основная теорема о рекуррентных соотношениях]<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|Числа Каталана (по заявкам): рекуррентная формула, количество правильных скобочных последовательностей, количество способов разбить n-угольник диагоналями на треугольники.<br />
<br />
Системы счисления: позиционные, примеры, n-ичные дроби, переводы между системами счислений целых чисел и дробных частей, погрешность в случае прерывания бесконечных дробей.<br />
<br />
Римская система счисления: способы записи чисел, сложность алгоритмов сложения и умножения чисел.<br />
<br />
Признаки делимости в n-ичной системе счисления: схожесть признаков делимости на n-1 и n+1 с признаками делимости на 9 и 11 для десятичной системы, схожесть признаков делимости на делители n с признаками делимости на 5 и 10 для десятичной системы.<br />
<br />
Троичная система: взвешивание путем уравновешивания весов с двумя чашами.<br />
|<br />
[https://disk.yandex.ru/i/UjJYIydJppYhQg Статья про числа Каталана]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/MOK8NEeNVq5SYA Книжка по системам счисления]<br />
<br />
|-<br />
|01.11.2022<br />
|Простые числа: определение, основная теорема арифметики (любое число однозначно разлагается в произведение простых), бесконечное количество простых чисел (два доказательства 1. p<sub>1</sub>p<sub>2</sub>...p<sub>n</sub>+1 ; 2. (k+1)<sup>n</sup> << 2<sup>k</sup> при фиксированном n и растущем k), Постулат Бертрана (теорема Чебышева): для любого натурального n ⩾ 2 найдётся простое число p в интервале n < p < 2n.<br />
<br />
Остатки от деления и вычеты: сложение, вычитание, умножение, поиск обратного вычета.<br />
Запись вычетов через отрицательные числа для удобства вычислений.<br />
Примеры, когда обратного вычета не существует (элемент и модуль не взаимно просты).<br />
<br />
Алгоритм Евклида (с использованием остатка от деления по модулю): сам алгоритм и оценка числа итераций через числа Фибоначчи.<br />
<br />
|[http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/e4d919f5-8435-4fe3-a779-275181a69951/M_1.1.4/M_1.1.4.html Вычеты (короткая базовая статья)]<br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.143-156<br />
<br />
|-<br />
|11.11.2022<br />
|Идея кодирования с открытым ключом.<br />
Диофантовы уравнения: примеры, великая теорема Ферма, линейные Диофантовы уравнения с двумя неизвестными, критерий разрешимости.<br />
Расширенный алгоритм Евклида: решение линейных Диофантовых уравнений с двумя неизвестными.<br />
Сведение поиска обратного по умножению элемента по модулю к решению линейного Диофантова уравнения с двумя неизвестными.<br />
Единственность обратного по умножению элемента по модулю (если существует, то единственный).<br />
<br />
Малая теорема Ферма: формулировка, четыре доказательства (мультиномиальное разложение, индукция и бином Ньютона, раскраска бус, перемножение чисел специального вида), поиск обратного по умножению элемента через малую теорему Ферма в случае простого модуля.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.154-163<br />
<br />
<br />
|-<br />
|15.11.2022<br />
|Идея проверки числа на простоту:<br><br />
1) проверка делимости на простые до корня из числа;<br><br />
2) проверка взаимной простоты с числами от 2 до n-1;<br><br />
3) (тест Ферма) проверка справедливости малой теоремы Ферма для чисел от 2 до n-1 (и числа Кармайкла);<br><br />
4) (тест Рабина) проверка справедливости малой теоремы Ферма плюс корней из 1.<br />
<br />
Китайская теорема об остатках: система сравнений по взаимнопростым модулям имеет единственное решение по произведению модулей.<br />
Доказательство и решения систем сравнений с помощью расширенного алгоритма Евклида.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.161-165<br />
<br />
|-<br />
|18.11.2022<br />
|Китайская теорема об остатках: доказательство (индукция во числу сравнений), Следствие: независимость распределения остатков по взаимнопростым модулям.<br><br />
Функция Эйлера: определение и вычисление для простых чисел, степеней простых чисел, составных чисел.<br><br />
Теорема Эйлера: формулировка, малая теорема Ферма как частный случай, доказательство (аналогично 4 доказательству малой теоремы Ферма, через обратимые остатки и их перемножение).<br><br />
Алгоритм кодирования с открытым ключом RSA: определение, корректность кодирования и декодирования, устойчивость к атакам.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.162-167<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/fX6Q_FMRE-I_Zg Лекции по криптографии] (тут довольно хорошо объяснен алгоритм RSA и еще много что)<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|Графы: определение (V,E), множество вершин, множество ребер, изолированная вершина, степень вершины, способы задания графов (матрица смежности, матрица инцидентности, список смежности).<br><br />
Формула 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>).<br><br />
Маршрут, путь, простой путь, расстояние между вершинами (длина кратчайшего пути), диаметр графа (самое большое расстояние между вершинами).<br><br />
Цикл, простой цикл.<br><br />
Связный граф, компонента связности.<br><br />
Оценка: количество компонент связности ≥ |V|-|E|.<br><br />
Следствие: для поиска самого тяжелого камня среди n камней необходимо n-1 взвешивание.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.95-118<br><br />
<br />
|-<br />
|25.11.2022<br />
|Деревья: (четыре определения и их эквивалентность) связный граф с V-1 ребром; минимальный связный граф; связный ациклический граф; граф, между любыми двумя вершинами которого существует единственный путь.<br><br />
''Дополнительно:'' бинарное дерево поиска: поиск элемента, добавление элемента, удаление элемента, поиск следующего и предшествующего элементов.<br><br />
Существование у произвольного дерева по крайней мере двух листьев (два доказательства: через формулу 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>) и через максимально удаленные вершины).<br><br />
Остовное дерево связного графа, возможность удаления из связного графа вершины вместе с ребрами без потери связности.<br><br />
Правильная раскраска: определение, примеры, критерий 2-раскрашиваемости графа (отсутствие циклов нечетной длины).<br><br />
''Дополнительно:'' алгоритмы поиска в ширину (BFS) и глубину (DFS).<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.118-123<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/XDNEDxyuccjLGA Т.Кормен и др. «Алгоритмы Построение и Анализ» стр 316-322, 607-663]<br />
|}<br />
<br />
== Семинары ==<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/N5V4VaIkLVTajg Комбинаторика-1]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/DDB7KcxEXg3-6A Комбинаторика-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/QXW6c4tUxwjV4g Комбинаторика-3]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/lfhWkTgRJPvbGw Числа Фибоначчи, Индукция]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/I1VBzSGylBSUtw Числа Фибоначчи-2, Индукция-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/6ZeDU1zdCnlBog Системы счисления]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/pC1rFQaRgrr5KA Делимость и Вычеты]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/iGuukuYtT4O1iQ Расширенный алгоритм Евклида, малая теорема Ферма]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/yGSOYGTeGLBJVg Малая теорема Ферма, Китайская теорема об остатках]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KjQpX2s2Vj8ITw Теорема Эйлера]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/OOaz4DVxqMuUkg Графы-1]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KiTGSNoG6VM_Hg Деревья, правильные раскраски]<br />
<br />
== Домашние задания ==<br />
'''В ДЗ-8 появилась бонусная задача на бинарные деревья поиска. Ссылку на книгу по теме можно найти в допматериалах к последней лекции.'''<br />
<br />
'''Правила сдачи ДЗ''': решения задач из домашнего задания оформляются письменно, первый лист работы подписывается, только ответы не проверяются, должно присутствовать ''полное рассуждение'', затем текст сканируется, файл называется в соответствии с ФИО студента (например, SysoevaLN.pdf) и отправляется на проверку (ссылку на загрузку см. в таблице ниже).<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дедлайн<br />
!Домашнее задание<br />
!Ссылка на загрузку файла<br />
!Решения и критерии<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/WeEzyM70AzqNtw Домашнее задание №1]<br />
|[https://www.dropbox.com/request/cGNCtS3rrJoiE6NGCrz9 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/lmtlr4mP41Iy-Q Решения ДЗ-1]<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/87IgAYKMLGbEyA Домашнее задание №2]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/_yELwtWaJS4RMA Решения ДЗ-2]<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/Yy6-_Hda1UEQLg Домашнее задание №3]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/-VioO1CArRXPEA Решения ДЗ-3]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/aofNsKB9AMhONA Домашнее задание №4]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/JVpDIULhuGcJfA Решения ДЗ-4]<br />
<br />
|-<br />
|4.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/V62t0PGwzQmJoA Домашнее задание №5]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/S-0Dkekb9_o1aQ Решения ДЗ-5]<br />
<br />
|-<br />
|12.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/ZtHuki9PQHV5Cg Домашнее задание №6]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/nmYHFgM2kiZtdg Решения ДЗ-6]<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/X6LCkozybxDH7w Домашнее задание №7]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|<br />
<br />
|-<br />
|27.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/FjywLphzBhL0Xw Домашнее задание №8]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|<br />
<br />
|-<br />
|4.12.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/WRZnhkUVF8mXJA Домашнее задание №9]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|<br />
<br />
|}</div>Любовь Сысоеваhttp://math-info.hse.ru/wiki2022-23/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0&diff=430Дискретная Математика2022-11-27T12:17:13Z<p>Любовь Сысоева: /* Семинары */</p>
<hr />
<div>'''Дорогие студенты!'''<br />
<br />
На этой странице будут появляться различные материалы и объявления, связанные с курсом '''«Дискретная математика»''', читаемого для студентов 1-го курса ОП Вычислительные социальные науки в '''2022/2023''' учебном году. <br />
<br />
* Лекции и семинары: Сысоева Любовь Николаевна lsysoeva@hse.ru, telegram @lsysoeva<br />
* Ассистент: Ластовецкий Дмитрий dalastovetsky@hse.ru, telegram @dalastovetskiy<br />
<br />
{|<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_izNbdyLHY8c3Y4SfFzpzhsF-QTBNpRFmEqnCR3IQFU/edit?usp=sharing Ведомость активности] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SmaC4Uyy1F4Dn37zME5SMQCdAtXQHpSelk3JZttFxBU/edit?usp=sharing Ведомость ДЗ]<br />
|}<br />
<br />
Формула итоговой оценки:<br />
0,3 * Активность + 0,3 * Домашние задания + 0,4 * Экзамен<br />
<br />
== Консультации ==<br />
<br />
Консультации будут проходить онлайн по понедельникам в 17:00, задавайте ваши вопросы Дмитрию, присоединяйтесь к консультациям!<br />
<br />
Join Zoom Meeting<br />
https://us05web.zoom.us/j/4685079351?pwd=cVJkeVkzUUR1bXNjMzJ1WDRrN0EyUT09<br />
<br />
Meeting ID: 468 507 9351<br />
Passcode: yqTLi1<br />
<br />
== Лекции ==<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дата лекции<br />
!тема лекции<br />
!дополнительные материалы<br />
|-<br />
|16.09.2022<br />
|Понятие множества, конечные множества, задание множества перечислением элементов, задание множества условием, пустое множество, пересечение множеств, объединение множеств, декартово произведение множеств, парадокс брадобрея.<br><br />
Комбинаторика: правило суммы, правило произведения, факториал, число размещений с повторениями и без повторений, число сочетаний.<br />
|[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.1-26<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.44-63<br />
<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|Дискретная вероятность = (кол-во положительных исходов)/(общее число исходов).<br><br />
<br />
Сочетания с повторениями (метод шариков и перегородок), типы предметов.<br><br />
<br />
Треугольник Паскаля (количество путей от вершины вниз), рекуррентная формула (нижний элемент = сумме двух верхних).<br><br />
<br />
Бином Ньютона, связь с треугольником Паскаля (коэффициенты в разложении (a+b)<sup>n</sup> это числа в n строке треугольника).<br><br />
<br />
Числа сочетаний в треугольнике Паскаля, формула C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>k</sup><sub>n-1</sub> + C<sup>k-1</sup><sub>n-1</sub> и ее комбинаторный смысл.<br><br />
<br />
Сумма элементов n строки в треугольнике Паскаля равна 2<sup>n</sup> (через удвоение суммы предыдущей строки, через разложение (1+1)<sup>n</sup> и через все подмножества множества из n элементов).<br><br />
<br />
Полиномиальные коэффициенты (определение и формула).<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.26-40<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.63-70<br />
<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|Числа сочетаний в треугольнике Паскаля: возрастание элементов к середине строки и убывание после середины (C<sup>k</sup><sub>n</sub> < C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k < (n-1)/2 и C<sup>k</sup><sub>n</sub> > C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k > (n-1)/2), симметрия (C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>n-k</sup><sub>n</sub>), оценка среднего элемента в строке через сумму и количество элементов в этой строке (C<sup>n</sup><sub>2n</sub> > 2<sup>2n</sup>/(2n+1)).<br><br />
<br />
Сумма знакопеременных элементов n строки в треугольнике Паскаля равна нулю (через удвоение элементов предыдущей строки с противоположными знаками, через разложение (1-1)<sup>n</sup>).<br><br />
<br />
Формулы для 11<sup>2</sup>, 11<sup>3</sup>, 11<sup>4</sup> и связь со строками треугольника Паскаля (доказательство через разложение 11<sup>k</sup> = (10+1)<sup>k</sup> по биному Ньютона).<br><br />
<br />
Формула включений-исключений: через диаграммы Эйлера-Вена для 2 и 3 множеств, формулировка в общем случае.<br><br />
<br />
Принцип Дирихле (pigeonhole principle): если кроликов больше, чем клеток, то при рассадке кроликов по клеткам по крайней мере в одну клетку попадут по крайней мере два кролика.<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.41-44<br><br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.66<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи: задача про кроликов, определение (F<sub>0</sub> = 0, F<sub>1</sub> = 1, F<sub>n+1</sub> = F<sub>n</sub> + F<sub>n-1</sub>), F<sub>n</sub> равно сумме "диагонали" треугольника Паскаля (F<sub>n</sub> = C<sub>n-1</sub><sup>0</sup> + C<sub>n-2</sub><sup>1</sup> + C<sub>n-3</sub><sup>2</sup> + ... + C<sub>n-[n/2]</sub><sup>[n/2]-1</sup> целая часть должна быть верхней), явная формула (F<sub>n</sub> = 1/٧5((1+٧5)/2)^n - 1/٧5((1-٧5)/2)^n) и ее доказательство по индукции.<br />
<br />
Индукция: принцип математической индукции, база и переход их согласованность, индуктивное предположение, доказательство равенств, неравенств, разбор текстовой задачи (машина на краю пустыни).<br />
Примеры неверных доказательств по индукции (резиновый автобус, куча манки, одномастные лошади).<br />
<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.16-51<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|14.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи (повторение).<br />
Линейные рекуррентные соотношения в разных задачах.<br />
Рекурсия (программирование, литература) и ее связь с рекуррентными соотношениями.<br />
Основная теорема о рекуррентных соотношениях (Master theorem): оценка сложности рекурсивных алгоритмов.<br />
<br />
Рекуррентные записи n! и геометрических прогрессий.<br />
<br />
Индукция: повторение, связь с рекуррентными соотношениями, пример вложенной индукции (количество разломов прямоугольной шоколадки).<br />
<br />
|[https://ru.wikipedia.org/wiki/Основная_теорема_о_рекуррентных_соотношениях Основная теорема о рекуррентных соотношениях]<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|Числа Каталана (по заявкам): рекуррентная формула, количество правильных скобочных последовательностей, количество способов разбить n-угольник диагоналями на треугольники.<br />
<br />
Системы счисления: позиционные, примеры, n-ичные дроби, переводы между системами счислений целых чисел и дробных частей, погрешность в случае прерывания бесконечных дробей.<br />
<br />
Римская система счисления: способы записи чисел, сложность алгоритмов сложения и умножения чисел.<br />
<br />
Признаки делимости в n-ичной системе счисления: схожесть признаков делимости на n-1 и n+1 с признаками делимости на 9 и 11 для десятичной системы, схожесть признаков делимости на делители n с признаками делимости на 5 и 10 для десятичной системы.<br />
<br />
Троичная система: взвешивание путем уравновешивания весов с двумя чашами.<br />
|<br />
[https://disk.yandex.ru/i/UjJYIydJppYhQg Статья про числа Каталана]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/MOK8NEeNVq5SYA Книжка по системам счисления]<br />
<br />
|-<br />
|01.11.2022<br />
|Простые числа: определение, основная теорема арифметики (любое число однозначно разлагается в произведение простых), бесконечное количество простых чисел (два доказательства 1. p<sub>1</sub>p<sub>2</sub>...p<sub>n</sub>+1 ; 2. (k+1)<sup>n</sup> << 2<sup>k</sup> при фиксированном n и растущем k), Постулат Бертрана (теорема Чебышева): для любого натурального n ⩾ 2 найдётся простое число p в интервале n < p < 2n.<br />
<br />
Остатки от деления и вычеты: сложение, вычитание, умножение, поиск обратного вычета.<br />
Запись вычетов через отрицательные числа для удобства вычислений.<br />
Примеры, когда обратного вычета не существует (элемент и модуль не взаимно просты).<br />
<br />
Алгоритм Евклида (с использованием остатка от деления по модулю): сам алгоритм и оценка числа итераций через числа Фибоначчи.<br />
<br />
|[http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/e4d919f5-8435-4fe3-a779-275181a69951/M_1.1.4/M_1.1.4.html Вычеты (короткая базовая статья)]<br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.143-156<br />
<br />
|-<br />
|11.11.2022<br />
|Идея кодирования с открытым ключом.<br />
Диофантовы уравнения: примеры, великая теорема Ферма, линейные Диофантовы уравнения с двумя неизвестными, критерий разрешимости.<br />
Расширенный алгоритм Евклида: решение линейных Диофантовых уравнений с двумя неизвестными.<br />
Сведение поиска обратного по умножению элемента по модулю к решению линейного Диофантова уравнения с двумя неизвестными.<br />
Единственность обратного по умножению элемента по модулю (если существует, то единственный).<br />
<br />
Малая теорема Ферма: формулировка, четыре доказательства (мультиномиальное разложение, индукция и бином Ньютона, раскраска бус, перемножение чисел специального вида), поиск обратного по умножению элемента через малую теорему Ферма в случае простого модуля.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.154-163<br />
<br />
<br />
|-<br />
|15.11.2022<br />
|Идея проверки числа на простоту:<br><br />
1) проверка делимости на простые до корня из числа;<br><br />
2) проверка взаимной простоты с числами от 2 до n-1;<br><br />
3) (тест Ферма) проверка справедливости малой теоремы Ферма для чисел от 2 до n-1 (и числа Кармайкла);<br><br />
4) (тест Рабина) проверка справедливости малой теоремы Ферма плюс корней из 1.<br />
<br />
Китайская теорема об остатках: система сравнений по взаимнопростым модулям имеет единственное решение по произведению модулей.<br />
Доказательство и решения систем сравнений с помощью расширенного алгоритма Евклида.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.161-165<br />
<br />
|-<br />
|18.11.2022<br />
|Китайская теорема об остатках: доказательство (индукция во числу сравнений), Следствие: независимость распределения остатков по взаимнопростым модулям.<br><br />
Функция Эйлера: определение и вычисление для простых чисел, степеней простых чисел, составных чисел.<br><br />
Теорема Эйлера: формулировка, малая теорема Ферма как частный случай, доказательство (аналогично 4 доказательству малой теоремы Ферма, через обратимые остатки и их перемножение).<br><br />
Алгоритм кодирования с открытым ключом RSA: определение, корректность кодирования и декодирования, устойчивость к атакам.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.162-167<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/fX6Q_FMRE-I_Zg Лекции по криптографии] (тут довольно хорошо объяснен алгоритм RSA и еще много что)<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|Графы: определение (V,E), множество вершин, множество ребер, изолированная вершина, степень вершины, способы задания графов (матрица смежности, матрица инцидентности, список смежности).<br><br />
Формула 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>).<br><br />
Маршрут, путь, простой путь, расстояние между вершинами (длина кратчайшего пути), диаметр графа (самое большое расстояние между вершинами).<br><br />
Цикл, простой цикл.<br><br />
Связный граф, компонента связности.<br><br />
Оценка: количество компонент связности ≥ |V|-|E|.<br><br />
Следствие: для поиска самого тяжелого камня среди n камней необходимо n-1 взвешивание.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.95-118<br><br />
<br />
|-<br />
|25.11.2022<br />
|Деревья: (четыре определения и их эквивалентность) связный граф с V-1 ребром; минимальный связный граф; связный ациклический граф; граф, между любыми двумя вершинами которого существует единственный путь.<br><br />
''Дополнительно:'' бинарное дерево поиска: поиск элемента, добавление элемента, удаление элемента, поиск следующего и предшествующего элементов.<br><br />
Существование у произвольного дерева по крайней мере двух листьев (два доказательства: через формулу 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>) и через максимально удаленные вершины).<br><br />
Остовное дерево связного графа, возможность удаления из связного графа вершины вместе с ребрами без потери связности.<br><br />
Правильная раскраска: определение, примеры, критерий 2-раскрашиваемости графа (отсутствие циклов нечетной длины).<br><br />
''Дополнительно:'' алгоритмы поиска в ширину (BFS) и глубину (DFS).<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.118-123<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/XDNEDxyuccjLGA Т.Кормен и др. «Алгоритмы Построение и Анализ» стр 316-322, 607-663]<br />
|}<br />
<br />
== Семинары ==<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/N5V4VaIkLVTajg Комбинаторика-1]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/DDB7KcxEXg3-6A Комбинаторика-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/QXW6c4tUxwjV4g Комбинаторика-3]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/lfhWkTgRJPvbGw Числа Фибоначчи, Индукция]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/I1VBzSGylBSUtw Числа Фибоначчи-2, Индукция-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/6ZeDU1zdCnlBog Системы счисления]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/pC1rFQaRgrr5KA Делимость и Вычеты]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/iGuukuYtT4O1iQ Расширенный алгоритм Евклида, малая теорема Ферма]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/yGSOYGTeGLBJVg Малая теорема Ферма, Китайская теорема об остатках]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KjQpX2s2Vj8ITw Теорема Эйлера]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/OOaz4DVxqMuUkg Графы-1]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KiTGSNoG6VM_Hg Деревья, правильные раскраски]<br />
<br />
== Домашние задания ==<br />
'''В ДЗ-8 появилась бонусная задача на бинарные деревья поиска. Ссылку на книгу по теме можно найти в допматериалах к последней лекции.'''<br />
<br />
'''Правила сдачи ДЗ''': решения задач из домашнего задания оформляются письменно, первый лист работы подписывается, только ответы не проверяются, должно присутствовать ''полное рассуждение'', затем текст сканируется, файл называется в соответствии с ФИО студента (например, SysoevaLN.pdf) и отправляется на проверку (ссылку на загрузку см. в таблице ниже).<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дедлайн<br />
!Домашнее задание<br />
!Ссылка на загрузку файла<br />
!Решения и критерии<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/WeEzyM70AzqNtw Домашнее задание №1]<br />
|[https://www.dropbox.com/request/cGNCtS3rrJoiE6NGCrz9 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/lmtlr4mP41Iy-Q Решения ДЗ-1]<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/87IgAYKMLGbEyA Домашнее задание №2]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/_yELwtWaJS4RMA Решения ДЗ-2]<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/Yy6-_Hda1UEQLg Домашнее задание №3]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/-VioO1CArRXPEA Решения ДЗ-3]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/aofNsKB9AMhONA Домашнее задание №4]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/JVpDIULhuGcJfA Решения ДЗ-4]<br />
<br />
|-<br />
|4.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/V62t0PGwzQmJoA Домашнее задание №5]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/S-0Dkekb9_o1aQ Решения ДЗ-5]<br />
<br />
|-<br />
|12.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/ZtHuki9PQHV5Cg Домашнее задание №6]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/nmYHFgM2kiZtdg Решения ДЗ-6]<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/X6LCkozybxDH7w Домашнее задание №7]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|<br />
<br />
|-<br />
|27.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/FjywLphzBhL0Xw Домашнее задание №8]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|<br />
<br />
|}</div>Любовь Сысоеваhttp://math-info.hse.ru/wiki2022-23/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0&diff=429Дискретная Математика2022-11-27T12:16:35Z<p>Любовь Сысоева: /* Семинары */</p>
<hr />
<div>'''Дорогие студенты!'''<br />
<br />
На этой странице будут появляться различные материалы и объявления, связанные с курсом '''«Дискретная математика»''', читаемого для студентов 1-го курса ОП Вычислительные социальные науки в '''2022/2023''' учебном году. <br />
<br />
* Лекции и семинары: Сысоева Любовь Николаевна lsysoeva@hse.ru, telegram @lsysoeva<br />
* Ассистент: Ластовецкий Дмитрий dalastovetsky@hse.ru, telegram @dalastovetskiy<br />
<br />
{|<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_izNbdyLHY8c3Y4SfFzpzhsF-QTBNpRFmEqnCR3IQFU/edit?usp=sharing Ведомость активности] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SmaC4Uyy1F4Dn37zME5SMQCdAtXQHpSelk3JZttFxBU/edit?usp=sharing Ведомость ДЗ]<br />
|}<br />
<br />
Формула итоговой оценки:<br />
0,3 * Активность + 0,3 * Домашние задания + 0,4 * Экзамен<br />
<br />
== Консультации ==<br />
<br />
Консультации будут проходить онлайн по понедельникам в 17:00, задавайте ваши вопросы Дмитрию, присоединяйтесь к консультациям!<br />
<br />
Join Zoom Meeting<br />
https://us05web.zoom.us/j/4685079351?pwd=cVJkeVkzUUR1bXNjMzJ1WDRrN0EyUT09<br />
<br />
Meeting ID: 468 507 9351<br />
Passcode: yqTLi1<br />
<br />
== Лекции ==<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дата лекции<br />
!тема лекции<br />
!дополнительные материалы<br />
|-<br />
|16.09.2022<br />
|Понятие множества, конечные множества, задание множества перечислением элементов, задание множества условием, пустое множество, пересечение множеств, объединение множеств, декартово произведение множеств, парадокс брадобрея.<br><br />
Комбинаторика: правило суммы, правило произведения, факториал, число размещений с повторениями и без повторений, число сочетаний.<br />
|[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.1-26<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.44-63<br />
<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|Дискретная вероятность = (кол-во положительных исходов)/(общее число исходов).<br><br />
<br />
Сочетания с повторениями (метод шариков и перегородок), типы предметов.<br><br />
<br />
Треугольник Паскаля (количество путей от вершины вниз), рекуррентная формула (нижний элемент = сумме двух верхних).<br><br />
<br />
Бином Ньютона, связь с треугольником Паскаля (коэффициенты в разложении (a+b)<sup>n</sup> это числа в n строке треугольника).<br><br />
<br />
Числа сочетаний в треугольнике Паскаля, формула C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>k</sup><sub>n-1</sub> + C<sup>k-1</sup><sub>n-1</sub> и ее комбинаторный смысл.<br><br />
<br />
Сумма элементов n строки в треугольнике Паскаля равна 2<sup>n</sup> (через удвоение суммы предыдущей строки, через разложение (1+1)<sup>n</sup> и через все подмножества множества из n элементов).<br><br />
<br />
Полиномиальные коэффициенты (определение и формула).<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.26-40<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.63-70<br />
<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|Числа сочетаний в треугольнике Паскаля: возрастание элементов к середине строки и убывание после середины (C<sup>k</sup><sub>n</sub> < C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k < (n-1)/2 и C<sup>k</sup><sub>n</sub> > C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k > (n-1)/2), симметрия (C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>n-k</sup><sub>n</sub>), оценка среднего элемента в строке через сумму и количество элементов в этой строке (C<sup>n</sup><sub>2n</sub> > 2<sup>2n</sup>/(2n+1)).<br><br />
<br />
Сумма знакопеременных элементов n строки в треугольнике Паскаля равна нулю (через удвоение элементов предыдущей строки с противоположными знаками, через разложение (1-1)<sup>n</sup>).<br><br />
<br />
Формулы для 11<sup>2</sup>, 11<sup>3</sup>, 11<sup>4</sup> и связь со строками треугольника Паскаля (доказательство через разложение 11<sup>k</sup> = (10+1)<sup>k</sup> по биному Ньютона).<br><br />
<br />
Формула включений-исключений: через диаграммы Эйлера-Вена для 2 и 3 множеств, формулировка в общем случае.<br><br />
<br />
Принцип Дирихле (pigeonhole principle): если кроликов больше, чем клеток, то при рассадке кроликов по клеткам по крайней мере в одну клетку попадут по крайней мере два кролика.<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.41-44<br><br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.66<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи: задача про кроликов, определение (F<sub>0</sub> = 0, F<sub>1</sub> = 1, F<sub>n+1</sub> = F<sub>n</sub> + F<sub>n-1</sub>), F<sub>n</sub> равно сумме "диагонали" треугольника Паскаля (F<sub>n</sub> = C<sub>n-1</sub><sup>0</sup> + C<sub>n-2</sub><sup>1</sup> + C<sub>n-3</sub><sup>2</sup> + ... + C<sub>n-[n/2]</sub><sup>[n/2]-1</sup> целая часть должна быть верхней), явная формула (F<sub>n</sub> = 1/٧5((1+٧5)/2)^n - 1/٧5((1-٧5)/2)^n) и ее доказательство по индукции.<br />
<br />
Индукция: принцип математической индукции, база и переход их согласованность, индуктивное предположение, доказательство равенств, неравенств, разбор текстовой задачи (машина на краю пустыни).<br />
Примеры неверных доказательств по индукции (резиновый автобус, куча манки, одномастные лошади).<br />
<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.16-51<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|14.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи (повторение).<br />
Линейные рекуррентные соотношения в разных задачах.<br />
Рекурсия (программирование, литература) и ее связь с рекуррентными соотношениями.<br />
Основная теорема о рекуррентных соотношениях (Master theorem): оценка сложности рекурсивных алгоритмов.<br />
<br />
Рекуррентные записи n! и геометрических прогрессий.<br />
<br />
Индукция: повторение, связь с рекуррентными соотношениями, пример вложенной индукции (количество разломов прямоугольной шоколадки).<br />
<br />
|[https://ru.wikipedia.org/wiki/Основная_теорема_о_рекуррентных_соотношениях Основная теорема о рекуррентных соотношениях]<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|Числа Каталана (по заявкам): рекуррентная формула, количество правильных скобочных последовательностей, количество способов разбить n-угольник диагоналями на треугольники.<br />
<br />
Системы счисления: позиционные, примеры, n-ичные дроби, переводы между системами счислений целых чисел и дробных частей, погрешность в случае прерывания бесконечных дробей.<br />
<br />
Римская система счисления: способы записи чисел, сложность алгоритмов сложения и умножения чисел.<br />
<br />
Признаки делимости в n-ичной системе счисления: схожесть признаков делимости на n-1 и n+1 с признаками делимости на 9 и 11 для десятичной системы, схожесть признаков делимости на делители n с признаками делимости на 5 и 10 для десятичной системы.<br />
<br />
Троичная система: взвешивание путем уравновешивания весов с двумя чашами.<br />
|<br />
[https://disk.yandex.ru/i/UjJYIydJppYhQg Статья про числа Каталана]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/MOK8NEeNVq5SYA Книжка по системам счисления]<br />
<br />
|-<br />
|01.11.2022<br />
|Простые числа: определение, основная теорема арифметики (любое число однозначно разлагается в произведение простых), бесконечное количество простых чисел (два доказательства 1. p<sub>1</sub>p<sub>2</sub>...p<sub>n</sub>+1 ; 2. (k+1)<sup>n</sup> << 2<sup>k</sup> при фиксированном n и растущем k), Постулат Бертрана (теорема Чебышева): для любого натурального n ⩾ 2 найдётся простое число p в интервале n < p < 2n.<br />
<br />
Остатки от деления и вычеты: сложение, вычитание, умножение, поиск обратного вычета.<br />
Запись вычетов через отрицательные числа для удобства вычислений.<br />
Примеры, когда обратного вычета не существует (элемент и модуль не взаимно просты).<br />
<br />
Алгоритм Евклида (с использованием остатка от деления по модулю): сам алгоритм и оценка числа итераций через числа Фибоначчи.<br />
<br />
|[http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/e4d919f5-8435-4fe3-a779-275181a69951/M_1.1.4/M_1.1.4.html Вычеты (короткая базовая статья)]<br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.143-156<br />
<br />
|-<br />
|11.11.2022<br />
|Идея кодирования с открытым ключом.<br />
Диофантовы уравнения: примеры, великая теорема Ферма, линейные Диофантовы уравнения с двумя неизвестными, критерий разрешимости.<br />
Расширенный алгоритм Евклида: решение линейных Диофантовых уравнений с двумя неизвестными.<br />
Сведение поиска обратного по умножению элемента по модулю к решению линейного Диофантова уравнения с двумя неизвестными.<br />
Единственность обратного по умножению элемента по модулю (если существует, то единственный).<br />
<br />
Малая теорема Ферма: формулировка, четыре доказательства (мультиномиальное разложение, индукция и бином Ньютона, раскраска бус, перемножение чисел специального вида), поиск обратного по умножению элемента через малую теорему Ферма в случае простого модуля.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.154-163<br />
<br />
<br />
|-<br />
|15.11.2022<br />
|Идея проверки числа на простоту:<br><br />
1) проверка делимости на простые до корня из числа;<br><br />
2) проверка взаимной простоты с числами от 2 до n-1;<br><br />
3) (тест Ферма) проверка справедливости малой теоремы Ферма для чисел от 2 до n-1 (и числа Кармайкла);<br><br />
4) (тест Рабина) проверка справедливости малой теоремы Ферма плюс корней из 1.<br />
<br />
Китайская теорема об остатках: система сравнений по взаимнопростым модулям имеет единственное решение по произведению модулей.<br />
Доказательство и решения систем сравнений с помощью расширенного алгоритма Евклида.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.161-165<br />
<br />
|-<br />
|18.11.2022<br />
|Китайская теорема об остатках: доказательство (индукция во числу сравнений), Следствие: независимость распределения остатков по взаимнопростым модулям.<br><br />
Функция Эйлера: определение и вычисление для простых чисел, степеней простых чисел, составных чисел.<br><br />
Теорема Эйлера: формулировка, малая теорема Ферма как частный случай, доказательство (аналогично 4 доказательству малой теоремы Ферма, через обратимые остатки и их перемножение).<br><br />
Алгоритм кодирования с открытым ключом RSA: определение, корректность кодирования и декодирования, устойчивость к атакам.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.162-167<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/fX6Q_FMRE-I_Zg Лекции по криптографии] (тут довольно хорошо объяснен алгоритм RSA и еще много что)<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|Графы: определение (V,E), множество вершин, множество ребер, изолированная вершина, степень вершины, способы задания графов (матрица смежности, матрица инцидентности, список смежности).<br><br />
Формула 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>).<br><br />
Маршрут, путь, простой путь, расстояние между вершинами (длина кратчайшего пути), диаметр графа (самое большое расстояние между вершинами).<br><br />
Цикл, простой цикл.<br><br />
Связный граф, компонента связности.<br><br />
Оценка: количество компонент связности ≥ |V|-|E|.<br><br />
Следствие: для поиска самого тяжелого камня среди n камней необходимо n-1 взвешивание.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.95-118<br><br />
<br />
|-<br />
|25.11.2022<br />
|Деревья: (четыре определения и их эквивалентность) связный граф с V-1 ребром; минимальный связный граф; связный ациклический граф; граф, между любыми двумя вершинами которого существует единственный путь.<br><br />
''Дополнительно:'' бинарное дерево поиска: поиск элемента, добавление элемента, удаление элемента, поиск следующего и предшествующего элементов.<br><br />
Существование у произвольного дерева по крайней мере двух листьев (два доказательства: через формулу 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>) и через максимально удаленные вершины).<br><br />
Остовное дерево связного графа, возможность удаления из связного графа вершины вместе с ребрами без потери связности.<br><br />
Правильная раскраска: определение, примеры, критерий 2-раскрашиваемости графа (отсутствие циклов нечетной длины).<br><br />
''Дополнительно:'' алгоритмы поиска в ширину (BFS) и глубину (DFS).<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.118-123<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/XDNEDxyuccjLGA Т.Кормен и др. «Алгоритмы Построение и Анализ» стр 316-322, 607-663]<br />
|}<br />
<br />
== Семинары ==<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/N5V4VaIkLVTajg Комбинаторика-1]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/DDB7KcxEXg3-6A Комбинаторика-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/QXW6c4tUxwjV4g Комбинаторика-3]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/lfhWkTgRJPvbGw Числа Фибоначчи, Индукция]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/I1VBzSGylBSUtw Числа Фибоначчи-2, Индукция-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/6ZeDU1zdCnlBog Системы счисления]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/pC1rFQaRgrr5KA Делимость и Вычеты]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/iGuukuYtT4O1iQ Расширенный алгоритм Евклида, малая теорема Ферма.]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/yGSOYGTeGLBJVg Малая теорема Ферма, Китайская теорема об остатках.]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KjQpX2s2Vj8ITw Теорема Эйлера]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/OOaz4DVxqMuUkg Графы-1]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KiTGSNoG6VM_Hg Деревья, правильные раскраски]<br />
<br />
== Домашние задания ==<br />
'''В ДЗ-8 появилась бонусная задача на бинарные деревья поиска. Ссылку на книгу по теме можно найти в допматериалах к последней лекции.'''<br />
<br />
'''Правила сдачи ДЗ''': решения задач из домашнего задания оформляются письменно, первый лист работы подписывается, только ответы не проверяются, должно присутствовать ''полное рассуждение'', затем текст сканируется, файл называется в соответствии с ФИО студента (например, SysoevaLN.pdf) и отправляется на проверку (ссылку на загрузку см. в таблице ниже).<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дедлайн<br />
!Домашнее задание<br />
!Ссылка на загрузку файла<br />
!Решения и критерии<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/WeEzyM70AzqNtw Домашнее задание №1]<br />
|[https://www.dropbox.com/request/cGNCtS3rrJoiE6NGCrz9 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/lmtlr4mP41Iy-Q Решения ДЗ-1]<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/87IgAYKMLGbEyA Домашнее задание №2]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/_yELwtWaJS4RMA Решения ДЗ-2]<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/Yy6-_Hda1UEQLg Домашнее задание №3]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/-VioO1CArRXPEA Решения ДЗ-3]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/aofNsKB9AMhONA Домашнее задание №4]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/JVpDIULhuGcJfA Решения ДЗ-4]<br />
<br />
|-<br />
|4.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/V62t0PGwzQmJoA Домашнее задание №5]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/S-0Dkekb9_o1aQ Решения ДЗ-5]<br />
<br />
|-<br />
|12.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/ZtHuki9PQHV5Cg Домашнее задание №6]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/nmYHFgM2kiZtdg Решения ДЗ-6]<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/X6LCkozybxDH7w Домашнее задание №7]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|<br />
<br />
|-<br />
|27.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/FjywLphzBhL0Xw Домашнее задание №8]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|<br />
<br />
|}</div>Любовь Сысоеваhttp://math-info.hse.ru/wiki2022-23/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B8%D0%B3%D1%80&diff=426Теория игр2022-11-26T07:37:15Z<p>Любовь Сысоева: /* Домашние задания */</p>
<hr />
<div>'''Дорогие студенты!'''<br />
<br />
На этой странице будут появляться различные материалы и объявления, связанные с курсом '''«Теория игр»''', читаемого для студентов 3-го курса ОП Политология в '''2022/2023''' учебном году. <br />
<br />
* Лекции читает: Сысоева Любовь Николаевна lsysoeva@hse.ru, telegram @lsysoeva<br />
* Семинары (201 и 203): Паршина Анастасия Алексеевна a.a.parshina@ya.ru, telegram @aaparshina<br />
* Семинары (202 и 204): Краснокутская Александра Львовна al.krasnokutskaya@gmail.com<br />
* Ассистенты: Арзуманян Артур telegram @artshic и Крипайтис Кирилл telegram @ppppprik<br />
<br />
''Формула итоговой оценки'':<br />
О<sub>Итоговая</sub> =0,25*О<sub>Экзамен</sub> +0,25*О<sub>К/р</sub> + 0,25*О<sub>ДЗ</sub> + 0,25*О<sub>Активность</sub> , где О<sub>Активность</sub> = 0,5∗О<sub>Активность_Семинары</sub> + 0,5∗О<sub>Активность_Лекции</sub><br />
<br />
Оценки за Экзамен, КР, ДЗ, Активность являются целыми числами (округление по правилам арифметики), оценки Активность_Семинары и Активность_Лекции не округляются.<br />
<br />
== Контрольная работа ==<br />
Контрольная работа состоится 5го ноября в 11:00 по адресу Мясницкая д.11.<br />
<br />
В контрольную войдут все темы, рассмотренные в первом модуле на семинарах и в домашних работах.<br />
<br />
Если нужны будут дополнительные задачи для тренировки на какую-то конкретную тему, пишите в телеграм @lsysoeva, выложу одну-две задачи в дополнение.<br />
<br />
На контрольной можно пользоваться калькулятором (но не телефоном!) и собственным листом формата А4 с любыми записями с двух сторон.<br />
<br />
Демо-версии контрольной не предусмотрено в силу уникальности каждой задачи по теории игр, при подготовке стоит ориентироваться на задачи из семинаров и домашних работ.<br />
<br />
== Ведомости ==<br />
<br />
{|<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1fwKHS6v9XstPVA-KBLnc0yduBW8M6kdhGIYgu8-V728/edit?usp=sharing Активность 201] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1X61fBoP8Xmcw0KhJpnJa7RvvVSiKX_oGzX9iVVnvprw/edit?usp=sharing ДЗ 201]<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1yP9MbG9nTMdMNTDYSBdwVw1CBILOnQ_iWtq9_VSFm5g/edit?usp=sharing Активность 202] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1-Or4AzLTDN8BAqLAmCTXe7ikGkIteE2n0rl9L3YFDnI/edit?usp=sharing ДЗ 202]<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1z5mollNQ_6fVsg22wV6M50i1pa8g3h7D94FnZ2QLKAQ/edit?usp=sharing Активность 203] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r3Jr51DI6ZKXIjc9_DGSP6ap9hp5Cz30ixO9Bssgah0/edit?usp=sharing ДЗ 203]<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/14O560WPkH4zb1zx2v7IcHYBnSsxW3OoLscqCmwjcyqM/edit?usp=sharing Активность 204] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1LThjvW2FlgqHKGD0pfT6GCiYfK6cGASyAx-DSWdHjsA/edit?usp=sharing ДЗ 204]<br />
|}<br />
<br />
== Лекции ==<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дата лекции<br />
!тема лекции<br />
!дополнительные материалы<br />
|-<br />
|03.09.2022<br />
|Стратегические и нестратегические взаимодействия, примеры. Формализация одновременных взаимодействий в виде игр в нормальной форме. Матричная запись игр с 2 игроками, примеры. Сравнение профилей стратегий по Парето, Парето-оптимальные профили стратегий. Строго/слабо доминирующие стратегии, равновесия в строго/слабо доминирующих стратегиях.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/1 1 неделя], [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/2 2 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-1 1 неделя], [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-2 2 неделя]<br />
<br />
Алексей Савватеев <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=17176675618925890445&reqid=1662237943241960-2957665704564396072-vla1-2251-vla-l7-balancer-8080-BAL-6432&suggest_reqid=557135369158636339279440407783687&text=савватеев+теория+игр+лекция+1 Лекция 1] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=16196426250303824634&reqid=1662239129399232-15992862096193270937-vla1-2251-vla-l7-balancer-8080-BAL-61&suggest_reqid=557135369158636339291301794755819&text=савватеев+теория+игр+лекция+2 Лекция 2] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=11396199022059523635&suggest_reqid=557135369158636339291396043965073&text=савватеев+теория+игр+лекция+3 Лекция 3] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/?filmId=11474602284554133982&reqid=1662239210097183-15470061965215477178-vla1-2251-vla-l7-balancer-8080-BAL-2138&suggest_reqid=557135369158636339292106870659353&text=савватеев+теория+игр+лекция+4 Лекция 4]<br />
<br />
|-<br />
|10.09.2022<br />
|Игры в нормальной форме, пример формализации игры с тремя игроками в виде нескольких матриц, примеры игр с большим количеством игроков. Равновесия, получаемые последовательным исключением строго/слабо доминируемых стратегий. Минимаксные (все против меня) и максиминные (осторожные) стратегии. Равновесие Нэша.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/2 2 неделя], [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/3 3 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-3 3-7 неделя]<br />
<br />
Алексей Савватеев <br />
[https://yandex.ru/video/preview/5743819050015473973 Лекция 5] <br />
[https://yandex.ru/video/preview/7613644260134860259 Лекция 6] <br />
<br />
<br />
|-<br />
|17.09.2022<br />
|Пример игры со многими игроками (угадать среднее арифметическое всех названных чисел): максиминные и минимаксные стратегии игроков, Парето-оптимальные профили, равновесия Нэша.<br />
Смешанные стратегии, ожидаемые платежи, равновесие Нэша в смешанных стратегиях, теорема Нэша, исключение строго/слабо доминируемых стратегий с помощью смешанных стратегий.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/8 8 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-9 9-10 неделя]<br />
<br />
Алексей Савватеев <br />
[https://yandex.ru/video/preview/15857287820861354547 Лекция 10]<br />
[https://yandex.ru/video/preview/12182277885949068581 Лекция 12]<br />
<br />
|-<br />
|24.09.2022<br />
|Поиск равновесий Нэша в смешанных стратегиях, графический метод сравнения платежей игрока, проверка равновесий на устойчивость.<br />
Аукционы: примеры, свойства, сходства, различия, субъективная оценка стоимости лота и связь этой оценки со ставкой на аукционе.<br />
<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/SM5jmzWoI3qPbg Обзорная статья А.В.Савватеева про аукционы]<br />
<br />
|-<br />
|1.10.2022<br />
|Модель предвыборной конкуренции Хоттелинга-Даунса: предположения модели; случай 2 кандидатов, медианный избиратель, слабо доминирующая стратегия каждого из кандидатов, равновесие Нэша; случай 3 и более кандидатов, максимизация вероятности победы (равновесия Нэша) VS максимизация числа набранных голосов (отсутствие равновесий); случай функции распределения с линейной плотностью.<br />
<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/4 4 неделя]<br />
<br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-3 3 неделя]<br />
<br />
[https://www.youtube.com/watch?v=jILgxeNBK_8 Маленький мультик про модель] (он есть и в переводе, но перевод мне не нравится)<br />
<br />
|-<br />
|15.10.2022<br />
|Игры с неполной информацией. Байесовы игры (типы игроков, веры игроков относительно типов других игроков, ожидаемые платежи игроков). Равновесие Байеса-Нэша.<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/2jVnCUZu8c3qqw Презентация]<br />
<br />
|В.И. Данилов. Лекции по теории игр. Препринт РЭШ, 2002. Лекция 18.<br />
<br />
А.В. Захаров. Теория игр в общественных науках. Пп. 3.1.1.–3.1.2.<br />
<br />
|-<br />
|12.11.2022<br />
|Последовательные стратегические взаимодействия: примеры, формализация в виде игры в развернутой форме (дерево игры), определение количества стратегий каждого игрока, определение количества подыгр, нахождение матрицы игры по дереву игры, поиск NE, алгоритм обратной индукции, SPNE.<br />
Теорема Цермело-Куна про существование SPNE в любой конечной (!) последовательной игре.<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/5 5-6 недели]<br><br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-14 14-15 неделя]<br><br />
Dixit A., Nalebuff B. The Art of Strategy. Chapters 2,6,7;<br><br />
А.В. Захаров. Теория игр в общественных науках. Пп. 2.1.1.–2.1.3.<br><br />
Schelling T., The Strategy of Conflict;<br><br />
В.И. Данилов. Лекции по теории игр. Препринт РЭШ, 2002. Лекция 1.<br />
<br />
<br />
|-<br />
|19.11.2022<br />
|Последовательные взаимодействия повторение: стратегии, подыгры, нахождение матрицы игры, поиск NE, поиск SPNE.<br><br />
Игры с Коммитментом: примеры последовательных игр, в которых одному из игроков выгодно взять на себя связывающее обязательство.<br><br />
Игры с несовершенной информацией: пример, определение стратегий, подыгр, SPNE.<br><br />
Байесовы игры: повторение на примере военных действий.<br />
|курс Теория игр Д.А.Дагаев [https://www.coursera.org/learn/game-theory/home/week/6 6 неделя]<br><br />
Открытый видеокурс Бена Полака из Йельского университета [https://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-19 19 неделя]<br />
[https://disk.yandex.ru/i/9G0aizetfHPsDA Решение игры со странами]<br />
<br />
|-<br />
|26.11.2022<br />
|Тема теста: игры с несовершенной информацией<br />
|<br />
<br />
|}<br />
<br />
== Семинары ==<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/VJs13h-QQVdS4Q Стратегические взаимодействия, игра в нормальной форме, Парето-оптимальность, доминирующие стратегии]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/BLF_B64Yreeb5g Доминируемые стратегии, минимакс, максимин, равновесие Нэша]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/_8VqIZzRSgxlzg Help01]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/7OPbE-e9h4c9dQ Смешанные стратегии и равновесие Нэша в смешанных стратегиях]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/01xPQDvVhuvCBA Help02]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/SGNtqPl_ksiAww Help03]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/O8m8B9K_OxLX8g Модель Хотеллинга-Даунса]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/4qu6gAoZ745GcQ Байесовы игры]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/hn4SNNdq272o_w Help04]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/a0Sisz-HMHVBcw Повторение]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/Tm_SE29-ftPNrQ Лыжники (Help05)]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/Z34sjCItue8wHg Игры в развернутой форме]<br />
<br />
== Домашние задания ==<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дедлайн<br />
!файл с заданием<br />
!форма для ответов<br />
|-<br />
|12.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/xPpKHVGXmieNBQ Домашнее задание 1]<br />
|[https://forms.gle/RTdRLZcvNvzpbvyE6 Форма ДЗ-1]<br />
<br />
|-<br />
|19.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/kfMYJkB1iiF_gg Домашнее задание 2]<br />
|[https://forms.gle/oGyY8FSbfeEsYXsv9 Форма ДЗ-2]<br />
<br />
|-<br />
|29.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/nDAZ3wFDfKM4sQ Домашнее задание 3]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSeRf1IbDEzwrjCflHxsekd7ZI5utTqYz-OR53LgnEjY1oGDQw/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-3]<br />
<br />
|-<br />
|9.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/f1cjdiDeUcbq-w Домашнее задание 4]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdFHp3iv9EzMKNvRbNC3YwAWiWOiAkpA8Q7tIrL8qjPQRXf2Q/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-4]<br />
<br />
|-<br />
|16.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/5Sdsj6-1EC-JEQ Домашнее задание 5]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSfFhfclBc8Ts8trQXyOnugxdB-cMF1Zs1weT81Mr82dMjNJwA/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-5]<br />
<br />
|-<br />
|31.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/QpypS8qdocQI_w Турнир 2]<br />
|<br />
<br />
|-<br />
|16.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/AMS9JEJQ6M8Avw Домашнее задание 6]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdL5yClVlgNVRp6Eiu9izN1_sfjI2vZyzxaa8GlYy8kSl0R9A/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-6]<br />
<br />
|-<br />
|26.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/GK3pnapp0_H_wA Домашнее задание 7]<br />
|[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdM1lS-RAwM1Lg3XWLYvN5kUEXgQ2ozvWjOUlUyKOtVMrii6w/viewform?usp=sharing Форма ДЗ-7]<br />
<br />
|}</div>Любовь Сысоеваhttp://math-info.hse.ru/wiki2022-23/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0&diff=425Дискретная Математика2022-11-25T16:24:53Z<p>Любовь Сысоева: /* Лекции */</p>
<hr />
<div>'''Дорогие студенты!'''<br />
<br />
На этой странице будут появляться различные материалы и объявления, связанные с курсом '''«Дискретная математика»''', читаемого для студентов 1-го курса ОП Вычислительные социальные науки в '''2022/2023''' учебном году. <br />
<br />
* Лекции и семинары: Сысоева Любовь Николаевна lsysoeva@hse.ru, telegram @lsysoeva<br />
* Ассистент: Ластовецкий Дмитрий dalastovetsky@hse.ru, telegram @dalastovetskiy<br />
<br />
{|<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_izNbdyLHY8c3Y4SfFzpzhsF-QTBNpRFmEqnCR3IQFU/edit?usp=sharing Ведомость активности] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SmaC4Uyy1F4Dn37zME5SMQCdAtXQHpSelk3JZttFxBU/edit?usp=sharing Ведомость ДЗ]<br />
|}<br />
<br />
Формула итоговой оценки:<br />
0,3 * Активность + 0,3 * Домашние задания + 0,4 * Экзамен<br />
<br />
== Консультации ==<br />
<br />
Консультации будут проходить онлайн по понедельникам в 17:00, задавайте ваши вопросы Дмитрию, присоединяйтесь к консультациям!<br />
<br />
Join Zoom Meeting<br />
https://us05web.zoom.us/j/4685079351?pwd=cVJkeVkzUUR1bXNjMzJ1WDRrN0EyUT09<br />
<br />
Meeting ID: 468 507 9351<br />
Passcode: yqTLi1<br />
<br />
== Лекции ==<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дата лекции<br />
!тема лекции<br />
!дополнительные материалы<br />
|-<br />
|16.09.2022<br />
|Понятие множества, конечные множества, задание множества перечислением элементов, задание множества условием, пустое множество, пересечение множеств, объединение множеств, декартово произведение множеств, парадокс брадобрея.<br><br />
Комбинаторика: правило суммы, правило произведения, факториал, число размещений с повторениями и без повторений, число сочетаний.<br />
|[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.1-26<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.44-63<br />
<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|Дискретная вероятность = (кол-во положительных исходов)/(общее число исходов).<br><br />
<br />
Сочетания с повторениями (метод шариков и перегородок), типы предметов.<br><br />
<br />
Треугольник Паскаля (количество путей от вершины вниз), рекуррентная формула (нижний элемент = сумме двух верхних).<br><br />
<br />
Бином Ньютона, связь с треугольником Паскаля (коэффициенты в разложении (a+b)<sup>n</sup> это числа в n строке треугольника).<br><br />
<br />
Числа сочетаний в треугольнике Паскаля, формула C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>k</sup><sub>n-1</sub> + C<sup>k-1</sup><sub>n-1</sub> и ее комбинаторный смысл.<br><br />
<br />
Сумма элементов n строки в треугольнике Паскаля равна 2<sup>n</sup> (через удвоение суммы предыдущей строки, через разложение (1+1)<sup>n</sup> и через все подмножества множества из n элементов).<br><br />
<br />
Полиномиальные коэффициенты (определение и формула).<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.26-40<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.63-70<br />
<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|Числа сочетаний в треугольнике Паскаля: возрастание элементов к середине строки и убывание после середины (C<sup>k</sup><sub>n</sub> < C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k < (n-1)/2 и C<sup>k</sup><sub>n</sub> > C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k > (n-1)/2), симметрия (C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>n-k</sup><sub>n</sub>), оценка среднего элемента в строке через сумму и количество элементов в этой строке (C<sup>n</sup><sub>2n</sub> > 2<sup>2n</sup>/(2n+1)).<br><br />
<br />
Сумма знакопеременных элементов n строки в треугольнике Паскаля равна нулю (через удвоение элементов предыдущей строки с противоположными знаками, через разложение (1-1)<sup>n</sup>).<br><br />
<br />
Формулы для 11<sup>2</sup>, 11<sup>3</sup>, 11<sup>4</sup> и связь со строками треугольника Паскаля (доказательство через разложение 11<sup>k</sup> = (10+1)<sup>k</sup> по биному Ньютона).<br><br />
<br />
Формула включений-исключений: через диаграммы Эйлера-Вена для 2 и 3 множеств, формулировка в общем случае.<br><br />
<br />
Принцип Дирихле (pigeonhole principle): если кроликов больше, чем клеток, то при рассадке кроликов по клеткам по крайней мере в одну клетку попадут по крайней мере два кролика.<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.41-44<br><br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.66<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи: задача про кроликов, определение (F<sub>0</sub> = 0, F<sub>1</sub> = 1, F<sub>n+1</sub> = F<sub>n</sub> + F<sub>n-1</sub>), F<sub>n</sub> равно сумме "диагонали" треугольника Паскаля (F<sub>n</sub> = C<sub>n-1</sub><sup>0</sup> + C<sub>n-2</sub><sup>1</sup> + C<sub>n-3</sub><sup>2</sup> + ... + C<sub>n-[n/2]</sub><sup>[n/2]-1</sup> целая часть должна быть верхней), явная формула (F<sub>n</sub> = 1/٧5((1+٧5)/2)^n - 1/٧5((1-٧5)/2)^n) и ее доказательство по индукции.<br />
<br />
Индукция: принцип математической индукции, база и переход их согласованность, индуктивное предположение, доказательство равенств, неравенств, разбор текстовой задачи (машина на краю пустыни).<br />
Примеры неверных доказательств по индукции (резиновый автобус, куча манки, одномастные лошади).<br />
<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.16-51<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|14.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи (повторение).<br />
Линейные рекуррентные соотношения в разных задачах.<br />
Рекурсия (программирование, литература) и ее связь с рекуррентными соотношениями.<br />
Основная теорема о рекуррентных соотношениях (Master theorem): оценка сложности рекурсивных алгоритмов.<br />
<br />
Рекуррентные записи n! и геометрических прогрессий.<br />
<br />
Индукция: повторение, связь с рекуррентными соотношениями, пример вложенной индукции (количество разломов прямоугольной шоколадки).<br />
<br />
|[https://ru.wikipedia.org/wiki/Основная_теорема_о_рекуррентных_соотношениях Основная теорема о рекуррентных соотношениях]<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|Числа Каталана (по заявкам): рекуррентная формула, количество правильных скобочных последовательностей, количество способов разбить n-угольник диагоналями на треугольники.<br />
<br />
Системы счисления: позиционные, примеры, n-ичные дроби, переводы между системами счислений целых чисел и дробных частей, погрешность в случае прерывания бесконечных дробей.<br />
<br />
Римская система счисления: способы записи чисел, сложность алгоритмов сложения и умножения чисел.<br />
<br />
Признаки делимости в n-ичной системе счисления: схожесть признаков делимости на n-1 и n+1 с признаками делимости на 9 и 11 для десятичной системы, схожесть признаков делимости на делители n с признаками делимости на 5 и 10 для десятичной системы.<br />
<br />
Троичная система: взвешивание путем уравновешивания весов с двумя чашами.<br />
|<br />
[https://disk.yandex.ru/i/UjJYIydJppYhQg Статья про числа Каталана]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/MOK8NEeNVq5SYA Книжка по системам счисления]<br />
<br />
|-<br />
|01.11.2022<br />
|Простые числа: определение, основная теорема арифметики (любое число однозначно разлагается в произведение простых), бесконечное количество простых чисел (два доказательства 1. p<sub>1</sub>p<sub>2</sub>...p<sub>n</sub>+1 ; 2. (k+1)<sup>n</sup> << 2<sup>k</sup> при фиксированном n и растущем k), Постулат Бертрана (теорема Чебышева): для любого натурального n ⩾ 2 найдётся простое число p в интервале n < p < 2n.<br />
<br />
Остатки от деления и вычеты: сложение, вычитание, умножение, поиск обратного вычета.<br />
Запись вычетов через отрицательные числа для удобства вычислений.<br />
Примеры, когда обратного вычета не существует (элемент и модуль не взаимно просты).<br />
<br />
Алгоритм Евклида (с использованием остатка от деления по модулю): сам алгоритм и оценка числа итераций через числа Фибоначчи.<br />
<br />
|[http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/e4d919f5-8435-4fe3-a779-275181a69951/M_1.1.4/M_1.1.4.html Вычеты (короткая базовая статья)]<br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.143-156<br />
<br />
|-<br />
|11.11.2022<br />
|Идея кодирования с открытым ключом.<br />
Диофантовы уравнения: примеры, великая теорема Ферма, линейные Диофантовы уравнения с двумя неизвестными, критерий разрешимости.<br />
Расширенный алгоритм Евклида: решение линейных Диофантовых уравнений с двумя неизвестными.<br />
Сведение поиска обратного по умножению элемента по модулю к решению линейного Диофантова уравнения с двумя неизвестными.<br />
Единственность обратного по умножению элемента по модулю (если существует, то единственный).<br />
<br />
Малая теорема Ферма: формулировка, четыре доказательства (мультиномиальное разложение, индукция и бином Ньютона, раскраска бус, перемножение чисел специального вида), поиск обратного по умножению элемента через малую теорему Ферма в случае простого модуля.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.154-163<br />
<br />
<br />
|-<br />
|15.11.2022<br />
|Идея проверки числа на простоту:<br><br />
1) проверка делимости на простые до корня из числа;<br><br />
2) проверка взаимной простоты с числами от 2 до n-1;<br><br />
3) (тест Ферма) проверка справедливости малой теоремы Ферма для чисел от 2 до n-1 (и числа Кармайкла);<br><br />
4) (тест Рабина) проверка справедливости малой теоремы Ферма плюс корней из 1.<br />
<br />
Китайская теорема об остатках: система сравнений по взаимнопростым модулям имеет единственное решение по произведению модулей.<br />
Доказательство и решения систем сравнений с помощью расширенного алгоритма Евклида.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.161-165<br />
<br />
|-<br />
|18.11.2022<br />
|Китайская теорема об остатках: доказательство (индукция во числу сравнений), Следствие: независимость распределения остатков по взаимнопростым модулям.<br><br />
Функция Эйлера: определение и вычисление для простых чисел, степеней простых чисел, составных чисел.<br><br />
Теорема Эйлера: формулировка, малая теорема Ферма как частный случай, доказательство (аналогично 4 доказательству малой теоремы Ферма, через обратимые остатки и их перемножение).<br><br />
Алгоритм кодирования с открытым ключом RSA: определение, корректность кодирования и декодирования, устойчивость к атакам.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.162-167<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/fX6Q_FMRE-I_Zg Лекции по криптографии] (тут довольно хорошо объяснен алгоритм RSA и еще много что)<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|Графы: определение (V,E), множество вершин, множество ребер, изолированная вершина, степень вершины, способы задания графов (матрица смежности, матрица инцидентности, список смежности).<br><br />
Формула 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>).<br><br />
Маршрут, путь, простой путь, расстояние между вершинами (длина кратчайшего пути), диаметр графа (самое большое расстояние между вершинами).<br><br />
Цикл, простой цикл.<br><br />
Связный граф, компонента связности.<br><br />
Оценка: количество компонент связности ≥ |V|-|E|.<br><br />
Следствие: для поиска самого тяжелого камня среди n камней необходимо n-1 взвешивание.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.95-118<br><br />
<br />
|-<br />
|25.11.2022<br />
|Деревья: (четыре определения и их эквивалентность) связный граф с V-1 ребром; минимальный связный граф; связный ациклический граф; граф, между любыми двумя вершинами которого существует единственный путь.<br><br />
''Дополнительно:'' бинарное дерево поиска: поиск элемента, добавление элемента, удаление элемента, поиск следующего и предшествующего элементов.<br><br />
Существование у произвольного дерева по крайней мере двух листьев (два доказательства: через формулу 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>) и через максимально удаленные вершины).<br><br />
Остовное дерево связного графа, возможность удаления из связного графа вершины вместе с ребрами без потери связности.<br><br />
Правильная раскраска: определение, примеры, критерий 2-раскрашиваемости графа (отсутствие циклов нечетной длины).<br><br />
''Дополнительно:'' алгоритмы поиска в ширину (BFS) и глубину (DFS).<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.118-123<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/XDNEDxyuccjLGA Т.Кормен и др. «Алгоритмы Построение и Анализ» стр 316-322, 607-663]<br />
|}<br />
<br />
== Семинары ==<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/N5V4VaIkLVTajg Комбинаторика-1]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/DDB7KcxEXg3-6A Комбинаторика-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/QXW6c4tUxwjV4g Комбинаторика-3]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/lfhWkTgRJPvbGw Числа Фибоначчи, Индукция]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/I1VBzSGylBSUtw Числа Фибоначчи-2, Индукция-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/6ZeDU1zdCnlBog Системы счисления]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/pC1rFQaRgrr5KA Делимость и Вычеты]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/iGuukuYtT4O1iQ Расширенный алгоритм Евклида. Малая теорема Ферма.]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/yGSOYGTeGLBJVg Малая теорема Ферма. Китайская теорема об остатках.]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KjQpX2s2Vj8ITw Теорема Эйлера.]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/OOaz4DVxqMuUkg Графы-1.]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KiTGSNoG6VM_Hg Деревья, правильные раскраски]<br />
<br />
== Домашние задания ==<br />
'''В ДЗ-8 появилась бонусная задача на бинарные деревья поиска. Ссылку на книгу по теме можно найти в допматериалах к последней лекции.'''<br />
<br />
'''Правила сдачи ДЗ''': решения задач из домашнего задания оформляются письменно, первый лист работы подписывается, только ответы не проверяются, должно присутствовать ''полное рассуждение'', затем текст сканируется, файл называется в соответствии с ФИО студента (например, SysoevaLN.pdf) и отправляется на проверку (ссылку на загрузку см. в таблице ниже).<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дедлайн<br />
!Домашнее задание<br />
!Ссылка на загрузку файла<br />
!Решения и критерии<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/WeEzyM70AzqNtw Домашнее задание №1]<br />
|[https://www.dropbox.com/request/cGNCtS3rrJoiE6NGCrz9 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/lmtlr4mP41Iy-Q Решения ДЗ-1]<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/87IgAYKMLGbEyA Домашнее задание №2]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/_yELwtWaJS4RMA Решения ДЗ-2]<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/Yy6-_Hda1UEQLg Домашнее задание №3]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/-VioO1CArRXPEA Решения ДЗ-3]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/aofNsKB9AMhONA Домашнее задание №4]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/JVpDIULhuGcJfA Решения ДЗ-4]<br />
<br />
|-<br />
|4.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/V62t0PGwzQmJoA Домашнее задание №5]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/S-0Dkekb9_o1aQ Решения ДЗ-5]<br />
<br />
|-<br />
|12.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/ZtHuki9PQHV5Cg Домашнее задание №6]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/nmYHFgM2kiZtdg Решения ДЗ-6]<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/X6LCkozybxDH7w Домашнее задание №7]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|<br />
<br />
|-<br />
|27.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/FjywLphzBhL0Xw Домашнее задание №8]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|<br />
<br />
|}</div>Любовь Сысоеваhttp://math-info.hse.ru/wiki2022-23/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0&diff=424Дискретная Математика2022-11-25T16:23:53Z<p>Любовь Сысоева: /* Лекции */</p>
<hr />
<div>'''Дорогие студенты!'''<br />
<br />
На этой странице будут появляться различные материалы и объявления, связанные с курсом '''«Дискретная математика»''', читаемого для студентов 1-го курса ОП Вычислительные социальные науки в '''2022/2023''' учебном году. <br />
<br />
* Лекции и семинары: Сысоева Любовь Николаевна lsysoeva@hse.ru, telegram @lsysoeva<br />
* Ассистент: Ластовецкий Дмитрий dalastovetsky@hse.ru, telegram @dalastovetskiy<br />
<br />
{|<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_izNbdyLHY8c3Y4SfFzpzhsF-QTBNpRFmEqnCR3IQFU/edit?usp=sharing Ведомость активности] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SmaC4Uyy1F4Dn37zME5SMQCdAtXQHpSelk3JZttFxBU/edit?usp=sharing Ведомость ДЗ]<br />
|}<br />
<br />
Формула итоговой оценки:<br />
0,3 * Активность + 0,3 * Домашние задания + 0,4 * Экзамен<br />
<br />
== Консультации ==<br />
<br />
Консультации будут проходить онлайн по понедельникам в 17:00, задавайте ваши вопросы Дмитрию, присоединяйтесь к консультациям!<br />
<br />
Join Zoom Meeting<br />
https://us05web.zoom.us/j/4685079351?pwd=cVJkeVkzUUR1bXNjMzJ1WDRrN0EyUT09<br />
<br />
Meeting ID: 468 507 9351<br />
Passcode: yqTLi1<br />
<br />
== Лекции ==<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дата лекции<br />
!тема лекции<br />
!дополнительные материалы<br />
|-<br />
|16.09.2022<br />
|Понятие множества, конечные множества, задание множества перечислением элементов, задание множества условием, пустое множество, пересечение множеств, объединение множеств, декартово произведение множеств, парадокс брадобрея.<br><br />
Комбинаторика: правило суммы, правило произведения, факториал, число размещений с повторениями и без повторений, число сочетаний.<br />
|[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.1-26<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.44-63<br />
<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|Дискретная вероятность = (кол-во положительных исходов)/(общее число исходов).<br><br />
<br />
Сочетания с повторениями (метод шариков и перегородок), типы предметов.<br><br />
<br />
Треугольник Паскаля (количество путей от вершины вниз), рекуррентная формула (нижний элемент = сумме двух верхних).<br><br />
<br />
Бином Ньютона, связь с треугольником Паскаля (коэффициенты в разложении (a+b)<sup>n</sup> это числа в n строке треугольника).<br><br />
<br />
Числа сочетаний в треугольнике Паскаля, формула C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>k</sup><sub>n-1</sub> + C<sup>k-1</sup><sub>n-1</sub> и ее комбинаторный смысл.<br><br />
<br />
Сумма элементов n строки в треугольнике Паскаля равна 2<sup>n</sup> (через удвоение суммы предыдущей строки, через разложение (1+1)<sup>n</sup> и через все подмножества множества из n элементов).<br><br />
<br />
Полиномиальные коэффициенты (определение и формула).<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.26-40<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.63-70<br />
<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|Числа сочетаний в треугольнике Паскаля: возрастание элементов к середине строки и убывание после середины (C<sup>k</sup><sub>n</sub> < C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k < (n-1)/2 и C<sup>k</sup><sub>n</sub> > C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k > (n-1)/2), симметрия (C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>n-k</sup><sub>n</sub>), оценка среднего элемента в строке через сумму и количество элементов в этой строке (C<sup>n</sup><sub>2n</sub> > 2<sup>2n</sup>/(2n+1)).<br><br />
<br />
Сумма знакопеременных элементов n строки в треугольнике Паскаля равна нулю (через удвоение элементов предыдущей строки с противоположными знаками, через разложение (1-1)<sup>n</sup>).<br><br />
<br />
Формулы для 11<sup>2</sup>, 11<sup>3</sup>, 11<sup>4</sup> и связь со строками треугольника Паскаля (доказательство через разложение 11<sup>k</sup> = (10+1)<sup>k</sup> по биному Ньютона).<br><br />
<br />
Формула включений-исключений: через диаграммы Эйлера-Вена для 2 и 3 множеств, формулировка в общем случае.<br><br />
<br />
Принцип Дирихле (pigeonhole principle): если кроликов больше, чем клеток, то при рассадке кроликов по клеткам по крайней мере в одну клетку попадут по крайней мере два кролика.<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.41-44<br><br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.66<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи: задача про кроликов, определение (F<sub>0</sub> = 0, F<sub>1</sub> = 1, F<sub>n+1</sub> = F<sub>n</sub> + F<sub>n-1</sub>), F<sub>n</sub> равно сумме "диагонали" треугольника Паскаля (F<sub>n</sub> = C<sub>n-1</sub><sup>0</sup> + C<sub>n-2</sub><sup>1</sup> + C<sub>n-3</sub><sup>2</sup> + ... + C<sub>n-[n/2]</sub><sup>[n/2]-1</sup> целая часть должна быть верхней), явная формула (F<sub>n</sub> = 1/٧5((1+٧5)/2)^n - 1/٧5((1-٧5)/2)^n) и ее доказательство по индукции.<br />
<br />
Индукция: принцип математической индукции, база и переход их согласованность, индуктивное предположение, доказательство равенств, неравенств, разбор текстовой задачи (машина на краю пустыни).<br />
Примеры неверных доказательств по индукции (резиновый автобус, куча манки, одномастные лошади).<br />
<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.16-51<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|14.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи (повторение).<br />
Линейные рекуррентные соотношения в разных задачах.<br />
Рекурсия (программирование, литература) и ее связь с рекуррентными соотношениями.<br />
Основная теорема о рекуррентных соотношениях (Master theorem): оценка сложности рекурсивных алгоритмов.<br />
<br />
Рекуррентные записи n! и геометрических прогрессий.<br />
<br />
Индукция: повторение, связь с рекуррентными соотношениями, пример вложенной индукции (количество разломов прямоугольной шоколадки).<br />
<br />
|[https://ru.wikipedia.org/wiki/Основная_теорема_о_рекуррентных_соотношениях Основная теорема о рекуррентных соотношениях]<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|Числа Каталана (по заявкам): рекуррентная формула, количество правильных скобочных последовательностей, количество способов разбить n-угольник диагоналями на треугольники.<br />
<br />
Системы счисления: позиционные, примеры, n-ичные дроби, переводы между системами счислений целых чисел и дробных частей, погрешность в случае прерывания бесконечных дробей.<br />
<br />
Римская система счисления: способы записи чисел, сложность алгоритмов сложения и умножения чисел.<br />
<br />
Признаки делимости в n-ичной системе счисления: схожесть признаков делимости на n-1 и n+1 с признаками делимости на 9 и 11 для десятичной системы, схожесть признаков делимости на делители n с признаками делимости на 5 и 10 для десятичной системы.<br />
<br />
Троичная система: взвешивание путем уравновешивания весов с двумя чашами.<br />
|<br />
[https://disk.yandex.ru/i/UjJYIydJppYhQg Статья про числа Каталана]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/MOK8NEeNVq5SYA Книжка по системам счисления]<br />
<br />
|-<br />
|01.11.2022<br />
|Простые числа: определение, основная теорема арифметики (любое число однозначно разлагается в произведение простых), бесконечное количество простых чисел (два доказательства 1. p<sub>1</sub>p<sub>2</sub>...p<sub>n</sub>+1 ; 2. (k+1)<sup>n</sup> << 2<sup>k</sup> при фиксированном n и растущем k), Постулат Бертрана (теорема Чебышева): для любого натурального n ⩾ 2 найдётся простое число p в интервале n < p < 2n.<br />
<br />
Остатки от деления и вычеты: сложение, вычитание, умножение, поиск обратного вычета.<br />
Запись вычетов через отрицательные числа для удобства вычислений.<br />
Примеры, когда обратного вычета не существует (элемент и модуль не взаимно просты).<br />
<br />
Алгоритм Евклида (с использованием остатка от деления по модулю): сам алгоритм и оценка числа итераций через числа Фибоначчи.<br />
<br />
|[http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/e4d919f5-8435-4fe3-a779-275181a69951/M_1.1.4/M_1.1.4.html Вычеты (короткая базовая статья)]<br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.143-156<br />
<br />
|-<br />
|11.11.2022<br />
|Идея кодирования с открытым ключом.<br />
Диофантовы уравнения: примеры, великая теорема Ферма, линейные Диофантовы уравнения с двумя неизвестными, критерий разрешимости.<br />
Расширенный алгоритм Евклида: решение линейных Диофантовых уравнений с двумя неизвестными.<br />
Сведение поиска обратного по умножению элемента по модулю к решению линейного Диофантова уравнения с двумя неизвестными.<br />
Единственность обратного по умножению элемента по модулю (если существует, то единственный).<br />
<br />
Малая теорема Ферма: формулировка, четыре доказательства (мультиномиальное разложение, индукция и бином Ньютона, раскраска бус, перемножение чисел специального вида), поиск обратного по умножению элемента через малую теорему Ферма в случае простого модуля.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.154-163<br />
<br />
<br />
|-<br />
|15.11.2022<br />
|Идея проверки числа на простоту:<br><br />
1) проверка делимости на простые до корня из числа;<br><br />
2) проверка взаимной простоты с числами от 2 до n-1;<br><br />
3) (тест Ферма) проверка справедливости малой теоремы Ферма для чисел от 2 до n-1 (и числа Кармайкла);<br><br />
4) (тест Рабина) проверка справедливости малой теоремы Ферма плюс корней из 1.<br />
<br />
Китайская теорема об остатках: система сравнений по взаимнопростым модулям имеет единственное решение по произведению модулей.<br />
Доказательство и решения систем сравнений с помощью расширенного алгоритма Евклида.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.161-165<br />
<br />
|-<br />
|18.11.2022<br />
|Китайская теорема об остатках: доказательство (индукция во числу сравнений), Следствие: независимость распределения остатков по взаимнопростым модулям.<br><br />
Функция Эйлера: определение и вычисление для простых чисел, степеней простых чисел, составных чисел.<br><br />
Теорема Эйлера: формулировка, малая теорема Ферма как частный случай, доказательство (аналогично 4 доказательству малой теоремы Ферма, через обратимые остатки и их перемножение).<br><br />
Алгоритм кодирования с открытым ключом RSA: определение, корректность кодирования и декодирования, устойчивость к атакам.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.162-167<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/fX6Q_FMRE-I_Zg Лекции по криптографии] (тут довольно хорошо объяснен алгоритм RSA и еще много что)<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|Графы: определение (V,E), множество вершин, множество ребер, изолированная вершина, степень вершины, способы задания графов (матрица смежности, матрица инцидентности, список смежности).<br><br />
Формула 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>).<br><br />
Маршрут, путь, простой путь, расстояние между вершинами (длина кратчайшего пути), диаметр графа (самое большое расстояние между вершинами).<br><br />
Цикл, простой цикл.<br><br />
Связный граф, компонента связности.<br><br />
Оценка: количество компонент связности ≥ |V|-|E|.<br><br />
Следствие: для поиска самого тяжелого камня среди n камней необходимо n-1 взвешивание.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.95-118<br><br />
<br />
|-<br />
|25.11.2022<br />
|Деревья: (четыре определения и их эквивалентность) связный граф с V-1 ребром; минимальный связный граф; связный ациклический граф; граф, между любыми двумя вершинами которого существует единственный путь.<br><br />
''Дополнительно:'' бинарное дерево поиска: поиск элемента, добавление элемента, удаление элемента, поиск следующего и предшествующего элементов.<br><br />
Существование у произвольного дерева по крайней мере двух листьев (два доказательства: через формулу 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>) и через максимально удаленные вершины).<br><br />
Остовное дерево связного графа, возможность удаления из связного графа вершины вместе с ребрами без потери связности.<br><br />
Правильная раскраска: определение, примеры, критерий 2-раскрашиваемости графа (отсутствие циклов нечетной длины).<br><br />
''Дополнительно:'' алгоритмы поиска в ширину (BFS) и глубину (DFS).<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.118-123<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/XDNEDxyuccjLGA Т.Кормен и др.Алгоритмы Построение И Анализ стр 316-322, 607-663]<br />
|}<br />
<br />
== Семинары ==<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/N5V4VaIkLVTajg Комбинаторика-1]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/DDB7KcxEXg3-6A Комбинаторика-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/QXW6c4tUxwjV4g Комбинаторика-3]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/lfhWkTgRJPvbGw Числа Фибоначчи, Индукция]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/I1VBzSGylBSUtw Числа Фибоначчи-2, Индукция-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/6ZeDU1zdCnlBog Системы счисления]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/pC1rFQaRgrr5KA Делимость и Вычеты]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/iGuukuYtT4O1iQ Расширенный алгоритм Евклида. Малая теорема Ферма.]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/yGSOYGTeGLBJVg Малая теорема Ферма. Китайская теорема об остатках.]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KjQpX2s2Vj8ITw Теорема Эйлера.]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/OOaz4DVxqMuUkg Графы-1.]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KiTGSNoG6VM_Hg Деревья, правильные раскраски]<br />
<br />
== Домашние задания ==<br />
'''В ДЗ-8 появилась бонусная задача на бинарные деревья поиска. Ссылку на книгу по теме можно найти в допматериалах к последней лекции.'''<br />
<br />
'''Правила сдачи ДЗ''': решения задач из домашнего задания оформляются письменно, первый лист работы подписывается, только ответы не проверяются, должно присутствовать ''полное рассуждение'', затем текст сканируется, файл называется в соответствии с ФИО студента (например, SysoevaLN.pdf) и отправляется на проверку (ссылку на загрузку см. в таблице ниже).<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дедлайн<br />
!Домашнее задание<br />
!Ссылка на загрузку файла<br />
!Решения и критерии<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/WeEzyM70AzqNtw Домашнее задание №1]<br />
|[https://www.dropbox.com/request/cGNCtS3rrJoiE6NGCrz9 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/lmtlr4mP41Iy-Q Решения ДЗ-1]<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/87IgAYKMLGbEyA Домашнее задание №2]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/_yELwtWaJS4RMA Решения ДЗ-2]<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/Yy6-_Hda1UEQLg Домашнее задание №3]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/-VioO1CArRXPEA Решения ДЗ-3]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/aofNsKB9AMhONA Домашнее задание №4]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/JVpDIULhuGcJfA Решения ДЗ-4]<br />
<br />
|-<br />
|4.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/V62t0PGwzQmJoA Домашнее задание №5]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/S-0Dkekb9_o1aQ Решения ДЗ-5]<br />
<br />
|-<br />
|12.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/ZtHuki9PQHV5Cg Домашнее задание №6]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/nmYHFgM2kiZtdg Решения ДЗ-6]<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/X6LCkozybxDH7w Домашнее задание №7]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|<br />
<br />
|-<br />
|27.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/FjywLphzBhL0Xw Домашнее задание №8]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|<br />
<br />
|}</div>Любовь Сысоеваhttp://math-info.hse.ru/wiki2022-23/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0&diff=423Дискретная Математика2022-11-25T16:23:03Z<p>Любовь Сысоева: /* Лекции */</p>
<hr />
<div>'''Дорогие студенты!'''<br />
<br />
На этой странице будут появляться различные материалы и объявления, связанные с курсом '''«Дискретная математика»''', читаемого для студентов 1-го курса ОП Вычислительные социальные науки в '''2022/2023''' учебном году. <br />
<br />
* Лекции и семинары: Сысоева Любовь Николаевна lsysoeva@hse.ru, telegram @lsysoeva<br />
* Ассистент: Ластовецкий Дмитрий dalastovetsky@hse.ru, telegram @dalastovetskiy<br />
<br />
{|<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_izNbdyLHY8c3Y4SfFzpzhsF-QTBNpRFmEqnCR3IQFU/edit?usp=sharing Ведомость активности] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SmaC4Uyy1F4Dn37zME5SMQCdAtXQHpSelk3JZttFxBU/edit?usp=sharing Ведомость ДЗ]<br />
|}<br />
<br />
Формула итоговой оценки:<br />
0,3 * Активность + 0,3 * Домашние задания + 0,4 * Экзамен<br />
<br />
== Консультации ==<br />
<br />
Консультации будут проходить онлайн по понедельникам в 17:00, задавайте ваши вопросы Дмитрию, присоединяйтесь к консультациям!<br />
<br />
Join Zoom Meeting<br />
https://us05web.zoom.us/j/4685079351?pwd=cVJkeVkzUUR1bXNjMzJ1WDRrN0EyUT09<br />
<br />
Meeting ID: 468 507 9351<br />
Passcode: yqTLi1<br />
<br />
== Лекции ==<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дата лекции<br />
!тема лекции<br />
!дополнительные материалы<br />
|-<br />
|16.09.2022<br />
|Понятие множества, конечные множества, задание множества перечислением элементов, задание множества условием, пустое множество, пересечение множеств, объединение множеств, декартово произведение множеств, парадокс брадобрея.<br><br />
Комбинаторика: правило суммы, правило произведения, факториал, число размещений с повторениями и без повторений, число сочетаний.<br />
|[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.1-26<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.44-63<br />
<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|Дискретная вероятность = (кол-во положительных исходов)/(общее число исходов).<br><br />
<br />
Сочетания с повторениями (метод шариков и перегородок), типы предметов.<br><br />
<br />
Треугольник Паскаля (количество путей от вершины вниз), рекуррентная формула (нижний элемент = сумме двух верхних).<br><br />
<br />
Бином Ньютона, связь с треугольником Паскаля (коэффициенты в разложении (a+b)<sup>n</sup> это числа в n строке треугольника).<br><br />
<br />
Числа сочетаний в треугольнике Паскаля, формула C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>k</sup><sub>n-1</sub> + C<sup>k-1</sup><sub>n-1</sub> и ее комбинаторный смысл.<br><br />
<br />
Сумма элементов n строки в треугольнике Паскаля равна 2<sup>n</sup> (через удвоение суммы предыдущей строки, через разложение (1+1)<sup>n</sup> и через все подмножества множества из n элементов).<br><br />
<br />
Полиномиальные коэффициенты (определение и формула).<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.26-40<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.63-70<br />
<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|Числа сочетаний в треугольнике Паскаля: возрастание элементов к середине строки и убывание после середины (C<sup>k</sup><sub>n</sub> < C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k < (n-1)/2 и C<sup>k</sup><sub>n</sub> > C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k > (n-1)/2), симметрия (C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>n-k</sup><sub>n</sub>), оценка среднего элемента в строке через сумму и количество элементов в этой строке (C<sup>n</sup><sub>2n</sub> > 2<sup>2n</sup>/(2n+1)).<br><br />
<br />
Сумма знакопеременных элементов n строки в треугольнике Паскаля равна нулю (через удвоение элементов предыдущей строки с противоположными знаками, через разложение (1-1)<sup>n</sup>).<br><br />
<br />
Формулы для 11<sup>2</sup>, 11<sup>3</sup>, 11<sup>4</sup> и связь со строками треугольника Паскаля (доказательство через разложение 11<sup>k</sup> = (10+1)<sup>k</sup> по биному Ньютона).<br><br />
<br />
Формула включений-исключений: через диаграммы Эйлера-Вена для 2 и 3 множеств, формулировка в общем случае.<br><br />
<br />
Принцип Дирихле (pigeonhole principle): если кроликов больше, чем клеток, то при рассадке кроликов по клеткам по крайней мере в одну клетку попадут по крайней мере два кролика.<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.41-44<br><br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.66<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи: задача про кроликов, определение (F<sub>0</sub> = 0, F<sub>1</sub> = 1, F<sub>n+1</sub> = F<sub>n</sub> + F<sub>n-1</sub>), F<sub>n</sub> равно сумме "диагонали" треугольника Паскаля (F<sub>n</sub> = C<sub>n-1</sub><sup>0</sup> + C<sub>n-2</sub><sup>1</sup> + C<sub>n-3</sub><sup>2</sup> + ... + C<sub>n-[n/2]</sub><sup>[n/2]-1</sup> целая часть должна быть верхней), явная формула (F<sub>n</sub> = 1/٧5((1+٧5)/2)^n - 1/٧5((1-٧5)/2)^n) и ее доказательство по индукции.<br />
<br />
Индукция: принцип математической индукции, база и переход их согласованность, индуктивное предположение, доказательство равенств, неравенств, разбор текстовой задачи (машина на краю пустыни).<br />
Примеры неверных доказательств по индукции (резиновый автобус, куча манки, одномастные лошади).<br />
<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.16-51<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|14.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи (повторение).<br />
Линейные рекуррентные соотношения в разных задачах.<br />
Рекурсия (программирование, литература) и ее связь с рекуррентными соотношениями.<br />
Основная теорема о рекуррентных соотношениях (Master theorem): оценка сложности рекурсивных алгоритмов.<br />
<br />
Рекуррентные записи n! и геометрических прогрессий.<br />
<br />
Индукция: повторение, связь с рекуррентными соотношениями, пример вложенной индукции (количество разломов прямоугольной шоколадки).<br />
<br />
|[https://ru.wikipedia.org/wiki/Основная_теорема_о_рекуррентных_соотношениях Основная теорема о рекуррентных соотношениях]<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|Числа Каталана (по заявкам): рекуррентная формула, количество правильных скобочных последовательностей, количество способов разбить n-угольник диагоналями на треугольники.<br />
<br />
Системы счисления: позиционные, примеры, n-ичные дроби, переводы между системами счислений целых чисел и дробных частей, погрешность в случае прерывания бесконечных дробей.<br />
<br />
Римская система счисления: способы записи чисел, сложность алгоритмов сложения и умножения чисел.<br />
<br />
Признаки делимости в n-ичной системе счисления: схожесть признаков делимости на n-1 и n+1 с признаками делимости на 9 и 11 для десятичной системы, схожесть признаков делимости на делители n с признаками делимости на 5 и 10 для десятичной системы.<br />
<br />
Троичная система: взвешивание путем уравновешивания весов с двумя чашами.<br />
|<br />
[https://disk.yandex.ru/i/UjJYIydJppYhQg Статья про числа Каталана]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/MOK8NEeNVq5SYA Книжка по системам счисления]<br />
<br />
|-<br />
|01.11.2022<br />
|Простые числа: определение, основная теорема арифметики (любое число однозначно разлагается в произведение простых), бесконечное количество простых чисел (два доказательства 1. p<sub>1</sub>p<sub>2</sub>...p<sub>n</sub>+1 ; 2. (k+1)<sup>n</sup> << 2<sup>k</sup> при фиксированном n и растущем k), Постулат Бертрана (теорема Чебышева): для любого натурального n ⩾ 2 найдётся простое число p в интервале n < p < 2n.<br />
<br />
Остатки от деления и вычеты: сложение, вычитание, умножение, поиск обратного вычета.<br />
Запись вычетов через отрицательные числа для удобства вычислений.<br />
Примеры, когда обратного вычета не существует (элемент и модуль не взаимно просты).<br />
<br />
Алгоритм Евклида (с использованием остатка от деления по модулю): сам алгоритм и оценка числа итераций через числа Фибоначчи.<br />
<br />
|[http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/e4d919f5-8435-4fe3-a779-275181a69951/M_1.1.4/M_1.1.4.html Вычеты (короткая базовая статья)]<br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.143-156<br />
<br />
|-<br />
|11.11.2022<br />
|Идея кодирования с открытым ключом.<br />
Диофантовы уравнения: примеры, великая теорема Ферма, линейные Диофантовы уравнения с двумя неизвестными, критерий разрешимости.<br />
Расширенный алгоритм Евклида: решение линейных Диофантовых уравнений с двумя неизвестными.<br />
Сведение поиска обратного по умножению элемента по модулю к решению линейного Диофантова уравнения с двумя неизвестными.<br />
Единственность обратного по умножению элемента по модулю (если существует, то единственный).<br />
<br />
Малая теорема Ферма: формулировка, четыре доказательства (мультиномиальное разложение, индукция и бином Ньютона, раскраска бус, перемножение чисел специального вида), поиск обратного по умножению элемента через малую теорему Ферма в случае простого модуля.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.154-163<br />
<br />
<br />
|-<br />
|15.11.2022<br />
|Идея проверки числа на простоту:<br><br />
1) проверка делимости на простые до корня из числа;<br><br />
2) проверка взаимной простоты с числами от 2 до n-1;<br><br />
3) (тест Ферма) проверка справедливости малой теоремы Ферма для чисел от 2 до n-1 (и числа Кармайкла);<br><br />
4) (тест Рабина) проверка справедливости малой теоремы Ферма плюс корней из 1.<br />
<br />
Китайская теорема об остатках: система сравнений по взаимнопростым модулям имеет единственное решение по произведению модулей.<br />
Доказательство и решения систем сравнений с помощью расширенного алгоритма Евклида.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.161-165<br />
<br />
|-<br />
|18.11.2022<br />
|Китайская теорема об остатках: доказательство (индукция во числу сравнений), Следствие: независимость распределения остатков по взаимнопростым модулям.<br><br />
Функция Эйлера: определение и вычисление для простых чисел, степеней простых чисел, составных чисел.<br><br />
Теорема Эйлера: формулировка, малая теорема Ферма как частный случай, доказательство (аналогично 4 доказательству малой теоремы Ферма, через обратимые остатки и их перемножение).<br><br />
Алгоритм кодирования с открытым ключом RSA: определение, корректность кодирования и декодирования, устойчивость к атакам.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.162-167<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/fX6Q_FMRE-I_Zg Лекции по криптографии] (тут довольно хорошо объяснен алгоритм RSA и еще много что)<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|Графы: определение (V,E), множество вершин, множество ребер, изолированная вершина, степень вершины, способы задания графов (матрица смежности, матрица инцидентности, список смежности).<br><br />
Формула 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>).<br><br />
Маршрут, путь, простой путь, расстояние между вершинами (длина кратчайшего пути), диаметр графа (самое большое расстояние между вершинами).<br><br />
Цикл, простой цикл.<br><br />
Связный граф, компонента связности.<br><br />
Оценка: количество компонент связности ≥ |V|-|E|.<br><br />
Следствие: для поиска самого тяжелого камня среди n камней необходимо n-1 взвешивание.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.95-118<br><br />
<br />
|-<br />
|25.11.2022<br />
|Деревья: (четыре определения и их эквивалентность) связный граф с V-1 ребром; минимальный связный граф; связный ациклический граф; граф, между любыми двумя вершинами которого существует единственный путь.<br><br />
''Дополнительно:'' бинарное дерево поиска: поиск элемента, добавление элемента, удаление элемента, поиск следующего и предшествующего элементов.<br><br />
Существование у произвольного дерева по крайней мере двух листьев (два доказательства: через формулу 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>) и через максимально удаленные вершины).<br />
Остовное дерево связного графа, возможность удаления из связного графа вершины вместе с ребрами без потери связности.<br><br />
Правильная раскраска: определение, примеры, критерий 2-раскрашиваемости графа (отсутствие циклов нечетной длины).<br />
''Дополнительно:'' алгоритмы поиска в ширину (BFS) и глубину (DFS).<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.118-123<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/XDNEDxyuccjLGA Т.Кормен и др.Алгоритмы Построение И Анализ стр 316-322, 607-663]<br />
|}<br />
<br />
== Семинары ==<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/N5V4VaIkLVTajg Комбинаторика-1]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/DDB7KcxEXg3-6A Комбинаторика-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/QXW6c4tUxwjV4g Комбинаторика-3]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/lfhWkTgRJPvbGw Числа Фибоначчи, Индукция]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/I1VBzSGylBSUtw Числа Фибоначчи-2, Индукция-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/6ZeDU1zdCnlBog Системы счисления]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/pC1rFQaRgrr5KA Делимость и Вычеты]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/iGuukuYtT4O1iQ Расширенный алгоритм Евклида. Малая теорема Ферма.]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/yGSOYGTeGLBJVg Малая теорема Ферма. Китайская теорема об остатках.]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KjQpX2s2Vj8ITw Теорема Эйлера.]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/OOaz4DVxqMuUkg Графы-1.]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KiTGSNoG6VM_Hg Деревья, правильные раскраски]<br />
<br />
== Домашние задания ==<br />
'''В ДЗ-8 появилась бонусная задача на бинарные деревья поиска. Ссылку на книгу по теме можно найти в допматериалах к последней лекции.'''<br />
<br />
'''Правила сдачи ДЗ''': решения задач из домашнего задания оформляются письменно, первый лист работы подписывается, только ответы не проверяются, должно присутствовать ''полное рассуждение'', затем текст сканируется, файл называется в соответствии с ФИО студента (например, SysoevaLN.pdf) и отправляется на проверку (ссылку на загрузку см. в таблице ниже).<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дедлайн<br />
!Домашнее задание<br />
!Ссылка на загрузку файла<br />
!Решения и критерии<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/WeEzyM70AzqNtw Домашнее задание №1]<br />
|[https://www.dropbox.com/request/cGNCtS3rrJoiE6NGCrz9 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/lmtlr4mP41Iy-Q Решения ДЗ-1]<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/87IgAYKMLGbEyA Домашнее задание №2]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/_yELwtWaJS4RMA Решения ДЗ-2]<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/Yy6-_Hda1UEQLg Домашнее задание №3]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/-VioO1CArRXPEA Решения ДЗ-3]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/aofNsKB9AMhONA Домашнее задание №4]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/JVpDIULhuGcJfA Решения ДЗ-4]<br />
<br />
|-<br />
|4.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/V62t0PGwzQmJoA Домашнее задание №5]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/S-0Dkekb9_o1aQ Решения ДЗ-5]<br />
<br />
|-<br />
|12.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/ZtHuki9PQHV5Cg Домашнее задание №6]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/nmYHFgM2kiZtdg Решения ДЗ-6]<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/X6LCkozybxDH7w Домашнее задание №7]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|<br />
<br />
|-<br />
|27.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/FjywLphzBhL0Xw Домашнее задание №8]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|<br />
<br />
|}</div>Любовь Сысоеваhttp://math-info.hse.ru/wiki2022-23/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0&diff=422Дискретная Математика2022-11-25T16:22:41Z<p>Любовь Сысоева: /* Лекции */</p>
<hr />
<div>'''Дорогие студенты!'''<br />
<br />
На этой странице будут появляться различные материалы и объявления, связанные с курсом '''«Дискретная математика»''', читаемого для студентов 1-го курса ОП Вычислительные социальные науки в '''2022/2023''' учебном году. <br />
<br />
* Лекции и семинары: Сысоева Любовь Николаевна lsysoeva@hse.ru, telegram @lsysoeva<br />
* Ассистент: Ластовецкий Дмитрий dalastovetsky@hse.ru, telegram @dalastovetskiy<br />
<br />
{|<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_izNbdyLHY8c3Y4SfFzpzhsF-QTBNpRFmEqnCR3IQFU/edit?usp=sharing Ведомость активности] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SmaC4Uyy1F4Dn37zME5SMQCdAtXQHpSelk3JZttFxBU/edit?usp=sharing Ведомость ДЗ]<br />
|}<br />
<br />
Формула итоговой оценки:<br />
0,3 * Активность + 0,3 * Домашние задания + 0,4 * Экзамен<br />
<br />
== Консультации ==<br />
<br />
Консультации будут проходить онлайн по понедельникам в 17:00, задавайте ваши вопросы Дмитрию, присоединяйтесь к консультациям!<br />
<br />
Join Zoom Meeting<br />
https://us05web.zoom.us/j/4685079351?pwd=cVJkeVkzUUR1bXNjMzJ1WDRrN0EyUT09<br />
<br />
Meeting ID: 468 507 9351<br />
Passcode: yqTLi1<br />
<br />
== Лекции ==<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дата лекции<br />
!тема лекции<br />
!дополнительные материалы<br />
|-<br />
|16.09.2022<br />
|Понятие множества, конечные множества, задание множества перечислением элементов, задание множества условием, пустое множество, пересечение множеств, объединение множеств, декартово произведение множеств, парадокс брадобрея.<br><br />
Комбинаторика: правило суммы, правило произведения, факториал, число размещений с повторениями и без повторений, число сочетаний.<br />
|[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.1-26<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.44-63<br />
<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|Дискретная вероятность = (кол-во положительных исходов)/(общее число исходов).<br><br />
<br />
Сочетания с повторениями (метод шариков и перегородок), типы предметов.<br><br />
<br />
Треугольник Паскаля (количество путей от вершины вниз), рекуррентная формула (нижний элемент = сумме двух верхних).<br><br />
<br />
Бином Ньютона, связь с треугольником Паскаля (коэффициенты в разложении (a+b)<sup>n</sup> это числа в n строке треугольника).<br><br />
<br />
Числа сочетаний в треугольнике Паскаля, формула C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>k</sup><sub>n-1</sub> + C<sup>k-1</sup><sub>n-1</sub> и ее комбинаторный смысл.<br><br />
<br />
Сумма элементов n строки в треугольнике Паскаля равна 2<sup>n</sup> (через удвоение суммы предыдущей строки, через разложение (1+1)<sup>n</sup> и через все подмножества множества из n элементов).<br><br />
<br />
Полиномиальные коэффициенты (определение и формула).<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.26-40<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.63-70<br />
<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|Числа сочетаний в треугольнике Паскаля: возрастание элементов к середине строки и убывание после середины (C<sup>k</sup><sub>n</sub> < C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k < (n-1)/2 и C<sup>k</sup><sub>n</sub> > C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k > (n-1)/2), симметрия (C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>n-k</sup><sub>n</sub>), оценка среднего элемента в строке через сумму и количество элементов в этой строке (C<sup>n</sup><sub>2n</sub> > 2<sup>2n</sup>/(2n+1)).<br><br />
<br />
Сумма знакопеременных элементов n строки в треугольнике Паскаля равна нулю (через удвоение элементов предыдущей строки с противоположными знаками, через разложение (1-1)<sup>n</sup>).<br><br />
<br />
Формулы для 11<sup>2</sup>, 11<sup>3</sup>, 11<sup>4</sup> и связь со строками треугольника Паскаля (доказательство через разложение 11<sup>k</sup> = (10+1)<sup>k</sup> по биному Ньютона).<br><br />
<br />
Формула включений-исключений: через диаграммы Эйлера-Вена для 2 и 3 множеств, формулировка в общем случае.<br><br />
<br />
Принцип Дирихле (pigeonhole principle): если кроликов больше, чем клеток, то при рассадке кроликов по клеткам по крайней мере в одну клетку попадут по крайней мере два кролика.<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.41-44<br><br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.66<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи: задача про кроликов, определение (F<sub>0</sub> = 0, F<sub>1</sub> = 1, F<sub>n+1</sub> = F<sub>n</sub> + F<sub>n-1</sub>), F<sub>n</sub> равно сумме "диагонали" треугольника Паскаля (F<sub>n</sub> = C<sub>n-1</sub><sup>0</sup> + C<sub>n-2</sub><sup>1</sup> + C<sub>n-3</sub><sup>2</sup> + ... + C<sub>n-[n/2]</sub><sup>[n/2]-1</sup> целая часть должна быть верхней), явная формула (F<sub>n</sub> = 1/٧5((1+٧5)/2)^n - 1/٧5((1-٧5)/2)^n) и ее доказательство по индукции.<br />
<br />
Индукция: принцип математической индукции, база и переход их согласованность, индуктивное предположение, доказательство равенств, неравенств, разбор текстовой задачи (машина на краю пустыни).<br />
Примеры неверных доказательств по индукции (резиновый автобус, куча манки, одномастные лошади).<br />
<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.16-51<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|14.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи (повторение).<br />
Линейные рекуррентные соотношения в разных задачах.<br />
Рекурсия (программирование, литература) и ее связь с рекуррентными соотношениями.<br />
Основная теорема о рекуррентных соотношениях (Master theorem): оценка сложности рекурсивных алгоритмов.<br />
<br />
Рекуррентные записи n! и геометрических прогрессий.<br />
<br />
Индукция: повторение, связь с рекуррентными соотношениями, пример вложенной индукции (количество разломов прямоугольной шоколадки).<br />
<br />
|[https://ru.wikipedia.org/wiki/Основная_теорема_о_рекуррентных_соотношениях Основная теорема о рекуррентных соотношениях]<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|Числа Каталана (по заявкам): рекуррентная формула, количество правильных скобочных последовательностей, количество способов разбить n-угольник диагоналями на треугольники.<br />
<br />
Системы счисления: позиционные, примеры, n-ичные дроби, переводы между системами счислений целых чисел и дробных частей, погрешность в случае прерывания бесконечных дробей.<br />
<br />
Римская система счисления: способы записи чисел, сложность алгоритмов сложения и умножения чисел.<br />
<br />
Признаки делимости в n-ичной системе счисления: схожесть признаков делимости на n-1 и n+1 с признаками делимости на 9 и 11 для десятичной системы, схожесть признаков делимости на делители n с признаками делимости на 5 и 10 для десятичной системы.<br />
<br />
Троичная система: взвешивание путем уравновешивания весов с двумя чашами.<br />
|<br />
[https://disk.yandex.ru/i/UjJYIydJppYhQg Статья про числа Каталана]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/MOK8NEeNVq5SYA Книжка по системам счисления]<br />
<br />
|-<br />
|01.11.2022<br />
|Простые числа: определение, основная теорема арифметики (любое число однозначно разлагается в произведение простых), бесконечное количество простых чисел (два доказательства 1. p<sub>1</sub>p<sub>2</sub>...p<sub>n</sub>+1 ; 2. (k+1)<sup>n</sup> << 2<sup>k</sup> при фиксированном n и растущем k), Постулат Бертрана (теорема Чебышева): для любого натурального n ⩾ 2 найдётся простое число p в интервале n < p < 2n.<br />
<br />
Остатки от деления и вычеты: сложение, вычитание, умножение, поиск обратного вычета.<br />
Запись вычетов через отрицательные числа для удобства вычислений.<br />
Примеры, когда обратного вычета не существует (элемент и модуль не взаимно просты).<br />
<br />
Алгоритм Евклида (с использованием остатка от деления по модулю): сам алгоритм и оценка числа итераций через числа Фибоначчи.<br />
<br />
|[http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/e4d919f5-8435-4fe3-a779-275181a69951/M_1.1.4/M_1.1.4.html Вычеты (короткая базовая статья)]<br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.143-156<br />
<br />
|-<br />
|11.11.2022<br />
|Идея кодирования с открытым ключом.<br />
Диофантовы уравнения: примеры, великая теорема Ферма, линейные Диофантовы уравнения с двумя неизвестными, критерий разрешимости.<br />
Расширенный алгоритм Евклида: решение линейных Диофантовых уравнений с двумя неизвестными.<br />
Сведение поиска обратного по умножению элемента по модулю к решению линейного Диофантова уравнения с двумя неизвестными.<br />
Единственность обратного по умножению элемента по модулю (если существует, то единственный).<br />
<br />
Малая теорема Ферма: формулировка, четыре доказательства (мультиномиальное разложение, индукция и бином Ньютона, раскраска бус, перемножение чисел специального вида), поиск обратного по умножению элемента через малую теорему Ферма в случае простого модуля.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.154-163<br />
<br />
<br />
|-<br />
|15.11.2022<br />
|Идея проверки числа на простоту:<br><br />
1) проверка делимости на простые до корня из числа;<br><br />
2) проверка взаимной простоты с числами от 2 до n-1;<br><br />
3) (тест Ферма) проверка справедливости малой теоремы Ферма для чисел от 2 до n-1 (и числа Кармайкла);<br><br />
4) (тест Рабина) проверка справедливости малой теоремы Ферма плюс корней из 1.<br />
<br />
Китайская теорема об остатках: система сравнений по взаимнопростым модулям имеет единственное решение по произведению модулей.<br />
Доказательство и решения систем сравнений с помощью расширенного алгоритма Евклида.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.161-165<br />
<br />
|-<br />
|18.11.2022<br />
|Китайская теорема об остатках: доказательство (индукция во числу сравнений), Следствие: независимость распределения остатков по взаимнопростым модулям.<br><br />
Функция Эйлера: определение и вычисление для простых чисел, степеней простых чисел, составных чисел.<br><br />
Теорема Эйлера: формулировка, малая теорема Ферма как частный случай, доказательство (аналогично 4 доказательству малой теоремы Ферма, через обратимые остатки и их перемножение).<br><br />
Алгоритм кодирования с открытым ключом RSA: определение, корректность кодирования и декодирования, устойчивость к атакам.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.162-167<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/fX6Q_FMRE-I_Zg Лекции по криптографии] (тут довольно хорошо объяснен алгоритм RSA и еще много что)<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|Графы: определение (V,E), множество вершин, множество ребер, изолированная вершина, степень вершины, способы задания графов (матрица смежности, матрица инцидентности, список смежности).<br><br />
Формула 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>).<br><br />
Маршрут, путь, простой путь, расстояние между вершинами (длина кратчайшего пути), диаметр графа (самое большое расстояние между вершинами).<br><br />
Цикл, простой цикл.<br><br />
Связный граф, компонента связности.<br><br />
Оценка: количество компонент связности ≥ |V|-|E|.<br><br />
Следствие: для поиска самого тяжелого камня среди n камней необходимо n-1 взвешивание.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.95-118<br><br />
<br />
|-<br />
|25.11.2022<br />
|связный граф с V-1 ребром; минимальный связный граф; связный ациклический граф; граф, между любыми двумя вершинами которого существует единственный путь.<br><br />
''Дополнительно:'' бинарное дерево поиска: поиск элемента, добавление элемента, удаление элемента, поиск следующего и предшествующего элементов.<br><br />
Существование у произвольного дерева по крайней мере двух листьев (два доказательства: через формулу 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>) и через максимально удаленные вершины).<br />
Остовное дерево связного графа, возможность удаления из связного графа вершины вместе с ребрами без потери связности.<br><br />
Правильная раскраска: определение, примеры, критерий 2-раскрашиваемости графа (отсутствие циклов нечетной длины).<br />
''Дополнительно:'' алгоритмы поиска в ширину (BFS) и глубину (DFS).<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.118-123<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/XDNEDxyuccjLGA Т.Кормен и др.Алгоритмы Построение И Анализ стр 316-322, 607-663]<br />
|}<br />
<br />
== Семинары ==<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/N5V4VaIkLVTajg Комбинаторика-1]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/DDB7KcxEXg3-6A Комбинаторика-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/QXW6c4tUxwjV4g Комбинаторика-3]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/lfhWkTgRJPvbGw Числа Фибоначчи, Индукция]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/I1VBzSGylBSUtw Числа Фибоначчи-2, Индукция-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/6ZeDU1zdCnlBog Системы счисления]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/pC1rFQaRgrr5KA Делимость и Вычеты]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/iGuukuYtT4O1iQ Расширенный алгоритм Евклида. Малая теорема Ферма.]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/yGSOYGTeGLBJVg Малая теорема Ферма. Китайская теорема об остатках.]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KjQpX2s2Vj8ITw Теорема Эйлера.]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/OOaz4DVxqMuUkg Графы-1.]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KiTGSNoG6VM_Hg Деревья, правильные раскраски]<br />
<br />
== Домашние задания ==<br />
'''В ДЗ-8 появилась бонусная задача на бинарные деревья поиска. Ссылку на книгу по теме можно найти в допматериалах к последней лекции.'''<br />
<br />
'''Правила сдачи ДЗ''': решения задач из домашнего задания оформляются письменно, первый лист работы подписывается, только ответы не проверяются, должно присутствовать ''полное рассуждение'', затем текст сканируется, файл называется в соответствии с ФИО студента (например, SysoevaLN.pdf) и отправляется на проверку (ссылку на загрузку см. в таблице ниже).<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дедлайн<br />
!Домашнее задание<br />
!Ссылка на загрузку файла<br />
!Решения и критерии<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/WeEzyM70AzqNtw Домашнее задание №1]<br />
|[https://www.dropbox.com/request/cGNCtS3rrJoiE6NGCrz9 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/lmtlr4mP41Iy-Q Решения ДЗ-1]<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/87IgAYKMLGbEyA Домашнее задание №2]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/_yELwtWaJS4RMA Решения ДЗ-2]<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/Yy6-_Hda1UEQLg Домашнее задание №3]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/-VioO1CArRXPEA Решения ДЗ-3]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/aofNsKB9AMhONA Домашнее задание №4]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/JVpDIULhuGcJfA Решения ДЗ-4]<br />
<br />
|-<br />
|4.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/V62t0PGwzQmJoA Домашнее задание №5]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/S-0Dkekb9_o1aQ Решения ДЗ-5]<br />
<br />
|-<br />
|12.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/ZtHuki9PQHV5Cg Домашнее задание №6]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/nmYHFgM2kiZtdg Решения ДЗ-6]<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/X6LCkozybxDH7w Домашнее задание №7]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|<br />
<br />
|-<br />
|27.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/FjywLphzBhL0Xw Домашнее задание №8]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|<br />
<br />
|}</div>Любовь Сысоеваhttp://math-info.hse.ru/wiki2022-23/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0&diff=421Дискретная Математика2022-11-25T16:21:49Z<p>Любовь Сысоева: /* Лекции */</p>
<hr />
<div>'''Дорогие студенты!'''<br />
<br />
На этой странице будут появляться различные материалы и объявления, связанные с курсом '''«Дискретная математика»''', читаемого для студентов 1-го курса ОП Вычислительные социальные науки в '''2022/2023''' учебном году. <br />
<br />
* Лекции и семинары: Сысоева Любовь Николаевна lsysoeva@hse.ru, telegram @lsysoeva<br />
* Ассистент: Ластовецкий Дмитрий dalastovetsky@hse.ru, telegram @dalastovetskiy<br />
<br />
{|<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_izNbdyLHY8c3Y4SfFzpzhsF-QTBNpRFmEqnCR3IQFU/edit?usp=sharing Ведомость активности] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SmaC4Uyy1F4Dn37zME5SMQCdAtXQHpSelk3JZttFxBU/edit?usp=sharing Ведомость ДЗ]<br />
|}<br />
<br />
Формула итоговой оценки:<br />
0,3 * Активность + 0,3 * Домашние задания + 0,4 * Экзамен<br />
<br />
== Консультации ==<br />
<br />
Консультации будут проходить онлайн по понедельникам в 17:00, задавайте ваши вопросы Дмитрию, присоединяйтесь к консультациям!<br />
<br />
Join Zoom Meeting<br />
https://us05web.zoom.us/j/4685079351?pwd=cVJkeVkzUUR1bXNjMzJ1WDRrN0EyUT09<br />
<br />
Meeting ID: 468 507 9351<br />
Passcode: yqTLi1<br />
<br />
== Лекции ==<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дата лекции<br />
!тема лекции<br />
!дополнительные материалы<br />
|-<br />
|16.09.2022<br />
|Понятие множества, конечные множества, задание множества перечислением элементов, задание множества условием, пустое множество, пересечение множеств, объединение множеств, декартово произведение множеств, парадокс брадобрея.<br><br />
Комбинаторика: правило суммы, правило произведения, факториал, число размещений с повторениями и без повторений, число сочетаний.<br />
|[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.1-26<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.44-63<br />
<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|Дискретная вероятность = (кол-во положительных исходов)/(общее число исходов).<br><br />
<br />
Сочетания с повторениями (метод шариков и перегородок), типы предметов.<br><br />
<br />
Треугольник Паскаля (количество путей от вершины вниз), рекуррентная формула (нижний элемент = сумме двух верхних).<br><br />
<br />
Бином Ньютона, связь с треугольником Паскаля (коэффициенты в разложении (a+b)<sup>n</sup> это числа в n строке треугольника).<br><br />
<br />
Числа сочетаний в треугольнике Паскаля, формула C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>k</sup><sub>n-1</sub> + C<sup>k-1</sup><sub>n-1</sub> и ее комбинаторный смысл.<br><br />
<br />
Сумма элементов n строки в треугольнике Паскаля равна 2<sup>n</sup> (через удвоение суммы предыдущей строки, через разложение (1+1)<sup>n</sup> и через все подмножества множества из n элементов).<br><br />
<br />
Полиномиальные коэффициенты (определение и формула).<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.26-40<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.63-70<br />
<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|Числа сочетаний в треугольнике Паскаля: возрастание элементов к середине строки и убывание после середины (C<sup>k</sup><sub>n</sub> < C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k < (n-1)/2 и C<sup>k</sup><sub>n</sub> > C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k > (n-1)/2), симметрия (C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>n-k</sup><sub>n</sub>), оценка среднего элемента в строке через сумму и количество элементов в этой строке (C<sup>n</sup><sub>2n</sub> > 2<sup>2n</sup>/(2n+1)).<br><br />
<br />
Сумма знакопеременных элементов n строки в треугольнике Паскаля равна нулю (через удвоение элементов предыдущей строки с противоположными знаками, через разложение (1-1)<sup>n</sup>).<br><br />
<br />
Формулы для 11<sup>2</sup>, 11<sup>3</sup>, 11<sup>4</sup> и связь со строками треугольника Паскаля (доказательство через разложение 11<sup>k</sup> = (10+1)<sup>k</sup> по биному Ньютона).<br><br />
<br />
Формула включений-исключений: через диаграммы Эйлера-Вена для 2 и 3 множеств, формулировка в общем случае.<br><br />
<br />
Принцип Дирихле (pigeonhole principle): если кроликов больше, чем клеток, то при рассадке кроликов по клеткам по крайней мере в одну клетку попадут по крайней мере два кролика.<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.41-44<br><br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.66<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи: задача про кроликов, определение (F<sub>0</sub> = 0, F<sub>1</sub> = 1, F<sub>n+1</sub> = F<sub>n</sub> + F<sub>n-1</sub>), F<sub>n</sub> равно сумме "диагонали" треугольника Паскаля (F<sub>n</sub> = C<sub>n-1</sub><sup>0</sup> + C<sub>n-2</sub><sup>1</sup> + C<sub>n-3</sub><sup>2</sup> + ... + C<sub>n-[n/2]</sub><sup>[n/2]-1</sup> целая часть должна быть верхней), явная формула (F<sub>n</sub> = 1/٧5((1+٧5)/2)^n - 1/٧5((1-٧5)/2)^n) и ее доказательство по индукции.<br />
<br />
Индукция: принцип математической индукции, база и переход их согласованность, индуктивное предположение, доказательство равенств, неравенств, разбор текстовой задачи (машина на краю пустыни).<br />
Примеры неверных доказательств по индукции (резиновый автобус, куча манки, одномастные лошади).<br />
<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.16-51<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|14.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи (повторение).<br />
Линейные рекуррентные соотношения в разных задачах.<br />
Рекурсия (программирование, литература) и ее связь с рекуррентными соотношениями.<br />
Основная теорема о рекуррентных соотношениях (Master theorem): оценка сложности рекурсивных алгоритмов.<br />
<br />
Рекуррентные записи n! и геометрических прогрессий.<br />
<br />
Индукция: повторение, связь с рекуррентными соотношениями, пример вложенной индукции (количество разломов прямоугольной шоколадки).<br />
<br />
|[https://ru.wikipedia.org/wiki/Основная_теорема_о_рекуррентных_соотношениях Основная теорема о рекуррентных соотношениях]<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|Числа Каталана (по заявкам): рекуррентная формула, количество правильных скобочных последовательностей, количество способов разбить n-угольник диагоналями на треугольники.<br />
<br />
Системы счисления: позиционные, примеры, n-ичные дроби, переводы между системами счислений целых чисел и дробных частей, погрешность в случае прерывания бесконечных дробей.<br />
<br />
Римская система счисления: способы записи чисел, сложность алгоритмов сложения и умножения чисел.<br />
<br />
Признаки делимости в n-ичной системе счисления: схожесть признаков делимости на n-1 и n+1 с признаками делимости на 9 и 11 для десятичной системы, схожесть признаков делимости на делители n с признаками делимости на 5 и 10 для десятичной системы.<br />
<br />
Троичная система: взвешивание путем уравновешивания весов с двумя чашами.<br />
|<br />
[https://disk.yandex.ru/i/UjJYIydJppYhQg Статья про числа Каталана]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/MOK8NEeNVq5SYA Книжка по системам счисления]<br />
<br />
|-<br />
|01.11.2022<br />
|Простые числа: определение, основная теорема арифметики (любое число однозначно разлагается в произведение простых), бесконечное количество простых чисел (два доказательства 1. p<sub>1</sub>p<sub>2</sub>...p<sub>n</sub>+1 ; 2. (k+1)<sup>n</sup> << 2<sup>k</sup> при фиксированном n и растущем k), Постулат Бертрана (теорема Чебышева): для любого натурального n ⩾ 2 найдётся простое число p в интервале n < p < 2n.<br />
<br />
Остатки от деления и вычеты: сложение, вычитание, умножение, поиск обратного вычета.<br />
Запись вычетов через отрицательные числа для удобства вычислений.<br />
Примеры, когда обратного вычета не существует (элемент и модуль не взаимно просты).<br />
<br />
Алгоритм Евклида (с использованием остатка от деления по модулю): сам алгоритм и оценка числа итераций через числа Фибоначчи.<br />
<br />
|[http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/e4d919f5-8435-4fe3-a779-275181a69951/M_1.1.4/M_1.1.4.html Вычеты (короткая базовая статья)]<br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.143-156<br />
<br />
|-<br />
|11.11.2022<br />
|Идея кодирования с открытым ключом.<br />
Диофантовы уравнения: примеры, великая теорема Ферма, линейные Диофантовы уравнения с двумя неизвестными, критерий разрешимости.<br />
Расширенный алгоритм Евклида: решение линейных Диофантовых уравнений с двумя неизвестными.<br />
Сведение поиска обратного по умножению элемента по модулю к решению линейного Диофантова уравнения с двумя неизвестными.<br />
Единственность обратного по умножению элемента по модулю (если существует, то единственный).<br />
<br />
Малая теорема Ферма: формулировка, четыре доказательства (мультиномиальное разложение, индукция и бином Ньютона, раскраска бус, перемножение чисел специального вида), поиск обратного по умножению элемента через малую теорему Ферма в случае простого модуля.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.154-163<br />
<br />
<br />
|-<br />
|15.11.2022<br />
|Идея проверки числа на простоту:<br><br />
1) проверка делимости на простые до корня из числа;<br><br />
2) проверка взаимной простоты с числами от 2 до n-1;<br><br />
3) (тест Ферма) проверка справедливости малой теоремы Ферма для чисел от 2 до n-1 (и числа Кармайкла);<br><br />
4) (тест Рабина) проверка справедливости малой теоремы Ферма плюс корней из 1.<br />
<br />
Китайская теорема об остатках: система сравнений по взаимнопростым модулям имеет единственное решение по произведению модулей.<br />
Доказательство и решения систем сравнений с помощью расширенного алгоритма Евклида.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.161-165<br />
<br />
|-<br />
|18.11.2022<br />
|Китайская теорема об остатках: доказательство (индукция во числу сравнений), Следствие: независимость распределения остатков по взаимнопростым модулям.<br><br />
Функция Эйлера: определение и вычисление для простых чисел, степеней простых чисел, составных чисел.<br><br />
Теорема Эйлера: формулировка, малая теорема Ферма как частный случай, доказательство (аналогично 4 доказательству малой теоремы Ферма, через обратимые остатки и их перемножение).<br><br />
Алгоритм кодирования с открытым ключом RSA: определение, корректность кодирования и декодирования, устойчивость к атакам.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.162-167<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/fX6Q_FMRE-I_Zg Лекции по криптографии] (тут довольно хорошо объяснен алгоритм RSA и еще много что)<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|Графы: определение (V,E), множество вершин, множество ребер, изолированная вершина, степень вершины, способы задания графов (матрица смежности, матрица инцидентности, список смежности).<br><br />
Формула 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>).<br><br />
Маршрут, путь, простой путь, расстояние между вершинами (длина кратчайшего пути), диаметр графа (самое большое расстояние между вершинами).<br><br />
Цикл, простой цикл.<br><br />
Связный граф, компонента связности.<br><br />
Оценка: количество компонент связности ≥ |V|-|E|.<br><br />
Следствие: для поиска самого тяжелого камня среди n камней необходимо n-1 взвешивание.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.95-118<br><br />
<br />
|-<br />
|25.11.2022<br />
|Деревья: (четыре определения и их эквивалентность) связный граф с |V|-1 ребром; минимальный связный граф; связный ациклический граф; граф, между любыми двумя вершинами которого существует единственный путь.<br><br />
''Дополнительно:'' бинарное дерево поиска: поиск элемента, добавление элемента, удаление элемента, поиск следующего и предшествующего элементов.<br><br />
Существование у произвольного дерева по крайней мере двух листьев (два доказательства: через формулу 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>) и через максимально удаленные вершины).<br />
Остовное дерево связного графа, возможность удаления из связного графа вершины вместе с ребрами без потери связности.<br><br />
Правильная раскраска: определение, примеры, критерий 2-раскрашиваемости графа (отсутствие циклов нечетной длины).<br />
''Дополнительно:'' алгоритмы поиска в ширину (BFS) и глубину (DFS).<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.118-123<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/XDNEDxyuccjLGA Т.Кормен и др.Алгоритмы Построение И Анализ стр 316-322, 607-663]<br />
|}<br />
<br />
== Семинары ==<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/N5V4VaIkLVTajg Комбинаторика-1]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/DDB7KcxEXg3-6A Комбинаторика-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/QXW6c4tUxwjV4g Комбинаторика-3]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/lfhWkTgRJPvbGw Числа Фибоначчи, Индукция]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/I1VBzSGylBSUtw Числа Фибоначчи-2, Индукция-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/6ZeDU1zdCnlBog Системы счисления]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/pC1rFQaRgrr5KA Делимость и Вычеты]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/iGuukuYtT4O1iQ Расширенный алгоритм Евклида. Малая теорема Ферма.]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/yGSOYGTeGLBJVg Малая теорема Ферма. Китайская теорема об остатках.]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KjQpX2s2Vj8ITw Теорема Эйлера.]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/OOaz4DVxqMuUkg Графы-1.]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KiTGSNoG6VM_Hg Деревья, правильные раскраски]<br />
<br />
== Домашние задания ==<br />
'''В ДЗ-8 появилась бонусная задача на бинарные деревья поиска. Ссылку на книгу по теме можно найти в допматериалах к последней лекции.'''<br />
<br />
'''Правила сдачи ДЗ''': решения задач из домашнего задания оформляются письменно, первый лист работы подписывается, только ответы не проверяются, должно присутствовать ''полное рассуждение'', затем текст сканируется, файл называется в соответствии с ФИО студента (например, SysoevaLN.pdf) и отправляется на проверку (ссылку на загрузку см. в таблице ниже).<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дедлайн<br />
!Домашнее задание<br />
!Ссылка на загрузку файла<br />
!Решения и критерии<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/WeEzyM70AzqNtw Домашнее задание №1]<br />
|[https://www.dropbox.com/request/cGNCtS3rrJoiE6NGCrz9 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/lmtlr4mP41Iy-Q Решения ДЗ-1]<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/87IgAYKMLGbEyA Домашнее задание №2]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/_yELwtWaJS4RMA Решения ДЗ-2]<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/Yy6-_Hda1UEQLg Домашнее задание №3]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/-VioO1CArRXPEA Решения ДЗ-3]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/aofNsKB9AMhONA Домашнее задание №4]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/JVpDIULhuGcJfA Решения ДЗ-4]<br />
<br />
|-<br />
|4.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/V62t0PGwzQmJoA Домашнее задание №5]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/S-0Dkekb9_o1aQ Решения ДЗ-5]<br />
<br />
|-<br />
|12.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/ZtHuki9PQHV5Cg Домашнее задание №6]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/nmYHFgM2kiZtdg Решения ДЗ-6]<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/X6LCkozybxDH7w Домашнее задание №7]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|<br />
<br />
|-<br />
|27.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/FjywLphzBhL0Xw Домашнее задание №8]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|<br />
<br />
|}</div>Любовь Сысоеваhttp://math-info.hse.ru/wiki2022-23/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0&diff=420Дискретная Математика2022-11-25T16:21:20Z<p>Любовь Сысоева: /* Лекции */</p>
<hr />
<div>'''Дорогие студенты!'''<br />
<br />
На этой странице будут появляться различные материалы и объявления, связанные с курсом '''«Дискретная математика»''', читаемого для студентов 1-го курса ОП Вычислительные социальные науки в '''2022/2023''' учебном году. <br />
<br />
* Лекции и семинары: Сысоева Любовь Николаевна lsysoeva@hse.ru, telegram @lsysoeva<br />
* Ассистент: Ластовецкий Дмитрий dalastovetsky@hse.ru, telegram @dalastovetskiy<br />
<br />
{|<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_izNbdyLHY8c3Y4SfFzpzhsF-QTBNpRFmEqnCR3IQFU/edit?usp=sharing Ведомость активности] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SmaC4Uyy1F4Dn37zME5SMQCdAtXQHpSelk3JZttFxBU/edit?usp=sharing Ведомость ДЗ]<br />
|}<br />
<br />
Формула итоговой оценки:<br />
0,3 * Активность + 0,3 * Домашние задания + 0,4 * Экзамен<br />
<br />
== Консультации ==<br />
<br />
Консультации будут проходить онлайн по понедельникам в 17:00, задавайте ваши вопросы Дмитрию, присоединяйтесь к консультациям!<br />
<br />
Join Zoom Meeting<br />
https://us05web.zoom.us/j/4685079351?pwd=cVJkeVkzUUR1bXNjMzJ1WDRrN0EyUT09<br />
<br />
Meeting ID: 468 507 9351<br />
Passcode: yqTLi1<br />
<br />
== Лекции ==<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дата лекции<br />
!тема лекции<br />
!дополнительные материалы<br />
|-<br />
|16.09.2022<br />
|Понятие множества, конечные множества, задание множества перечислением элементов, задание множества условием, пустое множество, пересечение множеств, объединение множеств, декартово произведение множеств, парадокс брадобрея.<br><br />
Комбинаторика: правило суммы, правило произведения, факториал, число размещений с повторениями и без повторений, число сочетаний.<br />
|[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.1-26<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.44-63<br />
<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|Дискретная вероятность = (кол-во положительных исходов)/(общее число исходов).<br><br />
<br />
Сочетания с повторениями (метод шариков и перегородок), типы предметов.<br><br />
<br />
Треугольник Паскаля (количество путей от вершины вниз), рекуррентная формула (нижний элемент = сумме двух верхних).<br><br />
<br />
Бином Ньютона, связь с треугольником Паскаля (коэффициенты в разложении (a+b)<sup>n</sup> это числа в n строке треугольника).<br><br />
<br />
Числа сочетаний в треугольнике Паскаля, формула C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>k</sup><sub>n-1</sub> + C<sup>k-1</sup><sub>n-1</sub> и ее комбинаторный смысл.<br><br />
<br />
Сумма элементов n строки в треугольнике Паскаля равна 2<sup>n</sup> (через удвоение суммы предыдущей строки, через разложение (1+1)<sup>n</sup> и через все подмножества множества из n элементов).<br><br />
<br />
Полиномиальные коэффициенты (определение и формула).<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.26-40<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.63-70<br />
<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|Числа сочетаний в треугольнике Паскаля: возрастание элементов к середине строки и убывание после середины (C<sup>k</sup><sub>n</sub> < C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k < (n-1)/2 и C<sup>k</sup><sub>n</sub> > C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k > (n-1)/2), симметрия (C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>n-k</sup><sub>n</sub>), оценка среднего элемента в строке через сумму и количество элементов в этой строке (C<sup>n</sup><sub>2n</sub> > 2<sup>2n</sup>/(2n+1)).<br><br />
<br />
Сумма знакопеременных элементов n строки в треугольнике Паскаля равна нулю (через удвоение элементов предыдущей строки с противоположными знаками, через разложение (1-1)<sup>n</sup>).<br><br />
<br />
Формулы для 11<sup>2</sup>, 11<sup>3</sup>, 11<sup>4</sup> и связь со строками треугольника Паскаля (доказательство через разложение 11<sup>k</sup> = (10+1)<sup>k</sup> по биному Ньютона).<br><br />
<br />
Формула включений-исключений: через диаграммы Эйлера-Вена для 2 и 3 множеств, формулировка в общем случае.<br><br />
<br />
Принцип Дирихле (pigeonhole principle): если кроликов больше, чем клеток, то при рассадке кроликов по клеткам по крайней мере в одну клетку попадут по крайней мере два кролика.<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.41-44<br><br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.66<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи: задача про кроликов, определение (F<sub>0</sub> = 0, F<sub>1</sub> = 1, F<sub>n+1</sub> = F<sub>n</sub> + F<sub>n-1</sub>), F<sub>n</sub> равно сумме "диагонали" треугольника Паскаля (F<sub>n</sub> = C<sub>n-1</sub><sup>0</sup> + C<sub>n-2</sub><sup>1</sup> + C<sub>n-3</sub><sup>2</sup> + ... + C<sub>n-[n/2]</sub><sup>[n/2]-1</sup> целая часть должна быть верхней), явная формула (F<sub>n</sub> = 1/٧5((1+٧5)/2)^n - 1/٧5((1-٧5)/2)^n) и ее доказательство по индукции.<br />
<br />
Индукция: принцип математической индукции, база и переход их согласованность, индуктивное предположение, доказательство равенств, неравенств, разбор текстовой задачи (машина на краю пустыни).<br />
Примеры неверных доказательств по индукции (резиновый автобус, куча манки, одномастные лошади).<br />
<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.16-51<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|14.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи (повторение).<br />
Линейные рекуррентные соотношения в разных задачах.<br />
Рекурсия (программирование, литература) и ее связь с рекуррентными соотношениями.<br />
Основная теорема о рекуррентных соотношениях (Master theorem): оценка сложности рекурсивных алгоритмов.<br />
<br />
Рекуррентные записи n! и геометрических прогрессий.<br />
<br />
Индукция: повторение, связь с рекуррентными соотношениями, пример вложенной индукции (количество разломов прямоугольной шоколадки).<br />
<br />
|[https://ru.wikipedia.org/wiki/Основная_теорема_о_рекуррентных_соотношениях Основная теорема о рекуррентных соотношениях]<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|Числа Каталана (по заявкам): рекуррентная формула, количество правильных скобочных последовательностей, количество способов разбить n-угольник диагоналями на треугольники.<br />
<br />
Системы счисления: позиционные, примеры, n-ичные дроби, переводы между системами счислений целых чисел и дробных частей, погрешность в случае прерывания бесконечных дробей.<br />
<br />
Римская система счисления: способы записи чисел, сложность алгоритмов сложения и умножения чисел.<br />
<br />
Признаки делимости в n-ичной системе счисления: схожесть признаков делимости на n-1 и n+1 с признаками делимости на 9 и 11 для десятичной системы, схожесть признаков делимости на делители n с признаками делимости на 5 и 10 для десятичной системы.<br />
<br />
Троичная система: взвешивание путем уравновешивания весов с двумя чашами.<br />
|<br />
[https://disk.yandex.ru/i/UjJYIydJppYhQg Статья про числа Каталана]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/MOK8NEeNVq5SYA Книжка по системам счисления]<br />
<br />
|-<br />
|01.11.2022<br />
|Простые числа: определение, основная теорема арифметики (любое число однозначно разлагается в произведение простых), бесконечное количество простых чисел (два доказательства 1. p<sub>1</sub>p<sub>2</sub>...p<sub>n</sub>+1 ; 2. (k+1)<sup>n</sup> << 2<sup>k</sup> при фиксированном n и растущем k), Постулат Бертрана (теорема Чебышева): для любого натурального n ⩾ 2 найдётся простое число p в интервале n < p < 2n.<br />
<br />
Остатки от деления и вычеты: сложение, вычитание, умножение, поиск обратного вычета.<br />
Запись вычетов через отрицательные числа для удобства вычислений.<br />
Примеры, когда обратного вычета не существует (элемент и модуль не взаимно просты).<br />
<br />
Алгоритм Евклида (с использованием остатка от деления по модулю): сам алгоритм и оценка числа итераций через числа Фибоначчи.<br />
<br />
|[http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/e4d919f5-8435-4fe3-a779-275181a69951/M_1.1.4/M_1.1.4.html Вычеты (короткая базовая статья)]<br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.143-156<br />
<br />
|-<br />
|11.11.2022<br />
|Идея кодирования с открытым ключом.<br />
Диофантовы уравнения: примеры, великая теорема Ферма, линейные Диофантовы уравнения с двумя неизвестными, критерий разрешимости.<br />
Расширенный алгоритм Евклида: решение линейных Диофантовых уравнений с двумя неизвестными.<br />
Сведение поиска обратного по умножению элемента по модулю к решению линейного Диофантова уравнения с двумя неизвестными.<br />
Единственность обратного по умножению элемента по модулю (если существует, то единственный).<br />
<br />
Малая теорема Ферма: формулировка, четыре доказательства (мультиномиальное разложение, индукция и бином Ньютона, раскраска бус, перемножение чисел специального вида), поиск обратного по умножению элемента через малую теорему Ферма в случае простого модуля.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.154-163<br />
<br />
<br />
|-<br />
|15.11.2022<br />
|Идея проверки числа на простоту:<br><br />
1) проверка делимости на простые до корня из числа;<br><br />
2) проверка взаимной простоты с числами от 2 до n-1;<br><br />
3) (тест Ферма) проверка справедливости малой теоремы Ферма для чисел от 2 до n-1 (и числа Кармайкла);<br><br />
4) (тест Рабина) проверка справедливости малой теоремы Ферма плюс корней из 1.<br />
<br />
Китайская теорема об остатках: система сравнений по взаимнопростым модулям имеет единственное решение по произведению модулей.<br />
Доказательство и решения систем сравнений с помощью расширенного алгоритма Евклида.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.161-165<br />
<br />
|-<br />
|18.11.2022<br />
|Китайская теорема об остатках: доказательство (индукция во числу сравнений), Следствие: независимость распределения остатков по взаимнопростым модулям.<br><br />
Функция Эйлера: определение и вычисление для простых чисел, степеней простых чисел, составных чисел.<br><br />
Теорема Эйлера: формулировка, малая теорема Ферма как частный случай, доказательство (аналогично 4 доказательству малой теоремы Ферма, через обратимые остатки и их перемножение).<br><br />
Алгоритм кодирования с открытым ключом RSA: определение, корректность кодирования и декодирования, устойчивость к атакам.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.162-167<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/fX6Q_FMRE-I_Zg Лекции по криптографии] (тут довольно хорошо объяснен алгоритм RSA и еще много что)<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|Графы: определение (V,E), множество вершин, множество ребер, изолированная вершина, степень вершины, способы задания графов (матрица смежности, матрица инцидентности, список смежности).<br><br />
Формула 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>).<br><br />
Маршрут, путь, простой путь, расстояние между вершинами (длина кратчайшего пути), диаметр графа (самое большое расстояние между вершинами).<br><br />
Цикл, простой цикл.<br><br />
Связный граф, компонента связности.<br><br />
Оценка: количество компонент связности ≥ |V|-|E|.<br><br />
Следствие: для поиска самого тяжелого камня среди n камней необходимо n-1 взвешивание.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.95-118<br><br />
<br />
|-<br />
|25.11.2022<br />
|Деревья: четыре определения и их эквивалентность: связный граф с |V|-1 ребром; минимальный связный граф; связный ациклический граф; граф, между любыми двумя вершинами которого существует единственный путь.<br><br />
''Дополнительно:'' бинарное дерево поиска: поиск элемента, добавление элемента, удаление элемента, поиск следующего и предшествующего элементов.<br><br />
Существование у произвольного дерева по крайней мере двух листьев (два доказательства: через формулу 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>) и через максимально удаленные вершины).<br />
Остовное дерево связного графа, возможность удаления из связного графа вершины вместе с ребрами без потери связности.<br><br />
Правильная раскраска: определение, примеры, критерий 2-раскрашиваемости графа (отсутствие циклов нечетной длины).<br />
''Дополнительно:'' алгоритмы поиска в ширину (BFS) и глубину (DFS).<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.118-123<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/XDNEDxyuccjLGA Т.Кормен и др.Алгоритмы Построение И Анализ стр 316-322, 607-663]<br />
|}<br />
<br />
== Семинары ==<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/N5V4VaIkLVTajg Комбинаторика-1]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/DDB7KcxEXg3-6A Комбинаторика-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/QXW6c4tUxwjV4g Комбинаторика-3]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/lfhWkTgRJPvbGw Числа Фибоначчи, Индукция]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/I1VBzSGylBSUtw Числа Фибоначчи-2, Индукция-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/6ZeDU1zdCnlBog Системы счисления]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/pC1rFQaRgrr5KA Делимость и Вычеты]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/iGuukuYtT4O1iQ Расширенный алгоритм Евклида. Малая теорема Ферма.]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/yGSOYGTeGLBJVg Малая теорема Ферма. Китайская теорема об остатках.]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KjQpX2s2Vj8ITw Теорема Эйлера.]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/OOaz4DVxqMuUkg Графы-1.]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KiTGSNoG6VM_Hg Деревья, правильные раскраски]<br />
<br />
== Домашние задания ==<br />
'''В ДЗ-8 появилась бонусная задача на бинарные деревья поиска. Ссылку на книгу по теме можно найти в допматериалах к последней лекции.'''<br />
<br />
'''Правила сдачи ДЗ''': решения задач из домашнего задания оформляются письменно, первый лист работы подписывается, только ответы не проверяются, должно присутствовать ''полное рассуждение'', затем текст сканируется, файл называется в соответствии с ФИО студента (например, SysoevaLN.pdf) и отправляется на проверку (ссылку на загрузку см. в таблице ниже).<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дедлайн<br />
!Домашнее задание<br />
!Ссылка на загрузку файла<br />
!Решения и критерии<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/WeEzyM70AzqNtw Домашнее задание №1]<br />
|[https://www.dropbox.com/request/cGNCtS3rrJoiE6NGCrz9 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/lmtlr4mP41Iy-Q Решения ДЗ-1]<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/87IgAYKMLGbEyA Домашнее задание №2]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/_yELwtWaJS4RMA Решения ДЗ-2]<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/Yy6-_Hda1UEQLg Домашнее задание №3]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/-VioO1CArRXPEA Решения ДЗ-3]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/aofNsKB9AMhONA Домашнее задание №4]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/JVpDIULhuGcJfA Решения ДЗ-4]<br />
<br />
|-<br />
|4.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/V62t0PGwzQmJoA Домашнее задание №5]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/S-0Dkekb9_o1aQ Решения ДЗ-5]<br />
<br />
|-<br />
|12.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/ZtHuki9PQHV5Cg Домашнее задание №6]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/nmYHFgM2kiZtdg Решения ДЗ-6]<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/X6LCkozybxDH7w Домашнее задание №7]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|<br />
<br />
|-<br />
|27.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/FjywLphzBhL0Xw Домашнее задание №8]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|<br />
<br />
|}</div>Любовь Сысоеваhttp://math-info.hse.ru/wiki2022-23/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0&diff=419Дискретная Математика2022-11-25T16:20:52Z<p>Любовь Сысоева: /* Лекции */</p>
<hr />
<div>'''Дорогие студенты!'''<br />
<br />
На этой странице будут появляться различные материалы и объявления, связанные с курсом '''«Дискретная математика»''', читаемого для студентов 1-го курса ОП Вычислительные социальные науки в '''2022/2023''' учебном году. <br />
<br />
* Лекции и семинары: Сысоева Любовь Николаевна lsysoeva@hse.ru, telegram @lsysoeva<br />
* Ассистент: Ластовецкий Дмитрий dalastovetsky@hse.ru, telegram @dalastovetskiy<br />
<br />
{|<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_izNbdyLHY8c3Y4SfFzpzhsF-QTBNpRFmEqnCR3IQFU/edit?usp=sharing Ведомость активности] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SmaC4Uyy1F4Dn37zME5SMQCdAtXQHpSelk3JZttFxBU/edit?usp=sharing Ведомость ДЗ]<br />
|}<br />
<br />
Формула итоговой оценки:<br />
0,3 * Активность + 0,3 * Домашние задания + 0,4 * Экзамен<br />
<br />
== Консультации ==<br />
<br />
Консультации будут проходить онлайн по понедельникам в 17:00, задавайте ваши вопросы Дмитрию, присоединяйтесь к консультациям!<br />
<br />
Join Zoom Meeting<br />
https://us05web.zoom.us/j/4685079351?pwd=cVJkeVkzUUR1bXNjMzJ1WDRrN0EyUT09<br />
<br />
Meeting ID: 468 507 9351<br />
Passcode: yqTLi1<br />
<br />
== Лекции ==<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дата лекции<br />
!тема лекции<br />
!дополнительные материалы<br />
|-<br />
|16.09.2022<br />
|Понятие множества, конечные множества, задание множества перечислением элементов, задание множества условием, пустое множество, пересечение множеств, объединение множеств, декартово произведение множеств, парадокс брадобрея.<br><br />
Комбинаторика: правило суммы, правило произведения, факториал, число размещений с повторениями и без повторений, число сочетаний.<br />
|[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.1-26<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.44-63<br />
<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|Дискретная вероятность = (кол-во положительных исходов)/(общее число исходов).<br><br />
<br />
Сочетания с повторениями (метод шариков и перегородок), типы предметов.<br><br />
<br />
Треугольник Паскаля (количество путей от вершины вниз), рекуррентная формула (нижний элемент = сумме двух верхних).<br><br />
<br />
Бином Ньютона, связь с треугольником Паскаля (коэффициенты в разложении (a+b)<sup>n</sup> это числа в n строке треугольника).<br><br />
<br />
Числа сочетаний в треугольнике Паскаля, формула C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>k</sup><sub>n-1</sub> + C<sup>k-1</sup><sub>n-1</sub> и ее комбинаторный смысл.<br><br />
<br />
Сумма элементов n строки в треугольнике Паскаля равна 2<sup>n</sup> (через удвоение суммы предыдущей строки, через разложение (1+1)<sup>n</sup> и через все подмножества множества из n элементов).<br><br />
<br />
Полиномиальные коэффициенты (определение и формула).<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.26-40<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.63-70<br />
<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|Числа сочетаний в треугольнике Паскаля: возрастание элементов к середине строки и убывание после середины (C<sup>k</sup><sub>n</sub> < C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k < (n-1)/2 и C<sup>k</sup><sub>n</sub> > C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k > (n-1)/2), симметрия (C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>n-k</sup><sub>n</sub>), оценка среднего элемента в строке через сумму и количество элементов в этой строке (C<sup>n</sup><sub>2n</sub> > 2<sup>2n</sup>/(2n+1)).<br><br />
<br />
Сумма знакопеременных элементов n строки в треугольнике Паскаля равна нулю (через удвоение элементов предыдущей строки с противоположными знаками, через разложение (1-1)<sup>n</sup>).<br><br />
<br />
Формулы для 11<sup>2</sup>, 11<sup>3</sup>, 11<sup>4</sup> и связь со строками треугольника Паскаля (доказательство через разложение 11<sup>k</sup> = (10+1)<sup>k</sup> по биному Ньютона).<br><br />
<br />
Формула включений-исключений: через диаграммы Эйлера-Вена для 2 и 3 множеств, формулировка в общем случае.<br><br />
<br />
Принцип Дирихле (pigeonhole principle): если кроликов больше, чем клеток, то при рассадке кроликов по клеткам по крайней мере в одну клетку попадут по крайней мере два кролика.<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.41-44<br><br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.66<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи: задача про кроликов, определение (F<sub>0</sub> = 0, F<sub>1</sub> = 1, F<sub>n+1</sub> = F<sub>n</sub> + F<sub>n-1</sub>), F<sub>n</sub> равно сумме "диагонали" треугольника Паскаля (F<sub>n</sub> = C<sub>n-1</sub><sup>0</sup> + C<sub>n-2</sub><sup>1</sup> + C<sub>n-3</sub><sup>2</sup> + ... + C<sub>n-[n/2]</sub><sup>[n/2]-1</sup> целая часть должна быть верхней), явная формула (F<sub>n</sub> = 1/٧5((1+٧5)/2)^n - 1/٧5((1-٧5)/2)^n) и ее доказательство по индукции.<br />
<br />
Индукция: принцип математической индукции, база и переход их согласованность, индуктивное предположение, доказательство равенств, неравенств, разбор текстовой задачи (машина на краю пустыни).<br />
Примеры неверных доказательств по индукции (резиновый автобус, куча манки, одномастные лошади).<br />
<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.16-51<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|14.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи (повторение).<br />
Линейные рекуррентные соотношения в разных задачах.<br />
Рекурсия (программирование, литература) и ее связь с рекуррентными соотношениями.<br />
Основная теорема о рекуррентных соотношениях (Master theorem): оценка сложности рекурсивных алгоритмов.<br />
<br />
Рекуррентные записи n! и геометрических прогрессий.<br />
<br />
Индукция: повторение, связь с рекуррентными соотношениями, пример вложенной индукции (количество разломов прямоугольной шоколадки).<br />
<br />
|[https://ru.wikipedia.org/wiki/Основная_теорема_о_рекуррентных_соотношениях Основная теорема о рекуррентных соотношениях]<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|Числа Каталана (по заявкам): рекуррентная формула, количество правильных скобочных последовательностей, количество способов разбить n-угольник диагоналями на треугольники.<br />
<br />
Системы счисления: позиционные, примеры, n-ичные дроби, переводы между системами счислений целых чисел и дробных частей, погрешность в случае прерывания бесконечных дробей.<br />
<br />
Римская система счисления: способы записи чисел, сложность алгоритмов сложения и умножения чисел.<br />
<br />
Признаки делимости в n-ичной системе счисления: схожесть признаков делимости на n-1 и n+1 с признаками делимости на 9 и 11 для десятичной системы, схожесть признаков делимости на делители n с признаками делимости на 5 и 10 для десятичной системы.<br />
<br />
Троичная система: взвешивание путем уравновешивания весов с двумя чашами.<br />
|<br />
[https://disk.yandex.ru/i/UjJYIydJppYhQg Статья про числа Каталана]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/MOK8NEeNVq5SYA Книжка по системам счисления]<br />
<br />
|-<br />
|01.11.2022<br />
|Простые числа: определение, основная теорема арифметики (любое число однозначно разлагается в произведение простых), бесконечное количество простых чисел (два доказательства 1. p<sub>1</sub>p<sub>2</sub>...p<sub>n</sub>+1 ; 2. (k+1)<sup>n</sup> << 2<sup>k</sup> при фиксированном n и растущем k), Постулат Бертрана (теорема Чебышева): для любого натурального n ⩾ 2 найдётся простое число p в интервале n < p < 2n.<br />
<br />
Остатки от деления и вычеты: сложение, вычитание, умножение, поиск обратного вычета.<br />
Запись вычетов через отрицательные числа для удобства вычислений.<br />
Примеры, когда обратного вычета не существует (элемент и модуль не взаимно просты).<br />
<br />
Алгоритм Евклида (с использованием остатка от деления по модулю): сам алгоритм и оценка числа итераций через числа Фибоначчи.<br />
<br />
|[http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/e4d919f5-8435-4fe3-a779-275181a69951/M_1.1.4/M_1.1.4.html Вычеты (короткая базовая статья)]<br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.143-156<br />
<br />
|-<br />
|11.11.2022<br />
|Идея кодирования с открытым ключом.<br />
Диофантовы уравнения: примеры, великая теорема Ферма, линейные Диофантовы уравнения с двумя неизвестными, критерий разрешимости.<br />
Расширенный алгоритм Евклида: решение линейных Диофантовых уравнений с двумя неизвестными.<br />
Сведение поиска обратного по умножению элемента по модулю к решению линейного Диофантова уравнения с двумя неизвестными.<br />
Единственность обратного по умножению элемента по модулю (если существует, то единственный).<br />
<br />
Малая теорема Ферма: формулировка, четыре доказательства (мультиномиальное разложение, индукция и бином Ньютона, раскраска бус, перемножение чисел специального вида), поиск обратного по умножению элемента через малую теорему Ферма в случае простого модуля.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.154-163<br />
<br />
<br />
|-<br />
|15.11.2022<br />
|Идея проверки числа на простоту:<br><br />
1) проверка делимости на простые до корня из числа;<br><br />
2) проверка взаимной простоты с числами от 2 до n-1;<br><br />
3) (тест Ферма) проверка справедливости малой теоремы Ферма для чисел от 2 до n-1 (и числа Кармайкла);<br><br />
4) (тест Рабина) проверка справедливости малой теоремы Ферма плюс корней из 1.<br />
<br />
Китайская теорема об остатках: система сравнений по взаимнопростым модулям имеет единственное решение по произведению модулей.<br />
Доказательство и решения систем сравнений с помощью расширенного алгоритма Евклида.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.161-165<br />
<br />
|-<br />
|18.11.2022<br />
|Китайская теорема об остатках: доказательство (индукция во числу сравнений), Следствие: независимость распределения остатков по взаимнопростым модулям.<br><br />
Функция Эйлера: определение и вычисление для простых чисел, степеней простых чисел, составных чисел.<br><br />
Теорема Эйлера: формулировка, малая теорема Ферма как частный случай, доказательство (аналогично 4 доказательству малой теоремы Ферма, через обратимые остатки и их перемножение).<br><br />
Алгоритм кодирования с открытым ключом RSA: определение, корректность кодирования и декодирования, устойчивость к атакам.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.162-167<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/fX6Q_FMRE-I_Zg Лекции по криптографии] (тут довольно хорошо объяснен алгоритм RSA и еще много что)<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|Графы: определение (V,E), множество вершин, множество ребер, изолированная вершина, степень вершины, способы задания графов (матрица смежности, матрица инцидентности, список смежности).<br><br />
Формула 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>).<br><br />
Маршрут, путь, простой путь, расстояние между вершинами (длина кратчайшего пути), диаметр графа (самое большое расстояние между вершинами).<br><br />
Цикл, простой цикл.<br><br />
Связный граф, компонента связности.<br><br />
Оценка: количество компонент связности ≥ |V|-|E|.<br><br />
Следствие: для поиска самого тяжелого камня среди n камней необходимо n-1 взвешивание.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.95-118<br><br />
<br />
|-<br />
|25.11.2022<br />
| минимальный связный граф; связный ациклический граф; граф, между любыми двумя вершинами которого существует единственный путь.<br><br />
''Дополнительно:'' бинарное дерево поиска: поиск элемента, добавление элемента, удаление элемента, поиск следующего и предшествующего элементов.<br><br />
Существование у произвольного дерева по крайней мере двух листьев (два доказательства: через формулу 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>) и через максимально удаленные вершины).<br />
Остовное дерево связного графа, возможность удаления из связного графа вершины вместе с ребрами без потери связности.<br><br />
Правильная раскраска: определение, примеры, критерий 2-раскрашиваемости графа (отсутствие циклов нечетной длины).<br />
''Дополнительно:'' алгоритмы поиска в ширину (BFS) и глубину (DFS).<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.118-123<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/XDNEDxyuccjLGA Т.Кормен и др.Алгоритмы Построение И Анализ стр 316-322, 607-663]<br />
|}<br />
<br />
== Семинары ==<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/N5V4VaIkLVTajg Комбинаторика-1]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/DDB7KcxEXg3-6A Комбинаторика-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/QXW6c4tUxwjV4g Комбинаторика-3]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/lfhWkTgRJPvbGw Числа Фибоначчи, Индукция]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/I1VBzSGylBSUtw Числа Фибоначчи-2, Индукция-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/6ZeDU1zdCnlBog Системы счисления]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/pC1rFQaRgrr5KA Делимость и Вычеты]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/iGuukuYtT4O1iQ Расширенный алгоритм Евклида. Малая теорема Ферма.]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/yGSOYGTeGLBJVg Малая теорема Ферма. Китайская теорема об остатках.]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KjQpX2s2Vj8ITw Теорема Эйлера.]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/OOaz4DVxqMuUkg Графы-1.]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KiTGSNoG6VM_Hg Деревья, правильные раскраски]<br />
<br />
== Домашние задания ==<br />
'''В ДЗ-8 появилась бонусная задача на бинарные деревья поиска. Ссылку на книгу по теме можно найти в допматериалах к последней лекции.'''<br />
<br />
'''Правила сдачи ДЗ''': решения задач из домашнего задания оформляются письменно, первый лист работы подписывается, только ответы не проверяются, должно присутствовать ''полное рассуждение'', затем текст сканируется, файл называется в соответствии с ФИО студента (например, SysoevaLN.pdf) и отправляется на проверку (ссылку на загрузку см. в таблице ниже).<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дедлайн<br />
!Домашнее задание<br />
!Ссылка на загрузку файла<br />
!Решения и критерии<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/WeEzyM70AzqNtw Домашнее задание №1]<br />
|[https://www.dropbox.com/request/cGNCtS3rrJoiE6NGCrz9 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/lmtlr4mP41Iy-Q Решения ДЗ-1]<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/87IgAYKMLGbEyA Домашнее задание №2]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/_yELwtWaJS4RMA Решения ДЗ-2]<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/Yy6-_Hda1UEQLg Домашнее задание №3]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/-VioO1CArRXPEA Решения ДЗ-3]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/aofNsKB9AMhONA Домашнее задание №4]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/JVpDIULhuGcJfA Решения ДЗ-4]<br />
<br />
|-<br />
|4.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/V62t0PGwzQmJoA Домашнее задание №5]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/S-0Dkekb9_o1aQ Решения ДЗ-5]<br />
<br />
|-<br />
|12.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/ZtHuki9PQHV5Cg Домашнее задание №6]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/nmYHFgM2kiZtdg Решения ДЗ-6]<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/X6LCkozybxDH7w Домашнее задание №7]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|<br />
<br />
|-<br />
|27.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/FjywLphzBhL0Xw Домашнее задание №8]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|<br />
<br />
|}</div>Любовь Сысоеваhttp://math-info.hse.ru/wiki2022-23/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0&diff=418Дискретная Математика2022-11-25T16:20:18Z<p>Любовь Сысоева: /* Лекции */</p>
<hr />
<div>'''Дорогие студенты!'''<br />
<br />
На этой странице будут появляться различные материалы и объявления, связанные с курсом '''«Дискретная математика»''', читаемого для студентов 1-го курса ОП Вычислительные социальные науки в '''2022/2023''' учебном году. <br />
<br />
* Лекции и семинары: Сысоева Любовь Николаевна lsysoeva@hse.ru, telegram @lsysoeva<br />
* Ассистент: Ластовецкий Дмитрий dalastovetsky@hse.ru, telegram @dalastovetskiy<br />
<br />
{|<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_izNbdyLHY8c3Y4SfFzpzhsF-QTBNpRFmEqnCR3IQFU/edit?usp=sharing Ведомость активности] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SmaC4Uyy1F4Dn37zME5SMQCdAtXQHpSelk3JZttFxBU/edit?usp=sharing Ведомость ДЗ]<br />
|}<br />
<br />
Формула итоговой оценки:<br />
0,3 * Активность + 0,3 * Домашние задания + 0,4 * Экзамен<br />
<br />
== Консультации ==<br />
<br />
Консультации будут проходить онлайн по понедельникам в 17:00, задавайте ваши вопросы Дмитрию, присоединяйтесь к консультациям!<br />
<br />
Join Zoom Meeting<br />
https://us05web.zoom.us/j/4685079351?pwd=cVJkeVkzUUR1bXNjMzJ1WDRrN0EyUT09<br />
<br />
Meeting ID: 468 507 9351<br />
Passcode: yqTLi1<br />
<br />
== Лекции ==<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дата лекции<br />
!тема лекции<br />
!дополнительные материалы<br />
|-<br />
|16.09.2022<br />
|Понятие множества, конечные множества, задание множества перечислением элементов, задание множества условием, пустое множество, пересечение множеств, объединение множеств, декартово произведение множеств, парадокс брадобрея.<br><br />
Комбинаторика: правило суммы, правило произведения, факториал, число размещений с повторениями и без повторений, число сочетаний.<br />
|[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.1-26<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.44-63<br />
<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|Дискретная вероятность = (кол-во положительных исходов)/(общее число исходов).<br><br />
<br />
Сочетания с повторениями (метод шариков и перегородок), типы предметов.<br><br />
<br />
Треугольник Паскаля (количество путей от вершины вниз), рекуррентная формула (нижний элемент = сумме двух верхних).<br><br />
<br />
Бином Ньютона, связь с треугольником Паскаля (коэффициенты в разложении (a+b)<sup>n</sup> это числа в n строке треугольника).<br><br />
<br />
Числа сочетаний в треугольнике Паскаля, формула C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>k</sup><sub>n-1</sub> + C<sup>k-1</sup><sub>n-1</sub> и ее комбинаторный смысл.<br><br />
<br />
Сумма элементов n строки в треугольнике Паскаля равна 2<sup>n</sup> (через удвоение суммы предыдущей строки, через разложение (1+1)<sup>n</sup> и через все подмножества множества из n элементов).<br><br />
<br />
Полиномиальные коэффициенты (определение и формула).<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.26-40<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.63-70<br />
<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|Числа сочетаний в треугольнике Паскаля: возрастание элементов к середине строки и убывание после середины (C<sup>k</sup><sub>n</sub> < C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k < (n-1)/2 и C<sup>k</sup><sub>n</sub> > C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k > (n-1)/2), симметрия (C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>n-k</sup><sub>n</sub>), оценка среднего элемента в строке через сумму и количество элементов в этой строке (C<sup>n</sup><sub>2n</sub> > 2<sup>2n</sup>/(2n+1)).<br><br />
<br />
Сумма знакопеременных элементов n строки в треугольнике Паскаля равна нулю (через удвоение элементов предыдущей строки с противоположными знаками, через разложение (1-1)<sup>n</sup>).<br><br />
<br />
Формулы для 11<sup>2</sup>, 11<sup>3</sup>, 11<sup>4</sup> и связь со строками треугольника Паскаля (доказательство через разложение 11<sup>k</sup> = (10+1)<sup>k</sup> по биному Ньютона).<br><br />
<br />
Формула включений-исключений: через диаграммы Эйлера-Вена для 2 и 3 множеств, формулировка в общем случае.<br><br />
<br />
Принцип Дирихле (pigeonhole principle): если кроликов больше, чем клеток, то при рассадке кроликов по клеткам по крайней мере в одну клетку попадут по крайней мере два кролика.<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.41-44<br><br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.66<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи: задача про кроликов, определение (F<sub>0</sub> = 0, F<sub>1</sub> = 1, F<sub>n+1</sub> = F<sub>n</sub> + F<sub>n-1</sub>), F<sub>n</sub> равно сумме "диагонали" треугольника Паскаля (F<sub>n</sub> = C<sub>n-1</sub><sup>0</sup> + C<sub>n-2</sub><sup>1</sup> + C<sub>n-3</sub><sup>2</sup> + ... + C<sub>n-[n/2]</sub><sup>[n/2]-1</sup> целая часть должна быть верхней), явная формула (F<sub>n</sub> = 1/٧5((1+٧5)/2)^n - 1/٧5((1-٧5)/2)^n) и ее доказательство по индукции.<br />
<br />
Индукция: принцип математической индукции, база и переход их согласованность, индуктивное предположение, доказательство равенств, неравенств, разбор текстовой задачи (машина на краю пустыни).<br />
Примеры неверных доказательств по индукции (резиновый автобус, куча манки, одномастные лошади).<br />
<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.16-51<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|14.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи (повторение).<br />
Линейные рекуррентные соотношения в разных задачах.<br />
Рекурсия (программирование, литература) и ее связь с рекуррентными соотношениями.<br />
Основная теорема о рекуррентных соотношениях (Master theorem): оценка сложности рекурсивных алгоритмов.<br />
<br />
Рекуррентные записи n! и геометрических прогрессий.<br />
<br />
Индукция: повторение, связь с рекуррентными соотношениями, пример вложенной индукции (количество разломов прямоугольной шоколадки).<br />
<br />
|[https://ru.wikipedia.org/wiki/Основная_теорема_о_рекуррентных_соотношениях Основная теорема о рекуррентных соотношениях]<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|Числа Каталана (по заявкам): рекуррентная формула, количество правильных скобочных последовательностей, количество способов разбить n-угольник диагоналями на треугольники.<br />
<br />
Системы счисления: позиционные, примеры, n-ичные дроби, переводы между системами счислений целых чисел и дробных частей, погрешность в случае прерывания бесконечных дробей.<br />
<br />
Римская система счисления: способы записи чисел, сложность алгоритмов сложения и умножения чисел.<br />
<br />
Признаки делимости в n-ичной системе счисления: схожесть признаков делимости на n-1 и n+1 с признаками делимости на 9 и 11 для десятичной системы, схожесть признаков делимости на делители n с признаками делимости на 5 и 10 для десятичной системы.<br />
<br />
Троичная система: взвешивание путем уравновешивания весов с двумя чашами.<br />
|<br />
[https://disk.yandex.ru/i/UjJYIydJppYhQg Статья про числа Каталана]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/MOK8NEeNVq5SYA Книжка по системам счисления]<br />
<br />
|-<br />
|01.11.2022<br />
|Простые числа: определение, основная теорема арифметики (любое число однозначно разлагается в произведение простых), бесконечное количество простых чисел (два доказательства 1. p<sub>1</sub>p<sub>2</sub>...p<sub>n</sub>+1 ; 2. (k+1)<sup>n</sup> << 2<sup>k</sup> при фиксированном n и растущем k), Постулат Бертрана (теорема Чебышева): для любого натурального n ⩾ 2 найдётся простое число p в интервале n < p < 2n.<br />
<br />
Остатки от деления и вычеты: сложение, вычитание, умножение, поиск обратного вычета.<br />
Запись вычетов через отрицательные числа для удобства вычислений.<br />
Примеры, когда обратного вычета не существует (элемент и модуль не взаимно просты).<br />
<br />
Алгоритм Евклида (с использованием остатка от деления по модулю): сам алгоритм и оценка числа итераций через числа Фибоначчи.<br />
<br />
|[http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/e4d919f5-8435-4fe3-a779-275181a69951/M_1.1.4/M_1.1.4.html Вычеты (короткая базовая статья)]<br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.143-156<br />
<br />
|-<br />
|11.11.2022<br />
|Идея кодирования с открытым ключом.<br />
Диофантовы уравнения: примеры, великая теорема Ферма, линейные Диофантовы уравнения с двумя неизвестными, критерий разрешимости.<br />
Расширенный алгоритм Евклида: решение линейных Диофантовых уравнений с двумя неизвестными.<br />
Сведение поиска обратного по умножению элемента по модулю к решению линейного Диофантова уравнения с двумя неизвестными.<br />
Единственность обратного по умножению элемента по модулю (если существует, то единственный).<br />
<br />
Малая теорема Ферма: формулировка, четыре доказательства (мультиномиальное разложение, индукция и бином Ньютона, раскраска бус, перемножение чисел специального вида), поиск обратного по умножению элемента через малую теорему Ферма в случае простого модуля.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.154-163<br />
<br />
<br />
|-<br />
|15.11.2022<br />
|Идея проверки числа на простоту:<br><br />
1) проверка делимости на простые до корня из числа;<br><br />
2) проверка взаимной простоты с числами от 2 до n-1;<br><br />
3) (тест Ферма) проверка справедливости малой теоремы Ферма для чисел от 2 до n-1 (и числа Кармайкла);<br><br />
4) (тест Рабина) проверка справедливости малой теоремы Ферма плюс корней из 1.<br />
<br />
Китайская теорема об остатках: система сравнений по взаимнопростым модулям имеет единственное решение по произведению модулей.<br />
Доказательство и решения систем сравнений с помощью расширенного алгоритма Евклида.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.161-165<br />
<br />
|-<br />
|18.11.2022<br />
|Китайская теорема об остатках: доказательство (индукция во числу сравнений), Следствие: независимость распределения остатков по взаимнопростым модулям.<br><br />
Функция Эйлера: определение и вычисление для простых чисел, степеней простых чисел, составных чисел.<br><br />
Теорема Эйлера: формулировка, малая теорема Ферма как частный случай, доказательство (аналогично 4 доказательству малой теоремы Ферма, через обратимые остатки и их перемножение).<br><br />
Алгоритм кодирования с открытым ключом RSA: определение, корректность кодирования и декодирования, устойчивость к атакам.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.162-167<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/fX6Q_FMRE-I_Zg Лекции по криптографии] (тут довольно хорошо объяснен алгоритм RSA и еще много что)<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|Графы: определение (V,E), множество вершин, множество ребер, изолированная вершина, степень вершины, способы задания графов (матрица смежности, матрица инцидентности, список смежности).<br><br />
Формула 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>).<br><br />
Маршрут, путь, простой путь, расстояние между вершинами (длина кратчайшего пути), диаметр графа (самое большое расстояние между вершинами).<br><br />
Цикл, простой цикл.<br><br />
Связный граф, компонента связности.<br><br />
Оценка: количество компонент связности ≥ |V|-|E|.<br><br />
Следствие: для поиска самого тяжелого камня среди n камней необходимо n-1 взвешивание.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.95-118<br><br />
<br />
|-<br />
|25.11.2022<br />
|Деревья: четыре определения и их эквивалентность: связный граф с |V|-1 ребром; минимальный связный граф; связный ациклический граф; граф, между любыми двумя вершинами которого существует единственный путь.<br><br />
''Дополнительно:'' бинарное дерево поиска: поиск элемента, добавление элемента, удаление элемента, поиск следующего и предшествующего элементов.<br><br />
Существование у произвольного дерева по крайней мере двух листьев (два доказательства: через формулу 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>) и через максимально удаленные вершины).<br />
Остовное дерево связного графа, возможность удаления из связного графа вершины вместе с ребрами без потери связности.<br><br />
Правильная раскраска: определение, примеры, критерий 2-раскрашиваемости графа (отсутствие циклов нечетной длины).<br />
''Дополнительно:'' алгоритмы поиска в ширину (BFS) и глубину (DFS).<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.118-123<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/XDNEDxyuccjLGA Т.Кормен и др.Алгоритмы Построение И Анализ стр 316-322, 607-663]<br />
|}<br />
<br />
== Семинары ==<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/N5V4VaIkLVTajg Комбинаторика-1]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/DDB7KcxEXg3-6A Комбинаторика-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/QXW6c4tUxwjV4g Комбинаторика-3]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/lfhWkTgRJPvbGw Числа Фибоначчи, Индукция]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/I1VBzSGylBSUtw Числа Фибоначчи-2, Индукция-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/6ZeDU1zdCnlBog Системы счисления]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/pC1rFQaRgrr5KA Делимость и Вычеты]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/iGuukuYtT4O1iQ Расширенный алгоритм Евклида. Малая теорема Ферма.]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/yGSOYGTeGLBJVg Малая теорема Ферма. Китайская теорема об остатках.]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KjQpX2s2Vj8ITw Теорема Эйлера.]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/OOaz4DVxqMuUkg Графы-1.]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KiTGSNoG6VM_Hg Деревья, правильные раскраски]<br />
<br />
== Домашние задания ==<br />
'''В ДЗ-8 появилась бонусная задача на бинарные деревья поиска. Ссылку на книгу по теме можно найти в допматериалах к последней лекции.'''<br />
<br />
'''Правила сдачи ДЗ''': решения задач из домашнего задания оформляются письменно, первый лист работы подписывается, только ответы не проверяются, должно присутствовать ''полное рассуждение'', затем текст сканируется, файл называется в соответствии с ФИО студента (например, SysoevaLN.pdf) и отправляется на проверку (ссылку на загрузку см. в таблице ниже).<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дедлайн<br />
!Домашнее задание<br />
!Ссылка на загрузку файла<br />
!Решения и критерии<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/WeEzyM70AzqNtw Домашнее задание №1]<br />
|[https://www.dropbox.com/request/cGNCtS3rrJoiE6NGCrz9 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/lmtlr4mP41Iy-Q Решения ДЗ-1]<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/87IgAYKMLGbEyA Домашнее задание №2]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/_yELwtWaJS4RMA Решения ДЗ-2]<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/Yy6-_Hda1UEQLg Домашнее задание №3]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/-VioO1CArRXPEA Решения ДЗ-3]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/aofNsKB9AMhONA Домашнее задание №4]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/JVpDIULhuGcJfA Решения ДЗ-4]<br />
<br />
|-<br />
|4.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/V62t0PGwzQmJoA Домашнее задание №5]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/S-0Dkekb9_o1aQ Решения ДЗ-5]<br />
<br />
|-<br />
|12.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/ZtHuki9PQHV5Cg Домашнее задание №6]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/nmYHFgM2kiZtdg Решения ДЗ-6]<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/X6LCkozybxDH7w Домашнее задание №7]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|<br />
<br />
|-<br />
|27.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/FjywLphzBhL0Xw Домашнее задание №8]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|<br />
<br />
|}</div>Любовь Сысоеваhttp://math-info.hse.ru/wiki2022-23/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0&diff=417Дискретная Математика2022-11-25T16:19:50Z<p>Любовь Сысоева: /* Лекции */</p>
<hr />
<div>'''Дорогие студенты!'''<br />
<br />
На этой странице будут появляться различные материалы и объявления, связанные с курсом '''«Дискретная математика»''', читаемого для студентов 1-го курса ОП Вычислительные социальные науки в '''2022/2023''' учебном году. <br />
<br />
* Лекции и семинары: Сысоева Любовь Николаевна lsysoeva@hse.ru, telegram @lsysoeva<br />
* Ассистент: Ластовецкий Дмитрий dalastovetsky@hse.ru, telegram @dalastovetskiy<br />
<br />
{|<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_izNbdyLHY8c3Y4SfFzpzhsF-QTBNpRFmEqnCR3IQFU/edit?usp=sharing Ведомость активности] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SmaC4Uyy1F4Dn37zME5SMQCdAtXQHpSelk3JZttFxBU/edit?usp=sharing Ведомость ДЗ]<br />
|}<br />
<br />
Формула итоговой оценки:<br />
0,3 * Активность + 0,3 * Домашние задания + 0,4 * Экзамен<br />
<br />
== Консультации ==<br />
<br />
Консультации будут проходить онлайн по понедельникам в 17:00, задавайте ваши вопросы Дмитрию, присоединяйтесь к консультациям!<br />
<br />
Join Zoom Meeting<br />
https://us05web.zoom.us/j/4685079351?pwd=cVJkeVkzUUR1bXNjMzJ1WDRrN0EyUT09<br />
<br />
Meeting ID: 468 507 9351<br />
Passcode: yqTLi1<br />
<br />
== Лекции ==<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дата лекции<br />
!тема лекции<br />
!дополнительные материалы<br />
|-<br />
|16.09.2022<br />
|Понятие множества, конечные множества, задание множества перечислением элементов, задание множества условием, пустое множество, пересечение множеств, объединение множеств, декартово произведение множеств, парадокс брадобрея.<br><br />
Комбинаторика: правило суммы, правило произведения, факториал, число размещений с повторениями и без повторений, число сочетаний.<br />
|[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.1-26<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.44-63<br />
<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|Дискретная вероятность = (кол-во положительных исходов)/(общее число исходов).<br><br />
<br />
Сочетания с повторениями (метод шариков и перегородок), типы предметов.<br><br />
<br />
Треугольник Паскаля (количество путей от вершины вниз), рекуррентная формула (нижний элемент = сумме двух верхних).<br><br />
<br />
Бином Ньютона, связь с треугольником Паскаля (коэффициенты в разложении (a+b)<sup>n</sup> это числа в n строке треугольника).<br><br />
<br />
Числа сочетаний в треугольнике Паскаля, формула C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>k</sup><sub>n-1</sub> + C<sup>k-1</sup><sub>n-1</sub> и ее комбинаторный смысл.<br><br />
<br />
Сумма элементов n строки в треугольнике Паскаля равна 2<sup>n</sup> (через удвоение суммы предыдущей строки, через разложение (1+1)<sup>n</sup> и через все подмножества множества из n элементов).<br><br />
<br />
Полиномиальные коэффициенты (определение и формула).<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.26-40<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.63-70<br />
<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|Числа сочетаний в треугольнике Паскаля: возрастание элементов к середине строки и убывание после середины (C<sup>k</sup><sub>n</sub> < C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k < (n-1)/2 и C<sup>k</sup><sub>n</sub> > C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k > (n-1)/2), симметрия (C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>n-k</sup><sub>n</sub>), оценка среднего элемента в строке через сумму и количество элементов в этой строке (C<sup>n</sup><sub>2n</sub> > 2<sup>2n</sup>/(2n+1)).<br><br />
<br />
Сумма знакопеременных элементов n строки в треугольнике Паскаля равна нулю (через удвоение элементов предыдущей строки с противоположными знаками, через разложение (1-1)<sup>n</sup>).<br><br />
<br />
Формулы для 11<sup>2</sup>, 11<sup>3</sup>, 11<sup>4</sup> и связь со строками треугольника Паскаля (доказательство через разложение 11<sup>k</sup> = (10+1)<sup>k</sup> по биному Ньютона).<br><br />
<br />
Формула включений-исключений: через диаграммы Эйлера-Вена для 2 и 3 множеств, формулировка в общем случае.<br><br />
<br />
Принцип Дирихле (pigeonhole principle): если кроликов больше, чем клеток, то при рассадке кроликов по клеткам по крайней мере в одну клетку попадут по крайней мере два кролика.<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.41-44<br><br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.66<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи: задача про кроликов, определение (F<sub>0</sub> = 0, F<sub>1</sub> = 1, F<sub>n+1</sub> = F<sub>n</sub> + F<sub>n-1</sub>), F<sub>n</sub> равно сумме "диагонали" треугольника Паскаля (F<sub>n</sub> = C<sub>n-1</sub><sup>0</sup> + C<sub>n-2</sub><sup>1</sup> + C<sub>n-3</sub><sup>2</sup> + ... + C<sub>n-[n/2]</sub><sup>[n/2]-1</sup> целая часть должна быть верхней), явная формула (F<sub>n</sub> = 1/٧5((1+٧5)/2)^n - 1/٧5((1-٧5)/2)^n) и ее доказательство по индукции.<br />
<br />
Индукция: принцип математической индукции, база и переход их согласованность, индуктивное предположение, доказательство равенств, неравенств, разбор текстовой задачи (машина на краю пустыни).<br />
Примеры неверных доказательств по индукции (резиновый автобус, куча манки, одномастные лошади).<br />
<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.16-51<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|14.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи (повторение).<br />
Линейные рекуррентные соотношения в разных задачах.<br />
Рекурсия (программирование, литература) и ее связь с рекуррентными соотношениями.<br />
Основная теорема о рекуррентных соотношениях (Master theorem): оценка сложности рекурсивных алгоритмов.<br />
<br />
Рекуррентные записи n! и геометрических прогрессий.<br />
<br />
Индукция: повторение, связь с рекуррентными соотношениями, пример вложенной индукции (количество разломов прямоугольной шоколадки).<br />
<br />
|[https://ru.wikipedia.org/wiki/Основная_теорема_о_рекуррентных_соотношениях Основная теорема о рекуррентных соотношениях]<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|Числа Каталана (по заявкам): рекуррентная формула, количество правильных скобочных последовательностей, количество способов разбить n-угольник диагоналями на треугольники.<br />
<br />
Системы счисления: позиционные, примеры, n-ичные дроби, переводы между системами счислений целых чисел и дробных частей, погрешность в случае прерывания бесконечных дробей.<br />
<br />
Римская система счисления: способы записи чисел, сложность алгоритмов сложения и умножения чисел.<br />
<br />
Признаки делимости в n-ичной системе счисления: схожесть признаков делимости на n-1 и n+1 с признаками делимости на 9 и 11 для десятичной системы, схожесть признаков делимости на делители n с признаками делимости на 5 и 10 для десятичной системы.<br />
<br />
Троичная система: взвешивание путем уравновешивания весов с двумя чашами.<br />
|<br />
[https://disk.yandex.ru/i/UjJYIydJppYhQg Статья про числа Каталана]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/MOK8NEeNVq5SYA Книжка по системам счисления]<br />
<br />
|-<br />
|01.11.2022<br />
|Простые числа: определение, основная теорема арифметики (любое число однозначно разлагается в произведение простых), бесконечное количество простых чисел (два доказательства 1. p<sub>1</sub>p<sub>2</sub>...p<sub>n</sub>+1 ; 2. (k+1)<sup>n</sup> << 2<sup>k</sup> при фиксированном n и растущем k), Постулат Бертрана (теорема Чебышева): для любого натурального n ⩾ 2 найдётся простое число p в интервале n < p < 2n.<br />
<br />
Остатки от деления и вычеты: сложение, вычитание, умножение, поиск обратного вычета.<br />
Запись вычетов через отрицательные числа для удобства вычислений.<br />
Примеры, когда обратного вычета не существует (элемент и модуль не взаимно просты).<br />
<br />
Алгоритм Евклида (с использованием остатка от деления по модулю): сам алгоритм и оценка числа итераций через числа Фибоначчи.<br />
<br />
|[http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/e4d919f5-8435-4fe3-a779-275181a69951/M_1.1.4/M_1.1.4.html Вычеты (короткая базовая статья)]<br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.143-156<br />
<br />
|-<br />
|11.11.2022<br />
|Идея кодирования с открытым ключом.<br />
Диофантовы уравнения: примеры, великая теорема Ферма, линейные Диофантовы уравнения с двумя неизвестными, критерий разрешимости.<br />
Расширенный алгоритм Евклида: решение линейных Диофантовых уравнений с двумя неизвестными.<br />
Сведение поиска обратного по умножению элемента по модулю к решению линейного Диофантова уравнения с двумя неизвестными.<br />
Единственность обратного по умножению элемента по модулю (если существует, то единственный).<br />
<br />
Малая теорема Ферма: формулировка, четыре доказательства (мультиномиальное разложение, индукция и бином Ньютона, раскраска бус, перемножение чисел специального вида), поиск обратного по умножению элемента через малую теорему Ферма в случае простого модуля.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.154-163<br />
<br />
<br />
|-<br />
|15.11.2022<br />
|Идея проверки числа на простоту:<br><br />
1) проверка делимости на простые до корня из числа;<br><br />
2) проверка взаимной простоты с числами от 2 до n-1;<br><br />
3) (тест Ферма) проверка справедливости малой теоремы Ферма для чисел от 2 до n-1 (и числа Кармайкла);<br><br />
4) (тест Рабина) проверка справедливости малой теоремы Ферма плюс корней из 1.<br />
<br />
Китайская теорема об остатках: система сравнений по взаимнопростым модулям имеет единственное решение по произведению модулей.<br />
Доказательство и решения систем сравнений с помощью расширенного алгоритма Евклида.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.161-165<br />
<br />
|-<br />
|18.11.2022<br />
|Китайская теорема об остатках: доказательство (индукция во числу сравнений), Следствие: независимость распределения остатков по взаимнопростым модулям.<br><br />
Функция Эйлера: определение и вычисление для простых чисел, степеней простых чисел, составных чисел.<br><br />
Теорема Эйлера: формулировка, малая теорема Ферма как частный случай, доказательство (аналогично 4 доказательству малой теоремы Ферма, через обратимые остатки и их перемножение).<br><br />
Алгоритм кодирования с открытым ключом RSA: определение, корректность кодирования и декодирования, устойчивость к атакам.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.162-167<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/fX6Q_FMRE-I_Zg Лекции по криптографии] (тут довольно хорошо объяснен алгоритм RSA и еще много что)<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|Графы: определение (V,E), множество вершин, множество ребер, изолированная вершина, степень вершины, способы задания графов (матрица смежности, матрица инцидентности, список смежности).<br><br />
Формула 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>).<br><br />
Маршрут, путь, простой путь, расстояние между вершинами (длина кратчайшего пути), диаметр графа (самое большое расстояние между вершинами).<br><br />
Цикл, простой цикл.<br><br />
Связный граф, компонента связности.<br><br />
Оценка: количество компонент связности ≥ |V|-|E|.<br><br />
Следствие: для поиска самого тяжелого камня среди n камней необходимо n-1 взвешивание.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.95-118<br><br />
<br />
|-<br />
|25.11.2022<br />
|Деревья: четыре определения и их эквивалентность: связный граф с |V|-1 ребром; минимальный связный граф; связный ациклический граф; граф, между любыми двумя вершинами которого существует единственный путь.<br><br />
''Дополнительно:'' бинарное дерево поиска: поиск элемента, добавление элемента, удаление элемента, поиск следующего и предшествующего элементов.<br><br />
Существование у произвольного дерева по крайней мере двух листьев (два доказательства: через формулу 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>) и через максимально удаленные вершины).<br><br />
Остовное дерево связного графа, возможность удаления из связного графа вершины вместе с ребрами без потери связности.<br><br />
Правильная раскраска: определение, примеры, критерий 2-раскрашиваемости графа (отсутствие циклов нечетной длины).<br><br />
''Дополнительно:'' алгоритмы поиска в ширину (BFS) и глубину (DFS).<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.118-123<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/XDNEDxyuccjLGA Т.Кормен и др.Алгоритмы Построение И Анализ стр 316-322, 607-663]<br />
|}<br />
<br />
== Семинары ==<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/N5V4VaIkLVTajg Комбинаторика-1]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/DDB7KcxEXg3-6A Комбинаторика-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/QXW6c4tUxwjV4g Комбинаторика-3]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/lfhWkTgRJPvbGw Числа Фибоначчи, Индукция]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/I1VBzSGylBSUtw Числа Фибоначчи-2, Индукция-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/6ZeDU1zdCnlBog Системы счисления]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/pC1rFQaRgrr5KA Делимость и Вычеты]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/iGuukuYtT4O1iQ Расширенный алгоритм Евклида. Малая теорема Ферма.]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/yGSOYGTeGLBJVg Малая теорема Ферма. Китайская теорема об остатках.]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KjQpX2s2Vj8ITw Теорема Эйлера.]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/OOaz4DVxqMuUkg Графы-1.]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KiTGSNoG6VM_Hg Деревья, правильные раскраски]<br />
<br />
== Домашние задания ==<br />
'''В ДЗ-8 появилась бонусная задача на бинарные деревья поиска. Ссылку на книгу по теме можно найти в допматериалах к последней лекции.'''<br />
<br />
'''Правила сдачи ДЗ''': решения задач из домашнего задания оформляются письменно, первый лист работы подписывается, только ответы не проверяются, должно присутствовать ''полное рассуждение'', затем текст сканируется, файл называется в соответствии с ФИО студента (например, SysoevaLN.pdf) и отправляется на проверку (ссылку на загрузку см. в таблице ниже).<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дедлайн<br />
!Домашнее задание<br />
!Ссылка на загрузку файла<br />
!Решения и критерии<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/WeEzyM70AzqNtw Домашнее задание №1]<br />
|[https://www.dropbox.com/request/cGNCtS3rrJoiE6NGCrz9 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/lmtlr4mP41Iy-Q Решения ДЗ-1]<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/87IgAYKMLGbEyA Домашнее задание №2]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/_yELwtWaJS4RMA Решения ДЗ-2]<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/Yy6-_Hda1UEQLg Домашнее задание №3]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/-VioO1CArRXPEA Решения ДЗ-3]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/aofNsKB9AMhONA Домашнее задание №4]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/JVpDIULhuGcJfA Решения ДЗ-4]<br />
<br />
|-<br />
|4.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/V62t0PGwzQmJoA Домашнее задание №5]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/S-0Dkekb9_o1aQ Решения ДЗ-5]<br />
<br />
|-<br />
|12.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/ZtHuki9PQHV5Cg Домашнее задание №6]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/nmYHFgM2kiZtdg Решения ДЗ-6]<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/X6LCkozybxDH7w Домашнее задание №7]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|<br />
<br />
|-<br />
|27.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/FjywLphzBhL0Xw Домашнее задание №8]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|<br />
<br />
|}</div>Любовь Сысоеваhttp://math-info.hse.ru/wiki2022-23/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0&diff=416Дискретная Математика2022-11-25T16:19:14Z<p>Любовь Сысоева: /* Лекции */</p>
<hr />
<div>'''Дорогие студенты!'''<br />
<br />
На этой странице будут появляться различные материалы и объявления, связанные с курсом '''«Дискретная математика»''', читаемого для студентов 1-го курса ОП Вычислительные социальные науки в '''2022/2023''' учебном году. <br />
<br />
* Лекции и семинары: Сысоева Любовь Николаевна lsysoeva@hse.ru, telegram @lsysoeva<br />
* Ассистент: Ластовецкий Дмитрий dalastovetsky@hse.ru, telegram @dalastovetskiy<br />
<br />
{|<br />
|-<br />
| [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_izNbdyLHY8c3Y4SfFzpzhsF-QTBNpRFmEqnCR3IQFU/edit?usp=sharing Ведомость активности] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SmaC4Uyy1F4Dn37zME5SMQCdAtXQHpSelk3JZttFxBU/edit?usp=sharing Ведомость ДЗ]<br />
|}<br />
<br />
Формула итоговой оценки:<br />
0,3 * Активность + 0,3 * Домашние задания + 0,4 * Экзамен<br />
<br />
== Консультации ==<br />
<br />
Консультации будут проходить онлайн по понедельникам в 17:00, задавайте ваши вопросы Дмитрию, присоединяйтесь к консультациям!<br />
<br />
Join Zoom Meeting<br />
https://us05web.zoom.us/j/4685079351?pwd=cVJkeVkzUUR1bXNjMzJ1WDRrN0EyUT09<br />
<br />
Meeting ID: 468 507 9351<br />
Passcode: yqTLi1<br />
<br />
== Лекции ==<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дата лекции<br />
!тема лекции<br />
!дополнительные материалы<br />
|-<br />
|16.09.2022<br />
|Понятие множества, конечные множества, задание множества перечислением элементов, задание множества условием, пустое множество, пересечение множеств, объединение множеств, декартово произведение множеств, парадокс брадобрея.<br><br />
Комбинаторика: правило суммы, правило произведения, факториал, число размещений с повторениями и без повторений, число сочетаний.<br />
|[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.1-26<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.44-63<br />
<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|Дискретная вероятность = (кол-во положительных исходов)/(общее число исходов).<br><br />
<br />
Сочетания с повторениями (метод шариков и перегородок), типы предметов.<br><br />
<br />
Треугольник Паскаля (количество путей от вершины вниз), рекуррентная формула (нижний элемент = сумме двух верхних).<br><br />
<br />
Бином Ньютона, связь с треугольником Паскаля (коэффициенты в разложении (a+b)<sup>n</sup> это числа в n строке треугольника).<br><br />
<br />
Числа сочетаний в треугольнике Паскаля, формула C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>k</sup><sub>n-1</sub> + C<sup>k-1</sup><sub>n-1</sub> и ее комбинаторный смысл.<br><br />
<br />
Сумма элементов n строки в треугольнике Паскаля равна 2<sup>n</sup> (через удвоение суммы предыдущей строки, через разложение (1+1)<sup>n</sup> и через все подмножества множества из n элементов).<br><br />
<br />
Полиномиальные коэффициенты (определение и формула).<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.26-40<br><br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.63-70<br />
<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|Числа сочетаний в треугольнике Паскаля: возрастание элементов к середине строки и убывание после середины (C<sup>k</sup><sub>n</sub> < C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k < (n-1)/2 и C<sup>k</sup><sub>n</sub> > C<sup>k+1</sup><sub>n</sub> при k > (n-1)/2), симметрия (C<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sup>n-k</sup><sub>n</sub>), оценка среднего элемента в строке через сумму и количество элементов в этой строке (C<sup>n</sup><sub>2n</sub> > 2<sup>2n</sup>/(2n+1)).<br><br />
<br />
Сумма знакопеременных элементов n строки в треугольнике Паскаля равна нулю (через удвоение элементов предыдущей строки с противоположными знаками, через разложение (1-1)<sup>n</sup>).<br><br />
<br />
Формулы для 11<sup>2</sup>, 11<sup>3</sup>, 11<sup>4</sup> и связь со строками треугольника Паскаля (доказательство через разложение 11<sup>k</sup> = (10+1)<sup>k</sup> по биному Ньютона).<br><br />
<br />
Формула включений-исключений: через диаграммы Эйлера-Вена для 2 и 3 множеств, формулировка в общем случае.<br><br />
<br />
Принцип Дирихле (pigeonhole principle): если кроликов больше, чем клеток, то при рассадке кроликов по клеткам по крайней мере в одну клетку попадут по крайней мере два кролика.<br />
||[https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf Комбинаторика (в частности задачки по темам с ответами)] стр.41-44<br><br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.66<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи: задача про кроликов, определение (F<sub>0</sub> = 0, F<sub>1</sub> = 1, F<sub>n+1</sub> = F<sub>n</sub> + F<sub>n-1</sub>), F<sub>n</sub> равно сумме "диагонали" треугольника Паскаля (F<sub>n</sub> = C<sub>n-1</sub><sup>0</sup> + C<sub>n-2</sub><sup>1</sup> + C<sub>n-3</sub><sup>2</sup> + ... + C<sub>n-[n/2]</sub><sup>[n/2]-1</sup> целая часть должна быть верхней), явная формула (F<sub>n</sub> = 1/٧5((1+٧5)/2)^n - 1/٧5((1-٧5)/2)^n) и ее доказательство по индукции.<br />
<br />
Индукция: принцип математической индукции, база и переход их согласованность, индуктивное предположение, доказательство равенств, неравенств, разбор текстовой задачи (машина на краю пустыни).<br />
Примеры неверных доказательств по индукции (резиновый автобус, куча манки, одномастные лошади).<br />
<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.16-51<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|14.10.2022<br />
|Числа Фибоначчи (повторение).<br />
Линейные рекуррентные соотношения в разных задачах.<br />
Рекурсия (программирование, литература) и ее связь с рекуррентными соотношениями.<br />
Основная теорема о рекуррентных соотношениях (Master theorem): оценка сложности рекурсивных алгоритмов.<br />
<br />
Рекуррентные записи n! и геометрических прогрессий.<br />
<br />
Индукция: повторение, связь с рекуррентными соотношениями, пример вложенной индукции (количество разломов прямоугольной шоколадки).<br />
<br />
|[https://ru.wikipedia.org/wiki/Основная_теорема_о_рекуррентных_соотношениях Основная теорема о рекуррентных соотношениях]<br />
[https://disk.yandex.ru/i/C9uejT5Zu5Fahw Примеры с решениями и без задач на индукцию]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|Числа Каталана (по заявкам): рекуррентная формула, количество правильных скобочных последовательностей, количество способов разбить n-угольник диагоналями на треугольники.<br />
<br />
Системы счисления: позиционные, примеры, n-ичные дроби, переводы между системами счислений целых чисел и дробных частей, погрешность в случае прерывания бесконечных дробей.<br />
<br />
Римская система счисления: способы записи чисел, сложность алгоритмов сложения и умножения чисел.<br />
<br />
Признаки делимости в n-ичной системе счисления: схожесть признаков делимости на n-1 и n+1 с признаками делимости на 9 и 11 для десятичной системы, схожесть признаков делимости на делители n с признаками делимости на 5 и 10 для десятичной системы.<br />
<br />
Троичная система: взвешивание путем уравновешивания весов с двумя чашами.<br />
|<br />
[https://disk.yandex.ru/i/UjJYIydJppYhQg Статья про числа Каталана]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/MOK8NEeNVq5SYA Книжка по системам счисления]<br />
<br />
|-<br />
|01.11.2022<br />
|Простые числа: определение, основная теорема арифметики (любое число однозначно разлагается в произведение простых), бесконечное количество простых чисел (два доказательства 1. p<sub>1</sub>p<sub>2</sub>...p<sub>n</sub>+1 ; 2. (k+1)<sup>n</sup> << 2<sup>k</sup> при фиксированном n и растущем k), Постулат Бертрана (теорема Чебышева): для любого натурального n ⩾ 2 найдётся простое число p в интервале n < p < 2n.<br />
<br />
Остатки от деления и вычеты: сложение, вычитание, умножение, поиск обратного вычета.<br />
Запись вычетов через отрицательные числа для удобства вычислений.<br />
Примеры, когда обратного вычета не существует (элемент и модуль не взаимно просты).<br />
<br />
Алгоритм Евклида (с использованием остатка от деления по модулю): сам алгоритм и оценка числа итераций через числа Фибоначчи.<br />
<br />
|[http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/e4d919f5-8435-4fe3-a779-275181a69951/M_1.1.4/M_1.1.4.html Вычеты (короткая базовая статья)]<br />
<br />
[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.143-156<br />
<br />
|-<br />
|11.11.2022<br />
|Идея кодирования с открытым ключом.<br />
Диофантовы уравнения: примеры, великая теорема Ферма, линейные Диофантовы уравнения с двумя неизвестными, критерий разрешимости.<br />
Расширенный алгоритм Евклида: решение линейных Диофантовых уравнений с двумя неизвестными.<br />
Сведение поиска обратного по умножению элемента по модулю к решению линейного Диофантова уравнения с двумя неизвестными.<br />
Единственность обратного по умножению элемента по модулю (если существует, то единственный).<br />
<br />
Малая теорема Ферма: формулировка, четыре доказательства (мультиномиальное разложение, индукция и бином Ньютона, раскраска бус, перемножение чисел специального вида), поиск обратного по умножению элемента через малую теорему Ферма в случае простого модуля.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.154-163<br />
<br />
<br />
|-<br />
|15.11.2022<br />
|Идея проверки числа на простоту:<br><br />
1) проверка делимости на простые до корня из числа;<br><br />
2) проверка взаимной простоты с числами от 2 до n-1;<br><br />
3) (тест Ферма) проверка справедливости малой теоремы Ферма для чисел от 2 до n-1 (и числа Кармайкла);<br><br />
4) (тест Рабина) проверка справедливости малой теоремы Ферма плюс корней из 1.<br />
<br />
Китайская теорема об остатках: система сравнений по взаимнопростым модулям имеет единственное решение по произведению модулей.<br />
Доказательство и решения систем сравнений с помощью расширенного алгоритма Евклида.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.161-165<br />
<br />
|-<br />
|18.11.2022<br />
|Китайская теорема об остатках: доказательство (индукция во числу сравнений), Следствие: независимость распределения остатков по взаимнопростым модулям.<br><br />
Функция Эйлера: определение и вычисление для простых чисел, степеней простых чисел, составных чисел.<br><br />
Теорема Эйлера: формулировка, малая теорема Ферма как частный случай, доказательство (аналогично 4 доказательству малой теоремы Ферма, через обратимые остатки и их перемножение).<br><br />
Алгоритм кодирования с открытым ключом RSA: определение, корректность кодирования и декодирования, устойчивость к атакам.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.162-167<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/fX6Q_FMRE-I_Zg Лекции по криптографии] (тут довольно хорошо объяснен алгоритм RSA и еще много что)<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|Графы: определение (V,E), множество вершин, множество ребер, изолированная вершина, степень вершины, способы задания графов (матрица смежности, матрица инцидентности, список смежности).<br><br />
Формула 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>).<br><br />
Маршрут, путь, простой путь, расстояние между вершинами (длина кратчайшего пути), диаметр графа (самое большое расстояние между вершинами).<br><br />
Цикл, простой цикл.<br><br />
Связный граф, компонента связности.<br><br />
Оценка: количество компонент связности ≥ |V|-|E|.<br><br />
Следствие: для поиска самого тяжелого камня среди n камней необходимо n-1 взвешивание.<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.95-118<br><br />
<br />
|-<br />
|25.11.2022<br />
|Деревья: четыре определения и их эквивалентность: связный граф с |V|-1 ребром; минимальный связный граф; связный ациклический граф; граф, между любыми двумя вершинами которого существует единственный путь. <br><br />
''Дополнительно:'' бинарное дерево поиска: поиск элемента, добавление элемента, удаление элемента, поиск следующего и предшествующего элементов.<br><br />
Существование у произвольного дерева по крайней мере двух листьев (два доказательства: через формулу 2|E|=Σ deg(v<sub>i</sub>) и через максимально удаленные вершины).<br><br />
Остовное дерево связного графа, возможность удаления из связного графа вершины вместе с ребрами без потери связности.<br><br />
Правильная раскраска: определение, примеры, критерий 2-раскрашиваемости графа (отсутствие циклов нечетной длины).<br><br />
''Дополнительно:'' алгоритмы поиска в ширину (BFS) и глубину (DFS).<br />
|[https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/393719078.pdf Лекции по дискретной математике ФКН ВШЭ] стр.118-123<br><br />
[https://disk.yandex.ru/i/XDNEDxyuccjLGA Т.Кормен и др.Алгоритмы Построение И Анализ стр 316-322, 607-663]<br />
|}<br />
<br />
== Семинары ==<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/N5V4VaIkLVTajg Комбинаторика-1]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/DDB7KcxEXg3-6A Комбинаторика-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/QXW6c4tUxwjV4g Комбинаторика-3]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/lfhWkTgRJPvbGw Числа Фибоначчи, Индукция]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/I1VBzSGylBSUtw Числа Фибоначчи-2, Индукция-2]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/6ZeDU1zdCnlBog Системы счисления]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/pC1rFQaRgrr5KA Делимость и Вычеты]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/iGuukuYtT4O1iQ Расширенный алгоритм Евклида. Малая теорема Ферма.]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/yGSOYGTeGLBJVg Малая теорема Ферма. Китайская теорема об остатках.]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KjQpX2s2Vj8ITw Теорема Эйлера.]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/OOaz4DVxqMuUkg Графы-1.]<br />
<br />
[https://disk.yandex.ru/i/KiTGSNoG6VM_Hg Деревья, правильные раскраски]<br />
<br />
== Домашние задания ==<br />
'''В ДЗ-8 появилась бонусная задача на бинарные деревья поиска. Ссылку на книгу по теме можно найти в допматериалах к последней лекции.'''<br />
<br />
'''Правила сдачи ДЗ''': решения задач из домашнего задания оформляются письменно, первый лист работы подписывается, только ответы не проверяются, должно присутствовать ''полное рассуждение'', затем текст сканируется, файл называется в соответствии с ФИО студента (например, SysoevaLN.pdf) и отправляется на проверку (ссылку на загрузку см. в таблице ниже).<br />
<br />
{|class='wikitable'<br />
!дедлайн<br />
!Домашнее задание<br />
!Ссылка на загрузку файла<br />
!Решения и критерии<br />
|-<br />
|23.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/WeEzyM70AzqNtw Домашнее задание №1]<br />
|[https://www.dropbox.com/request/cGNCtS3rrJoiE6NGCrz9 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/lmtlr4mP41Iy-Q Решения ДЗ-1]<br />
<br />
|-<br />
|30.09.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/87IgAYKMLGbEyA Домашнее задание №2]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/_yELwtWaJS4RMA Решения ДЗ-2]<br />
<br />
|-<br />
|7.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/Yy6-_Hda1UEQLg Домашнее задание №3]<br />
|[https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/-VioO1CArRXPEA Решения ДЗ-3]<br />
<br />
|-<br />
|21.10.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/aofNsKB9AMhONA Домашнее задание №4]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/JVpDIULhuGcJfA Решения ДЗ-4]<br />
<br />
|-<br />
|4.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/V62t0PGwzQmJoA Домашнее задание №5]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/S-0Dkekb9_o1aQ Решения ДЗ-5]<br />
<br />
|-<br />
|12.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/ZtHuki9PQHV5Cg Домашнее задание №6]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/nmYHFgM2kiZtdg Решения ДЗ-6]<br />
<br />
|-<br />
|22.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/X6LCkozybxDH7w Домашнее задание №7]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|<br />
<br />
|-<br />
|27.11.2022<br />
|[https://disk.yandex.ru/i/FjywLphzBhL0Xw Домашнее задание №8]<br />
| [https://forms.gle/zZCx8hGiHi1GDy1j6 Файл сюда]<br />
|<br />
<br />
|}</div>Любовь Сысоева