3Существование и единственность решений дифференциального уравнения

В этой главе мы обсудим главную теорему теории дифференциальных уравнений: теорему существования и единственности решений. Для начала мы сформулируем и докажем её в самом простом случае автономных уравнений на прямой.

3.1Автономные уравнения на прямой

Теорема 1. В некоторой окрестности любой точки существует и единственно решение задачи Коши
условие означает, что функция является непрерывно-дифференцируемой по крайней мере в некоторой окрестности точки (то есть имеет непрерывную первую производную). Единственность означает, что любое другое решение с таким же начальным условием совпадает с для всех из некоторой окрестности .

Доказательство. Рассмотрим два случая.

Неособая точка. Если точка является неособой, то есть , решение находится по формуле Барроу, которую мы обсуждали в предыдущей главе:

Из теоремы об обратной функции мгновенно следует, что это соотношение вблизи точки задаёт единственно возможную функцию . Действительно, пусть
Условие (3.2) запишется в виде
При этом по предположению. Следовательно, существует обратная функция , удовлетворяющая (3.2) и таким образом являющаяся решением задачи Коши (3.1).

Если вы не доверяете теореме об обратной функции, можно рассуждать так. Известно, что ; допустим для определённости (как говорят «без ограничения общности»), что (обратный случай рассматривается полностью аналогично). Поскольку функция непрерывна вблизи точки , существует её окрестность , на которой функция принимает только положительные значения. Таким же свойством обладает и функция , являющаяся подынтегральным выражением в (3.3). Следовательно, функция монотонно возрастает на . Следовательно, у неё существует обратная функция.

Рассмотрим теперь второй возможный случай.

Особая точка. Если , очевидно, решением является константа : в точке уравнение требует, чтобы производная решения была нулевой, то есть решение в этой точке не растёт и не убывает, а значит остаётся постоянным.

Вот такое доказательство. Убедительно?

Тут нужно сделать театральную паузу. А потом рассмотреть пример.

Пример 1. Рассмотрим задачу
Очевидно, функция является решением этой задачи. В то же время, функция также является решением. (Проверьте, что это так!)

Как так может быть? Мы доказали неверную теорему? Математика — сплошной обман?

А вот и нет. У нас просто ошибка в доказательстве: разбирая второй случай, мы сказали, что существует решение , но мы не доказали на самом деле, что других решений с таким начальным условием нет. Рассуждение о том, что решение с нулевой производной в некоторой точке «в этой точке не растёт и не убывает, а значит остаётся постоянным» легко опровергается: функция имеет нулевую производную в нуле, но при этом не является константой вблизи нуля.

Значит ли это, что теорема неверна? Снова нет. Теорема верна. Если вы внимательно посмотрите на её формулировку, то увидите, что уравнение, рассмотренное в примере, не удовлетворяет условию теоремы: правая часть не является гладкой функцией в точке : её производная там стремится к бесконечности.

Этот пример показывает, что требование -гладкости правой части в формулировке теоремы 1 является важным: если его выбросить, теорема оказывается неверной. (Впрочем, его можно ослабить: вместо гладкости требовать липшицевости правой части.) Если же это требование выполняется, теорема верна. Докажем это.

Доказательство теоремы 1 (дополнение). Для случая наше доказательство не имеет изъянов.

Пусть . Функция в этом случае всегда будет решением уравнения . Нам необходимо показать, что других решений не будет, то есть исключить ситуацию, когда решение принимает значение (быть может, на некотором отрезке по оси ), а затем «убегает» из этой точки. Мы докажем, что если , то «побег» запрещен.

Доказываем от противного: пусть удалось убежать из точки в какую-то точку , то есть существует решение , принимающее значение при и значение при каком-то другом . Возьмём какую-то точку между и . Поскольку решение непрерывно, должен существовать момент времени , в который мы окажемся в точке (то есть ). Посчитаем время , которое потребуется, чтобы от добраться до , см. рис. 3.1.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py

plt.axis([-1,5,-1,5])
ob.center_spines()
ob.mplot(np.linspace(1,5),lambda x: (x - 1)**2 / 2, 
         color='steelblue', linewidth=3)
ob.mplot(np.linspace(0,1),lambda x: 0, color='steelblue', 
         linewidth=3)
plt.text(4.8,0.2,"$t$",fontsize=15)
plt.text(0.1,4.7,"$x$",fontsize=15)
plt.plot([2.5, 2.5, 0], [0, 1.125, 1.125], 'k--', 
         [3.5, 3.5, 0], [0, 3.125, 3.125], 'k--',
         [0, 0], [1.125, 3.125], 'ro')
plt.text(0.1, 1.3, "$x_1$", fontsize=20)
plt.text(0.1, 3.3, "$x_2$", fontsize=20)
Рис. 3.1: План побега из точки (на картинке ).
По формуле Барроу, оно вычисляется следующим образом:

Утверждение 1. Если , то при .

Если мы это докажем, то придём к противоречию с предположением, что нам удалось убежать за конечное время из в какую-то другую точку: понятно, что и если вторая величина может быть сколь угодно большой, то первая не может быть конечным числом.

Лемма 1. Пусть , где — некоторый замкнутый отрезок, содержащий фиксированную точку , причём . Тогда существует такая константа , что для всех .

Смысл. Переводя на русский язык, можно сказать, что гладкая функция вблизи своего нуля растёт не быстрее, чем некоторая линейная функция. В это легко поверить. Предположим для простоты, что . Возьмём функцию , такую, что . Вблизи нуля она хорошо приближается касательной , хотя и может проходить чуть выше или чуть ниже касательной. Если построить прямую, наклон которой будет несколько больше, чем наклон касательной, то график функции окажется запертым между этой прямой и её отражением относительно горизонтальной оси. (См. рис 3.2.)

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py

plt.cla()
plt.axis([-4,4,-4,4])
ob.center_spines()
ob.mplot(np.linspace(-3,3),lambda x: 0.5 * x, 
         color="grey",
         label="tangent line")
ob.mplot(np.linspace(-3,3),lambda x: x, color="red")
ob.mplot(np.linspace(-3,3),lambda x: -x, color="red")
ob.mplot(np.linspace(-3,3),lambda x: 0.5 * (x**3+x))
plt.text(3.8,0.2,"$x$",fontsize=15)
plt.text(0.1,3.8,"$y$",fontsize=15)
plt.legend(loc=4)
Рис. 3.2: Оценка гладкой функции
Доказательство леммы 1. Поскольку функция является гладкой на , её производная непрерывна на том же отрезке; таким же свойством обладает функция . Следовательно, существует максимум на отрезке ; обозначим его через . Тогда

Упражнение 1. Привести доказательство этой же леммы, опирающееся на теорему Лагранжа о конечных приращениях.

Доказательство утверждения 1. Получив в лемме 1 оценку на сверху, мы получили оценку на снизу:
используем её теперь для доказательства расходимости интеграла (3.5):

3.2Общий случай

Результат, аналогичный теореме 1, справедлив и в общем случае. Мы приведём здесь только формулировку: доказательство этого фундаментального факта выходит за рамки нашего курса.

Теорема 2. Рассмотрим задачу Коши
где функция принимает значения в многомерном фазовом пространстве .

Существует такая окрестность , что на существует и единственно решение задачи (3.6).

Замечание 1. Может возникнуть вопрос, зачем эта «локальность» в формулировке теоремы: почему нельзя обойтись без окрестности ? Есть два ответа: во-первых, доказательство проводится именно таким образом, оно локальное; во-вторых — сформулировать сразу глобальное утверждение не так просто: мы уже сталкивались с ситуациями, когда уравнение, определённое на всей прямой, имеет решение, определённое только на некотором луче (например, ). Глобальный результат о решениях дифференциальных уравнений также можно сформулировать — мы сделаем это чуть позже.

3.3Метод разделения переменных: магия продолжается

В предыдущей главе мы обсудили, как решить уравнение вида . Сейчас мы научимся решать более широкий класс уравнений с помощью той же магии, которую использовали в прошлый раз. Рассмотрим уравнение
Оно называется «уравнением с разделяющимися переменными». Запишем его в виде:
Дальше магия:
Интегрируем:
Или, если была поставлена задача Коши с начальным условием , имеем:

Обоснование. Чтобы магия не казалось такой загадочной, приведём обоснование этого метода. Это не самое лучшее с моей точки зрения обоснование: в нём слишком много формул и слишком мало картинок. Чуть позже мы обсудим более геометрическое доказательство, но оно потребует дополнительных построений.

Итак, пусть — функция, удовлетворяющая соотношению (3.8). Продифференцируем почленно это соотношение по переменной .

Левую часть можно рассматривать как сложную функцию. По теореме о производной сложной функции:
Таким образом,
Что совпадает с исходным уравнением при .

Замечание 2. Как и в случае с формулой Барроу, при использовании метода разделения переменных есть риск потерять решения, связанные с обнулением функции . За этим надо аккуратно следить.