In [14]:
%pylab inline
from nesode import *
from itertools import product
Populating the interactive namespace from numpy and matplotlib

Дифференциальные уравнения

Совместный бакалавриат ВШЭ-РЭШ, 2013-14 учебный год

И. В. Щуров, П. Ф. Соломатин, И. А. Хованская, А. Петрин, Н. Солодовников

Лекция 14. Устойчивость

Важный вопрос, который можно задавать о дифференциальных уравнениях: насклолько сильно отклоняется решение при небольшом отклонении начального условия. На конечных промежутках времени на этот вопрос отвечает уравнение в вариациях (мы рассматривали его простейшую версию, когда обсуждали линейные уравнения первого порядка). Чтобы обсуждать это на бесконечных промежутках времени, нужно ввести новые понятия. Чем мы и займёмся.

Ранее мы обсуждали, что положения равновесия бывают устойчивыми и неусточивыми. Неформально говоря, неустойчивое положение равновесия — это такое, малое отклонение начального условия от которого приводит со временем к большому отклонению решения.

Примеры. Седло, неустойчивый узел, неустойчивый фокус.

Какие положения равновесия можно назвать устойчивыми? Очевидно, устойчивый узел, устойчивый фокус хочется назвать устойчивым положением равновесия.

Ранее мы также называли устойчивым положение равновесия, в котором находится «шарик в лунке» или маятник в положении покоя. Им соответствуют особые точки типа «центр».

Упражнение (очень полезно сделать его до продолжения чтения). Придумайте определение устойчивоси равновесия.

Придумываем определение устойчивости: Исследуем особую точку системы $\dot z = v(z)$, $v(z_*)=0$. Пусть $z=\varphi(t,z_0)$ — решение с н.у. $\varphi(0,z_0)=z_0$.

Попытка 1. Для близких начальных условий $\lim_{t\to \infty} \varphi$ является конечным. (Вариант: равен самой особой точке.) Это не то определение, которое мы хотим, потому особая точка типа «центр» хотелось бы считать устойчивой (ведь мы всегда «недалеко» уйдем от особой точки при малых начальных отклонениях), а предела, очевидно, нет.

Попытка 2. Для близких начальных условий, решение не уходит далеко, то есть $\rho(\varphi(t,z_0), z_*) \leq M$, где $\rho(x,y)$ — расстояние (в какой-то метрике) между $x$ и $y$, а $M$ — какая-то константа. Но тогда тогда «устойчивой» станет особая точка типа «неустойчивый фокус», если траектории этого фокуса будут наматываться на какую-нибудь окружность (так называемый «предельный цикл»)

In [20]:
axes4x4(labels=('x','y'))
rcParams['figure.figsize']=(6,6)
for r, t0 in [(1,-5),(4,0)]:
    phaseportrait(
                  lambda X, t=0: 
                  array(
                        [X[0]+2*X[1]-0.125*X[0]*(X[0]**2+X[1]**2),-2*X[0]+X[1]-0.125*X[1]*(X[0]**2+X[1]**2)]
                        ), [[r*sin(t),r*cos(t)] 
                            for t in arange(0,2*pi,pi/3)], 
                  [t0,5], n=200,color='blue')

Ну что же, а тут из зала уже прозвучало правильное определение:

Определение. Особая точка называется устойчивой по Ляпунову, если $$\forall \varepsilon >0 \exists \delta >0: \forall z_0 \in U_\delta (z_*) \, \forall t>0 \quad \varphi (t, z_0) \in U_\epsilon(z_*)$$

Иными словами, особая точка устойчивая, если близкие к ней точки уходят от неё не слишком далеко. То есть для всякой целевой окрестности можно выбрать окрестность поменьше, такую, что все траектории, стартующие в этой маленькой окрестности, не покинут целевую. Условие о том, что рассматриваются только значения $t>0$, очень важное — нас интересует, что происходит в прямом времени (при $t\to +\infty$), а не в обратном.

Примеры

Сначала рассмотрим тривиальный устойчивый узел. Здесь когда нам дали $\varepsilon$, мы можем сделать $\delta = \varepsilon$ и радоваться: все точки все равно не выйдут за $\varepsilon$-окрестность.

In [22]:
axes4x4(labels=('x','y'))
rcParams['figure.figsize']=(6,6)
phaseportrait(lambda X, t=0: array([-X[0],-X[1]]), product(linspace(-8,8,15),[-2,2]), [-5,5], n=50)
def circ(x,y):
    return y**2/2+x**2/2
mcontour(linspace(-5,5,300),linspace(-5,5,300),circ, levels=[4],linewidths=1, colors = 'black')

Рассмотрим далее особую точку типа «центр». Её траекториями могут быть достаточно вытянутые эллипсы, которые, в принципе, могут как приближаться, так и удаляться от особой точки.

In [24]:
axes4x4(labels=('x','y'))
phaseportrait(lambda X, t=0: array([7.0*X[0]-9.0*X[1],9*X[0]-7.0*X[1]]), 
              [[x,x] for x in linspace(0,20,20)], [-2,2], n=150)
sirc=lambda x,y:y**2/2+x**2/2
data = [(4,'black'),(1,'red'),(.2,'purple')]
for level, color in data:
    mcontour(linspace(-5,5,300),linspace(-5,5,300),sirc, levels=[level],linewidths=2, colors = color)

Тем не менее, особая точка является устойчивой по Ляпунову. Действительно, если нам дали черную окрестностью, то красной окрестности будет недостаточно: есть вторая по счету траектория, которая выйдет из черной окружности. Зато фиолетовой окружности нам хватит: выбирая любое начальное условие внутри фиолетового круга мы никогда не сможем выйти за черный круг.

Кроме того давайте рассмотрим особую точку вида седло:

In [25]:
axes4x4(labels=('x','y'))
phaseportrait(lambda X, t=0: array([-3*X[0]+5*X[1],5*X[0]-3*X[1]]), product(linspace(-8,8,19),[-3,3]), [-5,5], n=200)
sirc=lambda x,y:y**2/2+x**2/2
mcontour(linspace(-5,5,300),linspace(-5,5,300),sirc, levels=[4],linewidths=2, colors = 'black')

Достаточно очевидно, что какую бы окрестность $\delta$ мы бы ни выбрали бы, по (почти) любой траектории мы «улетим» за границы черного круга, поэтому седло неустойчиво по Ляпунову. Это верно для всех траекторий, кроме входящих сепаратрис. Впрочем, чтобы продемонстрировать, что особая точка неустойчива по Ляпунову, достаточно было бы иметь хотя бы одну траекторию, по которой можно уйти из любой окрестности особой точки на какое-то фиксированное расстояние.

Асимптотическая устойчивость

Кроме устойчивости по Ляпунову нам понадобится ещё одно определение устойчивости: оно обрабатывает случай, когда особая точка вида «центр» не считается устойчивой, поскольку близкие к особой точке траектории не стремятся к ней.

Определение. Особая точка $z_*$ называется асимптотически услойчивой, если она устойчива по Ляпунову и $$ \exists \delta >0, \forall z_0 \in U_\delta(z_*) \quad \lim_{t\to\infty} \varphi(t,z_0) = z_* $$

При первом взгляде на условие студенты задаются вопросом: почему требуется условие на устойчивость по Ляпунову. На это есть контрпример, когда второе условие выполняется, но точка неустойчива по Ляпунову.

Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. - Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2000.

Как видно из картинки, предел существует, но начиная с опреленного размера круга мы обязательно выйдем за его пределы, какую бы $\delta$ мы бы ни выбрали.

Теорема. Об устойчивости по первому приближению.

Рассматриваем дифференциальное уравнение $\dot z = v(z)$, пусть у него есть особая точка $z_*$, $v(z_*)=0$. Рассмотрим матрицу Якоби: $A = \left. \frac{\partial v}{\partial z} \right|_{z_*}$. Пусть собственные значения матрицы $A$ равны $\lambda_1 , \dots, \lambda_n$.

  1. $Re (\lambda_i) <0 \quad \forall i $. Тогда особая точка асимптотически устойчива.
  2. Хотя бы одна $Re (\lambda_i) >0$. Тогда особая точка не устойчива по Ляпунову.

Это условие достаточно узкое: не рассматриваются ни случаи, когда собственные значения чисто мнимые, ни случаи, когда хотя бы одно собственное значение нулевое. Но если выполняется хотя бы одно из выражений, то мы можем быть уверенными в результате. Мы не будем это доказывать, но в это достаточно легко поверить, если вспомнить линыйные уравнения, а также поверить, что линейная часть уравнения в окрестности особой точки хорошо приближает настоящее уравнение.

Набросок доказательства для линейных уравнений.

Начнём со второй части. Если есть хотя бы одно собственное значение $\lambda_j$ с положительной вещественной частью, ему соответствует некоторый собственный вектор $v$ и у уравнения есть решение вида $c e^{\lambda_j t} v$. Если $Re \lambda_j>0$, экспонента возрастает при $t\to +\infty$, и существует далеко уходящее решение со сколь угодно близким к началу координат начальным условием (параметр $c$ можно делать сколь угодно маленьким).

Если же все собственные числа находятся в левой полуплоскости, вдоль всех направлений идёт приближение к нулю, и особая точка асимптотически устойчива.