In [2]:
%pylab inline
from nesode import *
rcParams['figure.figsize']=(6,6)
from itertools import product
Populating the interactive namespace from numpy and matplotlib

Дифференциальные уравнения

Совместный бакалавриат ВШЭ-РЭШ, 2013-14 учебный год

И. В. Щуров, П. Ф. Соломатин, И. А. Хованская, А. Петрин, Н. Солодовников

Линейные уравнения на плоскости: случай комплексных собственных значений

Краткое напоминание про комплексные числа

Напомним, что комплексные числа — это числа вида $z=x+iy$, где $i^2=-1$. Множество комплексных чисел $\mathbb C$ обычно изображается в виде плоскости — и, более того, оно является двумерной вещественной плоскостью (с дополнительной структурой, заданной умножением на число $i$). Можно говорить, что $\{z\}=\mathbb C \simeq \mathbb R^2$. В качестве базиса можно взять 1 и $i$.

Напомним также $e^{ix}=\cos x + i\sin(x)$ (доказательство тривиально, воспользуясь рядом $e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$). Пользуясь этим мы можем записать комплексное число в полярной форме: $z=r e^{i \varphi}$, $z=|z|$ - радиус, $\varphi=\arg z$ — угол.

В то же время, если рассматривать $\mathbb C$ как комплексное линейное пространство (то есть разрешить коэффициентам тоже быть комплексными), элементы 1 и $i$ станут комплексно-зависимыми (т.к. $i\cdot i+1=0$), и пространство станет одномерным. Таким образом, $\mathbb C$ — комплексная прямая.

По аналогии с $\mathbb R^n$ можно рассматривать $\mathbb C^n$ — комплексное $n$-мерное пространство.

Уравнения с комплексным фазовым пространством

Можно рассматривать дифференциальные уравнения вида $$\dot z=f(z,t),$$ где $z\colon \mathbb R\to \mathbb C$ — комплекснозначная функция (или вектор-функция) вещественного времени, $f(z,t)$ — комплекснозначная функция двух переменных (комплексной и вещественной).

По правде говоря, можно (и нужно) рассматривать дифференциальные уравнения и с комплексным временем $t$ тоже, но тогда есть риск уйти в четырёхмерное пространство и не вернуться. Мы не будем этого делать.

Рассмотрим простейшее нетривиальная комплексное уравнение $$\tag{1} \dot z=iz$$

Как и его вещественный аналог, оно имеет решение

$$\tag{2} z(t)=z_0e^{it}.$$

Действительно, правила дифференцирования сложной функции в комплексных числах никто не отменял, и поэтому $\frac{d}{dt}e^{it}=ie^{it}$.

Если кто-то не верит, тот может продиффернцировать формулу $e^{it}=\cos t+i\sin t$ и убедиться, что это так. Если кто-то не верит и в эту формулу, тот может взять ряд для экспоненты и подставить в него $it$.

Пусть теперь $z_0=x_0+iy_0$ и $z(t)=x+iy(t)$. Тогда уравнение (1) можно представить в виде

$$\dot x+i\dot y=ix-y$$

Или, приравнивая действительную и мнимую части:

$$\tag{1r} \dot x=-y,\quad \dot y=x$$

Или в матричной форме

$$\tag{1m} \begin{pmatrix} \dot x(t)\\ \dot y(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&-1\\ 1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} $$

А решение (2) представляется в виде

$$\tag{2r} x(t)+iy(t)=(\cos t+i\sin t)(x_0+iy_0)=(x_0\cos t-y_0\sin t)+i(x_o\sin t+y_0\cos t)$$

Или в матричной форме $$\tag{2m} \begin{pmatrix} x(t)\\ y(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos t&-\sin t\\ \sin t&\cos t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} $$

Матрица, стоящая в правой части (2m) — матрица поворота на угол $t$. Таким образом, фазовые кривые системы (1r) — окружности. (Мы и раньше об этом догадывались, да. Но зато теперь мы знаем нечто большее: мы знаем, что движемся по этим окружностям с угловой скоростью 1.)

Заметим наконец, что собственные значения матрицы в уравнении (1m) равны $i$ и $-i$. И это неспроста.

Рассмотрим теперь чуть более сложное комплексное уравнение

$$\dot z=(\alpha + \omega i) z$$

Его решением по-прежнему будет экспонента $$z(t)=z_0 e^{(\alpha+i\omega)t}.$$

Проделаем то же самое, что мы сделали выше (раскроем скобки, приравниваем вещественную и мнимую часть):

$$\tag{3m} \begin{pmatrix} \dot x(t)\\ \dot y(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha&-\omega\\ \omega&\alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} $$

И решение

$$\tag{4m} \begin{pmatrix} x(t)\\ y(t) \end{pmatrix} = e^{\alpha t}\begin{pmatrix} \cos \omega t&-\sin \omega t\\ \sin \omega t&\cos \omega t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} $$

Упражнение: докажите это точно также, как мы доказали соответствующий факт выше.

Упражнение: Нарисуйте какую-нибудь фазовую кривую. Как она выглядит? (Ответ в конце конспекта.)

Найдем собственные значения матрицы (3m): $$(\alpha-\lambda)^2+\omega^2=0$$ $$(\alpha - \lambda)^2-(i\omega)^2=0$$ $$(\alpha-\lambda-i\omega)(\alpha-\lambda+i\omega)=0$$ $$\lambda_{1,2}=\alpha \pm i\omega$$

Это тоже неслучайно: мы показали, что комплексному уравнению соответствует вещественное уравнение с комплексными собственными значениями!

Теперь мы умеем решать уравнения с матрицей как в (3m). Можно ли привести к такому виду любую вещественную матрицу с комплексными собственными значениями? Оказывается, можно.

Лемма. Пусть A — вещественный оператор, и $Av=(\alpha + i \omega)v$, $v$ — собственный вектор для собственного значения $\alpha + i\omega$, $\omega \neq 0$. Тогда $(\alpha - i \omega)$ — тоже собственное значение А.

Доказательство: Напомним понятие комплексно сопряженного числа. Если $z=\alpha+i \omega$, то сопряженное ему комплексное число $\overline z = \alpha - i \omega$ $$\overline{Av}= \overline{(\alpha + i \omega)v}$$ $$\overline{A} \cdot \overline{v}= (\alpha - i \omega)\overline{v}$$ $$A \cdot \overline{v}= (\alpha - i \omega)\overline{v}$$ Переход к последнему равенству использует тот факт, что $A$ — вещественный оператор (можно думать о нём как о матрице с вещественными элементами), и значит совпадает со своим сопряжением. Таким образом, $\overline{v}$ также собственное значение.

Теорема. Пусть собственные значения вещественной матрицы $A$ равны $\alpha±i\omega$. Рассмотрим собственный вектор $m=u+iv$. Тогда в базисе $(u,v)$ матрица $A$ имеет вид

$$\begin{pmatrix} \alpha&-\omega\\ \omega & \alpha \end{pmatrix}$$

Доказав это мы фактически произвели обратную операцию той, что мы проводили выше. Мы показали, что решение линейного уравнения с комплексными собственными значениями есть то же самое, что решение соответствующего одномерного комплексного уравнения. Круг замкнулся, теперь мы сможем (почти) закончить классификацию линейных дифференциальных уравнений [еще стоит обсудить случай совпадающих собственных значений]!

Доказательство. $$Au+iAv=Am=(\alpha+i\omega)(u+iv)$$ Раскрываем скобки: $$ Au+iAv=\alpha u - \omega v +i\omega u + i \alpha v $$ Приравниваем действительную и мнимую часть. $$ \begin{cases} Au= \alpha u - \omega v \\ Av= \omega u - \alpha v \end{cases} $$ Эти равенства и показывают, что в базисе $(u,v)$ оператор $A$ имеет ту матрицу, которую мы просили. (Вспомните, что такое матрица линейного оператора.)

Классификация линейных особых точек на плоскости (продолжение)

Продолжим начатую в прошлой лекции классификацию особых точек на плоскости. Там мы рассмотрели случаи различных действительных собственных значений матрицы. Теперь рассмотрим случай, когда собственные значения $\lambda_{1,2}=\alpha\pm i \omega$. Выше мы показали, что собственные значения всегда будут иметь такой вид; и это также достаточно очевидно из школьной формулы решения квадратного уравнения.

  1. $\alpha =0$: Центр
  2. $\alpha >0$: Неустойчивый фокус
  3. $\alpha <0$: Устойчивый фокус
In [5]:
fig = plt.figure()
rcParams['font.family']="Arial"
rcParams['figure.figsize']=(18,6)
fig.suptitle(u"Классификация линейных особых точек на плоскости (продолжение)", fontsize=20)
data=[(lambda X, t=0: array([-X[1],X[0]]), 131, u'Центр'),
      (lambda X, t=0: array([-X[1]+X[0],X[0]]), 132, u'Неустойчивый фокус'),
      (lambda X, t=0: array([-X[1]-X[0],X[0]]), 133, u'Устойчивый фокус')]
for f,loc,title in data:
    ax=fig.add_subplot(loc)
    axes4x4(('u','v'))
    ax.set_title(title,fontsize=14)
    phaseportrait(f, [[x,x] for x in linspace(-5,5,18)], [-10,10], n=90)
plt.show()