In [1]:
%pylab inline
from nesode import *
Populating the interactive namespace from numpy and matplotlib

Дифференциальные уравнения

Совместный бакалавриат ВШЭ-РЭШ, 2013-14 учебный год

И. В. Щуров, П. Ф. Соломатин, И. А. Хованская, А. Петрин, Н. Солодовников

Комментарии по ДЗ№1: несколько слов про ковекторы и дифференциальные формы

Определение. Пусть $V$ — линейное пространство. Ковектором назыается линейный функционал на $V$, то есть такая функция $\varphi \colon V \to \mathbb{R}$, что выполнены свойства: $$\forall u,v \in V, \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}$$

  1. $\varphi(u+v) = \varphi(u) + \varphi(v)$
  2. $\varphi(\lambda u) = \lambda \varphi(u)$

Например, рассмотрим $\varphi: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ и пусть вектор $v$ имеет координаты $(v_x, v_y)$:

  1. $\varphi(v)=0$ является ковектором (линейным функционалом)
  2. $\varphi(v)=v_x+v_y$ — линейный функционал
  3. $\varphi(v)=v_x^2$ — не является линейным функционалом.

Определение. Дифференциальная 1-форма — это ковектор, зависящий от точки $P \in U \subset V$, где $U$ — некоторая область в линейном пространстве $V$.

Можно считать, что дифференциальная 1-форма — это то же самое, что функция двух аргументов $\omega(P,v)$, линейная по второму аргументу, $P \in U$, $v \in V$. Тогда если зафиксировать первый аргумент (подставить какую-то конкретную точку), получится функция, зависящая линейно от $v$, то есть ковектор.

Пример: $P=(x,y)$, $V = (v_x,v_y)$; $w(P,V) = x \cdot v_x + (x^2 + y^2) \cdot v_y$

Если теперь из каждой точки $(x_1, y_1)$ отложить все возможные векторы, обнуляющие форму (то есть её ядро), получится поле прямых. Например, через точку $(1,1)$ будет проходить прямая, задаваемая соотношением

$$v_x+2 v_y=0.$$

То есть прямая с наклоном $-1/2$.

Аналогично через каждую точку можно провести свою прямую, причём её наклон будет зависеть от точки. (Можно представлять себе это таким образом: в каждую точку плоскости воткнута маленькая стрелка, как в компасе, указывающая в своём направлении, которое зависит от точки. При этом разные прямые никак не «взаимодействуют» друг с другом.) Мы сталкивались с похожим объектом, когда поля прямых (поля направлений) для дифференциального уравнения.

Лекция 3. Существование и единственность решений: одномерное фазовое пространство

Теорема. В некоторой окрестности любой точки $t_0$ существует и единственно решение задачи Коши $$\dot x=f(x),\quad x(t_0)=x_0,\quad x(t)\in \mathbb R,\quad f\in C^1,$$ последнее условие означает, что функция $f$ является непрерывно-дифференцируемой по крайней мере в некоторой окрестности точки $x_0$ (то есть имеет непрерывную производную).

Доказательство. Если $f(x_0)≠0$, решение находится по формуле Барроу: $$t-t_0=\int_{x_0}^x \frac{1}{f(\xi)} d\xi$$ Правая часть является строго монотонной функцией по $x$, поскольку под интегралом стоит знакоопределенная функция, и значит из этого уравнения можно выразить зависимость $x(t)$ по теореме об обратной функции.

Пояснение: Пусть $F(x)=\int^x_{x_0}\frac{d\xi}{f(\xi)}$. Тогда $F(x)$ монотонна вблизи $x_0$: Если $f(x_0)>0$, то $\frac 1 {f(x_0)} >0$; из непрерывности $f$ следует, что $f(x)>0$ вблизи $x_0$ $\Rightarrow$ $\frac 1 {f(x)}>0$ вблизи $x_0$ $\Rightarrow$ $F(x)$ возрастает вблизи $x_0$. Аналогично рассматривается случай $f(x_0)<0$.

Если $f(x_0)=0$, решением является константа $x=x_0$.

Контрпример

Рассмотрим задачу

$$\dot x=x^{2/3},\quad x\ge 0,\quad x(0)=0$$

Очевидно, функция $x(t)=0$ является решением этой задачи. В то же время, функция $x(t)=t^3/27$ также является решением. Как так?

А вот так.

Утверждение о единственности верно только в том случае, когда правая часть гладкая (вернее, липшицева). В этом случае $1/f(x)$ стремится к бесконечности вблизи нуля $f(x)$ не медленнее, чем $O(1/x)$, и интеграл расходится.

Исправление доказательства

Пусть $f(x_0)=0$. Функция $x(t)=x_0$ в этом случае всегда будет решением уравнения $\dot x=f(x)$. Нам необходимо показать, что других решений не будет, то есть исключить ситуацию, когда решение принимает значение $x_0$ (быть может, на некотором отрезке по оси $y$), а затем «убегает» из этой точки. Мы докажем, что если $f\in C^1$, то «побег» запрещен. Доказываем от противного: пусть удалось убежать из точки $x_0$ в какую-то точку $x_2$. (То есть существует решение, принимающее значение $x_0$ при каком-то $y$ и значение $x_2$ при каком-то другом $y$.) Возьмём какую-то точку $x_1$ между $x_0$ и $x_2$ и посчитаем время, которое потребуется, чтобы от $x_1$ добраться до $x_2$. (См. картинку ниже.)

По формуле Барроу, оно вычисляется следующим образом:

$$\int_{x_1}^{x_2}\frac{dx}{f(x)}$$

In [2]:
axis([-1,5,-1,5])
center_spines()
mplot(linspace(1,5),lambda x: (x-1)**2/2, color='blue', linewidth=3)
mplot(linspace(0,1),lambda x: 0, color='blue', linewidth=3)
text(4.8,0.2,"$t$",fontsize=15)
text(0.1,4.7,"$x$",fontsize=15)
plot([2.5,2.5,0],[0,1.125,1.125],'k--',[3.5,3.5,0],[0,3.125,3.125],'k--',[0,0],[1.125,3.125],'ro')
text(0.1,1.3,"$x_1$",fontsize=20)
text(0.1,3.3,"$x_2$",fontsize=20)
Out[2]:
<matplotlib.text.Text at 0x43cfc90>

Утверждение: Если $f\in C^1$, то $\int_{x_1}^{x_2}\frac{dx}{f(x)} \to \infty$ при $x_1 \to 0+$.

Если мы это докажем, то придём к противоречию с предположением, что нам удалось убежать за конечное время из $x_1$ в какую-то другую точку

Лемма: Если $f\in C^1$, $f(0)=0$ $\exists \delta>0 \exists C>0 \forall x \in U_\delta (0): |f(x)|\leq C \cdot |x|$. (Если $f\in C^1$ и $f(x_0)=0$, то для некоторой окрестности $U=U_\delta(x_0)$ существует такая константа $C>0$, что $|f(x)|\le C|x-x_0|$ для всех $x\in U$.)

Смысл. Переводя на русский язык, можно сказать, что гладкая функция вблизи своего нуля растёт не быстрее, чем некоторая линейная функция. В это легко поверить. Возьмём функцию $f(x)$, такую, что $f(0)=0$. Вблизи нуля она хорошо приближается касательной $y=f'(0)x$, хотя и может проходить чуть выше или чуть ниже касательной. Если построить прямую, наклон которой будет несколько больше, чем наклон касательной, то график функции окажется запертым между этой прямой и её отражением относительно горизонтальной оси. (См. картинку ниже.)

Доказательство. $f(x)=f(x_0)+\int_{x_0}^x f'(\xi) d\xi\le |x-x_0|\cdot \max_{x\in U} f'(x)$

Упражнение. Привести доказательство этой же леммы, опирающееся на теорему Лагранжа о конечных приращениях.

In [4]:
axis([-4,4,-4,4])
center_spines()
rcParams["figure.figsize"]=(8,6)
mplot(linspace(-3,3),lambda x: 0.5*x, color="grey",label=u"tangent line")
mplot(linspace(-3,3),lambda x: x, color="red")
mplot(linspace(-3,3),lambda x: -x, color="red")
mplot(linspace(-3,3),lambda x: 0.5*(x**3+x))
text(3.8,0.2,"$x$",fontsize=15)
text(0.1,3.8,"$y$",fontsize=15)
legend()
Out[4]:
<matplotlib.legend.Legend at 0x4cc5b90>

Окончание доказательства утверждения.

$$\frac 1 {|f(x)|} \geq \frac 1 {C|x-x_1|} \quad \forall x \in \overset{\circ}{U}_\delta (0)$$ $$ \int_{x_1}^{x_2}\frac 1 {|f(x)|} \geq \int_{x_1}^{x_2}\frac 1 {C|x-x_1|} \to \infty\quad \text{as } x_1 \to 0^+$$

Что и требовалось.

Метод разделения переменных: магия продолжается

Обсуждалось на семинаре, приводится в конспекте лекции для полноты изложения

На прошлой лекции мы обсудили, как решить уравнение вида $\dot x=f(x)$. Сегодня мы научимся решать более широкий класс уравнений с помощью той же магии, которую использовали в прошлый раз.

Рассмотрим уравнение $$\dot x=\frac{f(x)}{g(t)}$$

Запишем его в виде: $$\frac{dx}{dt}=\frac{f(x)}{g(t)}$$ Дальше магия: $$\frac{dx}{f(x)}=\frac{dt}{g(t)}$$ Интегрируем: $$\int\frac{dx}{f(x)}=\int\frac{dt}{g(t)}$$ Или, если была поставлена задача Коши с начальным условием $x(t_0)=x_0$, имеем: \begin{equation}\tag{1} \int_{x_0}^{x(t)}\frac{d\xi}{f(\xi)}=\int_{t_0}^t \frac{d\tau}{g(\tau)} \end{equation}

Обоснование

Пусть $x(t)$ — функция, удовлетворяющая соотношению (1). Продифференцируем почленно соотношение (1) по переменной $t$.

$$\frac{d}{dt}\int_{x_0}^{x(t)}\frac{d\xi}{f(\xi)}=\frac{d}{dt}\int_{t_0}^t \frac{d\tau}{g(\tau)}$$ Левую часть можно рассматривать как сложную функцию. По теореме о производной сложной функции: $$\frac{d}{dt}\int_{x_0}^{x(t)}\frac{d\xi}{f(\xi)}=\left(\frac{d}{dx}\int_{x_0}^{x}\frac{d\xi}{f(\xi)}\right)\dot x=\frac{\dot x}{f(x)}$$

Таким образом, $$\frac{\dot x}{f(x)}=\frac{1}{g(t)},$$

Что совпадает с исходным уравнением при $f(x)≠0$.