In [1]:
%pylab inline
from nesode import *
Populating the interactive namespace from numpy and matplotlib

Дифференциальные уравнения

Совместный бакалавриат ВШЭ-РЭШ, 2013-14 учебный год

И. В. Щуров, П. Ф. Соломатин, И. А. Хованская, А. Петрин, Н. Солодовников

Лекция 8. Первые интегралы и теорема о выпрямлении

1. Выпрямление в размерности 2

Мотивирующий пример. Рассмотрим систему $$\dot x=x,\quad \dot y=-y$$ Нетрудно видеть, что функция $H(x,y)=xy$ является её первым интегралом, а фазовыми кривыми являются гиперболы.

In [2]:
mcontour(linspace(-4,4),linspace(-4,4),lambda x,y: x*y,list(arange(-15,15,1))+list(arange(-1,1,0.5)))    
axes4x4(labels=('x','y'))
vectorfield(arange(-4,4,0.5),arange(-4,4,0.5),lambda x,y: (x,-y))

Сделаем замену переменных: $(x,y)\mapsto (x,xy)=:(u,v)$. Заметим, что замена не взаимно однозначна: не всегда можно сделать обратное отображение. Напрмер, если $u=v=0$, то нет шансов восстановить $y$. Зато в области $x,y>0$ (следовательно $u,v>0$) отображение как раз однозначно. Произведя замену, мы получим новую систему такого вида:

$$\dot u=u,\quad \dot v=0$$

Фазовые кривые этой системы — прямые, а векторное поле — параллельные векторы. Таким образом, мы выпрямили векторное поле.

In [3]:
axes4x4(labels=('u','v'))
vectorfield(arange(-4,4,0.5),arange(-4,4,0.5),lambda x,y: (x,0*y))

Утверждение. В уравнениях на плоскости первый интеграл, если он существует, может быть выбран в качестве одной из новых фазовых переменных. В этом случае фазовые кривые выпрямляются.

Теорема 1. Пусть $\dot x = f(x,t)$, $x \in \mathbb R^n$ и поставлена задача Коши: $x(t_0)=x_0$. Пусть $x=\varphi (t,x_0)$ — решение уравнения с данным начальным условием. Если правая часть уравнения $f(x,t)\in C^k$ — гладка (имеет непрерывные производные до порядка k включительно), то решения $\varphi(t,x_0) \in C^{k-1}$-гладко зависят от начальных условий.

Теорема 2. Пусть $P=(x_0,y_0)$ — неособая точка векторного поля v: $(\dot x, \dot y) = v(x,y)$. Тогда в некоторой окрестности $U \ni (x_0,y_0)$ существуют координаты (криволинейные), такие, что в этих координатах векторное поле $v$ выпрямляется.

Доказательство. Идея доказательства: в качестве новой координаты возьмём проекцию вдоль траектории на вертикальную или горизонтальную прямую.

Давайте считать, что $v=(v_x,v_y)$, при этом $v_x(x_0,y_0)\ne 0$. Без ограничения общности, считаем, что $v_x |_P > C > 0$. (Случай, когда $v_x$ отрицательно, рассматривается аналогично.)

Пусть $y=\psi(x;x_1,y_1)$ — уравнение фазовой кривой, проходящей через точку $(x_1,y_1)\in U$. Фазовая кривая является графиком функции в области $U$, поскольку эту область можно выбрать достаточно маленькой, чтобы в ней выполнялась теорема существования и единственности для уравнения $dy/dx=v_y/v_x$, правая часть гладка и ограничена, поскольку $v_x$ отделена от нуля в области $U$.

In [4]:
axis('off')
mplot(linspace(-2,2),lambda x: x**2/10-0.5)
plot([0,0],[-2,2],color='red',lw=2)
mcontour(linspace(-2,2),linspace(-2,2),lambda x,y:x**2+y**2,levels=[4],linestyles='--')
plot([0,0,1],[0.5,-0.5,0.1-0.5],'o')
text(0.05,0.5,"$(x_0,y_0)$",fontsize=16)
text(1,-0.7,"$(x_1,y_1)$",fontsize=16)
text(-0.05,-.5,"$(x_0,z_1)$",fontsize=16,horizontalalignment="right",verticalalignment="top");

Проведем через точку $(x_1,y_1)$ фазовую кривую до точки пересечения с прямой $x=x_0$. Обозначим $y$-координату точки пересечения через $z_1$. Иными словами,

$$z_1=\psi(x_0;x_1,y_1)$$

В качестве новых координат точки $(x_1,y_1)$ возьмём $u=x_1,v=z_1$.

Нетрудно видеть, что разным точкам, лежащим на одной и той же фазовой кривой, соответствует одна и та же точка $(x_0, z_1)$, и значит одна и та же новая координата $v$. Таким образом, координата $v$ не меняется вдоль фазовой кривой.

Итак, в новых координатах уравнение принимает следующий вид:

$$\begin{cases} \dot u = v_u(u,v) \\ \dot v = 0 \end{cases}$$

Что и требовалось.

Замечание. Вообще говоря, необходимо доказать ещё, что выбранная замена координат невырожденна — отображение перехода от одних координат к другим имеет невырожденную матрицу Якоби. Чтобы это сделать, требуются дополнительные соображения, которые мы пока не обсуждали.

Следствие. Первый интеграл всегда существует (локально, вблизи неособой точки).

Доказательство следствия. После выпрямления, в качестве первого интеграла можно взять функцию $F(u,v)=v$.

2. Нормализация на прямой

Рассмотрим уравнение $$\dot x=v(x), \quad x \in \mathbb R^1$$ Утверждение. Вне окрестности особой точки это уравнение заменой неизвестной функции приводится к виду $$\dot u=1$$

Доказательство. Возьмём в качестве новой фазовой переменной время движения от фиксированной точки $x_0$ до $x$, которое равно $\int_{x_0}^x \frac {ds} {v(s)}$. Действительно, $\dot u = \frac{du}{dt}=\frac{du}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}=\frac{1}{v(x)} \cdot v(x)=1$.

Интерпретация. Если измерять расстояния в днях пути (такое часто практиковалось в древности), то скорость движения всегда равна «1 день в день».

Следствие. Если векторное поле можно выпрямить, его можно и нормализовать (на каждой прямой $v=const$ по-своему), и таким образом привести любую систему к виду

$$\dot u=1,\quad \dot v=0.$$