3. Существование и единственность решений дифференциального уравнения

В этой главе мы обсудим главную теорему теории дифференциальных уравнений: теорему существования и единственности решений. Для начала мы сформулируем и докажем её в самом простом случае автономных уравнений на прямой.

1. Автономные уравнения на прямой

Теорема 1. В некоторой окрестности любой точки $t_0$ существует и единственно решение $x=x(t)$ задачи Коши
\[ \begin{equation} \tag{1} \dot x=f(x),\quad x(t_0)=x_0,\quad x(t)\in \mathbb R,\quad f\in C^1, \end{equation} \]
условие $f\in C^1$ означает, что функция $f$ является непрерывно-дифференцируемой по крайней мере в некоторой окрестности точки $x_0$ (то есть имеет непрерывную первую производную). Единственность означает, что любое другое решение с таким же начальным условием совпадает с $x(t)$ для всех $t$ из некоторой окрестности $t_0$.

Доказательство. Рассмотрим два случая.

Неособая точка. Если точка $x_0$ является неособой, то есть $f(x_0)≠0$, решение находится по формуле Барроу, которую мы обсуждали в предыдущей главе:

\[ \begin{equation} \tag{2} t-t_0=\int_{x_0}^x \frac{1}{f(y)} dy \end{equation} \]
Из теоремы об обратной функции мгновенно следует, что это соотношение вблизи точки $x_0$ задаёт единственно возможную функцию $x=x(t)$. Действительно, пусть
\[ \begin{equation} \tag{3} F(x)=\int^x_{x_0}\frac{d\xi}{f(\xi)}+t_0 \end{equation} \]
Условие (2) запишется в виде
\[ F(x) = t \]
При этом $F'(x_0)=\frac{1}{f(x_0)}≠0$ по предположению. Следовательно, существует обратная функция $x=F^{-1}(t)$, удовлетворяющая (2) и таким образом являющаяся решением задачи Коши (1).

Если вы не доверяете теореме об обратной функции, можно рассуждать так. Известно, что $f(x_0)≠0$; допустим для определённости (как говорят «без ограничения общности»), что $f(x_0)>0$ (обратный случай рассматривается полностью аналогично). Поскольку функция $f$ непрерывна вблизи точки $x_0$, существует её окрестность $U$, на которой функция $f$ принимает только положительные значения. Таким же свойством обладает и функция $\frac{1}{f}$, являющаяся подынтегральным выражением в (3). Следовательно, функция $F$ монотонно возрастает на $U$. Следовательно, у неё существует обратная функция.

Рассмотрим теперь второй возможный случай.

Особая точка. Если $f(x_0)=0$, очевидно, решением является константа $x=x_0$: в точке $x_0$ уравнение требует, чтобы производная решения была нулевой, то есть решение в этой точке не растёт и не убывает, а значит остаётся постоянным. ∎

Вот такое доказательство. Убедительно?

Тут нужно сделать театральную паузу. А потом рассмотреть пример.

Пример 2. Рассмотрим задачу
\[ \begin{equation} \tag{4} \dot x=x^{2/3},\quad x\ge 0,\quad x(0)=0 \end{equation} \]
Очевидно, функция $x(t)=0$ является решением этой задачи. В то же время, функция $x(t)=t^3/27$ также является решением. (Проверьте, что это так!)

Как так может быть? Мы доказали неверную теорему? Математика — сплошной обман?

А вот и нет. У нас просто ошибка в доказательстве: разбирая второй случай, мы сказали, что существует решение $x=x_0$, но мы не доказали на самом деле, что других решений с таким начальным условием нет. Рассуждение о том, что решение с нулевой производной в некоторой точке «в этой точке не растёт и не убывает, а значит остаётся постоянным» легко опровергается: функция $x=t^3$ имеет нулевую производную в нуле, но при этом не является константой вблизи нуля.

Значит ли это, что теорема неверна? Снова нет. Теорема верна. Если вы внимательно посмотрите на её формулировку, то увидите, что уравнение, рассмотренное в примере, не удовлетворяет условию теоремы: правая часть $f(x)=x^{2/3}$ не является гладкой функцией в точке $x=0$: её производная там стремится к бесконечности.

Этот пример показывает, что требование $C^1$-гладкости правой части в формулировке теоремы 1 является важным: если его выбросить, теорема оказывается неверной. (Впрочем, его можно ослабить: вместо гладкости требовать липшицевости правой части.) Если же это требование выполняется, теорема верна. Докажем это.

Доказательство теоремы 1 (дополнение). Для случая $f(x_0)≠0$ наше доказательство не имеет изъянов.

Пусть $f(x_0)=0$. Функция $x(t)=x_0$ в этом случае всегда будет решением уравнения $\dot x=f(x)$. Нам необходимо показать, что других решений не будет, то есть исключить ситуацию, когда решение принимает значение $x_0$ (быть может, на некотором отрезке по оси $y$), а затем «убегает» из этой точки. Мы докажем, что если $f\in C^1$, то «побег» запрещен.

Доказываем от противного: пусть удалось убежать из точки $x_0$ в какую-то точку $x_2$, то есть существует решение $x=x(t)$, принимающее значение $x_0$ при $t=t_0$ и значение $x_2$ при каком-то другом $t=t_2$. Возьмём какую-то точку $x_1$ между $x_0$ и $x_2$. Поскольку решение непрерывно, должен существовать момент времени $t_1\in (t_0, t_2)$, в который мы окажемся в точке $x_1$ (то есть $x(t_1)=x_1$). Посчитаем время $t_2-t_1$, которое потребуется, чтобы от $x_1$ добраться до $x_2$, см. рис. 1.

Рис. 1: План побега из точки $x_0$
По формуле Барроу, оно вычисляется следующим образом:
\[ \begin{equation} \tag{5} t_2-t_1 = \int_{x_1}^{x_2}\frac{dx}{f(x)} \end{equation} \]

Утверждение 3. Если $f\in C^1$, то $\int_{x_1}^{x_2}\frac{dx}{f(x)} \to \infty$ при $x_1 \to 0+$.

Если мы это докажем, то придём к противоречию с предположением, что нам удалось убежать за конечное время из $x_0$ в какую-то другую точку: понятно, что $t_2 - t_0 > t_2 - t_1$ и если вторая величина может быть сколь угодно большой, то первая не может быть конечным числом.

Лемма 4. Пусть $f\in C^1(B(x_0))$, где $B(x_0)$ — некоторый замкнутый отрезок, содержащий фиксированную точку $x_0$, причём $f(x_0)=0$. Тогда существует такая константа $C>0$, что $|f(x)|\le C|x-x_0|$ для всех $x\in B$.

Смысл. Переводя на русский язык, можно сказать, что гладкая функция вблизи своего нуля растёт не быстрее, чем некоторая линейная функция. В это легко поверить. Предположим для простоты, что $x_0=0$. Возьмём функцию $f(x)$, такую, что $f(0)=0$. Вблизи нуля она хорошо приближается касательной $y=f'(0)x$, хотя и может проходить чуть выше или чуть ниже касательной. Если построить прямую, наклон которой будет несколько больше, чем наклон касательной, то график функции окажется запертым между этой прямой и её отражением относительно горизонтальной оси. (См. рис 2.)

Рис. 2: Оценка гладкой функции
Доказательство леммы 4 . Поскольку функция $f$ является гладкой на $B(x_0)$, её производня $f'$ непрерывна на том же отрезке; таким же свойством обладает функция $|f'|$. Следовательно, существует максимум $|f'|$ на отрезке $B(x_0)$; обозначим его через $C$. Тогда
\[ f(x)=f(x_0)+\int_{x_0}^x f'(\xi) d\xi\le |x-x_0|\cdot \int_{x_0}^x M d\xi = C|x-x_0| \]

Упражнение 5. Привести доказательство этой же леммы, опирающееся на теорему Лагранжа о конечных приращениях.

Доказательство утверждения 3. Получив в лемме 4 оценку на $f(x)$ сверху, мы получили оценку на $1/f(x)$ снизу:
\[ \frac 1 {|f(x)|} \geq \frac 1 {C|x-x_1|} \quad \forall x \in \overset{\circ}{U}_\delta (x_0) \]
используем её теперь для доказательства расходимости интеграла (5):
\[ \int_{x_1}^{x_2}\frac 1 {|f(x)|} \geq \int_{x_1}^{x_2}\frac 1 {C|x-x_1|} \to \infty\quad \text{при } x_1 \to 0^+ \]

2. Общий случай

Результат, аналогичный теореме 1, справедлив и в общем случае. Мы приведём здесь только формулировку: доказательство этого фундаментального факта выходит за рамки нашего курса.

Теорема 6. Рассмотрим задачу Коши
\[ \begin{equation} \tag{6} \dot x = f(t, x),\quad x(t_0)=t_0,\quad f\in C^1, \end{equation} \]
где функция $x$ принимает значения в многомерном фазовом пространстве $\mathbb R^n$.

Существует такая окрестность $U\ni t_0$, что на $U$ существует и единственно решение $x\colon U\to \mathbb R^n$ задачи (6).

Замечание 7. Может возникнуть вопрос, зачем эта «локальность» в формулировке теоремы: почему нельзя обойтись без окрестности $U$? Есть два ответа: во-первых, доказательство проводится именно таким образом, оно локальное; во-вторых — сформулировать сразу глобальное утверждение не так просто: мы уже сталкивались с ситуациями, когда уравнение, определённое на всей прямой, имеет решение, определённое только на некотором луче (например, $\dot x=x^2$). Глобальный результат о решениях дифференциальных уравнений также можно сформулировать — мы сделаем это чуть позже.

3. Метод разделения переменных: магия продолжается

В предыдущей главе мы обсудили, как решить уравнение вида $\dot x=f(x)$. Сейчас мы научимся решать более широкий класс уравнений с помощью той же магии, которую использовали в прошлый раз.

Рассмотрим уравнение

\[ \begin{equation} \tag{7} \dot x=\frac{f(x)}{g(t)}. \end{equation} \]
Оно называется «уравнением с разделяющимися переменными». Запишем его в виде:
\[ \frac{dx}{dt}=\frac{f(x)}{g(t)} \]
Дальше магия:
\[ \frac{dx}{f(x)}=\frac{dt}{g(t)} \]
Интегрируем:
\[ \int\frac{dx}{f(x)}=\int\frac{dt}{g(t)} \]
Или, если была поставлена задача Коши с начальным условием $x(t_0)=x_0$, имеем:
\[ \begin{equation} \tag{8} \int_{x_0}^{x(t)}\frac{d\xi}{f(\xi)}=\int_{t_0}^t \frac{d\tau}{g(\tau)} \end{equation} \]

Обоснование. Чтобы магия не казалось такой загадочной, приведём обоснование этого метода. Это не самое лучшее с моей точки зрения обоснование: в нём слишком много формул и слишком мало картинок. Чуть позже мы обсудим более геометрическое доказательство, но оно потребует дополительных построений.

Итак, пусть $x=x(t)$ — функция, удовлетворяющая соотношению (8). Продифференцируем почленно это соотношение по переменной $t$.

\[ \frac{d}{dt}\int_{x_0}^{x(t)}\frac{d\xi}{f(\xi)}=\frac{d}{dt}\int_{t_0}^t \frac{d\tau}{g(\tau)} \]
Левую часть можно рассматривать как сложную функцию. По теореме о производной сложной функции:
\[ \frac{d}{dt}\int_{x_0}^{x(t)}\frac{d\xi}{f(\xi)}= \left(\frac{d}{dx}\int_{x_0}^{x}\frac{d\xi}{f(\xi)}\right)\dot x=\frac{\dot x}{f(x)} \]
Таким образом,
\[ \frac{\dot x}{f(x)}=\frac{1}{g(t)}, \]
Что совпадает с исходным уравнением при $f(x)≠0$.

Замечание 8. Как и в случае с формулой Баррой, при использовании метода разделения переменных есть риск потерять решения, связанные с обнулением функции $f$. За этим надо аккуратно следить.