In [1]:
%pylab inline
from nesode import *
Populating the interactive namespace from numpy and matplotlib

Дифференциальные уравнения

Совместный бакалавриат ВШЭ-РЭШ, 2013-14 учебный год

И. В. Щуров, П. Ф. Соломатин, И. А. Хованская, А. Петрин, Н. Солодовников

Лекция 5. Ещё о многомерных уравнениях

Напоминание: автономные системы и неавтономные уравнения

Теорема А. Рассмотрим систему

$$\begin{equation}\tag{1} \begin{cases} \dot x=f(x,y)\\ \dot y=g(x,y) \end{cases} \end{equation}$$

Для любой точки $P=(x_0, y_0)$, такой, что $f(x_0,y_0)≠0$, фазовая кривая системы (1), проходящая через $P$, совпадает с интегральной кривой для уравнения

$$\begin{equation}\tag{2} \frac{dy}{dx}=\frac{g(x,y)}{f(x,y)} \end{equation}$$

Доказательство 1: аналитическое.

Пусть фазовая кривая системы (1) задаётся как вектор-функция $(x(t),y(t))$. В силу условия $f(x_0,y_0)\ne 0$, вблизи точки $P$ существует обратная функция к функции $x(t)$. Обозначим её через $t(x)$, её производная $t'(x)=1/\dot x$. Рассмотрим функцию $y=y(t(x))$, её график задаёт фазовую кривую (1). По теореме о производной сложной функции:

$$\frac{dy}{dx}=\dot y(t(x))t'(x)=\frac{\dot y}{\dot x}=\frac{g(x,y)}{f(x,y)}$$

Таким образом, кривая является интегральной для уравнения (2).

Наоборот, рассмотрим интегральную кривую (2), заданную функцией $y=y(x)$. Подставим её в первое из уравнений (1), получим автономное дифференциальное уравнение на $x$. Решая его, найдём зависимость $x(t)$. Рассмотрим теперь функцию $y(x(t))$. По теореме о производной сложной функции,

$$\dot y(x(t))=y'(x(t)) \dot x(t)=\frac{g(x,y)}{f(x,y)} f(x,y)=g(x,y)$$

.

Доказательство завершено.

Доказательство 2: геометрическое. Построим поле направления автономного дифференциального уравнения, а также поле направлений уравнения (2). Рассмотрим точку $(x_0,y_0)$, в ней поле направлений задается вектором $(f(x_0,y_0),g(x_0,y_0))$, поэтому «угловой коэффициент» этого вектора равен $\frac{g(x_0,y_0)}{f(x_0,y_0)}$. Заметим, что если взять поле направлений уравнения (2), то угловой коэффициент прямой, проведенной в точке $(x_0,y_0)$ будет равен тому же числу: $\frac{g(x_0,y_0)}{f(x_0,y_0)}$. По теореме о существовании и единственности, кривая, касающаяся в каждой своей точке соответствующего направления, единственна. Значит, фазовая кривая автономного уравнения и интегральная кривая неавтономного совпадают.

Этот принцип работает во всех точках, когда $f(x_0,y_0)\neq 0$. В точках, когда это не выполнено можно рассматривать другие координаты $(y,x)$, и получить горизонтальную прямую (вектор). Наконец, когда оба выражения обнуляются: $g(x_0,y_0)=f(x_0,y_0)= 0$ — то эта точка является особой, и в ней не определено поле направлений.

Прямые произведения и разделение переменных

Рассмотрим прямое произведение двух одномерных уравнений:

$$\begin{equation}\tag{3} \begin{cases} \dot x=f(x)\\ \dot y=g(y) \end{cases} \end{equation}$$

Соответствующее этой системе неавтономное уравнение имеет вид:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{g(y)}{f(x)}$$

Это уравнение с разделяющимися переменными. Теорема А даёт возможность нового доказательства корректности метода разделения переменных.

Пусть $f(x_0)\ne 0$ и $g(x_0)\ne 0$. Решая каждое из уравнений (3) по отдельности, имеем:

$$t-t_0=\int_{x_0}^x \frac{d\xi}{f(\xi)}$$$$t-t_0=\int_{y_0}^y \frac{ds}{g(s)}$$

Левые части совпадают — это время движения от точки $(x_0, y_0)$ до точки $(x,y)$. Приравнивая правые части, получаем соотношение, которое даёт нам метод решения уравнений с разделяющимися переменными.

Автономное уравнение из неавтономного

От неавтономного уравнения можно перейти к автономному, добавив дополнительную фазовую переменную (увеличив размерность на один). Действительно, рассмотрим систему

$$\begin{equation}\tag{4} \dot x=f(x,t),\quad x\in\mathbb R^n.\end{equation}$$

Введем дополнительную переменную $y$, и положим

$$\dot y=1$$

Тогда систему (4) можно переписать в виде

$$\begin{cases} \dot x=f(x,y)\\ \dot y=1 \end{cases}, \quad (x,y)\in\mathbb R^{n+1}$$

И это уже автономная система.

Автономное уравнение из уравнения высших порядков

Рассмотрим пример, который мы обсуждали на первой лекции: свободное падение. Оно задаётся уравнением

$$\ddot y=-g$$

Раньше мы обсуждали только первые производные, но этоо уравнение можно записать используя только первые производные. Для этого введем дополнительную переменную $v$, которая будет обозначать скорость падения. Имеем:

$$\begin{cases} \dot y=v\\ \dot v=-g \end{cases}$$

Решение получившейся системы, очевидно, будет являться также решением исходного уравнения.

In [11]:
axes4x4(labels=('x','y'))
rcParams['figure.figsize']=(5,5)
fs = lambda x,y: (y,-4)
mquiver(arange(-4,4,0.7),arange(-4,4,0.7),fs,color='red',linewidth=1,headwidth=3, headlength=4)

Уравнение колебаний осциллятора

Вспоминая курс физики, движение осциллятора (маятника) задается уравнением: $$\ddot x=-\lambda x$$

Уравнение соответствует следующей системе:

$$\begin{cases} \dot x=y\\ \dot y=-x\end{cases}$$
In [6]:
axes4x4(labels=('x','y'))
fs = lambda x,y: (y,-x)
mquiver(arange(-4,4,0.7),arange(-4,4,0.7),fs,color='red',linewidth=1,headwidth=3, headlength=4)

А эта система, в свою очередь, соответствует неавтономному уравнению

$$y'=-x/y$$

Мы решали это уравнение.

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$$$$y\,dy=-x\,dx$$$$\int y\,dy=-\int x\,dx$$$$\frac{y^2}{2}=-\frac{x^2}{2}+C$$

Как видим, движение маятника можно представлять себе не как движение "влево-вправо", а как равномерное движение по кругу в определенном пространстве.

Напоминнание: дифференциал функции нескольких переменных

Рассмотрим функцию нескольких (для простоты, двух) перменных:

$$F(x,y):\mathbb R^2 \to \mathbb R$$

Её дифференциал:

$$dF = \frac{\partial F}{\partial x}dx+\frac{\partial F}{\partial y}dy$$

Записанное выше равенство можно рассматривать как уравнение касательной плоскости: дифференциал показывает, насколько сильно (в первом приближении) изменилась функция, если мы сдвинули аргумент на некоторый вектор $v$. Подробнее, рассмотрим дифференциал в фиксированной точке $(x_0,y_0)$. Рассмотрим вектор $v=(v_x,v_y)$. Отложим этот вектор от точки $(x_0,y_0)$. Обозначим координаты его конца через $(x,y)=(x_0+v_x,y_0+v_y)$. Тогда $dx(v)=v_x=x-x_0$, $dy(v)=v_y=y-y_0$.

$$F(x,y)=F(x_0,y_0)+dF|_{(x_0,y_0)}(v)+o(|x|+|y|)$$

Вернемся к уравнению $$\frac{y^2}{2}=-\frac{x^2}{2}+C$$

Это равенство можно также записать в таком виде:

$$\frac{y^2}{2}+\frac{x^2}{2}=C$$

Заметим, что если посчитать дифференциал функции, стоящей сейчас в левой части, то получится дифференциальная форма, задающая наше уравнение:

$$y\,dy+x\, dx=0$$

Определение. Уравнение

$$g(x,y) dx+f(x,y) dy=0$$

называется уравнением в полных дифференциалах, если форма, стоящая в левой части, является дифференциалом некоторой функции $H(x,y)$. Иными словами, $\exists H(x,y): dH = g \cdot dx+f\cdot dy$

В этом случае интегральные кривые совпадают с линиями уровня функции $H(x,y)$.

Действительно, рассмотрим уравнение $dH=0$. В произвольной точке $(x_0,y_0)$, это уравнение задаёт такую прямую, что сдвиг аргумента вдоль этой прямой не меняет значение функции $H$ в первом приближении. Иными словами, эта прямая — пересечение касательной плоскости с плоскостью $z=const$. Линия, на которой $H$ постоянна, называется её линией уровня. Прямая $dH=0$ задаёт таким образом касательную к линии уровня.

Теорема: Если $f$ и $g$ не обращаются в ноль в некоторой окрестности $U$ точки $(x_0,y_0)$, то в ней существует функция $I(x,y)$ (интегрирующий множитель), такое что уравнение $g \cdot dx + f \cdot dy =0$ становится уравнением в полных дифференциалах после того, как мы домножим его на $I$, то есть $\exists I$ такое, что $I(g \cdot dx + f \cdot dy) = dH$

Замечание. В большинстве случаев нет хорошего универсального метода отыскания интегрирующего множителя. В общем случае, эта задача — такая же сложная, как задача решения исходного уравнения. Однако, есть некоторые приёмы, которые позволяют угадывать интегрирующий множитель в некоторых ситуациях.