12Многомерные линейные уравнения с постоянными коэффициентами

12.1Оператор монодромии

Рассмотрим линейное уравнение
Ранее мы разобрали случаи уравнений на плоскости (когда ). Сегодня мы рассмотрим общий случай.

Когда мы рассматривали линейные системы на плоскости, у нас получалось, что решение задается в виде

где — некоторая матрица (зависящая от ), причём : см. уравнения (10.6) и (10.14) предыдущей главы. Это неспроста.

Пусть — решение уравнения (12.1) с начальным условием . Зафиксируем некоторое и рассмотрим отображение последования (оно также называется преобразованием фазового потока) за время :

То есть для каждой точки фазового пространства отобразим её туда, где она окажется через время .

Пример 1. Рассмотрим систему
Для неё
а в общем виде
или просто

Теорема 1. Для системы (12.1) и любого отображение является линейным.

Доказательство. Пусть и — некоторые векторы из фазового пространства . Тогда
Пусть . Функция является решением уравнения (12.1) (в силу линейности). При этом . Значит, это решение с начальным условием . Но решение с начальным условием задаётся функцией . Значит (по теореме о существовании и единственности), . Таким образом,
Аналогично проверяется и вторая аксиома линейности для . (Упражнение: завершить доказательство.)

Следствие 1. Пространство решений линейного дифференциального уравнения имеет такую же размерность, как фазовое пространство.

12.2Матричная экспонента

Таким образом, для решения уравнения (12.1) нам нужно будет найти матрицу (она иногда называется «матрицей монодромии»), которая задаёт решение. Как её найти? Если бы была не матрицей, а числом (вещественным и комплексным), мы бы мгновенно записали решение в виде экспоненты. Нельзя ли с матрицей сделать то же самое, то есть записать решение уравнения (12.1) в виде экспоненты от матрицы?
На первый взгляд, это кажется безумием. (Хотя возможно вас с ним уже познакомили на курсе линейной алгебры.) Что значит «возвести число в степень матрицы»? Ерунда какая-то. Впрочем, не большая ерунда, чем возведение числа в степень (вы ведь помните, что изначально возвести число в степень — это умножить его на себя сколько-то раз — как это можно сделать иррациональное число раз?). Так что может быть и с матрицей получится?

Напомним, что экспоненту от числа можно определить как сумму ряда

Оказывается, нет ничего невозможного в том, чтобы подставить в этот ряд матрицу . Действительно, чтобы посчитать значение этого ряда, нам нужно только уметь складывать матрицы и возводить их в натуральные степени — а это мы делать умеем. Итак, по определению,
Вы, безусловно, изучали анализ, и при взгляде на такую запись у вас неминуемо должен возникнуть вопрос: а почему этот ряд сходится? И всегда ли он сходится? Оказывается, да, сходится, причём всегда и, более того, абсолютно сходится. Мы не будем давать аккуратного доказательства, но наметим его основные шаги:
  1. Ввести норму на пространстве линейных операторов. Делается это так: пусть — норма вектора (то есть на фазовом пространстве какая-то норма введена). В этом случае определим норму оператора следующим образом:
  2. Доказать, что эта норма обладает следующим свойством:
  3. Доказать, что каждое слагаемое ряда (12.3) ограничено сверху по норме соответствующим слагаемым для ряда .
  4. Ряд для сходится абсолютно, а значит и ряд (12.3) тоже сходится абсолютно.

12.2.1Матричная экспонента даёт решение линейного уравнения

Покажем, функция, заданная формулой (12.2), является решением уравнения (12.1). Действительно,
Дифференцирование ряда допустимо, поскольку он сходится абсолютно (чего мы правда не доказали).

Вопрос 1. Правда ли, что ?
  Правда, потому что это верно для обычной экспоненты

Ну тогда попробуйте это доказать.

  Неправда.

Действительно, в отличие от чисел, матрицы не обязаны коммутировать по умножению. Поэтому ожидать выполнения этого равенства кажется странно: его левая часть не меняется от того, что мы поменяем и местами, а правая часть может и измениться. Подобрать теперь конкретный контрпример не очень сложно: сделайте это самостоятельно. На самом деле, именно отсутствие коммутирования для матриц не даёт нам доказать это утверждение.

12.2.2Нахождение матричной экспоненты

Утверждение 1. Справедливо следующее соотношение
Оно означает, что вычисление экспоненты корректно определено на пространстве операторов: оно «дружит» с заменой базиса.

Доказательство. Имеем:

Это означает, что для нахождения экспоненты можно перейти в «хороший» базис (например, собственный или на худой конец жорданов), найти экспоненту там, а затем перейти в исходный базис. Рассмотрим теперь два случая.

12.2.3Экспонента диагонализируемой матрицы

Пусть диагонализируема, то есть существует такая матрица , что диагональная. Обозначим её за . Тогда . Заметим, что
Решение уравнения (12.1) для диагонализируемой матрицы теперь представляется в виде:
где — начальное условие.

12.2.4Экспонента жордановой клетки

Если матрица не диагонализируема, то она по крайней мере приводится к жордановой нормальной форме. Рассмотрим случай жордановой клетки.

Пусть

Чтобы найти , заметим для начала, что
где — это нильпотентный оператор, матрица которого состоит из единичек на диагонали, сдвинутой на 1 вверх.

Заметим, что коммутирует с любой другой матрицей, в том числе и с матрицей . Можно показать (мы этого не делали), что благодаря коммутированию

Однако матрица нильпотентная, то есть существует такое , что . В этом случае ряд для экспоненты имеет лишь конечное число ненулевых слагаемых и становится полиномом:
Его можно посчитать явно, а значит можно найти экспоненту от жордановой клетки.

Замечание 1. Для нашего рассуждения требовалась только нильпотентность матрицы : тот факт, что она состоит именно из единиц, не является принципиальным. В частности, абсолютно аналогично можно вычислять экспоненту от матрицы, пропорциональной жордановой клетке.

Пример 2. Рассмотрим линейное уравнение на плоскости с оператором , имеющим совпадающие собственные значения (равные ), но не являющимся диагональным. Для нахождения решения по формуле (12.2) нам потребуется найти экспоненту от матрицы, пропорциональной жордановой клетке:
Фазовый портрет этой системы см. на рис. 10.7.

12.2.5Общий случай

Пусть ЖНФ матрицы имеет несколько клеток. Каждая из них соответствует некоторому инвариантному подпространству линейного оператора: оператор действует на различных инвариантных подпространствах независимо. Это означает, что мы можем вычислить экспоненту от каждой жордановой клетки и затем составить большую блочно-диагональную матрицу, состоящую из таких же блоков, как исходная (в ЖНФ).

Таким образом, мы можем вычислить экспоненту от любой матрицы — самым сложным этапом при этом является её приведение к ЖНФ и отыскание жорданова базиса.

Значит, мы умеем решать любые системы линейных уравнений!