5Ещё о многомерных уравнениях

5.1Напоминание: автономные системы и неавтономные уравнения

Напомним теорему о связи между автономными и неавтономными уравнениями, которая обсуждалась на прошлой лекции.

Теорема 1. Рассмотрим систему
Для любой точки , такой, что , фазовая кривая системы (5.1), проходящая через , совпадает с интегральной кривой для уравнения

Эта теорема была доказана в предыдущей главе. Приведём ещё одно доказательство, в большей степени аналитическое.

Доказательство. Пусть фазовая кривая системы (5.1) задаётся как вектор-функция . В силу условия , вблизи точки существует обратная функция к функции . Обозначим её через , её производная . Рассмотрим функцию , её график задаёт фазовую кривую (5.1). По теореме о производной сложной функции:
Таким образом, кривая является интегральной для уравнения (5.2).

Наоборот, рассмотрим интегральную кривую (5.2), заданную функцией . Подставим её в первое из уравнений (5.1), получим автономное дифференциальное уравнение на . Решая его, найдём зависимость . Рассмотрим теперь функцию . По теореме о производной сложной функции,

Следовательно, вектор-функция является решением системы (5.1).

Доказательство завершено.

5.2Прямые произведения и разделение переменных

Рассмотрим прямое произведение двух одномерных уравнений:
Соответствующее этой системе неавтономное уравнение имеет вид:
Это уравнение с разделяющимися переменными. Теорема 1 даёт возможность нового доказательства корректности метода разделения переменных.

Пусть и . Решая каждое из уравнений (5.3) по отдельности, имеем: Левые части совпадают — это время движения от точки до точки . Приравнивая правые части, получаем соотношение, которое даёт нам метод решения уравнений с разделяющимися переменными.

5.3Сведение различных уравнений к автономным

В дальнейшем нас будут интересовать в основном системы автономных дифференциальных уравнений. Оказывается, другие типы уравнений к ним легко сводятся.

5.3.1Автономное уравнение из неавтономного

От неавтономного уравнения можно перейти к автономному, добавив дополнительную фазовую переменную (увеличив размерность на один). Действительно, рассмотрим систему
Введем дополнительную переменную и положим
Тогда систему (5.6) можно переписать в виде
И это уже автономная система.

5.3.2Автономное уравнение из уравнения высшего порядка

Рассмотрим пример, который мы обсуждали на первой лекции: свободное падение (см. параграф 1.1.3). Оно задаётся уравнением
Это уравнение второго порядка: оно содержит вторую производную. Оказывается, его можно свести к системе уравнений первого порядка. Для этого введем дополнительную переменную , которая будет обозначать скорость падения. Имеем:
Решение получившейся системы, очевидно, будет являться также решением исходного уравнения.
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py

plt.figure(figsize=(5,5))
ob.draw_axes(-10, 10, -10, 10, labels=("y", "v"))
fs = lambda x, y: (y,-10)
ob.mquiver(np.linspace(-10, 10, 15), np.linspace(-10, 10, 15), fs,
        color='Teal', headlength=7, scale=10, scale_units='x')
Рис. 5.1: Векторное поле уравнения свободного падения

Замечание 1. Как было показано в параграфе 4.4.1, если умножить все векторы векторного поля на одно и то же число, это не поменяет фазовые кривые. К тому же, векторы, хоть и рисуются стрелочками на фазовом пространстве, не принадлежат на самом деле фазовому пространству — они принадлежат пространству скоростей (математик скажет «касательному пространству»), масштаб на котором можно выбрать отличным от масштаба самого фазового пространства. Мы будем пользоваться этим фактом, выбирая этот масштаб подходящим с визуальной точки зрения образом.

Замечание 2. Фазовое пространство системы (5.8) двумерно: скорость становится второй фазовой переменной. Для уравнения (5.7) мы ранее не определяли понятие фазового пространства. Положим по определению, что оно совпадает с фазовым пространством системы (5.8). Заметим, что начальное условие системы (5.8) задаётся двумя числами: начальным положением мячика и его начальной скоростью. Аналогично начальное условие для уравнения (5.7) задаётся двумя числами: и . Это соответствует нашей интуиции: чтобы знать, где находится мячик в произвольный момент времени, нам нужно знать не только его начальное положение, но и начальную скорость.

5.3.3Уравнение колебаний осциллятора

Аналогично можно сводить и другие уравнения высших порядков к системам автономных уравнений. Рассмотрим ещё один пример.

Рассмотрим гармонический осциллятор: математическую модель колебаний, например, маятника, слабо отклонённого от положения равновесия, или шарика на пружинке. Его динамика в подходящих координатах описывается уравнением:

Для простоты мы будем считать, что . Тогда уравнение (5.9) соответствует следующей системе:
Его векторное поле изображено на рис. 5.2. Уже можно догадаться, какие кривые будут траекториями уравнения.
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py

plt.figure(figsize=(5, 5))
ob.axes4x4(labels=('x', 'y'))
fs = lambda x, y: (y, -x)
ob.mquiver(np.linspace(-4, 4, 15), np.linspace(-4, 4, 15),
           fs, color='Teal', headlength=7, scale=10, scale_units='x')
Рис. 5.2: Векторное поле осциллятора
Эта система, в свою очередь, соответствует неавтономному уравнению
Решим это уравнение: Итак, фазовыми кривыми системы (5.10) являются окружности. Нетрудно показать, что движение по каждой окружности является равномерным: действительно, вектор скорости равен , его длина равна радиусу окружности и следовательно постоянна.

Таким образом, движение осциллятора можно представлять себе не как колебания «влево-вправо», а как равномерное движение по окружности в подходящем фазовом пространстве.

5.4Ковекторы и дифференциальные 1-формы

Для дальнейшего нам понадобится вспомнить некоторые понятия из линейной алгебры.

Определение 1. Линейным функционалом или ковектором на -мерном векторном пространстве называется отображение , являющееся линейным, то есть таким, что для всяких и любого числа , верны равенства

Упражнение 1. Доказать, что пространство ковекторов на пространстве само является линейным пространством. Оно называется сопряжённым пространством к и обозначается . Найти его размерность.

Ранее мы рассматривали векторные поля: каждой точке в некотором множестве ставился в соответствие вектор. Теперь нам понадобятся ковекторные поля, также называемые дифференциальными 1-формами.

Определение 2. Дифференциальной 1-формой или ковекторным полем, заданным в области , называется отображение
Иными словами, дифференциальная 1-форма ставит в соответствие каждой точке из некоторый линейный функционал на .

Можно дать другое определение:

Определение 3. Дифференциальная 1-форма задаётся отображением линейным по второму аргументу.

Подробнее Определения 2 и 3 эквивалентны: можно зафиксировать точку и рассматривать как функцию второго аргумента: в силу линейности по второму аргументу, такая функция является линейным функционалом на . Таким образом, задаёт отображение из в .

Пример 1. Пусть и . Тогда отображение будет дифференциальной 1-формой, поскольку при фиксированных и она линейна по вектору .

Среди всех ковекторов выделяются координатные ковекторы, возвращающие некоторую координату вектора. Например, для вектора координатными ковекторами будут и . Здесь и — просто обозначения для указанных ковекторов, сейчас они не имеют отношения ни к каким производным.

Пользуясь координатными ковекторами, можно записать дифференциальную 1-форму из примера 1 в виде

В дальнейшем мы будем использовать именно такие обозначения.

5.4.1Дифференциальные 1-формы и поля направлений

Рассмотрим ковектор . Найдём множество всех векторов, на которых этот ковектор обнуляется, то есть множество решений уравнения
Если хотя бы один из коэффициентов , не равен нулю, это уравнение задаёт прямую , проходящую через . Если оба коэффициента равны нулю, любой вектор является решением этого уравнения: в этом случае говорят о вырожденном ковекторе (или вырожденной 1-форме).

Вопрос 1. Можно ли с помощью уравнения (5.18) задать вертикальную прямую?
  Нет, нельзя. Она же вертикальная!

А вот и можно!

  Можно, нужно положить .

Нет, так получится горизонтальная прямая: останется условие , то есть -координата нулевая.

  Можно, нужно положить , .

Верно! Останется условие , то есть -координата вектора нулевая, а значит вектор имеет вертикальное направление.

Мы показали, что любой невырожденный ковектор задаёт прямую. Рассмотрим теперь дифференциальную 1-форму

Для каждой точки , такой, что в ней функции и одновременно не обнуляются, форма задаёт некоторую прямую. Проведём теперь через каждую такую точку соответствующую прямую. Получим поле прямых (поле направлений), заданное дифференциальной 1-формой.

Упражнение 2. Рассмотрим дифференциальное уравнение
и поле направлений, заданное дифференциальной 1-формой:
Доказать, что поля направлений, соответствующих уравнениям (5.19) и (5.20), совпадают.